職教高考 不等式的基本性質(zhì)

2.1不等式的基本性質(zhì)[知識整合]基礎(chǔ)知識1．不等式的概念用符號“≠、>、<、≥、≤”表示數(shù)量之間不等關(guān)系的式子叫作不等式．如實數(shù)a的絕對值是非負數(shù)，即|a|≥0.2．實數(shù)大小的基本性質(zhì)(1)a－b>0?a>b(2)a－b＝0?a＝b(3)a－b<0?a<b3．比較實數(shù)大小的方法(1)觀察數(shù)軸上對應(yīng)點的位置進行直觀比較．(2)作差法：a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b.(3)作商法：若b＞0，則eq\f(a,b)＞1?a＞b；eq\f(a,b)＜1?a＜b.若b<0，則eq\f(a,b)>1?a＜b；eq\f(a,b)<1?a＞b.4．不等式的性質(zhì)(1)對稱性：a>b?b<a(2)傳遞性：a>b，b>c?a>c(3)加法性質(zhì)：a>b?a＋c>b＋c；a>b，c>d?a＋c>b＋d即不等式的兩邊同時加上(或減去)同一個實數(shù)，不等號的方向不變．(4)乘法性質(zhì)：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；a>b>0，c>d>0?ac>bd(5)倒數(shù)性質(zhì)：a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b)(6)乘方性質(zhì)：a>b>0?an>bn(n∈N＋)(7)開方性質(zhì)：a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N＋)基礎(chǔ)訓(xùn)練1．a(chǎn)、b∈R且a>b，則()A．a(chǎn)2>b2B.eq\f(b,a)>1C．lg(a－b)>0D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))eq\s\up12(a)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))eq\s\up12(b)2．下列關(guān)系成立的是()A．a(chǎn)＋4>0?a>4B．a(chǎn)＋4<0?a<4C．a(chǎn)－4>0?a>－4D．a(chǎn)－4<0?a<43．下列說法中不正確的一項是()A．若a>b，則a＋c>b＋cB．如果a>b>0，則－2a＜－2bC．a(chǎn)c2>bc2，則a>bD．如果a>b，c>d，則ac>bd4．比較大小(1)2eq\r(3)________eq\r(13)；(2)(eq\r(3)＋1)2________3＋2eq\r(3)；(3)(eq\r(3)－1)2________3－2eq\r(3)；(4)eq\f(1,\r(5)－2)________eq\f(1,\r(6)－\r(5))；(5)(x＋1)(x＋2)________(x－3)(x＋6)．5．已知a＜b＜0，c＜0，在下列橫線上填上適當(dāng)?shù)牟坏忍柣虻忍枺?1)ac________bc；(2)a＋2c________b＋2c；(3)(a－1)c2________(b－1)c2；(4)eq\f(1,a)________eq\f(1,b)；(5)|a＋b|________2eq\r(ab).[重難點突破]考點1比較實數(shù)大小的方法例1比較大小(1)eq\f(1,9)________eq\f(2,9)；(2)eq\f(3,4)________eq\f(3,7)；(3)eq\f(4,5)________eq\f(5,6)；(4)－eq\f(1,2)________－eq\f(1,3)【解析】應(yīng)用作差法比較實數(shù)大小，答案是(1)<；(2)>；(3)<；(4)<.反思提煉：本題考查對比較實數(shù)大小的方法的應(yīng)用，計算此類題時要注意分子分母的大小以及正負數(shù)的關(guān)系．【變式訓(xùn)練】比較大?。?1)(eq\r(3)＋eq\r(2))2________6＋2eq\r(6)；(2)(eq\r(3)－eq\r(2))2________(eq\r(6)－1)2.考點2不等式的基本性質(zhì)例2下列選項中正確的是()A．若a>－b，則c＋a>c－bB．若a>b，c>d，則a>cC．若a>b，則eq\r(a)>eq\r(b)D．若a>b，則ac2>bc2【解析】根據(jù)不等式的加法性質(zhì)，A顯然正確；選項B中，不能得到a、c之間的任何關(guān)系，則B錯；選項C中，因為沒有已知a、b的符號，eq\r(a)、eq\r(b)可能沒有意義，則C錯；選項D中，當(dāng)c＝0時，ac2＝bc2，則D錯．故選A.反思提煉：本題考查不等式的基本性質(zhì)，此類題可通過不等式的性質(zhì)推證得結(jié)果，亦可通過特殊值代入法，排除某些選項，得出結(jié)果．【變式訓(xùn)練】若a，b，c是實數(shù)，且a＞b，則下列不等式正確的是()A．a(chǎn)c＞bcB.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a)))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(b)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a－b)))c2>0D.eq\r(3,a)>eq\r(3,b)例3a、b、c、d為實數(shù)，下列命題正確的是()A．a(chǎn)＞b?ac＞bcB．a(chǎn)＞b?a2＞b2C．a(chǎn)＞b，c＞d?ac＞bdD．a(chǎn)＞b，c＞d?a－d＞b－c【解析】∵c＞d，∴－d＞－c，∵a＞b，∴a－d＞b－c.故選擇D.【變式訓(xùn)練】下列命題中，正確的是()A．a(chǎn)>b，c<d?a＋c>b＋dB．a(chǎn)>b，c>d?eq\f(a,d)>eq\f(b,c)C．a(chǎn)2>b2?|a|>|b|D．a(chǎn)>b>0?eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)例4已知a，b，c∈R，則下列推理：①eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)?a>b；②a2>b2，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③a>b?a·c2>b·c2；④a＋c>b＋c?a>b.其中正確的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4【解析】①由eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)可知c2>0，∴eq\f(a,c2)·c2>eq\f(b,c2)·c2，即a>b，故①正確．由a2>b2，ab>0可得a>b>0或a<b<0，當(dāng)a>b>0時，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，但當(dāng)a<b<0時，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故②不正確．c2≥0，∴a·c2≥b·c2，故③不正確．a(chǎn)＋c>b＋c?a＋c－c>b＋c－c?a>b，故④正確．故選B.【變式訓(xùn)練】已知a＞b，不等式：①a2＞b2；②eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；③eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a)；④a3＞b3中能成立的個數(shù)是()A．0個B．1個C．2個D．3個例5比較a2＋b2與2(a－b－1)的大小．【解】因為(a2＋b2)－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2，而(a－1)2≥0，(b＋1)2≥0，則(a－1)2＋(b＋1)2≥0所以a2＋b2≥2(a－b－1)．反思提煉：比較代數(shù)式的大小的兩種方法：作差法、特殊值法．作差比較法是證明不等式和比較兩代數(shù)式，兩數(shù)大小最常用的方法，運用該方法關(guān)鍵是如何把差做適當(dāng)?shù)淖冃?如配方、因式分解等)以判斷出差的符號．特殊值法直觀、省時，但不能直接證明，多用于選擇題．【變式訓(xùn)練】已知a>b>c，比較eq\f(1,a－c)和eq\f(1,b－c)的大小．[課堂訓(xùn)練]1．如果x>y>0，那么下列不成立的是()A．x2>y2B．a(chǎn)x>ayC．x＋5>y＋5D．x＋2y>3y2．如果a>0，ab≥0，那么下列各式成立的是()A．b>0B．b≥0C．b<0D．b為任意實數(shù)3．已知a<b<0，則下列不等式中不正確的是()A.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)B.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a)))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(b)))C．a(chǎn)2>b2D.eq\r(－a)<eq\r(－b)4．已知a>b，那么()A．a(chǎn)3>b3B．a(chǎn)2>b2C.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)D.eq\r(a)>eq\r(b)5．已知a＋b>0，b<0，那么()A．a(chǎn)>b>－a>－bB．a(chǎn)>－a>b>－bC．－a>－b>a>bD．a(chǎn)>－b>b>－a6．若－1<a<b<1，則()A．－2<a－b<0B．－2<a－b<－1C．－1<a－b<0D．－1<a－b<17．比較大?。?1)a－3________a－1；(2)(x－1)(x＋2)________(x－2)(x＋3)．8．若a>b，c>d，則a(c－d)________b(c－d)．9．若－2<x<5，1<y<4，則x－2y的取值范圍是________．10．比較3x2－x＋1和2x2＋x－3的大?。?.1不等式的基本性質(zhì)知識整合基礎(chǔ)訓(xùn)練1．D【解析】當(dāng)b<a<0時，a2<b2；當(dāng)b<0<a時，eq\f(b,a)<1；當(dāng)a>b且a－b<1時，必有l(wèi)g(a－b)＜0；∵y＝(eq\f(1,2))x為單調(diào)遞減函數(shù)，∴D正確．2．D【解析】a＋4>0?a>－4，a＋4<0?a<－4，a－4>0?a>4，a－4<0?a<4，故選D.3．D【解析】若a＝1，b＝－2，c＝3，d＝－4，則ac<bd.4．(1)＜(2)＞(3)＞(4)＜(5)>【解析】(5)(x＋1)(x＋2)－(x－3)(x＋6)＝x2＋3x＋2－(x2＋3x－18)＝x2＋3x＋2－x2－3x＋18＝20>0，所以(x＋1)(x＋2)>(x－3)(x＋6)．5．(1)>(2)<(3)<(4)>(5)＞重難點突破【例1】【變式訓(xùn)練】(1)＜(2)＜【解析】由作差法可得．【例2】【變式訓(xùn)練】D【解析】∵a，b，c是實數(shù)，且a＞b，∴eq\r(3,a)>eq\r(3,b).故D答案正確．【例3】【變式訓(xùn)練】C【例4】【變式訓(xùn)練】B【解析】①中當(dāng)b＜a＜0時，0＜a2＜b2；②中當(dāng)b＜0＜a時，eq\f(1,a)＞0＞eq\f(1,b)；③中當(dāng)b＜0＜a時，a－b＞a＞0，此時eq\f(1,a－b)＜eq\f(1,a)；④中函數(shù)y＝x3是在定義域R上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，又a＞b，所以a3＞b3.綜上可知，①②③錯誤，④正確，故選B.【例5】【變式訓(xùn)練】【解】解法一：eq\f(1,a－c)－eq\f(1,b－c)＝eq\f(b－c－a＋c,（a－c）（b－c）)＝eq\f(b－a,（a－c）（b－c）)，因為a＞b＞c，所以a－c>0，b－c>0，b－a<0，可得eq\f(1,a－c)－eq\f(1,b－c)<0，所以eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－c).解法二：∵a＞b＞c，∴a－c＞b－c＞0，∴eq\f(1,a－c)＜eq\f(1,b－c).課堂訓(xùn)練1．B【解析】B選項中，當(dāng)a＝0時，ax＝ay，故選項B不成立．2．B【解析】因為a>0，ab≥0，所以b≥0.3．D【解析】因為a<b<0，所以－a>－b>0，故eq\r(－a)<eq\r(－b)不正確．4．A【解析】a>b只能推出a3>b3，只有當(dāng)a>b>0時，B、D項才成立；當(dāng)a>b且ab>0時C才成立．故選A.5．D【解析】∵a＋b>0?a>－b，b>－a.又b<0，則－b>b，所以a>－b>b>－a.故選D.6．A【解析】∵a<b，則a－b<0，排除B、D，又b<1，則－b>－1，∵a>－1，∴a＋