專題13 等腰（等邊）三角形中的重要模型之維維尼亞模型解讀與提分精練（全國）（解析版）

專題13等腰（等邊）三角形中的重要模型之維維尼亞模型維維亞尼定理（Viviani'stheorem）：在\t"/item/%E7%BB%B4%E7%BB%B4%E4%BA%9A%E5%B0%BC%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)P到三邊的\t"/item/%E7%BB%B4%E7%BB%B4%E4%BA%9A%E5%B0%BC%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"垂直距離之和，等于該等邊\t"/item/%E7%BB%B4%E7%BB%B4%E4%BA%9A%E5%B0%BC%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"三角形的高。這個(gè)定理可一般化為：等角\t"/item/%E7%BB%B4%E7%BB%B4%E4%BA%9A%E5%B0%BC%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"多邊形內(nèi)任意一點(diǎn)P跟各邊的垂直距離之和，是不變的，跟該點(diǎn)的位置無關(guān)。它以溫琴佐·維維亞尼命名。而今天我們要學(xué)習(xí)的維維亞尼模型就是維維亞尼定理及其拓展，它的證明主要利用了等面積法，消去相等底邊后得到高之間的關(guān)系，因此等腰三角形的維維亞尼模型動(dòng)點(diǎn)只能在底邊所在直線上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)連接點(diǎn)和底邊所對(duì)頂點(diǎn)，能江原圖分割成兩個(gè)底相等的三角形。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.等邊三角形中維維尼亞模型 2模型2.等腰三角形中維維尼亞模型 7 14模型1.等邊三角形中維維尼亞模型條件：在等邊中，P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，過點(diǎn)A作AM⊥BC。結(jié)論：①如圖1，若動(dòng)點(diǎn)P在三角形ABC內(nèi)時(shí)，則PD+PE+PF=AM；②如圖2，若動(dòng)點(diǎn)P在三角形ABC外時(shí)，則PD+PE-PF=AM。（當(dāng)點(diǎn)P在三角形ABC外時(shí)，受P的位置影響，不同的位置結(jié)論稍有不同，但都可以使用等面積法證明）。

圖1圖2證明：①如圖1，連結(jié)AP，BP，CP?！呤堑冗吶切?，∴AB=BC=AC，則，∵；∴PD+PE+PF=AM。②如圖3，連結(jié)AP，BP，CP?！呤堑冗吶切?，∴AB=BC=CA，則，∵；∴PD+PE-PF=AM。例1．（2024·河北·二模）如圖，P為邊長為2的等邊三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，過P點(diǎn)分別作BC、AC、AB邊的垂線，垂足分別為D、E、F，則PD+PE+PF等于（）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】求出等邊三角形的高，再根據(jù)△ABC的面積等于△PAB、△PBC、△PAC三個(gè)三角形面積的和，列式并整理即可得到PD＋PE＋PF等于三角形的高．【詳解】解：∵正三角形的邊長為2，∴高為2×sin60°＝，∴S△ABC＝×2×＝，∵PD、PE、PF分別為BC、AC、AB邊上的高，∴S△PBC＝BC?PD，S△PAC＝AC?PE，S△PAB＝AB?PF，∵AB＝BC＝AC，∴S△PBC+S△PAC+S△PAB＝BC?PD+AC?PE+AB?PF＝×2（PD+PE+PF）＝PD+PE+PF，∵S△ABC＝S△PBC+S△PAC+S△PAB，∴PD+PE+PF＝．故選B．【點(diǎn)睛】本題利用等邊三角形三邊相等的性質(zhì)和三角形的面積等于被分成的三個(gè)三角形的面積的和求解．例2．（2024八年級(jí)·廣東·培優(yōu)）如圖，點(diǎn)P為等邊外一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到三邊的距離，且，則的面積等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，連接、、，過B作于點(diǎn)G，根據(jù)面積相等得出，求出，得出，即可求出面積．【詳解】解：如圖，連接、、，過B作于點(diǎn)G，

∵，，，，∴，∴．故選：C例3．（23-24八年級(jí)上·浙江寧波·期中）如圖，P是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，且，，，以下3個(gè)結(jié)論：①；②；③；④若點(diǎn)P到三邊的距離分別為，，，則有，其中正確的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，由全等三角形的性質(zhì)可得，，，可證是等邊三角形，由勾股定理的逆定理可求，取中點(diǎn)Q，連接，根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)可求，進(jìn)判斷為等邊三角形，，可得，，可判斷①，由勾股定理可求的長，可判斷②，由三角形的面積公式可求的面積，可判斷③，由三角形的面積公式可求的值，即可判斷④．【詳解】解：如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，∴，，∴，，，∴是等邊三角形，∴，，∵，，∴，∴，取中點(diǎn)Q，連接，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，又∴，∴，∴，∴，故①錯(cuò)誤；∵，∴，故②正確；∴，故③正確，如圖，∴，∴，故④正確，故選：B．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．例4．（23-24八年級(jí)上·云南昆明·期末）如圖（1），已知在中，且過A作于點(diǎn)P，點(diǎn)M是直線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M到兩邊、的距離分別為m，n，的高為h．

(1)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，，并說明理由．(2)如圖（2），試判斷m、n、h之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(3)如圖（3），當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到的延長線上時(shí)，求證：【答案】(1)證明見解析(2)，證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，過點(diǎn)M作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，由等邊三角形的性質(zhì)得出，則，根據(jù)三角形面積公式可得出結(jié)論；（2）連接，根據(jù)可得出結(jié)論；（3）連接，根據(jù)可得出，進(jìn)行變形后可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，，理由：過點(diǎn)M作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，如圖，則，，

∵且∴是等邊三角形，∵即，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：．理由如下：如圖②，連接，則，∴，即，又∵是等邊三角形，∴，∴；（3）解：如圖，連接，則，∴，即，又∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，兩邊同時(shí)除以2022得，，∴，即．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，完全平方公式的應(yīng)用，運(yùn)用等積法建立關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．模型2.等腰三角形中維維尼亞模型條件：如圖，等腰（AB=AC）中，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB，結(jié)論：①如圖1，若動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，則PE+PD=CF。②如圖2，若動(dòng)點(diǎn)P在BC延長線上時(shí)，則|PF-PE|=CD。圖1圖2證明：①如圖1，連結(jié)AP；∵是等邊三角形，∴AB=AC，則，∵；∴PE+PD=CF。①如圖2，連結(jié)AP；∵是等邊三角形，∴AB=AC，則，∵；∴PF-PE=CD。例1．（23-24八年級(jí)上·廣西百色·期末）如圖，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，點(diǎn)O是BC上任意一點(diǎn)，OE⊥AB，OF⊥AC，等腰三角形的腰長為4，面積為4，則OE+OF的值為()A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【答案】B【分析】連接AO，根據(jù)三角形的面積公式即可得到AB?OE＋AC?OF＝12，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)而求得OE＋OF的值．【詳解】連接AO，如圖，∵AB＝AC＝4，∴S△ABC＝S△ABO＋S△AOC＝AB?OE＋AC?OF＝12，∵AB＝AC，∴AB（OE＋OF）＝4，∴OE＋OF＝2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（23-24九年級(jí)下·四川成都·階段練習(xí)）如圖，將矩形沿EF折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B處，P為折痕上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作，垂足分別為G，H，若，，則．【答案】8【分析】本題考查的是矩形與折疊問題，掌握矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理和等角對(duì)等邊是解決此題的關(guān)鍵．連接，過點(diǎn)E作于Q，根據(jù)可得出，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，利用勾股定理求出，繼而求出，然后即可求出結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作于Q，連接，∵四邊形是矩形，∴，∴，由折疊可得，，∴，∴，∵、，∴，∵，∴，∵四邊形是長方形，∴，．∵，，∴．由折疊易知，，，，∴∴．∴．故答案為：8．例3．（23-24八年級(jí)下·江西吉安·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)課上，老師畫出一等腰并標(biāo)注：，，然后讓同學(xué)們提出有效問題并解決請(qǐng)你結(jié)合同學(xué)們提出的問題給予解答．

(1)甲同學(xué)提出：______度；(2)乙同學(xué)提出：的面積為：______；(3)丙同學(xué)提出：點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，，，垂足為E、F，請(qǐng)求出的值；(4)丁同學(xué)說受丙同學(xué)啟發(fā)，點(diǎn)D為邊上任一點(diǎn)，，，，垂足為E、F、H，則有．請(qǐng)你為丁同學(xué)說明理由．【答案】(1)(2)25(3)(4)見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出結(jié)果即可；（2）過點(diǎn)B作，交AC于點(diǎn)H，根據(jù)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出，根據(jù)三角形面積公式求出即可；（3）先證明，根據(jù)，得出，即，即可求出結(jié)果；（4）連接，根據(jù)三角形的面積公式得出，，，根據(jù)，得出，即，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）解：，，；（2）解：過點(diǎn)B作，交AC于點(diǎn)H，則：，

，，，；（3）解：連接，如圖所示：，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，平分，，，（角平分線的性質(zhì)）；∵，，，由（2）知，，；（4）證明：連接，如圖所示：∵，，，，，，，，，即：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算．例4．（23-24山西八年級(jí)上期中）（1）如圖（1），已知在等腰三角形中，，點(diǎn)是底邊上的一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)．求證：為定長．（2）如圖（2），已知在等腰三角形中，，點(diǎn)是底邊的延長線上的一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)．求證：為定長．（3）如圖（3），已知：點(diǎn)為等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，過分別作三邊的垂線，分別交三邊與、、．求證：為定長．【答案】證明見解析【分析】（1）首先過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)；連接，根據(jù)列出等式，，然后根據(jù)，即可得證；（2）首先過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)；連接，根據(jù)，得出，然后根據(jù)，即可得證；（3）根據(jù)，得出關(guān)系式，然后根據(jù)為等邊三角形，得出，即可得證.【詳解】（1）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)；連接．∵，∴．又∵，∴，為定長．即等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)，到兩腰的距離之和等于定長．（2）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)；連接．∵，∴．又∵，∴，為定長．即等腰三角形底邊的延長線上的任意一點(diǎn)，到兩腰的距高之差等于定長．（3）∵，∴．又∵為等邊三角形，∴．∴，為定長．即等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)到三邊距離之和為定長．【點(diǎn)睛】此題主要考查利用面積構(gòu)建等式，結(jié)合等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)，即可解題.例5．（2024·江西·一模）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”，例如：如圖1，∠B＝∠C，則四邊形ABCD為等鄰角四邊形．(1)定義理解：已知四邊形ABCD為等鄰角四邊形，且∠A＝130°，∠B＝120°，則∠D＝______度．(2)變式應(yīng)用：如圖2，在五邊形ABCDE中，ED∥BC，對(duì)角線BD平分∠ABC．①求證：四邊形ABDE為等鄰角四邊形；②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，請(qǐng)判斷△BCD的形狀，并明理由．(3)深入探究：如圖3，在等鄰角四邊形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足為E，點(diǎn)P為邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分別為M，N．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，判斷PM+PN與CE的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．(4)遷移拓展：如圖4，是一個(gè)航模的截面示意圖．四邊形ABCD是等鄰角四邊形，∠A＝∠ABC，E為AB邊上的一點(diǎn)，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分別為D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分別為AE、BE的中點(diǎn)，連接DM、CN，求△DEM與△CEN的周長之和．【答案】(1)55°(2)①見解析；②△BCD是等邊三角形，理由見解析(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，PM+PN＝CE，理由見解析(4)（6+2）dm【分析】（1）由∠A=130°，∠B=120°知不可能還有內(nèi)角與∠A、∠B相等（否則內(nèi)角和大于360°），則∠C=∠D，即得∠D=55°；（2）①由ED//BC得∠EDB=∠DBC，根據(jù)對(duì)角線BD平分∠ABC得∠ABD=∠DBC，故∠ABD=∠EDB，即證四邊形ABDE為等鄰角四邊形；②設(shè)∠EDB=∠DBC=∠ABD=x°，∠BDC=∠C=y°，由∠A+∠C+∠E=300°得3x+y=240，在△BCD中，x+2y=180，可解得，即∠DBC=60°，∠BDC=∠C=60°，故△BCD是等邊三角形；（3）過P作PGCE于G，由圖象可得：四邊形PMEG是矩形，再證明△PGC≌△CNP，得CG=PN，即有PM+PN＝EG+CG=CE；（4）作BHAD，由(3)中的結(jié)論可得：ED+EC=BH，設(shè)DH=xdm，利用BH2=BD2﹣DH2=AB2﹣AH2，解得x，求得BH，進(jìn)而求出ED+EC，再根據(jù)斜中線定理求得△DEM與△CEN的周長之和．【詳解】（1）解：∵∠A=130°，∠B=120°，根據(jù)“等鄰角四邊形”定義可知：∠C=∠D，∴∠D=(360°?130°?120°)÷2=55°；（2）①證明：∵ED//BC，∴∠EDB=∠DBC，∵對(duì)角線BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠EDB，∴四邊形ABDE為等鄰角四邊形，②解：△BCD是等邊三角形，理由如下：由①知：∠EDB=∠DBC=∠ABD，設(shè)∠EDB=∠DBC=∠ABD=x°，∠BDC=∠C=y°，∵∠A+∠C+∠E=300°，五邊形ABCDE內(nèi)角和為(5﹣2)×180°=540°，∴∠EDC+∠ABC=540°－300°=240°，即：3x+y=240，在△BCD中，∠DBC+∠BDC+∠C=180°，即x+2y=180，由聯(lián)立方程組，解得，∴∠DBC=60°，∠BDC=∠C=60°，∴△BCD是等邊三角形；（3）解：在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，PM+PN=CE，理由如下：過P作PGCE于G，如圖：∵PMAB，CEAB，PGCE，∴∠PME=∠MEG=∠EGP=90°，∴四邊形PMEG是矩形，∴PM=EG，ME//PG，AB//PG，∴∠B=∠GPC，∵∠B=∠NCP，∴∠GPC＝∠NCP，∵PNCD，∴∠PGC=∠CNP=90°，∵CP=PC，∴△PGC≌△CNP（AAS），∴CG=PN，∴PM+PN＝EG+CG=CE，即在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，PM+PN的值總等于CE；（4）作BHAD，垂足為H，如圖：由(3)中的結(jié)論可得：ED+EC=BH，設(shè)DH=xdm，則AH=AD+DH=(3+x)dm，∵BH⊥AF，∴∠BHA=90°，∴BH2=BD2﹣DH2=AB2﹣AH2，∵AB＝2，AD＝3，BD＝，∴()2﹣x2＝(2)2﹣(3+x)2，解得：x＝1，∴BH2＝BD2﹣DH2，＝37﹣1＝36，∴BH＝6dm，∴ED+EC＝6，∵∠ADE＝∠BCE＝90°，且M、N分別為AE、BE的中點(diǎn)，∴DM＝AM＝EM＝AE，CN＝BN＝EN＝BE，∴△DEM與△CEN的周長之和DE+DM+EM+CN+EN+EC＝DE+AE+BE+EC＝DE+AB+EC＝DE+EC+AB＝6+2，∴△DEM與△CEN的周長之和為(6+2)dm．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形綜合應(yīng)用，涉及新定義等鄰角四邊形的證明，三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．2．（23-24八年級(jí)上·浙江寧波·期末）如圖，在等腰△中，，，是△外一點(diǎn)，到三邊的垂線段分別為，，，且，則的長度為（

）A．5 B．6 C． D．【答案】D【分析】連接OA,OB,OC，由OD:OE:OF=1:4:4，設(shè)OD=x，OE=4x，OF=4x，根據(jù)OE=OF，得到AO為∠BAC的角平分線，再根據(jù)AB=AC，得到AO⊥BC，根據(jù)三線合一及勾股定理求出AD=4，再根據(jù)，得到方程求解即可．【詳解】解：連接OA,OB,OC,由OD:OE:OF=1:4:4，設(shè)OD=x,OE=4x,OF=4x，∵OE=OF，∴AO為∠BAC的角平分線，又∵AB=AC，∴AO⊥BC，∴AD為△ABC的中線，∴A、D、O三點(diǎn)共線，∴BD=3，在Rt△ABD中，AD==4，∴∴12=10x+10x?3x，∴x=∴AO=4+=.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定及性質(zhì)，熟知等腰三角形的三線合一、角平分線的判定及三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．2．（23-24九年級(jí)上·重慶·期中）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，tanC＝2，BD⊥AC于點(diǎn)D，點(diǎn)G是底邊BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)G向兩腰作垂線段，垂足分別為E、F，若BD＝4，GE＝1.5，則BF的長度為（

）

A．0.75 B．0.8 C．1.25 D．1.35【答案】C【分析】連接AG，根據(jù)S△CGA+S△BGA＝S△ABC，AC＝AB，得到GE+GF＝BD，求得GF的長，根據(jù)∠ABC=∠C，得到tan∠ABC=tanC＝2＝，求解即可.【詳解】解：連接AG，

∵S△CGA+S△BGA＝S△ABC，∴×AC×GE+×AB×GF＝×AC×BD，∵AC＝AB，∴GE+GF＝BD，∵BD＝4，GE＝1.5，∴GF＝2.5，∵tan∠ABC=tanC＝2＝，∴BF=1.25.故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角的正切值，三角形面積公式，解此題的關(guān)鍵在于作輔助線構(gòu)造三角形.3．（23-24八年級(jí)下·福建泉州·期中）如圖，是三角形內(nèi)一點(diǎn)，，若，且是等邊三角形，則的周長為（）

A．12 B．18 C．24 D．30【答案】B【分析】延長交于，延長交于，由條件推出四邊形，四邊形是平行四邊形，是等邊三角形，得到，即可求出的周長．【詳解】解：延長交于，延長交于，

，，四邊形，四邊形是平行四邊形，，是等邊三角形，，，，是等邊三角形，同理：是等邊三角形，，，，的周長為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)證明．4．（23-24八年級(jí)上·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)是邊上異于B，的任意一點(diǎn)，于點(diǎn)E．于點(diǎn)F．若邊上的高線，則．【答案】【分析】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)，難度不大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們鉆研和探索問題的精神．先設(shè)，則，根據(jù)是等邊三角形，得出，再利用三角函數(shù)求出和的長，即可得出的值．【詳解】解：邊上的高線，∴，設(shè)，則，是等邊三角形，．∴，即，同理可證：，∴．故答案為：．5．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，點(diǎn)為此三角形內(nèi)部（包含三角形的邊）的一點(diǎn)且到三角形三邊的距離和為7，則的最小值為．【答案】【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸正半軸，為軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)為根據(jù)已知和等面積法得到x、y的關(guān)系式，則可知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)CP垂直該直線時(shí)，CP最小，求出CP所在的直線方程，聯(lián)立方程組求點(diǎn)P坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式即可求解．【詳解】如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸正半軸，為軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)為，過作軸，軸，，∴，，連接，，，∴，∴，解得：，∵到三角形三邊的距離和為7，∴，即：，整理得：，∴點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線為，∴當(dāng)交于點(diǎn)時(shí)，最小，∴，∴，又∵直線過原點(diǎn)，∴直線為：，聯(lián)立，解得：，∴點(diǎn)為，∴最小值為，即：．【點(diǎn)睛】本題是將幾何圖形問題轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的問題，涉及三角形的等面積法、求直線方程、直線方程的動(dòng)點(diǎn)和最值問題、解二元一次方程組、兩點(diǎn)間的距離公式等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是找到相關(guān)知識(shí)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，利用代數(shù)知識(shí)解決幾何問題，是有一定難度的填空壓軸題．6．（2024八年級(jí)·廣東·培優(yōu)）如圖，中，，點(diǎn)P是邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是延長線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，過點(diǎn)Q分別作于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，則．（填“>”“<”或“=”）【答案】【分析】本題考查三角形的概念，熟練掌握三角形面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵，連接連接、，利用“等面積法”可得，從而得到，又，進(jìn)而可得，即可得答案．【詳解】解：連接、，如圖所示：∵﹐且，，，，∴，∵，∴，∴．故答案為：．7．（23-24九年級(jí)上·山東青島·期末）如圖，將矩形沿折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上，點(diǎn)C落在點(diǎn)處，點(diǎn)Р為折痕上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)Р作，垂足分別為G、H，若，，則下列結(jié)論正確的有（填正確結(jié)論的序號(hào)）①②的面積是③④．【答案】①②④【分析】根據(jù)將矩形沿折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上，點(diǎn)C落在點(diǎn)處，證明四邊形是菱形，可得，得，判斷①符合題意；求出，可得的面積，判斷②符合題意，在中，，判斷③不符合題意；由，可得，判斷④符合題意．【詳解】解：∵將矩形沿折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)B上，點(diǎn)C落在點(diǎn)處，∴，，，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形，∵，∴，故①符合題意；∴，在中，，∴的面積為，故②符合題意；在中，，故③不符合題意；如圖，連接，∵∴，而，∴，故④符合題意，∴正確的有①②④，故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查矩形中的翻折變換，菱形的判定，涉及勾股定理及應(yīng)用，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．8．（2024八年級(jí)·廣東·培優(yōu)）如圖，在中，線段AD為中線，點(diǎn)O為線段AD的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)O，且B，C兩點(diǎn)在l的同側(cè)，過點(diǎn)B，C，D，A作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，H，G．則下列說法一定正確的有．

①；②；③；④若點(diǎn)B，C位于l異側(cè)，有．【答案】②③/③②【分析】連接，，證明，可判定②；證明，得，由，可得，即是梯形的中位線，由梯形中位線性質(zhì)可判定③；在與中，，，，得與是對(duì)應(yīng)邊，由于，無條件能得出，故不能判定兩三角形全等，可判定①；若點(diǎn)B，C位于l異側(cè)，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，求得；當(dāng)時(shí)，求得，可判定④．【詳解】解：連接，，如圖，

∵，，∴∵，，∴，∴，故②正確；∵，，，∴，∴∵AD為的中線，∴∴∴是梯形的中位線，∴∵∴，故③正確；在與中，，，，∵，而與不一定相等，則與不一定相等，∴與沒有對(duì)應(yīng)邊相等，所以與全等，故①錯(cuò)誤；若點(diǎn)B，C位于l異側(cè)，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，如圖，

在截取，過點(diǎn)M作，垂足為M，交于N，過點(diǎn)N作于P，過點(diǎn)D作于Q，∵∴∵，∴∴∵∴∵，∴∴∴∵，，∴四邊形是矩形，∴ME=NP，∵，，，∴，∴∴，即；當(dāng)時(shí)，如圖，

在截取，過點(diǎn)M作，垂足為M，交于N，過點(diǎn)N作于P，過點(diǎn)D作于Q，同理可得：綜上，若點(diǎn)B，C位于l異側(cè)，則有或，故④錯(cuò)誤．故答案為：②③．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，梯形中位線性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）出入相補(bǔ)原理是我國古代數(shù)學(xué)的重要成就之一，最早是由三國時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)建．“將一個(gè)幾何圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一、如圖，在矩形中，，，對(duì)角線與交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)F，G，則．

【答案】/【分析】連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)勾股定理得到，求得，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，

四邊形是矩形，，，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．10．（23-24九年級(jí)上·江蘇無錫·期末）如圖，已知等腰中，，，P為三角形內(nèi)（含邊）一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作、、的垂線，垂足分別為D、E、F．若，則長為；若，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長為．【答案】【分析】（1）如圖，當(dāng)時(shí)，連接，，可證四邊形是正方形，再利用證明，，得出，，設(shè)，則，再結(jié)合，即可求出長；（2）作的角平分線交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作交于點(diǎn)H，在上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P分別作、、的垂線，垂足分別為D、E、F，過點(diǎn)M作．首先證明，再證，得出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡為線段，求出線段即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖，當(dāng)時(shí)，連接，．，，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，在和中，，，，同理可證．設(shè)，則，，，，，．又，，解得，即；（2）如圖，作的角平分線交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作交于點(diǎn)H，在上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P分別作、、的垂線，垂足分別為D、E、F，過點(diǎn)M作．等腰中，，，，，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，．平分，，，．，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡為．設(shè)，則，，，，，，．即點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長為．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，難度較大，解題的關(guān)鍵是通過添加輔助線找到點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡．x積公式是解題的關(guān)鍵．11.（23-24八年級(jí)下·河南南陽·期中）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)過點(diǎn)P分別作PE∥AC交AB于點(diǎn)E，PF∥AB交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F．（1）觀察猜想:如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P、D重合，試猜想PD，PE，PF與AB的數(shù)量關(guān)系：．（2）類比探究:如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時(shí)，過點(diǎn)P作MN∥BC交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，試寫出PD，PE，PF與AB的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．（3）解決問題:如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外時(shí)，若AB＝6，PD＝1，請(qǐng)直接寫出平行四邊形PEAF的周長．【答案】（1）PD+PE+PF＝AB；（2）PD+PE+PF＝AB，見解析；（3）14【分析】（1）由PE∥AC，PF∥AB可判斷四邊形AEPF為平行四邊形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠1＝∠C，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得PF＝AE，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠B＝∠C，則∠B＝∠1，則可根據(jù)等腰三角形的判定得PE＝BE，所以PE+PF＝AB；（2）因?yàn)樗倪呅蜳EAF為平行四邊形，所以PE＝AF，又三角形FDC為等腰三角形，所以FD＝PF+PD＝FC，即PE+PD+PF＝AC＝AB；（3）過點(diǎn)P作MN∥BC分別交AB、AC于M、N兩點(diǎn)，推出PE+PF＝AM，再推出MB＝PD即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）答：PD+PE+PF＝AB．證明如下：∵點(diǎn)P在BC上，∴PD＝0，∵PE∥AC，PF∥AB，∴四邊形PFAE是平行四邊形，∴PF＝AE，∵PE∥AC，∴∠BPE＝∠C，∴∠B＝∠BPE，∴PE＝BE，∴PE+PF＝BE+AE＝AB，∵PD＝0，∴PD+PE+PF＝AB，故答案為：PD+PE+PF＝AB；（2）如圖2，結(jié)論成立：PD+PE+PF＝AB．證明：過點(diǎn)P作MN∥BC分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，∵PE∥AC，PF∥AB，∴四邊形AEPF是平行四邊形，∵M(jìn)N∥BC，PF∥AB，∴四邊形BDPM是平行四邊形，∴AE＝PF，∠EPM＝∠ANM＝∠C，∵AB＝AC，∴∠EMP＝∠B，∴∠EMP＝∠EPM，∴PE＝EM，∴PE+PF＝AE+EM＝AM．∵四邊形BDPM是平行四邊形，∴MB＝PD．∴PD+PE+PF＝MB+AM＝AB，即PD+PE+PF＝AB；（3）如圖3，過點(diǎn)P作MN∥BC分別交AB、AC延長線于M、N兩點(diǎn)．∵PE∥AC，PF∥AB，∴四邊形PEAF是平行四邊形，∴PF＝AE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵M(jìn)N∥BC，∴∠ANM＝∠C＝∠B＝∠AMN，∵PE∥AC，∴∠EPM＝∠FNP，∴∠AMN＝∠FPN，∴∠EPM＝∠EMP，∴PE＝ME，∵AE+ME＝AM，∴PE+PF＝AM，∵M(jìn)N∥CB，DF∥AB，∴四邊形BDPM是平行四邊形，∴MB＝PD，∴PE+PF﹣PD＝AM﹣MB＝AB，∴PE+PF＝AB+PD＝6+1＝7，∴平行四邊形PEAF的周長＝14，故答案為：14．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)應(yīng)用，結(jié)合等腰三角判斷角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12．（23-24泰州八年級(jí)上期中）從特殊出發(fā)：如圖1，在ABC中，AB=AC，點(diǎn)P為邊BC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，求證：PD+PE=CF．小明的證明思路：如圖2，連接AP，由ABP與ACP面積之和等于ABC的面積可以證得PD+PE=CF（不需寫出證明過程）．變化一下：（1）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長線上時(shí)，其余條件不變，請(qǐng)運(yùn)用上述解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法，猜想PD、PE和CF的關(guān)系，并證明．從幾何到函數(shù)：如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線l1、l2，分別是函數(shù)和的圖像，l1、l2與x軸的交點(diǎn)分別為A、B．（2）兩條直線恰好相交于y軸上的點(diǎn)C，點(diǎn)C的坐標(biāo)是；（3）說明ABC是等腰三角形；（4）若l2上的一點(diǎn)M到l1的距離是1，運(yùn)用上面的結(jié)論，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）PD＋PE＝CF，見解析；（2）；（3）見解析；（4）（，2）或（-，4）【分析】（1）連接AP，同理利用△ABP與△ACP面積之差等于△ABC的面積可以證得結(jié)論；（2）根據(jù)一次函數(shù)圖象，與y軸交點(diǎn)即為點(diǎn)C，令x=0求出y值即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)求出線段AB和AC的長相等，即可求證；（4）分M在線段BC上和M在線段BC外兩種情況，再分別根據(jù)圖②和③的結(jié)論，求得M到AC的距離，即M點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再代入l2的解析式可求出M的坐標(biāo)．【詳解】解：小明的證明思路：如圖②，連接AP，∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，∴＝AB?PD，＝AC?PE，＝AB?CF，∵＋＝，∴AB?PD＋AC?PE＝AB?CF，又AB＝AC，∴PD＋PE＝CF；（1）如圖③，連接AP，∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，∴＝AB?PD，＝AC?PE，＝AB?CF，∵?＝，∴AB?PD?AC?PE＝AB?CF，又∵AB＝AC，∴PD?PE＝CF；（2）∵和兩條直線恰好相交于y軸上的點(diǎn)C，∴當(dāng)，則，∴；（3）∵點(diǎn)A是l1與x軸的交點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，∴，∵點(diǎn)B為l2與x軸的交點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，∴，∴，∵，，∴，∴AB=AC,∴ABC是等腰三角形；（4）如圖④，由題意可求得A（?4，0），C（0，3），B（1，0），∴AB＝5，AC＝5，BC＝，OC＝3，當(dāng)M在線段BC上時(shí)，過M分別作MP⊥x軸，MQ⊥AC，垂足分別為P、Q，∵l2上的一點(diǎn)M到l1的距離是1，∴MQ＝1，由圖②的結(jié)論得：MP＋MQ＝OC=3，∴MP＝2，∴M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，又∵M(jìn)在直線y＝?3x＋3，∴當(dāng)y＝2時(shí)，x＝∴M坐標(biāo)為（，2）；同理，由前面結(jié)論可知當(dāng)M點(diǎn)在線段BC外時(shí)，有|MP?MQ|＝OC，可求得MP＝4或MP＝?2，即M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4或?2，分別代入y＝?3x＋3，可求得x＝-或x＝（舍，因?yàn)樗絣1的距離不是1），∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-，4）；綜上可知M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，2）或（-，4）．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及等腰三角形的性質(zhì)、三角形的面積、勾股定理和等積法等知識(shí)，考查了用面積法證明幾何問題，考查了運(yùn)用已有的經(jīng)驗(yàn)解決問題的能力，體現(xiàn)了自主探究與合作交流的新理念，是充分體現(xiàn)新課程理念難得的好題．13.（23-24九年級(jí)上·四川成都·期中）教材再現(xiàn)：面積法是常用的求長度法，如例圖中，等腰中，．即，∵，∴是個(gè)固定值．(1)如圖1，在矩形中，與交于O，，P是上不與A和D重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作和的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則的值為_________．知識(shí)應(yīng)用：(2)如圖2，在矩形中，點(diǎn)M，N分別在邊，上，將矩形沿直線折疊，使點(diǎn)D恰好與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)處．點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，N重合），過點(diǎn)P分別作直線，的垂線，垂足分別為E和F，以，為鄰邊作平行四邊形，若的周長是否為定值？若是，請(qǐng)求出的周長；若不是，請(qǐng)說明理由．(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)P是等邊．外一點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)P分別作直線、、的垂線、垂足分別為點(diǎn)E、D、F．若，請(qǐng)直接寫出的面積_________．【答案】(1)(2)的周長是定值24，理由見解答過程(3)【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得出，，，，，再由勾股定理得，則，，然后由三角形面積即可得出結(jié)論；（2）先求，則，再由勾股定理得，然后由三角形面積求出，即可解決問題；（3）由，可求的長，從而求出．【詳解】（1）解：如圖1，設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，解得：．（2）解：的周長是定值24，理由如下：四邊形是矩形，，，，，連接，過點(diǎn)作于，如圖2所示：則四邊形是矩形，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，，，，，，，的周長，的周長是定值24；（3）解：如圖3，連接，，，，是等邊三角形，，，，，，【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，掌握矩形的性質(zhì)和判定，折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，三角形面積等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．（23-24八年級(jí)下·四川宜賓·階段練習(xí)）閱讀材料：如圖，中，，為底邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)到兩腰的距離分別為，腰上的高為，連接，則，即：，∴（定值）．(1)理解與應(yīng)用：如圖，在邊長為的正方形中，點(diǎn)E為對(duì)角線上的一點(diǎn)，且，為上一點(diǎn)，于，于，試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論求出的長．(2)類比與推理：如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”，那么的位置可以由“在底邊上任一點(diǎn)”放寬為“在三角形內(nèi)任一點(diǎn)”，即：已知等邊內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊的距離分別為，等邊的高為，試證明（定值）．(3)拓展與延伸：若正邊形，內(nèi)部任意一點(diǎn)到各邊的距離為，請(qǐng)問是否為定值？如果是，請(qǐng)合理猜測出這個(gè)定值．

【答案】(1)(2)證明過程見詳解(3)設(shè)正邊形的邊心距為，（定值）【分析】（1）根據(jù)題意可得是等腰直角三角形，可求出的值，根據(jù)材料即可求證；（2）如圖所示，等邊三角形，邊的高為，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且于點(diǎn)，可得，，由此即可求解；（3）設(shè)正邊形的邊心距為，圖形結(jié)合分析，即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是正方形，邊長為，是對(duì)角線，∴，且，∴是等腰三角形，如圖所示，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

在中，，∴，∴，即，∵于，于，∴由材料可知，∴．（2）解：如圖所示，等邊三角形，邊的高為，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且于點(diǎn)，∵等邊三角形，，∴是等邊三角形，∴在中，根據(jù)材料提示可得，①，∵，，∴②，∴①②得，．（3）解：正邊形的內(nèi)角和為，每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，如圖所示，

垂直于邊，即設(shè)正邊形的邊心距為，∴（定值）．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用面積分割法，求線段之間的關(guān)系，理解材料中面積法求線段關(guān)系，掌握面積的計(jì)算方法，分割方法是解題的關(guān)鍵．15．（2022·黑龍江綏化·中考真題）我們可以通過面積運(yùn)算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和與一腰上的高之間的數(shù)量關(guān)系，并利用這個(gè)關(guān)系解決相關(guān)問題．(1)如圖一，在等腰中，，邊上有一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作于E，于F，過點(diǎn)C作于G.利用面積證明：．(2)如圖二，將矩形沿著折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B落在處，點(diǎn)G為折痕上一點(diǎn)，過點(diǎn)G作于M，于N.若，，求的長．(3)如圖三，在四邊形中，E為線段上的一點(diǎn)，，，連接，且，，，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，利用等面積法，根據(jù)等腰中，，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題中條件，利用折疊性質(zhì)得到，結(jié)合矩形中得到，從而有，從而確定是等腰三角形，從而利用（1）中的結(jié)論得到，結(jié)合勾股定理及矩形性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）延長交于，連接，過點(diǎn)作于，根據(jù)，，，得到是等腰三角形，從而由（1）知，在中，，在中，，，聯(lián)立方程求解得，從而得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：在等腰中，，邊上有一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作于E，于F，過點(diǎn)C作于G，由得，；（2）解：連接，過點(diǎn)作于，如圖所示：根據(jù)折疊可知，在矩形中，，則，，即是等腰三角形，在等腰中，，邊上有一點(diǎn)G，過點(diǎn)G作于M，于N，過點(diǎn)作于，由（1）可得，在中，，，則，在四邊形中，，則四邊形為矩形，，即；（3）解：延長交于，連接，過點(diǎn)作于，在四邊形中，E為線段上的一點(diǎn)，，，則，又，，，即是等腰三角形，由（1）可得，設(shè)，，，，在中，，在中，，，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，x=1是方程的解用符合題意，，即．【點(diǎn)睛】本題考查幾何綜合，涉及到等腰三角形的判定與性質(zhì)、等面積求線段關(guān)系、折疊的性質(zhì)、勾股定理求線段長、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，掌握（1）中的證明過程與結(jié)論并運(yùn)用到其他情境中是解決問題的關(guān)鍵．16．（2023·陜