理論力學(周衍柏第三版)思考題+習題答案

理徐力學思考觀司敢參考

琴嗓

周衍柏第三版

骯病毒整理

2007-10-22

目錄

第一章質點力學-2-

第一章思考題-2-

第一章思考題解答-3?

第一章習題-6-

第一章習題解答-10-

第二章質點組力學?34-

第二章思考題-34-

第二章思考題解答-35-

第二章:習題.-37-

第二章習題解答-38-

第三章剛體力學-48.

第三章思考題-48-

僅供參考，多思考，勤練習

第三章思考題解答-49-

第三章習題-51-

第三章習題解答-54-

笫四章轉動參考系-68-

第四章思考題-68-

第四章思考題解答-68-

第四章習題-70-

第四章習題解答-71-

第五章分析力學-75-

第五章思考題-75?

第五章思考題解答-76-

第五章習題-81-

第五章習題解答-84-

第一章質點力學

第一章思考題

L1平均速度與瞬時速度有何不同？在上面情況下，它們一致?

1.2在極坐標系中，匕=＞，%=而.為什么勺=＞一；?解而非尸？為什么/=)/+2泊而非

用+泊?你能說出對中的_,02和Q〃中另一個戶@出現(xiàn)的原因和它們的物理意義嗎？

1.3在內稟方程中，〃“是怎樣產生的？為什么在空間曲線中它總沿著主法線方向？當質點沿空間運動

時，副法線方向的加速度％等于零，而作用力在副法線方向的分量《一般不等于零，這是不是違背了

牛頓運動定律呢？

1.4在怎樣的運動中只有〃而無a?在怎樣的運動中又只有q而無。？在怎樣的運動中既有〃而無

廣〃nrn

1.5更與如有無不同？蟲與也有無不同？試就直線運動與曲線運動分別加以討論.

dtdtdtdt

1.6人以速度0向籃球網(wǎng)前進，那么當其投籃時應用什么角度投出？跟靜止時投籃有何不同？

1.7雨點以勻速度I，落下，在一有加速度〃的火車中看，它走什么路經？

1.8某人以一定的功率劃船，逆流而上.當船經過一橋時，船上的漁竿不慎落入河中.兩分鐘后，此人才

發(fā)現(xiàn)，立即飯棹追機追到漁竿之處是在橋的卜.游600米的地方，問河水的流速是?多大？

1.9物體運動的速度是否總是和所受的外力的方向一致？為什么？

1.10在那些條件下，物體可以作直線運動？如果初速度的方向和力的方向一致，那么物體是沿力的方向

還是沿初速度的方向運動？試用一具體實例加以說明.

1.11質點僅因重力作用而沿光滑靜止曲線下滑，到達任一點時的速度只和什么有關？為什么是這樣？假

設不是光滑的將如何？

1.12為什么被約束在一光滑靜止的曲線上運動時，約束力不作功？我們利用動能定理或能量積分，能否

求出約束力？如不能，應當怎樣去求？

1.13質點的質量是1千克，它運動時的速度是？=3，+2/+7a1，式中i、j、上是沿x、y>z軸上

的單位矢量。求此質點的動量和動能的量值。

1.14在上題中，當質點以上述速度運動到（1,2,3）點時，它對原點0及z軸的動量矩各是多少？

1.15動量矩守恒是否就意味著動量也守恒？質點受有心力作用而運動時，動量矩是守恒的，問它的動量

是否也守恒？

1.16如尸=尸（"，那么在三維直角坐標系中，仍有▽、/=（）的關系存在嗎？試驗之。

1.17在平方反比引力問題中，勢能曲線應具有什么樣的形狀？

1.18我國發(fā)射的第?顆人造地球衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面的交角為68.5。，比蘇義及美國第

一次發(fā)射的都要大。我們說，交角越大，技術要求越高，這是為什么？又交角大的優(yōu)點是什么？

1.19盧瑟福公式對引力庫侖場來講也能適用嗎？為什么？

第一章思考題解答

1.1答：平均速度是運動質點在某一時間間隔/+A1內位矢大小和方向改變的平均快慢速度，其方

向沿位移的方向即沿加對應的軌跡割線方向：瞬時速度是運動質點在某時刻或某未知位矢和方向變化

的快慢程度其方向沿該時刻質點所在點軌跡的切線方向。在&->0的極限情況，二者一致，在勻速直

線運動中二者也一致的。

1.2答：質點運動時，徑向速度V,'和橫向速度Ve的大小、方向都改變，而勺中的1：只反映了V,本身大

小的改變，%中的廠在+,電只是V。本身大小的改變。事實上，橫向速度V。方向的改變會引起徑向速度

V,大小大改變，rd就是反映這種改變的加速度分量;經向速度V,的方向改變也引起Ve的大小改變,

另一個/?。即為反映這種改變的前速度分量，故>一/招2,6=,不+2戶女。這表示質點的徑向與

橫向運動在相互影響，它們一起才能完整地描述質點的運動變化情況

13答：內稟方程中，明是由于速度方向的改變產生的，在空間曲線中，由于a恒位于密切面內，速度

v總是沿軌跡的切線方向，而4垂直于v指向曲線凹陷一方，故?！笨偸茄刂ň€方向。質點沿空間曲

線運動時，4-4Oz何與牛頓運動定律不矛盾。因質點除受作用力F，還受到被動的約反作用力

R,二者在副法線方向的分量成平衡力與1R〃=O,故牝=0符合牛頓運動率.有人會問：約束反作

用力靠誰施加，當然是與質點接觸的周圍其他物體由于受到質點的作用而對質點產生的反作用力。有人

也許還會問：某時刻假設《與此大小不等，即就不為零了？當然是這樣，但此時刻質點受合力的方向

與原來不同，質點的位置也在改變，副法線在空間中方位也不再是原來為所在的方位，乂有了新的副

法線，在新的副法線上仍滿足5,十七=0即％=0。這反映了牛頓定律得瞬時性和矢量性，也反映了

自然坐標系的方向雖質點的運動而變。

L4答：質點在直線運動中只有4而無％,質點的勻速曲線運動中只有%而無4；質點作變速運動時

即有。又有%。

1.5答：包即反響位矢r大小的改變又反映其方向的改變，是質點運動某時刻的速度矢量，而立只表

dtdt

示r大小的改變。如在極坐標系中，包=月+廠4而立二＞。在直線運動中，規(guī)定了直線的正方向后，

—=—O且如的正負可表示它的指向，二者都可表示質點的運動速度；在曲線運動中包工生

巨絲也表示不了”的指向，二者完全不同。

史表示質點運動速度的大小，方向的改變是加速度矢量，而也只是質點運動速度大小的改變。在直

dtdt

線運動中規(guī)定了直線的正方向后，二者都可表示質點運動的加速度；在曲線運動中，二者不同，

1.6答：不管人是靜止投籃還是運動投籃，球對地的方向總應指向籃篋，其速度合成如題1.6

圖所示，故人以速度V向球網(wǎng)前進時應向高于籃筐的方向投出。靜止投籃是直接向籃筐投出，〔事實上

要稍高一點，使球的運動有一定弧度，便于投籃）。

1.7答：火車中的人看雨點的運動，是雨點的勻速下落運動及向右以加速度。的勻速水平直線運動的合

成運動如題1.7圖所示，

o'x'y是固定于車的坐標系，雨點相對年的加速度a'=-a，其相對運動力程《-2消去/的軌跡

y'=vt

如題圖，有人會問：車上的人看雨點的軌跡是向上凹而不是向下凹呢？因加速度總是在曲線凹向的內側,

才垂直于V'方向的分量a；在改變著V'的方向，該軌跡上凹。

1.8答：設人覺察干落水時，船己上行（，上行時船的絕對速度匕后-V水，那么

船反向追趕竿的速度v船十匕小設從反船到迫上竿共用時間那么

（V明+V水）f=600+s'②

又竿與水同速，那么

K水（2+，）=600③

①十③:②得

1.9答：不一定一致，因為是改變物體運動速度的外因，而不是產生速度的原因，加速度的方向與合外

力的方向一致。外力不但改變速度的大小還改變速度的方向，在曲線運動中外力與速度的方向肯定不一

致，只是在加速度直線運動二者的方向一致。

1.10答：當速度與物體受的合外力同一方位線且力矢的方位線不變時，物體作直線運動。在曲線運動中

假設初速度方向與力的方向不一致，物體沿出速度的方向減速運動，以后各時刻既可沿初速度方向運動，

也可沿力的方向運動，如以一定初速度上拋的物體，開始時及上升過程中初速度的方向運動，到達最高

點下落過程中沿力的方向運動。

在曲線運動中初速度的方向與外力的方向不一致，物體初時刻速度沿初速度的反方向，但以后既不會沿

初速度的方向也不會沿外力的方向運動，外力不斷改變物體的運動方向，各時刻的運動方向與外力的方

向及初速度的方向都有關。如斜拋物體初速度的方向與重力的方向不?致，重力的方向決定了軌道的形

狀開口下凹，初速度的方向決定了射高和射程。

1.11答：質點僅因重力作用沿光滑靜止曲線下滑，到達任意點的速度只和初末時刻的高度差有關，因重

力是保守力，而光滑靜止曲線給予質點的發(fā)向約束力不做功，因此有此結論

假設曲線不是光滑的，質點還受到摩擦力的作用，摩擦力是非保守力，摩擦力的功不僅與初末位置有關,

還與路徑有關，故質點到達任一點的速度不僅與初末高度差有關，還與曲線形狀有關。

1.12答：質點被約束在一光滑靜止的曲線上運動時，約束力的方向總是垂直于質點的運動方向，故約束

力不做功，動能定理或能量枳分中不含約束力，故不能求出約束力。但用動能定理或能量積分可求出質

點在某位置的速度，從而得出〃，有牛頓運動方程/+R=ma便可求出R,即為約束力

nnnnn

1.13答：動量

動能

1.14答：

故

L15答：動量矩守恒意味著外力矩為零，但并不意味著外力也為零，故動量矩守恒并不意味著動量也守

恒。如質點受有心力作用而運動動量矩守恒是由于力過力心，力對力心的矩為零，但這質點受的力并不

為零，故動量不守恒，速度的大小和方向每時每刻都在改變。

L16答：假設尸=尸卜），在球坐標系中有

由于坐標系的選取只是數(shù)學手段的不同，它不影響力場的物理性質，故在三維直角坐標系中仍有

VxF=0的關系。在直角坐標系中

故

事實上據(jù)算符的性質，上述證明完全可以簡寫為

這說明有心力場星無旋場記保守立場

1.17答平方反比力場中系統(tǒng)的勢能丫卜）=_起，其勢能曲線如題圖1.17圖所示，

r

由T+y（r）=E知r=E-V（"因7>0,故有E>V（r）?

假設E<0，其勢能曲線對應于近日點rmjn和遠日點聯(lián)容之間的一段。近日點處E-V（r）-7即

為進入軌道需要的初動能假設E>0那么質點的運動無界，對應于雙曲線軌道的運動；假設石=0位于

有界和無界之間，對應于拋物線軌道的運動；這兩種軌道的運動都沒有近日點，即對大的廠質點的運動

是無界的，當〃很大時v（r）.0,還是選無限遠為零勢點的緣故，從圖中可知，做雙曲軌道運動比拋

物軌道和橢圓軌道需要的進入軌道需要的動能要大。事實及理論都證明，平方反比引力場中質點的軌道

正是取決于進入軌道時初動能的大小

由

得

即速度V的大小就決定了軌道的形狀，圖中（心，4對應于進入軌道時的到達第一二三宇宙速度所需的

能量由于物體總是有限度的，故廠有一極小值既相互作用的二質點不可能無限接近，對于人造衛(wèi)星

的發(fā)射（其為地球半徑。7；）=七-1/（r）為地面上發(fā)射時所需的初動能，圖示41,7；2,7；）3分別為使衛(wèi)星

進入軌道時到達一二三宇宙速度在地面上的發(fā)射動能。（g-1）i=1,2,3.為進入軌道前克服里及空氣

阻力做功所需的能量.

1.18答：地球附近的物體都受到隨地球自轉引起的慣性離?心力的作用，此力的方位線平行于赤道平面，

指向背離地軸。人造地球衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面的夾角越大，那么衛(wèi)星的慣性離心力與軌道平

面的家教越大，運動中受的影響也越大，對衛(wèi)星導向控制系統(tǒng)的要求越高。交角越大，對地球的直接探

測面積越大，其科學使用價值越高。

1.19答：對庫侖引力場有_1〃停2一幺=E，其中/=三二若V?）竺，則，E〉0,軌道是雙曲線的一點,

27*4在（）r

與斥力情況相同，盧瑟福公式也適用，不同的是引力情況下力心在雙曲線凹陷方位內側；假設

產三竺,則EWO,軌道橢圓國〈0）或拋物線（￡=0）,盧瑟福公式不適用，仿照課本上的推證方法，

r

在入射速度匕〉生的情況卜即可得盧瑟福公式。近代物理學的正，負粒子的對撞試驗可驗證這一結論

r

的近似正確性。

第一章習題

L1沿水平方向前進的槍彈，通過某一距離s的時間為而通過下一等距離s的時間為『.試證明槍彈

的減速度〔假定是常數(shù)）為

1.2某船向東航行，速率為每小時15km,在正午某一燈塔。另一船以同樣速度向北航行，在下午1時30

分經過此燈塔。問在什么時候，兩船的距離最近？最近的距離是多少？

1.3曲柄西=幾以勻角速/繞定點0轉動。此曲柄借連桿AB使滑塊B沿直線。工運動。求連桿上0點

的軌道方程及速度。設從0=而=&，ZAOB=(p,Z,ABO=i//o

第1.3題圖

1.4細桿OL繞。點以角速。轉動，并推動小環(huán)C在固定的鋼絲.A8上滑動。圖中的d為常數(shù)，試求小

球的速度及加速度的量值。

1.5礦山升降機作加速度運動時，其變加速度可用卜.式表示：

式中c及丁為常數(shù)，試求運動開始/秒后升降機的速度及其所走過的路程。升降機的初速度為零。

1.6一質點沿位失及垂直于位失的速度分別為4〃及〃夕，式中4及〃是常數(shù)。試證其沿位矢及垂直于位

失的加速度為

1.7試自

出發(fā)，計算工及y。并由此推出徑向加速度/及橫向加速度為。

1.8直線尸M在?給定的橢圓平面內以勻角速切繞其焦點尸轉動。求此直線與橢圓的焦點M的速度。

以焦點為坐標原點的橢圓的極坐標方程為

式中。為橢圓的半長軸，e為偏心率，都是常數(shù)。

1.9質點作平面運動，其速率保持為常數(shù)。試證其速度矢量v與加速度矢量。正交。

1.10一質點沿著拋物線y2=2px運動其切向加速度的最值為法向加速度顯值的_2攵倍。如比質點從正

焦弦(5,p)的一端以速度〃出發(fā)，試求其到達正焦弦另一端時的速率。

1.11質點沿著半徑為廠的圓周運動，其加速度矢量與速度矢量間的夾角a保持不變。求質點的速度隨時

間而變化的規(guī)律。出速度為％。

1.12在上題中，試證其速度可表為

式中。為速度矢量與X軸間的夾角，且當1=0時，0=0^

1.13假定一飛機從A處向東飛到B處，而后又向西飛回原處。飛機相對于空氣的速度為/，而空氣相

對于地面的速度為%。A與8之間的距離為/。飛機相對于空氣的速度/保持不變。

(〃)假定匕,=。，即空氣相對于地面是靜止的，試證來回飛行的總時間為

G)假定空氣速度為向東(或向西)，試證來回飛行的總時間為

(c)假定空氣的速度為向北［或向南)，試證來回飛行的總時間為

1.14一飛機在靜止空氣中每小時的速率為100千米。如果飛機沿每邊為6千米的正方形飛行，且風速

為每小時28千米，方向與正方形的某兩邊平行，那么飛機繞此正方形飛行一周，需時多少？

1.15當一輪船在雨中航行時，它的雨篷遮著篷的垂直投影后2米的甲板，篷高4米。但當輪船停航時，

甲板上干濕兩局部的分界線卻在篷前3米。如果雨點的速度為8米/杪，求輪船的速率。

1.16寬度為Q的河流，其流速與到河岸的距離成iF比。在河岸外，水流速度為零,在河流中心處,其

值為c。一小船以相對速度〃沿垂直于水流的方向行駛，求船的軌跡以及船在對岸靠攏的地點。

1.17小船加被水沖走后，由一蕩槳人以不變的相對速度C2朝岸上4點劃回。假定河流速度G沿河寬

不變，且小船可以看成一個質點，求船的軌跡。

1.18一質點自傾角為。的斜面上方。點，沿一光滑斜槽QA下降。如欲使此質點到達斜面上所需的時

間為最短，問斜槽0A與豎直線所成之角°應為何值？

1.19將質量為m的質點豎直拋上于有阻力的媒質中。設阻力與速度平方成正比，即R=〃吠2且一。如上

拋時的速度為咻，試證此質點又落至投擲點時的速度為

1.20一槍彈以仰角a、初速度”自傾角為￡的斜面的卜端發(fā)射。試證子彈擊中斜面的地方和發(fā)射點的

距離d（沿斜面量取）及此距離的最大值分別為

V202（兀P\

d=—sec--------|。

m”2g（42）

1.21將一質點以初速％拋出，環(huán)與水平線所成之角為Q。此質點所受到的空氣阻力為其速度的相攵倍,

〃，為質點的質量，憶為比例系數(shù)。試求當此質點的速度與水平線所成之角又為a時所需的時間。

1.22如向互相垂直的勻強電磁場E、8中發(fā)射一電子，并設電子的初速度V與E及5垂直,試求電子

的運動規(guī)律。此電子所受的力為e（E+yxB），式中E為電場強度，e為電子所帶的電荷，u為任一瞬

時電子運動的速度。

1.23在上題中，如

（a）3=0,那么電子的軌道為在豎直平面（xy平面）的拋物線；

（歷如E=0,那么電子的軌道為半徑等于叱的圓。試證明之。

eB

1.24質量為〃?與的兩質點，為一不可伸長的輕繩所聯(lián)結，繩掛在一光滑的滑輪上。在川的下端又

用固有長度為4、倔強系數(shù)女為鱉的彈性繩掛上另外一個質最為加的質點。在開始時，全體保持豎直,

a

原來的非彈性繩拉緊，而有彈性的繩那么處在固有的長度上。由此靜止狀態(tài)釋放后，求證這運動是簡諧

的，并求出其振動周期r及任何時刻兩段繩中的張力丁及廠。

1.25滑輪上系一不可伸長的繩，繩上懸一彈簧，彈簧另一端升一重為卬的物體。當滑輪以勻速轉動時，

物體以勻速%下降。如將滑輪突然停住，試求彈簧的最大伸長及最大張力。假定彈簧受W的作用時的

靜伸長為4。

1.26■—彈性繩上端固定，下端懸有m及M兩質點。設a為繩的固有長度，b為加"?后的伸長，c為加

加后的伸長。今將加任其脫離而下墜，試證質點〃?在任一瞬時離上端O的距離為

1.27一質點自一水平放置的光滑固定圓柱面凸面的最高點自由滑下。問滑至何處，此質點將離開圓柱

面？假定圓柱體的半徑為廣。

1.28重為W的不受摩擦而沿半長軸為〃、半短軸為人的橢圓弧滑下,此橢圓的短軸是豎百倍。如小球

白長2軸的端點開始運動時，其初速度為零，試求小球在到達橢圓的最低點時它對橢圓的壓力。

1.29一質量為加的質點自光滑圓滾線的尖端無初速地下滑。試證在任何一點的壓力為2〃吆COS。，式

中0為水平線和質點運動方向間的夾角。圓滾線方程為

1.30在上題中，如圓滾線不是光滑的，且質點自圓滾線的尖端自由下滑，到達圓滾線的最低點時停止運

動，那么摩擦系數(shù)〃應滿足下式

試證明之。

131假定單擺在有阻力的媒質中振動，并假定振幅很小，故阻力與8成正比，且可寫為R=_2mk而，

式中加是擺錘的質量，/為擺長，左為比例系數(shù)。試證當A2V彳時，單擺的振動周期為

1.32光滑楔子以勻加速度劭沿水平面運動。質量為小的質點沿楔子的光滑斜面滑下。求質點的相對加

速度a'和質點對楔子的壓力p。

133光滑鋼絲圓圈的半徑為一其平面為豎直的。圓圈上套一小環(huán)，其中為卬。如鋼絲圈以勻加速度。

沿豎直方向運動，求小環(huán)的相對速度V,及圈對小環(huán)的反作用力R。

134火車質量為〃?，其功率為常數(shù)攵。如果車所受的阻力/為常數(shù)，那么時間與速度的關系為：

如果/和速度丫成正比，那么

式中％為初速度，試證明之。

135質量為〃?的物體為一錘所擊。設錘所加的壓力，是均勻地增減的。當在沖擊時間r的一半時，增

至極大值戶，以后又均勻減小至零。求物體在各時刻的速率以及壓力所作的總功。

136檢驗以下的力是否是保守力。如是，那么求出其勢能。

32342

(C7)Fx=6abz3y-20bxy，F(xiàn)y=babxz-10bxy，F(xiàn):=\Sabxyz

137根據(jù)湯川核力理論，中子與質子之間的引力具有如下形式的勢能：

V(r)=—,^<0

r

試求

(〃)中子與質子間的引力表之式，并與平方反比定律相比較；

(/?)求質量為〃?的粒子作半徑為。的圓運動的動量矩/及能量￡>

138作用在質點上的力為

式中系數(shù)為(i,)=1,2,3)都是常數(shù)。問這些％應滿足什么條件，才有勢能存在？如這些條件滿足，試計

算其勢能。

139一質點受一與距離3次方成反比的引力作用在一直線上運動。試證此質點自無窮遠到達。時的速

2

率和白。靜止出發(fā)到達-時的速率相同。

4

1.40一質點受一與距離成反比的引力作用在一百線卜運動.求其到達°點所需的時間.

1.41試導出下面有心力量值的公式：

式中加為質點的質點，「為質點到力心的距離，〃=〃2往=常數(shù)，〃為力心到軌道切線的垂直距離。

1.42試利用上題的結果，證明：

(〃)如質點走一圓周，同時力心位于此圓上，那么力與距離五次方成反比。

(切如一質點走一對數(shù)螺線，而其質點即力心，那么力與距離立方成反比。

1.43質點所受的有心力如果為

式中〃及1/都是常數(shù)，并且yV/?2,那么其軌道方程可寫成

試證明之。式中公二之上,〃二”,6=4嬖(A為積分常數(shù))。

1V//-//-

1.45如6“及%為質點在遠日點及近日點處的速率，試證明

6P:L=(l+e):(1-e)

1.46質點在有心力作用下運動。此力的量值為質點到力心距離廠的函數(shù)，而質點的速率那么與距離成反

比，即〃=幺。如果/>a2(/?=，句，求點的軌道方程。設當〃時，

1.47(〃)某彗星的軌道為拋物線，其近日點距離為地球軌道(假定為圓形)半徑的工。那么比彗星運行

n

時，在地球軌道內停留的時間為一年的

倍，試證明之。

(b)試再證任何作拋物線軌道的彗星停留在地球軌道(仍假定為圓形)內的最長時間為一年的Z倍,

34

或約為76日。

1.48試根據(jù)§1.9中所給出的我國第一顆人造地球衛(wèi)星的數(shù)據(jù).求此衛(wèi)星在近地點和遠地點的速率匕及

v2以及它繞地球運行的周期r(參看79頁)。

1.49在行星繞太陽的橢圓運動中，如令a-r=aecosE,J巴/，=/，式中r為周期，。為半長軸，e為

偏心率，石為一個新的參量，在天文學上叫做偏近點角。試由能量方程推出下面的開普勒方程：

1.50質量為根的質點在有心斥力場me中運動，式中7?為質點到力心O的距離，C為常數(shù)。當質點離O

很遠時，質點的速度為匕3而其漸進性與O的垂直距離那么為夕(即瞄準距離)。試求質點與。的最

近距離

第一章習題解答

1.1由題可知示意圖如題圖:

設開始計時的時刻速度為飛，由題可知槍彈作勻減速運動設減速度大小為a.

那么有：

由以上兩式得

再由此式得

證明完畢.

1.2解由題可知，以燈塔為坐標原點建立直角坐標如題圖.

設A船經過2小時向東經過燈塔,那么向北行駛的8船經過小時經過燈塔任意時

刻A船的坐標

%人=一（152一15。，yA=0

B船坐標為=0?

那么船間距離的平方

即

不對時間/求導

AB船相距最近，即如3=o,所以

dt

即午后45分鐘時兩船相距最近最近距離

'7闖+叵沁聯(lián)m

1.3解⑴如題圖

由題分析可知，點c的坐標為

又由于在AAOB中，有」一=且（正弦定理）所以

sini//sin。

聯(lián)立以上各式運用

由此可得

得

得

化簡整理可得

此即為C點的軌道方程.

（2）要求?點的速度，分別求導

其中

又因為

對兩邊分別求導

故有

所以

L4解如題圖所示，

0L繞0點以勻角速度轉動，C在A3上滑動，因此C點有一個垂直桿的速度分量

C點速度

又因為8=3所以C點加速度

1.5解由題可知，變加速度表示為

由加速度的微分形式我們可知

代入得

對等式兩邊同時積分

可得：

v=ct+4-D（￡）為常數(shù)）

712T

代入初始條件：/=0時，v=o，故

即

又因為

所以

對等式兩邊同時積分，可得:

1.6解由題可知質點的位矢速度

v?=々①

沿垂直于位矢速度

又因為V//=r=,即

v±=a=〃夕即占二政

r

a=—=—（ri）+—（r^）（取位矢方向i，垂直位矢方向j）

dtdtdtv

所以

故

即沿位矢方向加速度

垂直位矢方向加速度

對③求導

對④求導

把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得

1.7解由題可知

』cosO①一②

y=rsin。

對①求導

x=rcosO-rsin6。③

對③求導

x=尸cos。一2『&sin夕一rdsin9一〃82cose④

對②求導

y=rsin0+，Ocos0⑤

對⑤求導

y=產sin0+2>Jcos0+rOcosO-rd1sin0⑥

對于加速度〃，我們有如下關系見題圖

即

x=arcos。+a0sin0⑦一⑧

y=arsinO+a?cos￡

對⑦⑧倆式分別作如下處理：⑦xcos。，⑧xsin。

即得

寵cos。=arcos。-a0sin6cos。.、彳◎

j；sin。=arsin6+傳sin夕cos。

⑨+⑩得

ar=Acos。+/sin。（"）

把④⑥代入（11）得

同理可得

1.8解以焦點產為坐標原點，運動如題圖所示］

那么用點坐標

對X,），兩式分別求導

故

如下圖的橢圓的極坐標表示法為

對廠求導可得（利用8=又因為

即

所以

故有

即

（其中從/為橢圓的半短軸）

L9證質點作平面運動，i殳速度表達式為

令為位矢與軸正向的夾角，所以

所以

又因為速率保持為常數(shù)，即

R+*=c,c為常數(shù)

對等式兩邊求導

所以

即速度矢量與加速度矢量正交.

L10解由題可知運動軌跡如題圖所示，

弗么質點切向加速度

法向加速度a=—，而且有關系式

n

P

色=-2kE①

dtp

又因為

工」②

P（"y咔

所以

y'E③

y

y〃=_（④

y

聯(lián)立①?③④

p’

—=-2kv2

dt

（y~J

又

把y2=2px兩邊對時間求導得

又因為

所以

,2V2

丁二丁⑥

14-2_

P2

把⑥代入⑤

既可化為

對等式兩邊積分

所以

L11解由題可知速度和加速度有關系如下圖

兩式相比得

即

對等式兩邊分別積分

即

此即質點的速度隨時間而變化的規(guī)律.

1.12證由題1.11可知質點運動有關系式

v2.

—=osina

/①②

civ

——=acosa

、力

所以包=包.也=也。，聯(lián)立①②，有

dtd0dtd0

又因為

所以包=的1團。，對等式兩邊分別積分，利用初始條件,=（）時，

v

1.13證3）當？=0，即空氣相對地面上靜止的，有v圣=丫相+v牽.式中I，絕

質點相對靜止參考系的絕對速度，飛指向點運動參考系的速度，y牽指運動參考系相對

靜止參考系的速度.

可知飛機相對地面參考系速度：/即飛機在艦作勻速直線運動.所以飛機來回飛

行的總時間

2/

(人)假定空氣速度向東，那么當飛機向東飛行時速度

飛行時間

當飛機向西飛行時速度

飛行時間

故來回飛行時間

即

同理可證，當空氣速度向西時，來回飛行時間

(c)假定空氣速度向北.由速度矢量關系如題圖

所以來回飛行的總時間

同理可證空氣速度向南時，來回飛行總時間仍為

1.14解正方形如題圖。

由題可知i=%=2Skm/h設風速A_3，丫相=100km/h1當匕機

Af8，v]=(100+28)km/h=128km/h

故飛機沿此邊長6攵〃〃〃正方形飛行一周所需總時間

L15解船停止時，干濕分界線在蓬前3,由題畫出速度示意圖如題.15.1圖

故

又因為4+/=]，所以

由圖可知

所以

v^(sinacosp+sinpcosa)=8/

匕"cosa

L16解以一岸邊為無軸，垂直岸的方向為)，軸.建立如題圖所示坐標系.

所以水流速度

乂因為河流中心處水流速度為c

所以％=主。當0<y?色時，L=仝），即

d---2水八

dx2c

＜了二下①一②

y=ut

得小現(xiàn)出，兩邊積分

d

.在③

聯(lián)立②③，得

x=—y2fo<y<—④

nd'v2,

同理，當d之y24時，y水二空（］_y）即

2'd

X=Z￡y_Q+D（。為一常數(shù)）⑤

uud

由④知，當y=U時，”=理代入⑤得

2’4”

有

2cC）廣cdd,

x=——y~——--'

uud2〃

所以船的軌跡

船在對岸的了；靠攏地點，即）,=d時有”里

'2u

1.17解以A為極點，岸為極軸建立極坐標如題.17.1圖.

船沿垂直于r的方向的速度為—Gsin。，船沿徑向r方向的速度為C2和C|沿徑向的分量的

合成，即

r-=-C]sin。

dt①一②

—=C.cos-C

[dt1

②/①得如=——-----cot（p\d（pf對兩積分:

rIC.sin^%）*

設G=Z,四=%C為常數(shù)，即

G2

,?I

代入初始條件廠=%時，°=夕0.設”=。0,有C=In"-In$1n一°,得

22cos

1.18解如題圖

質點沿QA下滑，由受力分析我們可知質點下滑的加速度為〃=gcose.設豎直線05=6,

余I?槽O4=s，易知/08/4=巳-0,/0248=工一。十夕,，由正弦定理

22

即

一呼sa①

cos（O-a）

又因為質點沿光滑面OA下滑，即質點做勻速直線運動.

所以

S=；々/=；gCOS夕2②

有①②

欲使質點到達A點時間最短，由產=——2hcosa_可知，只需求出cos°cose-a）的極

geosOcos（。-a）

大值即可，令

把y對6求導

極大值時@=0，故有

dG

由于是斜面的夾角，即0NaN&,0N"出

所以

1.19解質點從拋出到落回拋出點分為上升和下降階段.取向上為正各力示意圖如題圖，

上升時下降時

題圖

那么兩個過程的運動方程為：

上升

my=mg-nik1gy2?

下降：

-my=-mg+ink2gy2?

對上升階段：

即

對兩邊積分

所以

1

h=]1[（1+攵飛）③

2k2g

即質點到達的高度.

對下降階段：

即

1

h=In（1-父用④

2k2g

由③二④可得

L20解作子彈運動示意圖如題圖所示.

題圖

水平方向不受外力，作勻速直線運動有

dcos0=%cosat①

豎直方向作上拋運動，有

2

dsin=v0sinat--gt?

由①得

v0cosa

代入化簡可得

因為子彈的運動軌跡與發(fā)射對仰角a有關，即〃是a的函數(shù)，所以要求〃的最大值.把〃對

a求導，求出極值點.

即

所以代入的表達式中可得：

42

此即為子彈擊中斜面的地方和發(fā)射點的距離”的最大值

1.21解阻力一直與速度方向相反，即阻力與速度方向時刻在變化，但都在軌道上沒點切

線所在的直線方向上，故用自然坐標比用直角坐標好.

軌道的切線方向上有：

in—=-inkv-mgsin。①

凱道的法線方向上有:

2

m-=mgcos。②

r

由于角是在減小的，故

一農③

dO

由于初末狀態(tài)由速度與水平方向夾角e來確定，故我們要想法使①②變成關于e的等式

由①

即

=一〃Mu—mgsin9@)

把代入可得

m\T—=-mgcos。⑤

ds

用④.⑤可得

即dgcos嘰kd。,兩邊積分得

v2cos20geos*

------!——=—tan+C?

ucos。g

代入初始條件r=0時，。二口小二%即可得

代入⑥式，得

g%cosa

v=⑦

cos0["cos(lana-tant?)+

2

又因為u=①r,m匚=mgcos。

所以

。=幽￡￡￡^⑧

—dtv

把⑦代入⑧

積分后可得

1.22各量方向如題圖.

電子受力

那么電子的運動微分方程為

trix=evyB=eBy

<my=eE-evxB=eE-eBx②一③一④

mz=0

由②〃,也=(為包，，即［‘憶=~^7

dtdt加J。dy

vv=-y+V?

m

代入③整理可得

nrm

對于齊次方程j；+II"y=0的通解

tn2

非齊次方程的特解

所以北齊次方程的通解

(y-?

代入初始條件：7=0時，＞，=0得4=m

eB\B

1=0時，v、.=0得4=0，故

m(EyeBmVmE今

y=—V——cos—t-------+-

eB\BJineBeB，

同理，把⑦代入⑤可以解出

把⑦代入⑤

代入初條件.=0時，工=0，得C=0.所以

mE

x=一展與加以+與)

eByB)mB

1.23證(a)在1.22題中，3=0時，那么電子運動受力尸=e與電子的運動微分方程

mx=0

my=eE①-②-③

niz=0

對②積分

"嗎+G④

m

對④再積分

又

故

z=0

.eEx2（C=G+C?為一常數(shù)）

y=----+C

/2mv

此即為拋物線方程.

G）當E=0時

那么電子受力

那么電子的運動微分方程為

〃戊=eBvy

<my=—eBvx①一②-③

inz-0

同1.22題的解法，聯(lián)立①-②解之，得

于是

及電子軌道為半徑的圓叱.

eB

L24解以疑直向下為正方向，建立如題圖所示坐標，

題圖題1.24.2圖

以①開始所在位置為原點.設①-②-③處物體所處坐標分別為x，%,心，那么3個物體運動

微分方程為：

mg-T'=my1

?T'+mg-T=my2①-②-③

2〃ig-T=2my3

由②于③與、之間是，即不可伸長輕繩連接，所以有力二_%，即

y=-y?

之間用倔強系數(shù)k=巡彈性繩聯(lián)結.

a

故有

r=/1-%-4）=避（必-乂-。）⑤

a

由①⑤得

凡=-沙f)+2g⑥

由②③④得

T'=3my2+mg⑦

代入①，有

%=-3%⑧

代入⑥，有

=s?

3a

此即為簡諧振動的運動方程.

角頻率

所以周期

解⑨得

以初始時③為原點，,=0時，y=0,夕］=0.所以

V.=——acoscot4--6Z@

144

代入①得

聯(lián)立-③④⑧⑩得

L25解，選向下為正方向，滑輪剛停時物體所在平衡位置為坐標原點.建立如題.25.1圖所

示坐標系.

題圖

原點的重力勢能設為。.設彈簧最大伸長”?整個過程中，只有重力做功，機械能守恒：

2nl

1W21-2W,\1.2

Uf①一②

2-V0+-U(.=-J^-(4ax-4)+2max

W=U(1

聯(lián)立①②得

彈簧的最大張力即為彈簧伸長最長時的彈力，Tmax為最大張力，即

L26解以繩頂端為坐標原點.建立如題圖所示坐標系.

題圖

設繩的彈性系數(shù)為人那么有

mg=kb?

當加脫離下墜前，加與加系統(tǒng)平衡.當T脫離下墜前，團在拉力丁作用下上升，之后作

簡運.運動微分方程為

nig—k(y-a)=時

聯(lián)立①②得

齊次方程通解

非齊次方程③的特解

所以③的通解

代入初始條件：/=0時，y=a+/?+c,得A=C，4=0；故有

即為〃7在任一時刻離上端O的距離.

1.27解對于圓柱凸面上運動的質點受力分析如圖1-24.

運動的軌跡的切線方向上有：

〃吆sin9=m與①

法線方向上有：

mgcos。-N=②

對于①有”抽。=包=包包J為運動路程，亦即半圓柱周圍弧長）即

dtds