專(zhuān)題26 相似模型之梅涅勞斯（定理）模型與塞瓦（定理）模型解讀與提分精練（全國(guó)）

專(zhuān)題26相似模型之梅涅勞斯（定理）模型與塞瓦（定理）模型梅涅勞斯（Menelaus，公元98年左右），是希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，梅涅勞斯定理是平面幾何中的一個(gè)重要定理。塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利數(shù)學(xué)家兼水利工程師．他在1678年發(fā)表了一個(gè)著名的定理，后世以他的名字來(lái)命名，叫做塞瓦定理。使用梅涅勞斯和塞瓦定理可以進(jìn)行直線(xiàn)形中線(xiàn)段長(zhǎng)度比例的計(jì)算，其逆定理還可以用來(lái)進(jìn)行三點(diǎn)共線(xiàn)、三線(xiàn)共點(diǎn)等問(wèn)題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項(xiàng)基本定理，具有重要的作用．TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.梅涅勞斯（定理）模型及其逆定理 1模型2.塞瓦（定理）模型 7 12模型1.梅涅勞斯（定理）模型及其逆定理梅涅勞斯（定理）模型：如圖1，如果一條直線(xiàn)與的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線(xiàn)交于F、D、E點(diǎn)，那么。其中：這條直線(xiàn)叫的梅氏線(xiàn)，叫梅氏三角形。注意：梅涅勞斯（定理）特征是三點(diǎn)共線(xiàn)；我們用梅涅勞斯（定理）解決的大部分問(wèn)題，也可添加輔助線(xiàn)后用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例和相似來(lái)解決。1）梅涅勞斯（定理）模型：如圖1，如果一條直線(xiàn)與的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線(xiàn)交于F、D、E點(diǎn)，那么。其中：這條直線(xiàn)叫的梅氏線(xiàn)，叫梅氏三角形。圖1圖2證明：證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)A作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，易證：，∴，；．2）梅涅勞斯定理的逆定理模型：如圖1，若F、D、E分別是的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線(xiàn)的三點(diǎn)，如果，則F、D、E三點(diǎn)共線(xiàn)．證明：先假設(shè)F、D、E三點(diǎn)不共線(xiàn)，直線(xiàn)DF與AC交于P，由\t"/item/%E6%A2%85%E6%B6%85%E5%8A%B3%E6%96%AF%E9%80%86%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"梅涅勞斯定理的定理得?！?，∴，∴

，∴?！郈P=CE；即P與E重合，∴D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)。例1．（23-24九年級(jí)上·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，已知，是的中線(xiàn)，是的中點(diǎn)，則．例2.（23-24八年級(jí)下·廣東潮州·期中）中，D為中點(diǎn)，E為中點(diǎn)，直線(xiàn)交于F，求證：．例3.如圖，在中，D為BC的中點(diǎn)，．求．例4.（24-25重慶九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至D，使CD＝BC，連接FD交AC于E，則四邊形BCEF的面積為．例5.如圖，CD、BE、AF分別為（不是等邊三角形）的三個(gè)外角平分線(xiàn)，分別交AB、AC、BC于D、E、F．證明：D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)．例6．（24-25·廣東·九年級(jí)校聯(lián)考期中）梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖1，如果一條直線(xiàn)與的三邊或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)交于三點(diǎn)，那么一定有．下面是利用相似三角形的有關(guān)知識(shí)證明該定理的部分過(guò)程：證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，則有，，∴，．請(qǐng)用上述定理的證明方法解決以下問(wèn)題：

（1）如圖3，三邊的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交直線(xiàn)于三點(diǎn)，證明：．請(qǐng)用上述定理的證明方法或結(jié)論解決以下問(wèn)題：（2）如圖4，等邊的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且與交于點(diǎn)，試求的長(zhǎng)．（3）如圖5，的面積為4，F(xiàn)為中點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使，連接交于，求四邊形的面積．模型2.塞瓦（定理）模型塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長(zhǎng)AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，如圖3，則。注意：塞瓦（定理）的特征是三線(xiàn)共點(diǎn)，我們用塞瓦（定理）解決的大部分問(wèn)題，也可添加輔助線(xiàn)后用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例和相似來(lái)解決。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長(zhǎng)AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，如圖3，則。塞瓦（定理）證明：法1：可利用梅涅勞斯定理證明：在△中，割線(xiàn)∴①在△中，割線(xiàn)，∴②，由②÷①：即得：。法2：∵；∴①；同理：②；③；由①×②×③得：。塞瓦定理的逆定理：如果有三點(diǎn)分別在△的三邊上，且滿(mǎn)足，那么三線(xiàn)交于一點(diǎn)。塞瓦定理的逆定理證明：設(shè)、交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交于；根據(jù)塞瓦定理：?！啵?，∴，∴與重合，即證。注意：利用塞瓦定理的逆定理可判定三線(xiàn)共點(diǎn)，如證明三角形三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)；三角形三條角平分線(xiàn)必交于一點(diǎn)；三角形三條高線(xiàn)交于一點(diǎn)等。例1.如圖，設(shè)M為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，BM與AC交于點(diǎn)E，CM與AB交于點(diǎn)F，若AM通過(guò)BC的中點(diǎn)，求證：EF//BC。例2.如圖，在銳角△ABC中，AD是BC邊上的高線(xiàn)，H是線(xiàn)段AD內(nèi)任一點(diǎn)，BH和CH的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交AC、AB于E、F，求證：∠EDH=∠FDH。例3.如圖，四邊形ABCD的對(duì)邊AB和CD，AD、BC分別相交于L、K，對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)M，直線(xiàn)KL與BD，AC分別交于F、G，求證：.例4.已知：內(nèi)角平分線(xiàn)、、與對(duì)邊分別交于點(diǎn)、、。求證：三角形三條內(nèi)角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)。（用塞瓦定理的逆定理證明）例5．（2022·山西晉中·統(tǒng)考一模）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：塞瓦定理：塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線(xiàn)論》，是意大利數(shù)學(xué)家塞瓦的重大發(fā)現(xiàn)．塞瓦是意大利偉大的水利工程師，數(shù)學(xué)家．定理內(nèi)容：如圖1，塞瓦定理是指在內(nèi)任取一點(diǎn)，延長(zhǎng)AO，BO，CO分別交對(duì)邊于D，E，F(xiàn)，則．?dāng)?shù)學(xué)意義：使用塞瓦定理可以進(jìn)行直線(xiàn)形中線(xiàn)段長(zhǎng)度比例的計(jì)算，其逆定理還可以用來(lái)進(jìn)行三點(diǎn)共線(xiàn)、三線(xiàn)共點(diǎn)等問(wèn)題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項(xiàng)基本定理，具有重要的作用．任務(wù)解決：(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)；(2)若為等邊三角形（圖3），，，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，求BF的長(zhǎng)，并直接寫(xiě)出的面積．1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）如圖，是的中線(xiàn)，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)，若，則為（

）A． B． C． D．2．（23-24上·上海閔行·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，、、內(nèi)分正的三邊、、均為兩部分，、、相交成的的面積是的面積的（

）A． B． C． D．3．（24-25九年級(jí)上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）如圖，中，是邊上的點(diǎn)，且，是邊上的點(diǎn)，且，分別交于，則等于（）A． B． C． D．4．（2024廣東?？家荒＃┤鐖D，為的直徑，C為上一點(diǎn)，的切線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，E為的中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．若，，則的長(zhǎng)為．5．（24-25·江蘇·九年級(jí)期中）如圖，的面積為，、分別是，上的點(diǎn)，且,．連接,交于點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則四邊形的面積為．6.（24-25·成都·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，D、E分別是BC、CA上的點(diǎn)，且BD：DC=m：1，CE：EA=n：1，AD與BE交于F，求的值。7．如圖：P，Q，R分別是△ABC的BC，CA，AB邊上的點(diǎn)．若AP，BQ，CR相交于一點(diǎn)M，求證：．8.如圖，在△中，分別在邊上，且,設(shè)與交于點(diǎn)，求證：通過(guò)的中點(diǎn).9.已知：銳角三邊上的高線(xiàn)、、與對(duì)邊分別交于點(diǎn)、、。求證：三角形三條高線(xiàn)交于一點(diǎn)。（用塞瓦定理的逆定理證明）10．（24-25九年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）請(qǐng)閱讀下列材料，完成任務(wù)．梅涅勞斯（Menelaus）是公元1世紀(jì)時(shí)的希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，著有幾何學(xué)和三角學(xué)方面的許多書(shū)籍．梅涅勞斯發(fā)現(xiàn)，若一條直線(xiàn)與三角形的三邊或其延長(zhǎng)線(xiàn)相交（交點(diǎn)不能是三角形的頂點(diǎn)），可以得到六條線(xiàn)段，三條不連續(xù)線(xiàn)段的乘積等于剩下三條線(xiàn)段的乘積．該定理被稱(chēng)為梅涅勞斯定理，簡(jiǎn)稱(chēng)梅氏定理．如圖1，直線(xiàn)交線(xiàn)段于點(diǎn)，交線(xiàn)段于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，可截得六條線(xiàn)段，則這六條線(xiàn)段滿(mǎn)足，下面是該定理的一部分證明過(guò)程：證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，則有（依據(jù)），…(1)上述過(guò)程中的“依據(jù)”指的是；(2)請(qǐng)將該定理的證明過(guò)程補(bǔ)充完整．11．（2023上·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）梅涅勞斯定理梅涅勞斯（）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖（1），如果一條直線(xiàn)與的三邊AB，BC，CA或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)交于F、D、E三點(diǎn)，那么一定有．下面是利用相似三角形的有關(guān)知識(shí)證明該定理的部分過(guò)程：證明：如圖（2），過(guò)點(diǎn)A作，交DF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，則有．任務(wù)：（1）請(qǐng)你將上述材料中的剩余的證明過(guò)程補(bǔ)充完整；（2）如圖（3），在中，，，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且，CF與AD交于點(diǎn)E，則________．12．（2024·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程師，數(shù)學(xué)家，塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線(xiàn)論》一書(shū)，塞瓦定理是指如圖1，在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長(zhǎng)AO，BO，CO分別交對(duì)邊于D，F(xiàn)，E，則．下面是該定理的部分證明過(guò)程：如圖2，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線(xiàn)分別交BE，CF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，N．則∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．∴△NAF∽△CBF．∴①．同理可得△NOA∽△COD．∴②．任務(wù)一：(1)請(qǐng)分別寫(xiě)出與△MOA，△MEA相似的三角形；(2)寫(xiě)出由（1）得到的比例線(xiàn)段；任務(wù)二：結(jié)合①②和（2），完成該定理的證明；任務(wù)三：如圖3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足為D，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)F，連接BE并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)G．小明同學(xué)自學(xué)了上面定理之后解決了如圖3所示的問(wèn)題，并且他用所學(xué)知識(shí)已經(jīng)求出了BF與FC的比是25：16，請(qǐng)你直接寫(xiě)出△ECG與△EAG面積的比．13．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·?？家荒＃┤鐖D1，在中，D是邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)分別與、的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M、N．問(wèn)題引入：若點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，求的值；如圖2，可以過(guò)點(diǎn)C作，交于點(diǎn)P；如圖3，也可以過(guò)點(diǎn)A作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q．探索研究：（1）如圖4，若點(diǎn)D為上任意一點(diǎn)，求證：．

拓展應(yīng)用：（2）如圖5，P是內(nèi)任意一點(diǎn)，，則_______，____．14．（2023·江蘇鹽城·二模）【回歸課本】我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過(guò)一個(gè)基本事實(shí)：兩條直線(xiàn)被一組平行線(xiàn)所截，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例．【初步體驗(yàn)】（1）如圖1，在中，點(diǎn)D在上，．若，，，則，；（2）已知，如圖1，在中，且．求證：．證明：過(guò)點(diǎn)E作的平行線(xiàn)交于點(diǎn)F．………………請(qǐng)依據(jù)相似三角形的定義（如果兩個(gè)三角形各角分別相等，且各邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似）和上面的基本事實(shí)，補(bǔ)充上面的證明過(guò)程；【深入探究】（3）如圖2，如果一條直線(xiàn)與的三邊或其延長(zhǎng)線(xiàn)交于D、F、E點(diǎn)，那是否為定值？若是；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）如圖3，在中，D為的中點(diǎn)，，則．15．（23-24九年級(jí)上·山西運(yùn)城·期中）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．梅涅勞斯（）是公元1世紀(jì)時(shí)的希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，著有幾何學(xué)和三角學(xué)方面的許多書(shū)籍．梅涅勞斯發(fā)現(xiàn)，若一條直線(xiàn)與三角形的三邊或其延長(zhǎng)線(xiàn)相交（交點(diǎn)不能是三角形的頂點(diǎn)），可以得到六條線(xiàn)段，三條不連續(xù)線(xiàn)段的乘積等于剩下三條線(xiàn)段的乘積．該定理被稱(chēng)為梅涅勞斯定理，簡(jiǎn)稱(chēng)梅氏定理．如圖1，直線(xiàn)交線(xiàn)段于點(diǎn)，交線(xiàn)段于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，可截得六條線(xiàn)段、、、、、，則這六條線(xiàn)段滿(mǎn)足．下面是該定理的一部分證明過(guò)程：證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)則有（依據(jù)），…(1)上述過(guò)程中的依據(jù)指的是________；(2)請(qǐng)將該定理的證明過(guò)程補(bǔ)充完整．(3)在圖1中，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則的值為_(kāi)_______；(4)在圖1中，若，，則的值為_(kāi)_______．16．（24-25九年級(jí)上·江西景德鎮(zhèn)·期中）馬超同學(xué)在學(xué)完相似三角形的性質(zhì)后對(duì)截任意三角形邊的線(xiàn)段展開(kāi)了如下探究：如圖①，中，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，連接、、線(xiàn)段、交于點(diǎn)，已知的面積為12．（1）__________；__________；（2）_____；如圖②，中，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)分別交邊及邊的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)、，此時(shí)，馬超同學(xué)發(fā)現(xiàn)，線(xiàn)段與的三邊（或其延長(zhǎng)線(xiàn)）都產(chǎn)生了交點(diǎn)，他把線(xiàn)段稱(chēng)為的的截線(xiàn)段；深入探究：（3）截線(xiàn)段上的三個(gè)交點(diǎn)、、與的三個(gè)頂點(diǎn)、、所組成的線(xiàn)段（特別是交點(diǎn)所在邊所形成的線(xiàn)段如、、等）之間是否存在某種數(shù)量關(guān)系？愛(ài)思考的馬超同學(xué)立刻展開(kāi)探究；根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，為了找線(xiàn)段之間的關(guān)系，可嘗試先