第3章幾何組成分析本章介紹平面桿件體系的幾何組成分析內(nèi)容包括幾何組成

第3章幾何組成分析【內(nèi)容提要】本章介紹平面桿件體系的幾何組成分析，內(nèi)容包括幾何組成分析的目的，幾何不變體系的組成規(guī)則，判別體系是否幾何不變，正確區(qū)分靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)。本章是以后進(jìn)行結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算的基礎(chǔ)。1、了解幾何不變體系和幾何可變體系的概念。2、理解幾何不變體系的基本組成規(guī)則。3、能對(duì)一般的平面桿件體系進(jìn)行幾何組成分析。4、了解靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)的概念。5、了解平面桿件結(jié)構(gòu)的分類?！緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】桿件結(jié)構(gòu)是由若干桿件按一定規(guī)律互相連接在一起而組成，用來(lái)承受荷載作用的體系。有些桿件體系是不能作為結(jié)構(gòu)的。例如，建筑工地上常見(jiàn)的扣件式鋼管腳手架都不會(huì)搭成如圖3.1（a）所示的形式，因?yàn)檫@樣的架子是很容易倒塌的，必須再加上一些斜桿，搭成如圖3.1（b）所示的形式才能穩(wěn)當(dāng)可靠。

3.1概述3.1.1

幾何不變體系和幾何可變體系在荷載作用下，材料會(huì)產(chǎn)生應(yīng)變，因而結(jié)構(gòu)會(huì)變形，這種變形與結(jié)構(gòu)的尺寸相比是很微小的，在幾何組成分析中，我們不考慮這種變形的影響。在上述前提下，體系可分為兩類：

1)

在任意荷載作用下，其原有的幾何形狀和位置保持不變的，稱為幾何不變體系。2)

在任意荷載作用下，其幾何形狀和位置發(fā)生變化的，稱為幾何可變體系。●工程結(jié)構(gòu)必須是幾何不變體系，決不能采用幾何可變體系。3.1.2幾何組成分析的目的分析體系的幾何組成，以確定它們屬于哪一類體系，稱為體系的幾何組成分析。作這種分析的目的在于：

（1）判別某一體系是否幾何不變，從而決定它能否作為結(jié)構(gòu)；

（2）研究幾何不變體系的組成規(guī)則，以保證所設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)是幾何不變的；

(3)正確區(qū)分靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)，為結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算打下必要的基礎(chǔ)。3.1.3剛片、自由度和約束的概念由于不考慮材料的應(yīng)變，故可將每一根桿件視為剛體，在平面體系中又把剛體稱為剛片。體系中已被肯定為幾何不變的某個(gè)部分，也可看成是一個(gè)剛片。支承體系的基礎(chǔ)也可看成是一個(gè)剛片。1.剛片一個(gè)體系的自由度，是指該體系在運(yùn)動(dòng)時(shí)，確定其位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。確定平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的位置需用兩個(gè)坐標(biāo)x和y。平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)有2個(gè)自由度。2.自由度xyoxy平面內(nèi)一個(gè)剛片的位置可由它上面的任一個(gè)點(diǎn)A的坐標(biāo)x、y和過(guò)點(diǎn)A的任一直線AB的傾角

來(lái)確定。平面內(nèi)一個(gè)剛片有3個(gè)自由度。xyoxy

約束是剛片和剛片之間的某種聯(lián)結(jié)裝置，是限制體系運(yùn)動(dòng)的一種條件。顯然，體系由于加入約束而使自由度減少。以后我們把能減少一個(gè)自由度的裝置稱為一個(gè)約束。

(1)一根鏈桿相當(dāng)于一個(gè)約束

3.約束對(duì)自由度的影響如果用一根鏈桿將剛片與基礎(chǔ)相聯(lián)結(jié)，則剛片在鏈桿方向的運(yùn)動(dòng)將被限制。但此時(shí)剛片仍可進(jìn)行兩種獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)，即鏈桿AC繞C點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)以及剛片繞A點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。加入鏈桿后，剛片的自由度減少為兩個(gè)?？梢?jiàn)一根鏈桿可減少一個(gè)自由度，故一根鏈桿相當(dāng)于一個(gè)約束。xyoCAI如果在點(diǎn)A處再加一根水平鏈桿，即點(diǎn)A處成為一個(gè)固定鉸支座，則剛片只能繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，其自由度減少為一個(gè)?？梢?jiàn)一個(gè)固定鉸支座可減少兩個(gè)自由度，故一個(gè)固定鉸支座相當(dāng)于兩個(gè)約束。(2)一個(gè)固定鉸支座相當(dāng)于兩個(gè)約束xyoAI(3)一個(gè)固定端支座相當(dāng)于三個(gè)約束如果在點(diǎn)A處再加一個(gè)阻止剛片轉(zhuǎn)動(dòng)的約束，則點(diǎn)A處成為一個(gè)固定端支座，剛片的自由度等于零?？梢?jiàn)一個(gè)固定端支座相當(dāng)于三個(gè)約束。xyoAI(4)一個(gè)單鉸相當(dāng)于兩個(gè)約束

如果用一個(gè)鉸A將剛片Ⅰ與剛片Ⅱ相聯(lián)結(jié)，設(shè)剛片Ⅰ的位置可以由點(diǎn)A的坐標(biāo)x、y和傾角

1確定，由于點(diǎn)A是兩剛片的共同點(diǎn)，則剛片Ⅱ的位置只需用傾角

2就可以確定。因此，兩剛片原有的6個(gè)自由度就減少為4個(gè)。聯(lián)結(jié)兩個(gè)剛片的鉸稱為單鉸?？梢?jiàn)一個(gè)單鉸相當(dāng)于兩個(gè)約束。(5)聯(lián)結(jié)n個(gè)剛片的復(fù)鉸，其作用相當(dāng)于（n

1）個(gè)單鉸

當(dāng)用一個(gè)鉸同時(shí)聯(lián)結(jié)兩個(gè)以上剛片時(shí)，這種鉸稱為復(fù)鉸。圖示三個(gè)剛片用復(fù)鉸聯(lián)結(jié)后，其自由度由原來(lái)的9個(gè)減少為5個(gè)。即點(diǎn)A處的復(fù)鉸減少了4個(gè)自由度，相當(dāng)于兩個(gè)單鉸的作用。一般來(lái)說(shuō)，聯(lián)結(jié)n個(gè)剛片的復(fù)鉸，其作用相當(dāng)于（n

1）個(gè)單鉸。

(6)虛鉸的作用與單鉸一樣，仍相當(dāng)于兩個(gè)約束

圖（a）剛片用兩根不平行的鏈桿與基礎(chǔ)相聯(lián)結(jié)，剛片只能繞兩鏈桿的延長(zhǎng)線之交點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)。在轉(zhuǎn)動(dòng)一微小角度后，點(diǎn)O到了點(diǎn)O′。這種由桿的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)而形成的鉸稱為虛鉸。當(dāng)體系運(yùn)動(dòng)時(shí)，虛鉸的位置也隨之改變，所以通常又稱它為瞬鉸。

（a）圖（b）中，剛片Ⅰ與剛片Ⅱ由兩根不平行的鏈桿相聯(lián)結(jié)，鏈桿的延長(zhǎng)線交點(diǎn)為O，兩剛片可繞虛鉸O發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。虛鉸的作用與單鉸一樣，仍相當(dāng)于兩個(gè)約束。

(7)多余約束對(duì)體系的自由度沒(méi)有影響

平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)A有兩個(gè)自由度，如果用兩根不共線的鏈桿將點(diǎn)A與基礎(chǔ)相聯(lián)結(jié)［圖(a)］，則點(diǎn)A減少兩個(gè)自由度，即被固定。(a)A如果用三根不共線的鏈桿將點(diǎn)A與基礎(chǔ)相聯(lián)結(jié)［圖(b)］，實(shí)際上仍只減少兩個(gè)自由度。(b)A如果在一個(gè)體系中增加一個(gè)約束，而體系的自由度并不因此而減少，則此約束稱為多余約束。圖(b)三根鏈桿中有一根是多余約束。多余約束對(duì)體系的自由度沒(méi)有影響。本節(jié)在平面桿件體系范圍內(nèi)，討論無(wú)多余約束的幾何不變體系的基本組成規(guī)則。所謂無(wú)多余約束是指體系內(nèi)的約束數(shù)目恰好使該體系成為幾何不變，只要去掉任意一個(gè)約束就會(huì)變成幾何可變體系。

3.2幾何不變體系的基本組成規(guī)則3.2.1基本組成規(guī)則

1二剛片連接規(guī)則兩剛片用不全交于一點(diǎn)也不全平行的三根鏈桿相互聯(lián)結(jié)，或用一個(gè)鉸及一根不通過(guò)鉸心的鏈桿相聯(lián)結(jié)，組成無(wú)多余約束的幾何不變體系。說(shuō)明:

三根鏈桿不能全交于一點(diǎn)三根鏈桿不能全平行鏈桿不能通過(guò)鉸心

在兩剛片之間加一個(gè)鉸，剛片Ⅰ、Ⅱ之間的相對(duì)移動(dòng)就被限制住了，但它們?nèi)钥蓢@鉸作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。ⅠⅡⅠⅡ再在它們之間加一根不過(guò)鉸心的鏈桿，則兩剛片之間就不可能有相對(duì)運(yùn)動(dòng)了，于是剛片Ⅰ和剛片Ⅱ就組成了一個(gè)無(wú)多余約束的幾何不變體系。由于一個(gè)單鉸相當(dāng)于二根鏈桿的作用，故兩剛片之間用三根鏈桿聯(lián)結(jié)，同樣也組成一個(gè)無(wú)多余約束的幾何不變體系。

ⅠⅡⅠⅡ當(dāng)兩剛片之間用三根鏈桿聯(lián)結(jié)時(shí)，若三根鏈桿同時(shí)匯交于一點(diǎn)A，則剛片Ⅰ、Ⅱ可以繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，體系是幾何可變的。

若三根鏈桿的延長(zhǎng)線同時(shí)匯交于點(diǎn)O，則剛片Ⅰ、Ⅱ可以繞點(diǎn)O發(fā)生瞬時(shí)相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，并在轉(zhuǎn)動(dòng)一微小角度后三根鏈桿不再匯交于同一點(diǎn)，這種發(fā)生微小位移后不再運(yùn)動(dòng)的體系稱為瞬變體系。瞬變體系是幾何可變體系的一種特殊情況。

若三根鏈桿互相平行且等長(zhǎng)，則剛片Ⅰ、Ⅱ可以沿著鏈桿垂直的方向發(fā)生相對(duì)平動(dòng)，體系是幾何可變的。若三根鏈桿相互平行但不等長(zhǎng)，則剛片Ⅰ、Ⅱ在發(fā)生一微小的相對(duì)位移后，三根鏈桿不再全平行，因而不再發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，故體系是瞬變體系。

2三剛片連接規(guī)則

三剛片用不在同一直線上的三個(gè)鉸兩兩相聯(lián)，組成無(wú)多余約束的幾何不變體系。說(shuō)明：

三個(gè)鉸不能在同一直線上

將剛片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ用不在同一直線上的A、B、C三個(gè)鉸兩兩相連，把剛片Ⅰ看作一根鏈桿，應(yīng)用二剛片聯(lián)結(jié)規(guī)則，圖(a)所示體系是幾何不變的，且無(wú)多余約束。將圖(a)中任一個(gè)鉸用兩根鏈桿代替，只要這些由兩根鏈桿所組成的實(shí)鉸或虛鉸不在同一直線上，這樣組成的體系也是無(wú)多余約束的幾何不變體系［圖(b)］。

若三個(gè)剛片用位于同一直線上的三個(gè)鉸兩兩相聯(lián)，設(shè)剛片Ⅰ不動(dòng)，則鉸C可沿以AC和BC為半徑的圓弧的公切線作微小的移動(dòng)。但在發(fā)生微小移動(dòng)后，三個(gè)鉸就不在同一直線上，體系不會(huì)繼續(xù)發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，故此體系是瞬變體系。

3加減二元體規(guī)則

利用三剛片聯(lián)結(jié)規(guī)則，圖示體系是幾何不變的。這個(gè)體系可看成是在剛片上通過(guò)兩根不共線的鏈桿聯(lián)結(jié)一個(gè)結(jié)點(diǎn)A組成的。這種用兩根不共線的鏈桿聯(lián)結(jié)一個(gè)結(jié)點(diǎn)的裝置稱為二元體。

由于一個(gè)結(jié)點(diǎn)的自由度等于2，而兩根不共線的鏈桿相當(dāng)于二個(gè)約束，因此增加一個(gè)二元體對(duì)體系的實(shí)際自由度沒(méi)有影響。同理，在一個(gè)體系上撤去一個(gè)二元體，也不會(huì)改變體系的幾何組成性質(zhì)。于是得到加減二元體規(guī)則：在一個(gè)體系上增加或減少二元體，不改變體系的幾何可變或不變性。3.2.2對(duì)瞬變體系的進(jìn)一步分析

雖然瞬變體系在發(fā)生一微小相對(duì)運(yùn)動(dòng)后成為幾何不變體系，但它不能作為工程結(jié)構(gòu)使用。這是由于瞬變體系受力時(shí)會(huì)產(chǎn)生很大的內(nèi)力而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞。

圖(a)所示體系在荷載F作用下，鉸C向下發(fā)生一微小位移而到達(dá)C＇位置。由圖(b)列出平衡方程

ΣX=0FBCcos

FACcos

=0得FBC=FAC=FN

ΣY=02FNsin

F=0得當(dāng)θ→0時(shí)，不論F有多小，F(xiàn)N→∞，這將造成桿件破壞。

●應(yīng)用基本組成規(guī)則進(jìn)行分析的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡x取基礎(chǔ)、體系中的桿件或可判別為幾何不變的部分作為剛片，應(yīng)用規(guī)則擴(kuò)大其范圍，如能擴(kuò)大至整個(gè)體系，則體系為幾何不變的；如不能的話，則應(yīng)把體系簡(jiǎn)化成二至三個(gè)剛片，再應(yīng)用規(guī)則進(jìn)行分析。

3.3幾何組成分析舉例●體系中如有二元體，則先將其逐一撤除，以使分析簡(jiǎn)化。●若體系與基礎(chǔ)是按兩剛片規(guī)則聯(lián)結(jié)時(shí)，則可先撤去這些支座鏈桿，只分析體系內(nèi)部桿件的幾何組成性質(zhì)。

【例3.1】試對(duì)圖示體系進(jìn)行幾何組成分析。

【解】體系與基礎(chǔ)用不全交于一點(diǎn)也不全平行的三根鏈桿相聯(lián)，符合兩剛片聯(lián)結(jié)規(guī)則，先撤去這些支座鏈桿，只分析體系內(nèi)部的幾何組成。ACDFGEB任選鉸結(jié)三角形，例如ABC作為剛片，依次增加二元體B-D-C、B-E-D、D-F-E和E-G-F，根據(jù)加減二元體規(guī)則，可見(jiàn)體系是幾何不變的，且無(wú)多余約束。ACDFGEBACDFGEB當(dāng)然，也可用依次拆除二元體的方式進(jìn)行，最后剩下剛片ABC，同樣得出該體系是無(wú)多余約束的幾何不變體系。ACDFGEB【例3.2】試對(duì)圖示體系進(jìn)行幾何組成分析。ACDEB

【解】本題有六根支座鏈桿，應(yīng)與基礎(chǔ)一起作為一個(gè)整體來(lái)考慮。先選取基礎(chǔ)為剛片Ⅰ，桿AB作為另一剛片Ⅱ，該兩剛片由三根鏈桿相聯(lián)，符合兩剛片聯(lián)結(jié)規(guī)則。ACDEBIIIⅠ和Ⅱ組成一個(gè)大的剛片，稱為剛片Ⅲ，再取桿CD為剛片Ⅳ，它與剛片Ⅲ之間用桿BC（鏈桿）和兩根支座鏈桿相聯(lián)，符合兩剛片聯(lián)結(jié)規(guī)則，組成一個(gè)更大的剛片。ACDEⅣⅢB最后將桿DE和E處的支座鏈桿作為二元體加于這個(gè)更大的剛片上，組成整個(gè)體系。因此，整個(gè)體系是無(wú)多余約束的幾何不變體系。ACDEBⅤACDEBIIIACDEBⅣⅢACDEBⅤ本例小結(jié)【例3.3】試對(duì)圖示體系進(jìn)行幾何組成分析。ABCDE

【解】本題有四根支座鏈桿，應(yīng)與基礎(chǔ)一起作為一個(gè)整體來(lái)考慮?？蓪BD部分作為剛片Ⅰ，BCE部分作為剛片Ⅱ。另外，取基礎(chǔ)作為剛片Ⅲ。ABCDEIIIIII剛片Ⅰ與剛片Ⅱ由鉸B相聯(lián)，剛片Ⅰ與剛片Ⅲ由兩根鏈桿相聯(lián)，其延長(zhǎng)線交于虛鉸O1，剛片Ⅱ與剛片Ⅲ由兩根鏈桿相聯(lián)，其延長(zhǎng)線交于虛鉸O2。因三個(gè)鉸B、O1、O2恰在同一直線上，故體系為瞬變體系。ABCDEIIIIIIO1O2ABCDEIIIIIIO1O2ABCDE本例小結(jié)【例3.4】試對(duì)圖示體系進(jìn)行幾何組成分析。ACDFGEBHH

【解】本題有四根支座鏈桿，應(yīng)與基礎(chǔ)一起作為一個(gè)整體來(lái)考慮。先選取基礎(chǔ)為剛片。桿AB為另一剛片，該二剛片由三根鏈桿相聯(lián)，符合二剛片聯(lián)結(jié)規(guī)則，組成一個(gè)大的剛片。ACDFGEBHIIIEH依次增加由桿AD和D處支座鏈桿組成的二元體，以及由桿CD和桿CB組成的二元體。這樣形成一個(gè)更大的剛片，稱為剛片Ⅰ。ACDFGEBHIIIEH再選取鉸結(jié)三角形EFG為剛片，增加二元體E-H-G，形成剛片Ⅱ。ACDFGEBHIIIEHO剛片Ⅰ與剛片Ⅱ之間由四根鏈桿相聯(lián)，但不管選擇其中哪三根鏈桿，它們都相交于一點(diǎn)O，因此體系為瞬變體系。ACDFGEBHIIIEHOACDFGEBHIIIEHO本例小結(jié)【例3.5】試對(duì)圖示體系進(jìn)行幾何組成分析。ADBC

【解】本題有六根支座鏈桿，應(yīng)與基礎(chǔ)一起作為一個(gè)整體來(lái)考慮。先選取基礎(chǔ)為一剛片Ⅰ，桿AD和桿BD為另兩個(gè)剛片Ⅱ、Ⅲ，此三個(gè)剛片由鉸A、B、D相聯(lián)，符合三剛片聯(lián)結(jié)規(guī)則，組成一個(gè)大剛片，稱為剛片Ⅳ。ADBCIIIIIIⅣ再選取桿CD為剛片Ⅴ，剛片Ⅳ和剛片Ⅴ之間由鉸D和C處二根支座鏈桿相聯(lián)，根據(jù)二剛片聯(lián)結(jié)規(guī)則，尚多余一根鏈桿，故體系為有一個(gè)多余約束的幾何不變體系。ADBCⅣⅤADBCIIIIIIⅣⅤ本例小結(jié)前已說(shuō)明，只有幾何不變的體系才能作為結(jié)構(gòu)。幾何不變體系又分為無(wú)多余約束和有多余約束兩類。3.4體系的幾何組成與靜定性的關(guān)系（1）對(duì)于無(wú)多余約束的結(jié)構(gòu)，如圖示組合梁，它的全部約束反力和內(nèi)力都可由靜力平衡方程求得，這類結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)。組合梁的獨(dú)立的平衡方程總數(shù)為6，未知力總數(shù)為6，是靜定的結(jié)構(gòu)。（2）對(duì)于有多余約束的結(jié)構(gòu)，如圖示連續(xù)梁，其約束反力有四個(gè)，而靜力平衡方程只有三個(gè)，無(wú)法求得全部約束反力，當(dāng)然也無(wú)法求得它的全部?jī)?nèi)力，這類結(jié)構(gòu)稱為超靜定結(jié)構(gòu)。未知力總數(shù)與靜力平衡方程總數(shù)的差值，即多余約束的數(shù)目，稱為超靜定次數(shù)。

連續(xù)梁的獨(dú)立的平衡方程總數(shù)為3，未知力總數(shù)為4，是一次超靜定結(jié)構(gòu)?！耢o定結(jié)構(gòu)與超靜定結(jié)構(gòu)有很大區(qū)別。對(duì)靜定結(jié)構(gòu)進(jìn)行內(nèi)力分析時(shí)，只需考慮靜力平衡條件；而對(duì)超靜定結(jié)構(gòu)進(jìn)行內(nèi)力分析時(shí)，除了考慮靜力平衡條件外，還需考慮變形條件。對(duì)體系進(jìn)行幾何組成分析，有助于正確區(qū)分靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)，以便選擇適當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算方法。平面桿件結(jié)構(gòu)按其受力特征可分為以下幾種類型：（1）梁梁是一種以彎曲變形為主的構(gòu)件，其軸線通常為直線。梁可以是單跨的或多跨的。3.5平面桿件結(jié)構(gòu)的分類（a）單跨靜定梁（b）多跨靜定梁（c）單跨超靜定梁（d）多跨超靜定梁（2）剛架剛架是由直桿組成，其結(jié)點(diǎn)全部或部分為剛結(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)。剛架各桿主要承受彎矩，也承受剪力和軸力。（a）靜定剛架（b）超靜定剛架（3）桁架桁架是由直桿組成，其所有結(jié)點(diǎn)都為鉸結(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)。在平面荷載作用下各桿主要產(chǎn)生軸力。（a）三角形桁架（b）平行弦桁架（4）組合結(jié)構(gòu)組合結(jié)構(gòu)是由桁架和梁或剛架組合在一起而形成的結(jié)構(gòu)。其特點(diǎn)是一部分桿件只承受軸力，而另一部分桿件則同時(shí)承受彎矩、剪力和軸力。（5）拱拱的軸線多為曲線，其特點(diǎn)是在豎向荷載作用下能產(chǎn)生水平支座反力。這種水平支座反力可減少拱橫截面上的彎矩。（a）三鉸拱（b）無(wú)鉸拱

1.幾個(gè)基本概念

(1)

幾何不變體系指在任意荷載作用下能保持其原有的幾何形狀和位置的體系。

(2)

幾何可變體系指在任意荷載作用下其原有的幾何形狀和位置發(fā)生變化的體系。

本章小結(jié)和學(xué)習(xí)要求(3)

瞬變體系如果一個(gè)幾何可變體系在發(fā)生微小的位移后，即成為幾何不變體系，稱為瞬變體系。

(4)

剛片在幾何組成分析中，由于不考慮材料的應(yīng)變，故可以把每一桿件或體系中已被肯定為幾何不變的某個(gè)部分看作剛體，剛體在平面體系中稱為剛片。(5)

自由度一個(gè)