任意角課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版3

第五章

三角函數(shù)

任意角課本P168學(xué)習(xí)目標(biāo)新課程標(biāo)準(zhǔn)核心素養(yǎng)1.了解任意角的概念，能區(qū)分各類角的概念．?dāng)?shù)學(xué)抽象2.掌握象限角的概念，并會(huì)用集合表示象限角．直觀想象3.理解終邊相同的角的含義及表示，并能解決有關(guān)問題．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算4.能夠根據(jù)任意角的概念，結(jié)合象限角的概念，分析角、倍角、半角所在象限，為以后的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).邏輯推理復(fù)習(xí)回顧怎么認(rèn)識(shí)初中所學(xué)的“角”？角是由兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形。OAB情景引入【情境探究】問題1.你的手表慢了5分鐘，你是如何將它校準(zhǔn)的呢？當(dāng)時(shí)間校準(zhǔn)后，分針旋轉(zhuǎn)了多少度？情景引入問題2：我們以前所學(xué)角都在0°~360°的范圍內(nèi)，生活中有超出0°~360°角的例子嗎？請(qǐng)你舉例說明．任意角—課本P169一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個(gè)零角．1.角的推廣角的表示：簡記：如圖，OA是角α的始邊，OB是角α的終邊，O是角的頂點(diǎn)．相等角—課本P169

設(shè)∠α由射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)而成，∠β由射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)而成.如果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱α=β.

設(shè)α，β是任意角，我們規(guī)定：把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是α+β.αβα+βOA相反角—課本P169

我們把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角.

角α的相反角記為-α，則α-β=α+(-β).這樣，角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法小試牛刀

如圖(1)，∠AOC=

；如圖(2)，∠AOC=

.

跟蹤訓(xùn)練

1110°-70°

(1)若手表時(shí)針走過4小時(shí)，則時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為A.120° B.-120° C.-60° D.60°√(2)如圖，射線OA繞頂點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到OB位置，并在此基礎(chǔ)上順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到達(dá)OC位置，則∠AOC=

.

-75°例

1

題型一任意角的概念象限角—課本P169為了進(jìn)一步研究角的需要，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，我們通常在坐標(biāo)系內(nèi)討論角.為了方便，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么對(duì)一個(gè)任意角，角的終邊可能落在哪些位置？第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角x軸非負(fù)半軸x軸非正半軸y軸非負(fù)半軸y軸非正半軸xy象限角/軸線角—課本P169

使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角。如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么它就不屬于任何一個(gè)象限，此時(shí)我們稱這個(gè)角為軸線角.例如90o、180o小試牛刀

題型二象限角終邊相同的角—課本P170【探究】把角放在坐標(biāo)系中之后，給定一個(gè)角，就有唯一的一條終邊與之對(duì)應(yīng)。反過來，對(duì)于直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一條射線OB，以它為終邊的角是否唯一？【答】不難發(fā)現(xiàn)，OB除了可以表示-32°的角之外，還可以表示-392°，-328°等角.328°=-32°+360°k(這里k=

)-392°=-32°-360°(這時(shí)k=

)設(shè)S={β|β=-32°+k·360°，k∈Z}它們之間有什么關(guān)系？則-392°，-328°解都是S的元素，角-32°也是S的元素，此時(shí)k=0因此，所有與-32°角終邊相同的角，連同-32°在內(nèi)都是集合S的元素，反過來，在集合S的任一元素顯然與-32°的終邊相同1-1-32o與k個(gè)360o的和終邊相同的角—課本P170一般地，所有與α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可以構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}即任一與α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.終邊相同的角—課本P170終邊落在x軸正半軸上｛α|α=k·360°，k∈Z｝終邊落在x軸負(fù)半軸上｛α|α=180°+k·360°，k∈Z｝終邊落在y軸正半軸上｛α|α=90°+k·360°，k∈Z｝終邊落在y軸負(fù)半軸上｛α|α=270°+k·360°，k∈Z｝終邊落在x軸上｛α|α=k·180°，k∈Z｝終邊落在y軸上｛α|α=90°+k·180°，k∈Z｝終邊落在坐標(biāo)軸上｛α|α=k·90°，k∈Z｝終邊相同的角—課本P170例

2

題型三終邊相同的角終邊相同的角—課本P170終邊落在x軸非負(fù)半軸上_________________________終邊落在x軸非正半軸上_______________________________終邊落在y軸非負(fù)半軸上_____________________________終邊落在y軸非正半軸上_______________________________終邊落在x軸上_______________________終邊落在y軸上____________________________終邊落在坐標(biāo)軸上_______________________｛α|α=k·360°，k∈Z｝｛α|α=180°+k·360°，k∈Z｝｛α|α=90°+k·360°，k∈Z｝｛α|α=270°+k·360°，k∈Z｝｛α|α=k·180°，k∈Z｝｛α|α=90°+k·180°，k∈Z｝｛α|α=k·90°，k∈Z｝完成下表.延伸探究

反思感悟(1)與角α終邊相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式.(2)終邊相同的角相差360°的整數(shù)倍.(3)終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍.終邊相同的角的表示學(xué)以致用

題型四區(qū)域角終邊落在第一象限_________________________終邊落在第二象限_______________________________終邊落在第三象限_____________________________終邊落在第四象限_______________________________完成下表.｛α|k·360°<α<k·360°+90°，k∈Z｝｛α|k·360°+90°<α<k·360°+180°，k∈Z｝｛α|k·360°+180°<α<k·360°+90°+270°，k∈Z｝｛α|k·360°+270°<α<k·360°+360°，k∈Z｝學(xué)以致用

題型四區(qū)域角

如圖，α，β分別是終邊落在OA，OB位置上的兩個(gè)角，且α=60°，β=315°.例

4解：因?yàn)榕c角β終邊相同的一個(gè)角可以表示為-45°，所以陰影部分(不包括邊界)所表示的角的集合為｛γ|-45°+k·360°<γ<60°+k·360°，k∈Z｝.(1)求終邊落在陰影部分(不包括邊界)的角γ的集合；(2)求終邊落在陰影部分(不包括邊界)，且在0°~360°范圍內(nèi)的角θ的集合.解：｛θ|0°≤θ<60°或315°<θ<360°｝.學(xué)以致用

題型四區(qū)域角(1)表示區(qū)域角的三個(gè)步驟①先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界.②按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的-360°~360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間｛x|α<x<β｝，其中β-α<360°.③起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)域角的集合.(2)實(shí)線包括邊界，虛線不包括邊界.學(xué)以致用

題型四區(qū)域角

如圖所示，終邊落在陰影部分