初中數(shù)學(xué)幾何模型（解析版）

數(shù)學(xué)模型-角平分線常見解題模型

角平分線作為圖形最基礎(chǔ)的概念,在選擇題,填空題和幾何證明題中屢見不鮮,同學(xué)們除了掌握角

平分線的概念和性質(zhì)定理以外,還需要對(duì)常見的角平分線的模型進(jìn)行了解,在與平行線、三角形、

四邊形、圓等背景知識(shí)的基礎(chǔ)上,結(jié)合角平分線得到一些常見的結(jié)論并對(duì)此進(jìn)行整理記憶．

對(duì)此將角平分線的常見模型分為如下六個(gè)模塊,其中前五模塊為基礎(chǔ)模塊,需要同學(xué)們掌握其中結(jié)

論的證明步驟,第六模塊為補(bǔ)充模塊,只需要了并會(huì)運(yùn)用即可．

模型一：角分線與圓周角和角的n等分線

①角分線與圓周角

模型分析：

如圖，直線AB、CD相較于點(diǎn)O，OE⊥AB于點(diǎn)O，OF平分∠AOE，11530，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.∠AOD與∠1互為補(bǔ)角B.∠1的余角等于7430

C.245D.DOF135

【解析】

解：A.∠AOD與∠1互為補(bǔ)角，說法正確；

B.∠1的余角：9015307430，說法正確；

C.∵OE⊥AB，

第1頁(yè)共292頁(yè).

∴AOE90，

∵OF平分∠AOE，

∴245，說法正確；

D.DOF18045153011930，原題說法錯(cuò)誤；

故選：D．

解題通法：掌握余角，補(bǔ)角，角平分線，垂線的性質(zhì)，通過加減運(yùn)算解決問題

模型精練：

1.如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，射線OM平分AOC，ONOM，若AOM30，則CON

的度數(shù)為（）

A.30

B.40

C.60

D.50

【答案】C

【解析】

【分析】由AOM30和射線OM平分AOC，可求∠MOC=30°；再根據(jù)ONOM，即可求得∠CON．

【詳解】解：∵AOM30，射線OM平分AOC，

∴∠MOC=AOM30

∵ONOM

∴CON=∠MON-∠MOC=90°-30°=60°，故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線和角的和差的知識(shí)，正確運(yùn)用角的和差是解答本題的關(guān)鍵．

2.如圖，點(diǎn)O是直線AD上一點(diǎn)，射線OC，OE分別平分∠AOB、∠BOD．若∠AOC＝28°，則∠BOE

＝_____．

第2頁(yè)共292頁(yè).

【答案】62°

【解析】

【分析】先求出∠AOB的度數(shù)，然后根據(jù)兩角互補(bǔ)和是180°求出∠BOD的度數(shù)，再利用角平分線的定義

求出所求角的度數(shù)．

【詳解】解：由題意知：∠AOB＝2∠AOC＝56°

∵∠AOB+∠BOD＝180°

∴∠BOD＝180°﹣56°＝124°

1

∴∠BOE＝∠BOD＝62°

2

故答案為62°

【點(diǎn)睛】點(diǎn)O是直線AD上一點(diǎn)表明∠AOD是平角，這是本題的關(guān)鍵

3.如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，若∠EOC：∠EOD=4：5，OA平分∠EOC，則

∠BOE=___________．

【答案】140°

【解析】

【分析】直接利用平角的定義得出：∠COE=80°，∠EOD=100°，進(jìn)而結(jié)合角平分線的定義得出

∠AOC=∠BOD，進(jìn)而得出答案．

【詳解】∵∠EOC：∠EOD=4：5，

∴設(shè)∠EOC=4x，∠EOD=5x，

故4x+5x=180°，

解得：x=20°，

可得：∠COE=80°，∠EOD=100°，

∵OA平分∠EOC，

∴∠COA=∠AOE=40°，

∴∠BOE=180°-∠AOE=140°．

第3頁(yè)共292頁(yè).

故答案為140°.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的定義以及鄰補(bǔ)角，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

②角的n等分線

模型分析：

如圖，已知射線OC平分∠AOB，射線OD，OE三等分∠AOB，又OF平分∠AOD，圖中等于∠BOE的角共有

()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解析】

解：∵射線OD，OE三等分∠AOB，

∴BOEEODDOA

∵OF平分∠AOD，OC平分∠AOB，

1111

∴COFCOAFOAAOBDOA(AOBDOA)BOD

2222

又∵射線OD，OE三等分∠AOB，

1

∴BOEEODDOA=BOD

2

∴BOEEODDOA=COF，共3個(gè)

故選：C．

1n

解題通法：∠A的n等分線=A，結(jié)合圖形的性質(zhì)進(jìn)行和差計(jì)算；當(dāng)角平分線累計(jì)平分時(shí)∠A=()．

n2n1

模型精練：

4.如圖所示，已知∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，OA2平分∠AOA1，OA3平分∠AOA2，OA4平分∠AOA3，

則∠AOA4的大小為（）

A.1°B.2°C.4°D.8°

第4頁(yè)共292頁(yè).

【答案】C

【解析】

1

【分析】根據(jù)角平分線定義求出∠AOA1=∠AOB=32°，同理即可求出答案．

2

【詳解】∵∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，

1

∴∠AOA1=∠AOB=32°，

2

∵OA2平分∠AOA1，

1

∴∠AOA2=∠AOA1=16°，

2

同理∠AOA3=8°，

∠AOA4=4°，

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的應(yīng)用，掌握角平分線的定義是關(guān)鍵．

5.已知：直線AC//BD，點(diǎn)P是直線BD上不與點(diǎn)B重合的一點(diǎn)，連接AP，ABD120．

11

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在射線BD上時(shí)，若BAMBAP，NACPAC，則MAN___________．

22

11

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在射線BE上時(shí)，若BAMBAP,NAPPAC，求MAN的度數(shù)；

33

11

（3）若點(diǎn)P是直線BD上不與點(diǎn)B重合的一點(diǎn)，當(dāng)ABD，BAMBAP，NACPAC

nn

時(shí)，請(qǐng)直接用含,n的代數(shù)式表示MAN的度數(shù)．

n1

【答案】（1）30°；（2）40°；（3）MAN180．

n

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)先求得∠CAB=60°，根據(jù)角平分線的定義可求∠MAN；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)先求得∠CAB=60°，根據(jù)三等分線的定義可求∠MAN；

第5頁(yè)共292頁(yè).

（3）分兩種情況討論，仿照（1）、（2）根據(jù)n等分線的定義可求∠MAN．

【詳解】（1）∵AC∥AD，∠ABD=120°，

∴∠BAC=180°-∠ABD=180°-120°=60°；

11

∵∠BAM=∠BAP，∠NAC=∠PAC，

22

11

∴∠PAM=∠BAP，∠NAP=∠PAC，

22

111

∴∠MAN=∠PAM+∠NAP=∠BAP+∠PAC=∠BAC=30°；

222

故答案為：30°．

（2）∵AC∥AD，∠ABD=120°，

∴∠BAC=180°-∠ABD=180°-120°=60°；

11

∵∠BAM=∠BAP，∠NAC=∠PAC，

33

22

∴∠PAM=∠PAB，∠PAN=∠PAC，

33

22

∴∠MAN＝∠PAN?∠PAM=∠PAC?∠PAB，

33

222

即∠MAN=(∠PAC?∠PAB)=∠BAC=×60°＝40°．

333

（3）當(dāng)點(diǎn)P在射線BD上時(shí)，如圖：

∵AC∥AD，∠ABD=，

∴∠BAC=180°-∠ABD=180°；

11

∵∠BAM=∠BAP，∠NAC=∠PAC，

nn

n1n1

∴∠PAM=∠BAP，∠NAP=∠PAC，

nn

n1n1n1n1

∴∠MAN=∠PAM+∠NAP=∠BAP+∠PAC=∠BAC=180；

nnnn

當(dāng)點(diǎn)P在射線BE上時(shí)，如圖：

第6頁(yè)共292頁(yè).

∵AC∥AD，∠ABD=，

∴∠BAC=180°-∠ABD=180°；

11

∵∠BAM=∠BAP，∠NAC=∠PAC，

nn

n1n1

∴∠PAM=∠PAB，∠PAN=∠PAC，

nn

n1n1

∴∠MAN＝∠PAN?∠PAM=∠PAC?∠PAB，

nn

n1n1n1

即∠MAN=(∠PAC?∠PAB)=∠BAC=180．

nnn

n1

綜上，MAN180．

n

【分析】考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握等分線的定義、正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．

6.如圖1所示的圖形，像我們常見的符號(hào)——箭號(hào)．我們不妨把這樣圖形叫做“箭頭四角形”．

探究：

（1）觀察“箭頭四角形”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；

應(yīng)用：

（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問題：

①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，

若A60，則ABXACX；

②如圖3，ABE、ACE的2等分線（即角平分線）BF、CF相交于點(diǎn)F，若BAC60，BEC130，

求BFC的度數(shù)；

拓展：

（3）如圖4，BOi，COi分別是ABO、ACO的2020等分線（i1，2，3，，2018，2019），它們的交

點(diǎn)從上到下依次為O1、O2、O3、…、O2019．已知BOCm，BACn，則BO1000C度．

第7頁(yè)共292頁(yè).

50m51n

【答案】（1）BDCABC，理由見詳解；（2）①30；②95；（3）．

101

【解析】

【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠BDCCEDC，CEDAB，

再根據(jù)等量代換即可得出答案；

（2）①根據(jù)（1）的結(jié)論可得XAABXACX，由此即可得出答案；

②先根據(jù)（1）的結(jié)論可得ABEACE70，再根據(jù)角平分線的定義可得ABFACF35，

然后根據(jù)（1）的結(jié)論即可得；

（3）先根據(jù)（1）的結(jié)論可得ABOACOmn，再根據(jù)角2020等分線的定義可得

100050100050

ABOABOABO,ACOACOACO，然后根據(jù)（1）的結(jié)論即

1000202010110002020101

可得．

【詳解】（1）BDCABC，理由如下：

如圖，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，

由三角形的外角性質(zhì)得：∠BDCCEDC，CEDAB，

則BDCABC；

（2）①由題意得：X90，

由（1）可知，XAABXACX，

A60，

9060ABXACX，

解得ABXACX30，

故答案為：30；

②由（1）可知，BECBACABEACE，

BEC130，BAC60，

13060ABEACE，

解得ABEACE70，

BF、CF分別是ABE、ACE的2等分線（即角平分線），

11

ABFABE,ACFACE，

22

第8頁(yè)共292頁(yè).

111

ABFACFABEACE(ABEACE)35，

222

又由（1）可知，BFCBACABFACF603595，

即BFC的度數(shù)為95；

（3）由（1）可知，BOCBACABOACO，

QBOCm,BACn，

mnABOACO，

解得ABOACOmn，

BOi，COi分別是ABO、ACO的2020等分線（i1，2，3，，2018，2019），

100050100050

ABOABOABO,ACOACOACO，

1000202010110002020101

505050(mn)

ABOACOABOACO，

10001000101101101

又由（1）可知，BO1000CBACABO1000ACO1000，

50(mn)

n，

101

50m51n

，

101

50m51n

故答案為：．

101

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義、角n等分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題

（3），掌握理解角n等分線的定義是解題關(guān)鍵．

7.如圖，AOB60，OC是AOB的平分線，OC1是AOC的平分線，OC2是AOC1的平分

線……OCn是AOCn1的平分線，則AOCn的度數(shù)為________．

1

【答案】60

2n1

【解析】

【分析】首先利用角平分線的性質(zhì)求出AOC,AOC1,AOC2的角度，然后根據(jù)規(guī)律即可得出答案．

【詳解】∵AOB60，OC是AOB的平分線，

11

AOCAOB6030．

22

第9頁(yè)共292頁(yè).

1111

同理，AOCAOC3015,AOCAOC157.5，

1222212

1

AOC60，

n2n1

1

故答案為：60．

2n1

【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

模型二：角平分線與三角形（常見輔助線構(gòu)造全等三角形）

①垂兩邊

模型分析：

BO是∠ABC的平分線，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，OF⊥BC于點(diǎn)F，則OE＝OF，BEO≌△BFO．

△

解題通法：由角平分線的性質(zhì)定理，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，構(gòu)造全等三角形．

模型精練：

8.如圖，∠D＝∠C＝90°，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大?。?/p>

【答案】28°

【解析】

【分析】過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=EF，根據(jù)線段中

點(diǎn)的定義可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明即可得

出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度數(shù)．

【詳解】如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，

第10頁(yè)共292頁(yè).

∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，

∴DE=EF，

∵E是DC的中點(diǎn)，

∴DE=CE，

∴CE=EF，

又∵∠C=90°，

∴點(diǎn)E在∠ABC的平分線上，

∴BE平分∠ABC，

又∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD=180°，

∴∠AEB=90°，

∴∠BEC=90°-∠AED=62°，

∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，

∴∠ABE=28°．

【點(diǎn)睛】考查了平行線的性質(zhì)與判定、角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)、到角的兩邊距離

相等的點(diǎn)在角的平分線上的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟記各性質(zhì)并作出輔助線．

9.已知OP平分∠AOB，∠DCE的頂點(diǎn)C在射線OP上，射線CD交射線OA于點(diǎn)F，射線CE交射

線OB于點(diǎn)G．

（1）如圖1，若CD⊥OA，CE⊥OB，請(qǐng)直接寫出線段CF與CG的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2，若∠AOB=120o，∠DCE=∠AOC，試判斷線段CF與CG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，見解析

【解析】

第11頁(yè)共292頁(yè).

【分析】(1)結(jié)論CF=CG，由角平分線性質(zhì)定理即可判斷．

(2)結(jié)論：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，證明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性質(zhì)

即可解決問題．

【詳解】解：（1）結(jié)論：CF=CG；

證明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，

∴CF=CG（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）；

（2）CF=CG.理由如下：如圖，

過點(diǎn)C作CM⊥OA，CN⊥OB，

∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120o，

∴CM=CN（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），

∴∠AOC=∠BOC=60o（角平分線的性質(zhì)），

∵∠DCE=∠AOC，

∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60o，

∴∠MCO=90o-60o=30o，∠NCO=90o-60o=30o，

∴∠MCN=30o+30o=60o，

∴∠MCN=∠DCE，

∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，

∴∠MCF=∠NCG，

在MCF和NCG中，

△CMF△CNG

CMCN

MCFNCG

∴MCF≌NCG（ASA），

∴△CF=CG（△全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）；

【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角

平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練證明三角形全等．

10.如圖，在OBC中，邊BC的垂直平分線交∠BOC的平分線于點(diǎn)D，連接DB，DC，過點(diǎn)D作

第12頁(yè)共292△頁(yè).

DF⊥OC于點(diǎn)F.

(1)若∠BOC＝60°，求∠BDC的度數(shù)；

(2)若∠BOC＝，則∠BDC＝；（直接寫出結(jié)果）

(3)直接寫出OB，OC，OF之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）120°；（2）180°－α；（3）OB＋OC＝2OF

【解析】

【分析】(1)首先過點(diǎn)D作DE⊥OB于E，易證得△DEB≌△DFC（HL），即可得∠BDC=∠EDF，又由

∠EOF+∠EDF=180゜，即可求得答案；

(2)由（1），可求得∠BDC的度數(shù);

(3)OB＋OC＝OE＋OF＝2OF

【詳解】解：(1)過點(diǎn)D作DE⊥OB，交OB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥OC于F，

∵OD是∠BOC的平分線，

∴DE=DF，

第13頁(yè)共292頁(yè).

∵DP是BC的垂直平分線，

∴BD=CD，

DBDC

在RtDEB和RtDFC中，

DEDF

△△

∴△DEB≌△DFC（HL）

∴∠BDE=∠CDF，

∴∠BDC=∠EDF，

∵∠EOF+∠EDF=180゜，

∵∠BOC=60゜，

∴∠BDC=∠EDF=120゜．

（2）∵∠EOF+∠EDF=180゜，

∵∠BOC=α，

∴∠BDC=∠EDF=180゜-α．

故答案為：180゜-α．

（3）由（1）知OB＋OC＝OE＋OF＝2OF

【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難

度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．

②截長(zhǎng)補(bǔ)短構(gòu)造全等三角形

模型分析：

在ABC中，BC>BA，BO是∠ABC的平分線．

（截△長(zhǎng)法）在BC上取線段BE＝BA，連接OE，則BEO≌△BAO；

（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，使BD＝BC，連接OD△，則BDO≌△BCO．

△

解題通法：遇到角平分線時(shí)，我們通常過角平分線上的一點(diǎn)向兩邊作垂線或在角平分線的兩端取相等的線段（截

長(zhǎng)或補(bǔ)短）構(gòu)造全等三角形．

模型精練：

11.如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在CD上，EA，EB分別平分∠DAB和∠CBA，設(shè)AD＝x，

第14頁(yè)共292頁(yè).

BC＝y(tǒng)且（x﹣3）2+|y﹣4|＝0．求AB的長(zhǎng)．

【答案】7

【解析】

【分析】由非負(fù)性可求AD＝3，BC＝4，如圖，在AB上截取AH＝AD＝3，連接HE，由“SAS”可證

△DAE≌△HAE，可得∠DEA＝∠AEH，由“ASA”可證△BEH≌△BEC，可得BH＝BC＝4，即可求解．

【詳解】∵（x﹣3）2+|y﹣4|＝0，

∴x-3=0，y-4=0，

∴x＝3，y＝4，

∴AD＝3，BC＝4，

如圖，在AB上截取AH＝AD＝3，連接HE，

∵AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC＝180°，

∵EA，EB分別平分∠DAB和∠CBA，

11

∴∠DAE＝∠EAB＝∠DAB，∠EBC＝∠EBA＝∠ABC，

22

∴∠EAB+∠EBA＝90°，

∴∠AEB＝90°，

∴∠DEA+∠BEC＝90°，

∵∠DAE＝∠EAH，AD＝AH，AE＝AE，

∴△DAE≌△HAE（SAS）

∴∠DEA＝∠AEH，

∵∠AEH+∠BEH＝90°，∠DEA+∠BEC＝90°，

∴∠HEB＝∠CEB，且BE＝BE，∠CBE＝∠HBE，

∴△BEH≌△BEC（ASA）

∴BH＝BC＝4，

∴AB＝AH+BH＝7．

第15頁(yè)共292頁(yè).

【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)：兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定及

性質(zhì).

12.如圖，已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AD，CE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于E.求證：AB+AC=2AE.

【答案】詳見解析

【解析】

【分析】延長(zhǎng)AE到M，使ME=AE，連接CM，求出AC=CM，求出DM=MC，即可得出答案．

【詳解】延長(zhǎng)AE到M，使ME=AE，連接CM，

則AM=2AE，

∵CE⊥AE，

∴AC=CM，

∴∠M=∠CAD=∠DAB，

∴AB∥MC，

∴∠B=∠MCD，

∵AB=AD，

∴∠B=∠ADB，

∵∠ADB=∠MDC，

∴∠MCD=∠MDC，

∴MC=MD，

∴AM=2AE=AD+MD=AB+AC，

即AB+AC=2AE.

第16頁(yè)共292頁(yè).

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，

解此題的關(guān)鍵是推出DE=EC，有一定的難度．

③角平分線+平行線=等腰三角形

模型分析：

由平行線得到內(nèi)錯(cuò)角相等，由角平分線得到相等的角，等量代換進(jìn)行解題．

解題通法：平行線與角分線組合在一起會(huì)得到等腰三角形．

模型精練：

（2017啟正單元考）

13.（2017啟正單元考）如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點(diǎn)G、

F，若FG=4，ED=8，求EB+DC=_________．

【答案】12

【解析】

【分析】由角平分線與平行線易得∠EBG=∠EGB，從而得到EB=EG，同理可得DF=DC，再根據(jù)

EB+DC=EG+DF=ED+FG即可得答案．

第17頁(yè)共292頁(yè).

【詳解】∵BG平分∠EBC

∴∠EBG=∠GBC

∵ED∥BC

∴∠EGB=∠GBC

∴∠EBG=∠EGB

∴EB=EG

同理可得DF=DC

∴EB+DC=EG+DF=ED+FG=8+4=12

故答案為：12．

【點(diǎn)睛】本題考角平分線與平行線，掌握角平分線加平行線，可得等腰三角形這一幾何模型是解題的

關(guān)鍵．

14.如圖，?ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E點(diǎn)，CF平分∠BCD交AD于

F點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為_____m．

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)角平分線的概念、平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，可分別推出AE=AB，DF=DC，進(jìn)

而推出EF=AE+DF-AD．

【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠AEB＝∠EBC，AD＝BC＝5cm，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠EBC，

則∠ABE＝∠AEB，

∴AB＝AE＝3cm，

同理可證：DF＝DC＝AB＝3cm，

則EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1cm．

故答案為：1．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是運(yùn)用角平分線的概念和平行線的性質(zhì)，由等角推出等

邊．

15.如圖，已知AB//CD，BE平分ABC，CDE150，則C（）

第18頁(yè)共292頁(yè).

A.105°B.120°C.130°D.150°

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，平行線性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)進(jìn)行做題．

【詳解】∵∠CDE＝150°，

∴∠CDB＝180?∠CDE＝30°，

又∵AB∥CD，

∴∠ABD＝∠CDB＝30°；

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABC＝60°，

∴∠C＝180°?60°＝120°．

故選B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．

16.如圖，△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于E，∠A=60o，∠BDC=95o，

則∠BED的度數(shù)是（）

A.35°B.70°C.110°D.130°

【答案】C

【解析】

【分析】由三角形的外角性質(zhì)得出∠ABD=35°，由角平分線的定義求出∠ABC=2∠ABD=70°，再由

平行線的性質(zhì)得∠BED+∠ABC=180°，即可得出結(jié)果．

【詳解】∵∠BDC=∠A+∠ABD，

∴∠ABD=95°?60°=35°，

∵BD是∠ABC的角平分線，

第19頁(yè)共292頁(yè).

∴∠ABC=2∠ABD=70°，

∵DE∥BC，

∴∠BED+∠ABC=180°，

∴∠BED=180°?70°=110°．

故選C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，掌握三角形的外角的

性質(zhì)定理，是解題的關(guān)鍵．

17.如圖，已知△ABC的兩邊AB=5，AC=8，BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，過點(diǎn)O作DE∥BC，

則△ADE的周長(zhǎng)等于________________．

【答案】13

【解析】

【分析】根據(jù)BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且ED∥BC，可得出OD=OB，OE=OC，所以三角形

ADE的周長(zhǎng)是AB+AC.

【詳解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，

∴∠DBO=∠OBC，∠OCE=∠OCB，

由∵M(jìn)NlBC，

∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，

∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO，

∴MO=MB，NO=NC，·

又∵AB=5，AC=8，

∴ADE的周長(zhǎng)=AD+DE+AE=AB+AC=13

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定，其中運(yùn)用角平

分線的定義和平行線的性質(zhì)創(chuàng)造等腰三角形的條件是關(guān)鍵．

18.如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、

F.

第20頁(yè)共292頁(yè).

(1)圖①中有幾個(gè)等腰三角形?猜想:EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系.

(2)如圖②,若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎?如果有，分別指出它們.在第(1)問中EF

與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?

(3)如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB

于E，交AC于F.這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關(guān)系又如何?說明你的理由.

【答案】（1）△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5個(gè)，EF=BE+FC；（2）有，△EOB、△FOC，

存在；（3）有，EF=BE-FC．

【解析】

【分析】（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB；故

∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根據(jù)EF∥BC，可得：∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；

由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；

已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，則EO=BE，OF=FC，則EF=BE+FC．

（2）由（1）的證明過程可知：在證△OEB、△OFC是等腰三角形的過程中，與AB=AC的條件沒有

關(guān)系，故這兩個(gè)等腰三角形還成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的結(jié)論仍成立．

（3）思路與（2）相同，只不過結(jié)果變成了EF=BE-FC．

【詳解】解：（1）圖中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；

EF、BE、FC的關(guān)系是EF=BE+FC．理由如下：

∵AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形；

∵BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，

11

∴∠ABO=∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACO=∠ACB，

22

∵EF∥BC，

∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，

∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO，

∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形，

∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，

∴∠AEF=∠AFE，

第21頁(yè)共292頁(yè).

∴△AEF是等腰三角形，

∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，

∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；

∵EF∥BC，

∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；

即EO=EB，F(xiàn)O=FC；

∴EF=EO+OF=BE+CF；

（2）當(dāng)AB≠AC時(shí)，△EOB、△FOC仍為等腰三角形，（1）的結(jié)論仍然成立．

∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，

∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；

∵EF∥BC，

∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；

即EO=EB，F(xiàn)O=FC；

∴EF=EO+OF=BE+CF；

（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：

同（1）可證得△EOB是等腰三角形；

∵EO∥BC，

∴∠FOC=∠OCG；

∵OC平分∠ACG，

∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，

∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；

∴EF=EO-FO=BE-FC．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)．進(jìn)行線段的等

量代換是正確解答本題的關(guān)鍵．

19.如圖，在矩形ABCD中，AB8，BC6，點(diǎn)P為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)、過點(diǎn)P作PQ//AC交AB

邊于點(diǎn)Q，把線段PB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)至PE（點(diǎn)B與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)），點(diǎn)E落在線段PQ上，若AE恰好平分BAC，

則BP的長(zhǎng)為_________．

【答案】4

第22頁(yè)共292頁(yè).

【解析】

4

【分析】因?yàn)镻Q∥AC，可得tan∠QPB＝tan∠ACB＝，設(shè)QB＝4x，BP＝3x，則QP＝5x，PE＝PB

3

＝3x，QE＝5x?3x＝2x，因?yàn)锳E恰好平分∠BAC，可得∠CAE＝∠QAE＝∠QEA，所以AQ＝QE＝

2x，AB＝AQ＋QB＝2x＋4x＝6x＝8，解得x的值，即可得出BP的長(zhǎng)．

【詳解】解：如圖，

∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，

AB4

∴tan∠ACB＝＝，

BC3

∵PQ∥AC，

∴∠QPB＝∠ACB，

4

∴tan∠QPB＝tan∠ACB＝，

3

設(shè)QB＝4x，BP＝3x，

則QP＝5x，

∵把線段PB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)至PE（點(diǎn)B與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)），點(diǎn)E落在線段PQ上，

∴PE＝PB＝3x，QE＝5x?3x＝2x，

∵AE恰好平分∠BAC，

∴∠CAE＝∠QAE，

∵PQ∥AC，

∴∠QEA＝∠CAE，

∴∠QEA＝∠QAE，

∴AQ＝QE＝2x，

∴AB＝AQ＋QB＝2x＋4x＝6x＝8，

∴BP＝3x＝4．

故答案為：4．

【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，等腰三

角形的判定．解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．

第23頁(yè)共292頁(yè).

④三線合一（中垂線）

模型分析：

BO是∠ABC的平分線，EF⊥BO，則BEO≌△BFO．

△

解題通法：角平分線，高線，中線其中兩者重合時(shí)也能得到另外的一條件，即此時(shí)三線合一，角平分線的所有性

質(zhì)均可使用．

模型精練：

20.如圖，在ABO中，OAOB，AOB90，AD平分OAB，OEAD于E，交AB于F.求

證：（1）ODBF；（2）ADOF2DE.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）連接DF，證△FAE≌△OAE，推出AF＝AO，∠AFO＝∠AOF，求出OD＝DF，求出BF

＝DF，即可得出答案；

（2）在AD上截AM＝OF，連接OM，證△AMO≌△OFB，推出MO＝BF＝OD，求出DE＝ME，AD?OF

＝DM＝2DE，即可證明．

【詳解】證明：（1）連接DF，

∵OF⊥AD，

∴∠AEF＝∠AEO＝90°，

∵AD平分∠FAO，

∴∠FAE＝∠OAE，

第24頁(yè)共292頁(yè).

FAE＝OAE

在△FAE和△OAE中AE＝AE，

AEF＝AEO

∴△FAE≌△OAE（ASA），

∴AF＝AO，∠AFO＝∠AOF，

∵AD⊥OF，

∴FE＝OE，

∴DF＝DO，

∴∠DFO＝∠DOF，

∵∠AFO＝∠AOF，

∴∠AFD＝∠AOB＝90°，

∵∠AOB＝90°，AO＝BO，

∴∠B＝45°，

∴∠FDB＝∠AFO?∠B＝90°?45°＝45°＝∠B，

∴BF＝DF，

∴OD＝BF；

（2）解：在AD上截AM＝OF，連接OM，

∵∠OAB＝∠B＝45°，AD平分∠OAB，

∴∠OAM＝22.5°，

∵OD＝DF，

∴∠DFO＝∠DOF，

∵∠FDB＝45°＝∠DFO＋∠DOF，

∴∠FOB＝22.5°＝∠OAM，

AO＝OB

在△AMO和△OFB中OAM＝FOB，

AM＝OF

∴△AMO≌△OFB（SAS），

∴MO＝BF＝OD，

∵OF⊥AD，

∴DE＝ME，

第25頁(yè)共292頁(yè).

∴AD?OF＝DM＝2DE．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，

主要考查學(xué)生的推理能力．

21.如圖，如圖，AOB40，OC平分AOB，直尺與OC垂直，則∠1等于_________．

【答案】70

【解析】

1

【分析】由平行線的性質(zhì)和對(duì)頂角相等得出∠1＝∠2＝∠3，由角平分線的定義求出∠AOC＝∠AOB

2

＝20°，由直角三角形的性質(zhì)求出∠3＝70°，即可得出∠1的度數(shù)．

【詳解】如圖所示：根據(jù)題意得：∠1＝∠2＝∠3，

∵OC平分∠AOB，

1

∴∠AOC＝∠AOB＝20°，

2

∴∠3＝90°?20°＝70°，

∴∠1＝70°．

故答案為：70°．

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)；熟練掌握平行線的性質(zhì)，

求出∠1＝∠3是解決問題的關(guān)鍵．

模型三：內(nèi)外角平分線的夾角

①兩內(nèi)角平分線的夾角

在三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BE，CF交于點(diǎn)G，則∠BGA和∠A之間的關(guān)系是：

1

BGC90A．

2

第26頁(yè)共292頁(yè).

解題通法：三角形兩內(nèi)角的平分線的夾角等于90與第三個(gè)內(nèi)角的一半的和．（當(dāng)兩直線平行時(shí)，同旁內(nèi)角的角

分線夾角=90）

模型精練：

22.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=140°，∠D=90°，OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，則∠BOC=()

A.105°B.115°C.125°D.135°

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和及角平分線的定義解答即可.

【詳解】∵∠A+∠D+∠ABC+∠BCD=360°，∠A=140°，∠D=90°

∴∠ABC+∠BCD=130°

∵OB平分∠ABC，OC平分∠BCD

1

∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠BCD）=65°

2

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=115°

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查的是四邊形的內(nèi)角和及角平分線，掌握四邊形的內(nèi)角和是360°及角平分線的定義是

關(guān)鍵.

23.如圖，AB∥CD，PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，若EF=13，PE=12，PF=5．點(diǎn)P到EF的距離為_____．

60

【答案】

13

第27頁(yè)共292頁(yè).

【解析】

【分析】利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義,即可得到三角形PEF為直角三角形,利用面積法即可

求出P到EF的距離.

【詳解】解：如圖

PE平分∠BEF,PF平分∠DFE,

11

∠1=∠BEF,∠2=∠EFD,

22

AB//CD,

∠BEF+∠EFD=180o,∠1+∠2=90o,即∠P=90,

ΔPEF為直角三角形,EF=13,PE=12,PF=5,

設(shè)P到EF的距離為d,根據(jù)面積法得:

11

PEPF=EFd，

22

51260

d=，

1313

60

故答案為:

13

【點(diǎn)睛】本題主要角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及三角形的面積公式.

24.如圖，在ABC中，ABC和ACB的平分線相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作EF∥BC交AB于E，交AC

于F，過點(diǎn)G作GDAC于D，下列四個(gè)結(jié)論：

①EFBECF；

1

②BGC90A；

2

③點(diǎn)G到ABC各邊的距離相等；

④設(shè)GDm，AEAFn，則S△AEFmn.

其中正確的結(jié)論有（）

A.①②④B.①②③C.①③④D.①②③④

【答案】B

【解析】

第28頁(yè)共292頁(yè).

【分析】①根據(jù)∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G可得出∠EBG＝∠CBG，∠BCG＝∠FCG，再

由EF∥BC可知∠CBG＝∠EGB，∠BCG＝∠CGF，故可得出BE＝EG，GF＝CF，由此可得出結(jié)論；

1

②先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠GBC＋∠GCB＝（∠ABC＋∠ACB），再由三角形內(nèi)角和定理即可

2

得出結(jié)論；

③根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

④連接AG，由三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

【詳解】①∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，

∴∠EBG＝∠CBG，∠BCG＝∠FCG．

∵EF∥BC，

∴∠CBG＝∠EGB，∠BCG＝∠CGF，

∴∠EBG＝∠EGB，∠FCG＝∠CGF，

∴BE＝EG，GF＝CF，

∴EF＝EG＋GF＝BE＋CF，故①正確；

②∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，

11

∴∠GBC＋∠GCB＝（∠ABC＋∠ACB）＝（180°?∠A），

22

11

∴∠BGC＝180°?（∠GBC＋∠GCB）＝180°?（180°?∠A）＝90°＋∠A，故②正確；

22

③∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)G，

∴點(diǎn)G是△ABC的內(nèi)心，

∴點(diǎn)G到△ABC各邊的距離相等，故③正確；

④連接AG，如圖所示：

∵點(diǎn)G是△ABC的內(nèi)心，GD＝m，AE＋AF＝n，

1111

∴S△AEF＝AE?GD＋AF?GD＝（AE＋AF）?GD＝nm，故④錯(cuò)誤．

2222

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定

與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及三角形內(nèi)心的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

第29頁(yè)共292頁(yè).

②兩外角平分線的夾角

模型分析：

1

如圖，在ABC中，BO，CO是ABC的外角平分線，則∠O與∠A之間的關(guān)系為：O90A．

2

△△

解題通法：三角形兩外角的平分線的夾角等于90與第三個(gè)內(nèi)角的一半的差．

模型精練：

25.如圖，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點(diǎn)E，則∠AEC＝

_____．

【答案】67°．

【解析】

【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝134°，則利用鄰補(bǔ)角定義計(jì)算出

1

∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝226°，再根據(jù)角平分線定義得到∠EAC＝∠DAC，

2

11

∠ECA＝∠FCA，所以∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，然后再利用三角形內(nèi)角和計(jì)

22

算∠AEC的度數(shù)．

【詳解】解：∵∠B＝46°，

∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣46°＝134°，

∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣134°＝226°，

∵AE和CE分別平分∠DAC和∠FCA，

11

∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA，

22

第30頁(yè)共292頁(yè).

1

∴∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°，

2

∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣113°＝67°．

故答案為：67°．

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的有關(guān)計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)．在本題解題過程中，

有些角單獨(dú)計(jì)算不出來，所以把兩個(gè)角的和看作一個(gè)整體計(jì)算（如：∠BAC+∠BCA，∠DAC+∠FCA），

故掌握整體思想是解決此題的關(guān)鍵．

26.認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題.

探究1：如圖l，在ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，通過分析發(fā)現(xiàn)

1

∠BOC=90+∠A△,理由如下：

2

∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線

11

∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB

22

111

∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)=(180-∠A)=90-∠A

222

11

∴∠BOC=180-(∠1+∠2)=180-(90-∠A)=90+∠A