冪級(jí)數(shù)測(cè)試題

第十四章

冪級(jí)數(shù)單選題：1設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為

R

，則下列斷語(yǔ)中正確的是（A）在上一致收斂。（B）在內(nèi)某些點(diǎn)處非絕對(duì)收斂。（C）

的收斂半徑大于

。（D）對(duì)任意的

，在上一致收斂。．2。若冪級(jí)數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，則該級(jí)數(shù)(A)在處發(fā)散；

(B)在處收斂；(C)收斂區(qū)間為

;

(D)當(dāng)時(shí)發(fā)散。

3．冪級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的收斂域是(A)

(B)

(C)

(D)

4．若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R,那么(A),

(B)

,(C),

(D)不一定存在.

5．如果能展開成

的冪級(jí)數(shù)，那么該冪級(jí)數(shù)

(A)

是

的麥克勞林級(jí)數(shù)；

(B)不一定是

的麥克勞林級(jí)數(shù)；

(C)不是

的麥克勞林級(jí)數(shù)；

(D)

是在點(diǎn)處的泰勒級(jí)數(shù)。6.

如果,則冪級(jí)數(shù)(A)當(dāng)時(shí),收斂；

(B)

當(dāng)時(shí),收斂；(C)

當(dāng)時(shí),發(fā)散；

(D)

當(dāng)時(shí),發(fā)散7..設(shè)級(jí)數(shù)在

處是收斂的，則此級(jí)數(shù)在處

(A)發(fā)散；

(B)絕對(duì)收斂；

(C)條件收斂；

(D)不能確定斂散性。

8冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處A

全是發(fā)散的.

B.

全是收斂的C.

左端點(diǎn)發(fā)散,

右端點(diǎn)收斂.

D

左端點(diǎn)收斂,

右端點(diǎn)發(fā)散9.

函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)的方法是.

10.

冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?/p>

答案:

1—10

DDBDA

ADDDA

即

.

解上述關(guān)于的二階微分方程,

得

.

7.

解

易看出

,

而

兩邊求導(dǎo),

得

.8.

級(jí)數(shù)的和函數(shù)為

9.

由于級(jí)數(shù)在上收斂，

所以當(dāng)時(shí)，有

10.

因?yàn)閮缂?jí)數(shù)的收斂域是，所以在上的連續(xù)，

且可逐項(xiàng)積分。

.證明題：

1.

設(shè)

在內(nèi)收斂,

若也收斂,

則

.

2.

設(shè)f為冪級(jí)數(shù)在

(-R,R)

上的和函數(shù),

若f為奇函數(shù),

則原級(jí)數(shù)僅出現(xiàn)奇次冪的項(xiàng),

若f

為偶函數(shù),

則原級(jí)數(shù)僅出現(xiàn)偶次冪的項(xiàng).3.

設(shè)函數(shù)定義在

[0,1]上,

證明它在

(0,1)

滿足下述方程:

4.

設(shè)

證明當(dāng)

時(shí),

級(jí)數(shù)

收斂.5.

設(shè)冪級(jí)數(shù)，的收斂半徑分別為，設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。6.

設(shè)，求證：

其中

7.

設(shè)，，。證明：當(dāng)時(shí)，滿足方程。

8.

若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R(>0),

且在(或時(shí)收斂,

則級(jí)數(shù)在[0,R](

或

[-R,0])上一致收斂.

9.

設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的各階導(dǎo)數(shù)一致有界,即存在正數(shù)M,

對(duì)一切,

有,

證明:

對(duì)內(nèi)任一點(diǎn)與有

.

10.

證明:

滿足方程.答案:

1.

證明:

因?yàn)楫?dāng)

收斂,

有

又當(dāng)時(shí),

收斂,

從而可知

在左連續(xù),于是.

2.

,

,

當(dāng)為奇函數(shù)時(shí),

有,

從而

,

這時(shí)必有

.

當(dāng)為偶函數(shù)時(shí),

有此式當(dāng)且僅當(dāng).3.證明:

設(shè)

則

.

所以

故

.0<x<1.4.

因?yàn)?/p>

所以

,

,取極限得到

,

從而級(jí)數(shù)的收斂半徑故

時(shí),

級(jí)數(shù)收斂.5.

對(duì)于任意

，由于，所以，絕對(duì)收斂。

又所以絕對(duì)收斂。

6.

時(shí),

，

，故

從而

7.

由于

，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是1，所以當(dāng)時(shí)，可微，且

故

即滿足方程。

8.

證明:

設(shè)級(jí)數(shù)在時(shí)收斂,

對(duì)于有

=已知級(jí)數(shù)