2024-2025學年貴州省仁懷市高二上冊期中聯(lián)考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年貴州省仁懷市高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學檢測試題一、單選題1．已知為虛數(shù)單位,復數(shù)滿足：，則在復平面上復數(shù)對應的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若圓錐的表面積為，底面圓的半徑為1，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．3．已知是兩條直線，是一個平面，下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．已知空間向量，，，若，則（

）A． B． C． D．5．正四棱臺的上?下底面邊長分別為，側(cè)棱長為，則棱臺的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．6．在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．7．在棱長為的正方體中，滿足，，則二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．三棱錐，平面，，且，則三棱錐的外接球表面積是（

）A． B． C． D．二、多選題9．在中，的對邊分別為，若，則的值可以為（

）A． B． C． D．10．下列命題中成立的是（

）A．，B．，且C．，，且，D．，11．如圖所示，在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．直線與是平行直線B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為D．平面截正方體所得的截面面積為三、填空題12．直線的傾斜角大小為.13．如圖，已知長方體的棱長，則點到棱的距離是14．設表示兩個平面，表示直線，表示三個不同的點，給出下列命題：①若，則；②不重合，若，則；③若，則；④若，且不共線，則與重合.其中假命題的序號是.四、解答題15．已知直線l過點，根據(jù)下列條件分別求直線l的方程：(1)直線l的傾斜角為45°；(2)直線l在x軸、y軸上的截距相等．16．在中，角所對的邊分別是，在下面三個條件中任選一個作為條件，解答下列問題，三個條件為：①；②；③.(1)求角的大??；(2)若，求的值.17．已知在正四棱柱中，，，點是的中點.(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的大??；(3)求三棱錐的體積.18．如圖，在棱長為的正方體中，為棱的中點，為棱上一點．

(1)證明：直線平面；(2)是否存在點，使直線平面？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由．19．如圖，在四棱錐中，底面，，，，，是的中點．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值．仁懷市第四中學2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試題答案：題號12345678910答案DCCCBDAAABBCD題號11答案BCD1．D【分析】先求出并化簡，從而確定復數(shù)對應的點的坐標為，進而判斷其位于第四象限.【詳解】因為，所以復平面上復數(shù)對應的點為，位于第四象限，故選.本題主要考查了復數(shù)的運算，以及復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.2．C【分析】由圓錐表面積公式可得母線長，即可得圓錐的高，然后可得圓錐體積.【詳解】設圓錐底面圓半徑為r，母線長為l，高為h.由題，，則.則圓錐體積為.故選：C3．C【分析】根據(jù)線面位置關系的判定與性質(zhì)，逐項判斷即可求解.【詳解】對于A，若，，則平行或相交，不一定垂直，故A錯誤.對于B，若，則或，故B錯誤.對于C，，過作平面，使得，因為，故，而，故，故，故C正確.對于D，若，則，故D錯誤.故選：C.4．C【分析】根據(jù)向量垂直，數(shù)量積為0求參數(shù)的值.【詳解】因為，且，所以.故選：C5．B【分析】先求棱臺的斜高，然后利用側(cè)面積公式進行求解.【詳解】由題意，正四棱臺的側(cè)面是等腰梯形，且其上?下底面邊長分別為，腰長為，所以斜高為.所以側(cè)面積為().故選：B.6．D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因為∥，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，，所以平面，所以，設正方體棱長為2，則，，所以.故選：D7．A【分析】建立空間直角坐標系，根據(jù)向量法求得平面的法向量，進而可得二面角余弦值.【詳解】

分別以射線，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，由，，所以，，，A10,0,3，則，，，設平面的法向量為，則，令，則，設平面的法向量為，則，令，則，所以，由圖可知二面角為銳角，則二面角的余弦值為，故選：A.8．A【分析】先由線面垂直的性質(zhì)判斷線線垂直，得出為直角三角形，為直角三角形，判斷出球心的位置；再根據(jù)勾股定理算出球半徑；最后根據(jù)球的表面積公式計算即可.【詳解】取中點，連接，.，.平面，平面，平面，，.又，平面.又平面，.為直角三角形，為直角三角形.則.所以三棱錐的外接球的球心為，半徑為.，且，，..所以三棱錐的外接球表面積是.故選：A9．AB【分析】利用正弦定理角化邊得到，利用余弦定理后，即可求得的范圍.【詳解】由及正弦定理，得，由余弦定理得，所以．故選：AB10．BCD【分析】利用平面的公理直接判斷求解．【詳解】對于A：若，，則或與異面、或與相交，故A錯誤；對于B：由公理三知：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線，因為，且，則，故B正確；對于C：由公理一知：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)，因為，，且，，則，故C正確；對于D：由平行公理得：平行于同一條直線的兩條直線互相平行，因為，，則，故D正確.故選：BCD11．BCD【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法可判斷A、B、C，作出平面截正方體所得的截面即可求出面積判斷D.【詳解】對于A，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，

則，，，，，．∵分別為棱的中點，∴、，則，，∴和不共線，故A錯誤；對于B，∵，，∴，∴，∴直線與所成的角為，故B正確．對于C，由于平面的一個法向量為，，∴，直線與平面所成的角為，故C正確；對于D，連接，易知，則平面截正方體所得的截面為等腰梯形，

∵棱長為2，∴，，，∴等腰梯形的高為，∴，故D正確，故選：BCD．12．/【分析】利用直線的傾斜角與斜率的關系計算即可.【詳解】由直線可知其斜率為，所以其傾斜角滿足，所以.故13．5【分析】根據(jù)長方體的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直性質(zhì)以及點線距離定義，可得答案.【詳解】連結(jié)，如圖：在長方體中，由平面，平面，所以，則點到棱的距離是，在矩形中，.故514．③【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)對給出的四個命題分別進行分析、判斷后即可得．【詳解】對于①，根據(jù)公理1可知，所以①正確；對于②，由題意得平面有公共點，根據(jù)公理3可知相交，且，所以②正確；對于③，由于，可得，所以③不正確；對于④，由三點不共線可得確定一個平面，所以與重合，所以④正確．綜上可得①②④正確，故假命題的序號是③．故③.15．(1)(2)或【分析】（1）由點斜式即可求解；（2）分截距是否為0進行討論即可求解.【詳解】（1）因為直線l過點，直線l的傾斜角為45°；所以所求為，即；（2）當直線l在x軸、y軸上的截距都為0時，所求為，當直線l在x軸、y軸上的截距都為時，設所求為，由題意，解得符合題意，故所求為；綜上所述，符合題意的直線方程為或.16．(1)所選條件見解析，(2)【分析】（1）若選①：利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換分析求解；若選②：利用正弦定理邊化角即可結(jié)果；若選③：利用三角恒等變換分析求解；（2）利用余弦定理分析求解.【詳解】（1）若選①：因為，由正弦定理可得，且，則，可得，且，所以；若選②：因為，由正弦定理可得，且，則，可得，且，所以；若選③：因為，則，可得且，則，可得，且，所以.（2）由（1）可知：，由余弦定理可得：，又，即，解得.17．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，由線面平行的判定定理即可證明；（2）由（1）可知為異面直線與所成角的平面角，利用勾股定理分別求出、、的值，結(jié)合余弦定理計算即可．（3）計算長，證明平面，利用三棱錐體積轉(zhuǎn)化即可得三棱錐的體積.【詳解】（1）連接，交于點，則為的中點，又因為為的中點，連接，則，平面，平面，平面；（2）由（1）知，，所以為異面直線與所成角或其補角，在中，，，由余弦定理，得，故異面直線與所成角的余弦值為；（3）因為正方形，所以，且，，又在正四棱柱中，平面，因為平面，所以，因為平面，所以平面，所以.18．(1)證明見解析(2)存在，.【分析】（1）先確定截面，再根據(jù)線面垂直的判定定理證明線面垂直.（2）先確定截面，再根據(jù)線面平行確定點的位置.【詳解】（1）如圖：

因為，，所以平面就是平面.在正方體中，平面，平面，所以，又四邊形為正方形，所以，又平面，平面，，所以平面.（2）取中點，連接，，因為，所以平面就是平面.當為中點時，，平面，平面，所以平面.此時.故存在點，使直線平面，且.19．（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）通過和得到平面，利用等腰三角形的性質(zhì)可得，可得結(jié)