專題09 三角形中的重要模型之垂美四邊形與378、578模型解讀與提分精練（全國）（解析版）

專題09三角形中的重要模型之垂美四邊形與378、578模型全等三角形在中考數學幾何模塊中占據著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內容，本專題就對角互補模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。大家在掌握幾何模型時，多數同學會注重模型結論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒置。要知道數學題目的考察不是一成不變的，學數學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因為多數題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每一個題型，做到活學活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.垂美四邊形模型 2模型2.378和578模型 33 42模型1.垂美四邊形模型垂美四邊形的定義：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形。圖1圖2圖3圖4條件：如圖1，已知四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O，且AC⊥BD；結論：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四邊形的面積等于對角線乘積的一半，即S四邊形ABCD=AC?BD。證明：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，，，∴；∵AC⊥BD，∴S△ABC=AC?BO，S△ADC=AC?DO∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=AC?BO+AC?DO=AC?BD。條件：如圖2，在矩形ABCD中，P為CD邊上有一點，連接AP、BP；結論：DP2+BP2=AP2+PC2證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADP＝∠BCP＝90°，AD=BC，由勾股定理得，，，∴，∴。條件：如圖3（或圖4），在矩形ABCD中，P為矩形內部（外部）任意一點，連接AP、BP，CP，DP；結論：AP2+PC2=DP2+BP2證明：過點作的垂線，交于點，交于點，則四邊形和為矩形，，由勾股定理得：則，，，．（圖4的證明和圖3證明相同）用處：①對角線垂直的四邊形對邊的平方和相等；②已知三邊求一邊的四邊形，可以聯想到垂美四邊形。例1．（23-24八年級上·河北保定·期中）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形，對角線交于點．若，，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據垂美四邊形的性質，勾股定理的運用即可求解，本題主要考查勾股定理的運用，掌握勾股定理的計算是解題的關鍵．【詳解】解：∵四邊形是“垂美”四邊形，即，∴在中，，在中，，∴，在中，，在中，，∴，∴，故選：．例2．（23-24九年級上·天津·期末）如圖，四邊形兩條對角線互相垂直，且．設，(1)用含的式子表示：_____________；(2)當四邊形的面積為時，求的長；【答案】(1)(2)【分析】（1）根據進行求解即可；（2）根據（1）所求，代入進行求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，設交于點O，∵，，∴，∵四邊形兩條對角線互相垂直，∴，故答案為；；（2）解：由題意得，∴，解得或（舍去）∴．【點睛】本題主要考查了三角形面積，一元二次方程的應用，正確列出四邊形的面積關系式是解題的關鍵．例3．（2023·江蘇鹽城·一模）如圖，四邊形的對角線和互相垂直，，則四邊形面積最大值為．

【答案】【分析】本題考查了二次函數最值以及四邊形面積求法．直接利用對角線互相垂直的四邊形面積求法得出，再利用配方法求出二次函數最值．【詳解】解：設，四邊形的面積為S，∵，∴，∵四邊形的對角線和互相垂直，∴，∴當時，S取得最大值，最大值為，即四邊形面積最大值為．故答案為：．例4．（2024·陜西·一模）已知矩形ABCD中有一點P，滿足PA＝1，PB＝2，PC＝3，則PD＝．【答案】【分析】由ABCD是矩形，過P作GHBC交AB、CD于點G、H，過P作EFAB交AD、BC于點E、F，在所形成的直角三角形中，由勾股定理得出AP2+CP2=BP2+DP2，從而求出DP．【詳解】解：過點P作GHBC交AB、CD于點G、H，過點P作EFAB交AD、BC于點E、F，設AE=BF=c，AG=DH=a，GB=HC=b，ED=FC=d，，，PA＝1，PB＝2，PC＝3，即（負值已舍去）故答案為：．【點睛】本題考查了四邊形的綜合題，矩形的性質，勾股定理，關鍵是利用勾股定理列方程組．例5．（23-24八年級下·浙江寧波·期中）定義：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形．了解性質：如圖1：已知四邊形中，．垂足為，則有：；性質應用：（1）如圖1，四邊形是垂美四邊形，若，，，則；性質變式：（2）如圖2，圖3，P是矩形所在平面內任意一點，則有以下重要結論：．請以圖3為例將重要結論證明出來．應用變式：（3）①如圖4，在矩形中，O為對角線交點，P為中點，則；（寫出證明過程）；②如圖5，在中，，，D是內一點，且，，則的最小值是．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）①證明見解析；②【分析】本題是四邊形綜合題，考查了新定義“垂美”四邊形、直角三角形的性質、勾股定理等知識；（1）由勾股定理可得出答案；（2）過作于，交的延長線于，由（1）性質可知：，由勾股定理可得出答案；（3）以、為邊作矩形，連接、，由矩形的性質得出，由題意得，求出，當、、三點共線時，最小，得出的最小值的最小值．【詳解】（1）解：如圖1，四邊形是垂美四邊形，，，，，，．故答案為：；（2）證明：過作于，交的延長線于，由（1）性質可知：，即：，又由勾股定理可知：，，即；（3）解：①設，則，由（2）可得，，；②以、為邊作矩形，連接、，如圖所示：則，由題意得：，即，解得：，當、、三點共線時，最小，的最小值的最小值；故答案為：．例6．（23-24八年級下·江西贛州·期末）如圖1，對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由；（2）性質探究：如圖1，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，AC⊥BD．經探究發(fā)現垂美四邊形ABCD的兩組對邊AB2，CD2和AD2，BC2有一定的數量關系，請你猜想有何種數量關系？并證明．（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的長．【答案】（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，證明見解析；（2）AD2+BC2＝AB2+CD2，證明見解析；（3）GE＝【分析】（1）根據垂直平分線的判定定理證明即可；（2）根據垂直的定義和勾股定理解答即可；（3）根據垂美四邊形的性質、勾股定理、結合（2）的結論計算．【詳解】解：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形．證明：連接BD、AC∵AB＝AD，∴點A在線段BD的垂直平分線上，∵CB＝CD，∴點C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，

∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；（2）猜想：AD2+BC2＝AB2+CD2證明：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）連接CG、BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，∴GE．【點睛】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、垂直的定義、勾股定理的應用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運用勾股定理是解題關鍵．例7．（2024·山東德州·一模）我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．例如圖1，圖2，圖3中，是的中線，，垂足為．則稱為“中垂三角形”．設．(1)①如圖1，當，時，______．______．②如圖2，當時，求和的值．(2)請猜想、和三者之間的數量關系，并結合圖3寫出證明過程．(3)如圖4，在邊長為3的菱形中，為對角線、的交點，分別為線段的中點，連接并延長交于點分別交于點，求的值．【答案】(1)①；②(2)關系為：，見解析證明(3)15【分析】本題為四邊形綜合題，考查了三角形相似、中位線等知識，其中（3），直接利用（2）的結論是本題的新穎點和突破點．（1）在圖1中，，即可求解；同理可得：；（2），則，即可求解；（3）證明：，則，即可求解．【詳解】（1）解：如圖1、2、3、4，連接，∵是的中線，∴是的中位線，∴，，∴，∵，則在圖1中，，由此得：，；在圖2中，，，由此得：，，，，則；（2）關系為：，證明：如圖3，設：，則：，由（1）得：，，，，則；（3）根據題意可得，∴，∴，，∵分別為線段的中點，∴是的中位線，∴，則，∴，∴，∴，∴，∴分別是中點，，，，，，，∵分別是中點，∴是的中線，∴是“中垂三角形”，由（2）得，即，則．模型2.378和578模型378和578模型：邊長為3、7、8或5、7、8的三角形（如圖1）。當我們遇到兩個三角形的三邊長分別為3，7，8和5，7，8的時候，通常不會對它們進行處理，實際是因為我們對于這兩組數字不敏感，但如果將這兩個三角形拼在一起，你將驚喜地發(fā)現這是一個邊長為8的等邊三角形。圖1圖2圖3圖4條件：當兩個三角形的邊長分別為3，7，8和5，7，8時；結論：①這兩個三角形的面積分別為、；②3、8與5、8夾角都是60°；③將兩個三角形長為7的邊拼在一起，恰好組成一個邊長為8的等邊三角形。證明：如圖2，過點C作CM⊥AB于點M，設BM=x則AM=3+x，∴∠CMB=90°，在Rt?ACM中：CM2=AC2-AM2，在Rt?BCM中：CM2=BC2-BM2，∴AC2-AM2=BC2-BM2，即82-（3+x）2=72-x2，解得x=1，∴CM=4，∴CM=，∴S?ABC=AB?CM=12?3?=，∵CM=4，AC=8，∠ACM=30°，∠CAM=60°。如圖3，過點F作FN⊥DE于點N，設DN=x則NE=5-x，∴∠FND=90°，在Rt?DNF中：NF2=DF2-DN2，在Rt?ENF中：NF2=EF2-NE2，∴DF2-DN2=EF2-NE2，即72-x2=82-（5-x）2，解得x=1，NE=4，∴NF=，∴S?DEF=?DE?NF=?5?=，∵NE=4，EF=8，∠EFN=30°，∠FEN=60°。∴CM=NF=，∠CMB=∠FND=90°，∵CB=DF=7，∴Rt?BCM≌Rt?DNF，∴∠CBM=∠FDN，∵∠CBM+∠ABC=180°，∴∠FDN+∠ABC=180°，∵AC=EF=8?！鄬蓚€三角形長為7的邊拼在一起，恰好組成一個邊長為8的等邊三角形（如圖4）。例1．（2023·浙江溫州·九年級?？计谀┻呴L為5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（

）．A．90° B．150° C．135° D．120°【答案】D【分析】法1：拼成一個邊長為8的等邊三角形，即可求解。法2：設△ABC的三邊AB=5，AC=7，BC=8，過點A作AD⊥BC于點D，設BD=x，分別在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用勾股定理求得AD，從而可建立方程，求得x的值，可求得∠B，因此可得最大角和最小角的和．【詳解】法1：∵△ABC的邊長為5，7，8，∴其可以和邊長為3，7，8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，又由三角形中大邊對大角，可知邊長為7的邊所對的角為60°，所以最大角和最小角的和是120°.故選D.法2：設△ABC的三邊AB=5，AC=7，BC=8，過點A作AD⊥BC于點D，如圖設BD=x，則CD=8-x在Rt△ADB中，由勾股定理得：；在Rt△ADC中，由勾股定理得：則得方程：解得：即∵，AD⊥BC∴∠BAD=30゜∴∠ABD=90゜-∠BAD=60゜∴∠BAC+∠C=180゜-∠ABD=120゜∵BC>AC>AB∴∠BAC>∠ABD>∠C故最大角與最小角的和為120゜故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理，解一元一次方程，大角對大邊等知識，關鍵是作最大邊上的高，從而為勾股定理的使用創(chuàng)造了條件．例2．（2023·江蘇·八年級專題練習）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，則∠B＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°【答案】C【分析】法1：拼成一個邊長為8的等邊三角形，即可求解。法2：過點A作交BC延長線于點D，設CD=x，則BC=3+x，在和中，利用勾股定理求出，可求出CD的長，從而得到BD的長，然后利用直角三角形的性質即可求解．【詳解】法1：∵△ABC的邊長為3，7，8，∴其可以和邊長為5，7，8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，如圖，觀察圖形可知∠B為等邊三角形的一個內角，所以∠B=60°.故選C.法2：如圖，過點A作交BC延長線于點D，∵在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，可設CD=x，則BC=3+x，在中，，在中，，∴，解得：，∴BC=3+x=4，∴在中，，∴，∴．故選C．【定睛】本題主要考查了勾股定理及直角三角形的性質，熟練掌握直角三角形中若一條直角邊等于斜邊的一半，則這條直角邊所對的銳角等于是解題的關鍵．例3．（2023·綿陽市·八年級專題練習）如圖，△ABC的邊AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC邊上的高．解：作AD⊥BC于D，由勾股定理得，AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即82﹣（5﹣CD）2＝72﹣CD2，解得，CD＝1，則BC邊上的高AD＝＝4．另解：可以和三邊長為3，7，8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，從而求解。例4．（2023八年級上·江蘇·專題練習）已知在中，，，，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，在和中根據勾股定理表示出和，列出方程求出，代入求出的值，再根據三角形的面積公式求出面積即可．【詳解】解：如圖，過作，垂足為．設，則，

∵在和中，，，解得，．．故選：C．另解：可以和三邊長為3，7，8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，從而求解?！军c睛】本題考查了勾股定理以及三角形的面積公式，熟練掌握利用勾股定理表示相應線段之間的關系是解題的關鍵．例5．（23-24九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）在中，，，，則的長為．【答案】5或3【分析】分當是銳角三角形時，當是鈍角三角形時兩種情況，過點A作于D，利用含30度角的直角三角形的性質和勾股定理分別求出的長即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，當是銳角三角形時，過點A作于D，∵，∴，∴，∴，∴，∴；

如圖所示，當是鈍角三角形時，過點A作于D，∵，∴，∴，∴，∴，∴；綜上所述，的長為5或3，故答案為：5或3．【點睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．1．（2023·湖北武漢·九年級校考階段練習）如圖，四邊形的兩條對角線互相垂直，AC、BD是方程的兩個解，則四邊形的面積是（

）A．60 B．30 C．16 D．32【答案】B【分析】對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半，二次方程的兩根乘積可以利用韋達定理快速求解即可．【詳解】由題意可知：四邊形的面積∵AC、BD是方程的兩個解，∴，四邊形的面積，故答案為：B．【點睛】本題考查對角線互相垂直的四邊形的面積計算及二次方程根與系數的關系，知道利用對角線的成績計算面積是解題關鍵．2．（23-24八年級下·安徽合肥·期末）點P是矩形內一點，且滿足，，，則的值為（

）A．3 B．5 C． D．【答案】D【分析】本題考查了矩形的性質與判定，勾股定理，正確的添加輔助線是解題的關鍵．過點向矩形的四邊分別作垂線，垂直分別為，根據題意，設，則有勾股定理，分別求得，根據已知數據以及，進而即可求得的長．【詳解】過點向矩形的四邊分別作垂線，垂直分別為，如圖，四邊形是矩形，，四邊形是矩形，，設，則，，，，，．故選：D．3．（2024·天津和平·二模）如圖，四邊形的兩條對角線，BD相交于點，點在線段上，且，若．有下列結論：①的取值范圍是；②的長有兩個不同的值滿足四邊形的面積為12；③四邊形面積最大值為．其中，正確結論的個數有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】本題主要考查了三角形的三邊關系，解一元二次方程，二次函數的性質等知識點，利用三角形的三邊關系可判定①，先表示出，再利用二次函數的性質可判定③，解的方程，可判定②，進而可得答案，熟練掌握其性質是解決此題的關鍵．【詳解】∵在中，，∴，∴，當時，，此時是直角三角形且點C在線段BD上，不符合題目是四邊形，∴或，故①錯誤，不符合題意；∵，∴，∵，∴，∴，∴當時，四邊形面積有最大值為，故③正確，符合題意；當時，解方程得：或，∵當時，不符合題目是四邊形，∴的長有1個值滿足四邊形的面積為12，故②錯誤，不符合題意；故選：B．4．（2023·山東八年級課時練習）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，則∠C＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°【答案】C【分析】法1：拼成一個邊長為8的等邊三角形，即可求解。法2：過點A作AD⊥BC于D，設CD＝x，則BD＝BC?CD＝5?x，由勾股定理得72?（5?x）2＝82?x2，得出CD＝4，則CD＝AC，再證∠CAD＝30°．【詳解】法1：∵△ABC的邊長為5，7，8，∴其可以和邊長為3，7，8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，如圖，觀察圖形可知∠C為等邊三角形的一個內角，所以∠C=60°.故選C.法2：過點A作AD⊥BC于D，如圖所示：設CD＝x，則BD＝BC?CD＝5?x，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2?BD2，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2?CD2，∴AB2?BD2＝AC2?CD2，即：72?（5?x）2＝82?x2，解得：x＝4，∴CD＝4，∴CD＝AC，∴∠CAD＝30°，∴∠C＝90°?30°＝60°，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形內角和定理等知識；熟練掌握勾股定理，證出∠CAD＝30°是解題的關鍵．5．（2024·四川廣元·二模）如圖，在四邊形中，，對角線AC，BD互相垂直，，，則的值是【答案】【分析】本題考查了勾股定理運用，平行四邊形的判定與性質，作輔助線構造直角三角形、運用平行四邊形性質及勾股定理是解題的關鍵．過點作交延長線于，作于，將轉化為，對運用勾股定理求解．【詳解】解：如圖，過點作交延長線于，作于，，，，四邊形是平行四邊形，，，，在中，，，∴，故答案為：．6．（2022·山東棗莊·模擬預測）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．若AD=3，BC=5，則．【答案】34【分析】在Rt△COB和Rt△AOB中，根據勾股定理得BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，進一步得BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，再根據AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，最后求得AB2+CD2=34．【詳解】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，在Rt△COB和Rt△AOB中，根據勾股定理得，BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，∴BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，∵AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，∴AB2+CD2=34；故答案為：34．【點睛】本題考查勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理在實際問題中的應用，從題中抽象出勾股定理這一數學模型是解題關鍵．7．（23-24九年級上·廣東梅州·期中）四邊形的對角線互相垂直且長分別為8和12，則面積為．【答案】48【分析】本題考查四邊形面積問題，畫出圖形，四邊形，于，，，利用三角形面積公式可得，從而可以得到答案．解題的關鍵是掌握“對角線互相垂直的四邊形，面積等于對角線乘積的一半”．【詳解】解：四邊形，于，，，如圖：∵，∴，，∴，∵，，∴．故答案為：48．8．（23-24八年級·浙江·期末）當兩個三角形的邊長分別為3，7，8和5，7，8時，則這兩個三角形的面積之和是．解：∵邊長為3，7，8的三角形，可以和邊長為5，7，8的三角形拼成一個邊長為8的等邊三角形，如圖，∴拼成的等邊三角形的高為43，∴這兩個三角形的面積之和為12×8×43=1639．（23-24八年級下·河北石家莊·階段練習）已知對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O．（1）若，，，則；（2）若，，則；（3）若，，，，則m，n，c，d之間的數量關系是．【答案】【分析】（1）根據題意和勾股定理即可求出．（2）利用勾股定理，進行等量代換，可以得到的值．（3）由（2）得求解過程可以得到，進行替換即可．【詳解】（1），，，．故答案為．（2）由（1）得：，，，，，，，．故答案為．（3）由（2）得：，．故答案為．【點睛】本題考查勾股定理的應用問題，熟練利用勾股定理和等量代換是解題的關鍵．10．（23-24八年級下·廣東廣州·期末）已知三角形一邊上的中線，與三角形三邊有如下數量關系：三角形兩邊的平方和等于第三邊一半的平方與第三邊中線平方之和的2倍．即：如圖，在中，是邊上的中線，則有．請運用上述結論，解答下面問題．如圖，點為矩形外部一點，已知，若，則的取值范圍為．【答案】【分析】本題考查了矩形的性質，三角形的三邊關系，勾股定理，理解新定義，并運用是本題的關鍵．連接交于O，連接，由矩形的性質可得，，由三角形中線與三角形三邊關系，可求的長，由三角形的三邊關系可以求出，即，再根據當點P在矩形的邊上時，求出，然后根據點P在矩形外部，求出即可．【詳解】解：如圖，連接交于O，連接，∵四邊形是矩形，∴，，∵是的中線，也是的中線，∴，，∴，∴，∴，在中，，∴，當點P在矩形的邊上時，如圖所示：∵在矩形中，，，，∴，∵，∴，∵點P在矩形外，，∴．故答案為：．11．（2022·湖北·一模）如圖，P是矩形ABCD外一點，有以下結論：①S△PAB+S△PCD=S矩形ABCD②S△PBC=S△PAC+S△PCD③PA2+PC2=PB2+PD2；④若PD⊥PB，則P、A、B、C、D在同一個圓上其中正確的序號是【答案】①②③④【分析】過點P作PE⊥AB交AB延長線于點E，交CD延長線于點F，根據矩形的性質可得四邊形BCFE是矩形，從而得到AD=BC=EF，再由，可得①正確；再根據，可得②S△PBC=S△PAC+S△PCD，故②正確；再根據勾股定理可得③正確；然后根據直徑所對的圓周角是直角可得④正確，即可求解．【詳解】解：如圖，過點P作PE⊥AB交AB延長線于點E，交CD延長線于點F，在矩形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∠ABC=90°，∴PE⊥CD，∴∠E=∠F=∠ABC=90°，∴四邊形BCFE是矩形，∴AD=BC=EF，∴，故①正確；∵，∴S△PBC=S△PAC+S△PCD，故②正確；∵，∴，∵AE=DF，BE=CF，∴PA2+PC2=PB2+PD2，故③正確；在矩形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∴點A、B、C、D在同一個圓上，且圓心位于矩形對角線的交點處，∵PD⊥PB，∴∠BPD=90°，∴點P位于以BD為直徑的圓上，∴P、A、B、C、D在同一個圓上，故④正確；故答案為：①②③④【點睛】本題主要考查了矩形的性質和判定，圓的基本性質，勾股定理，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．12．（23-24九年級上·廣東廣州·期中）如圖，四邊形的兩條對角線互相垂直，且，則四邊形面積的最大值為．【答案】8【分析】設BD=x，則AC=8－x，而四邊形的面積為S=，根據二次函數的性質即可求得面積的最大值．【詳解】如圖，設AC、BD交于點O設BD=x，則AC=8－x，其中0<x<8∵∴∵∴當x=4時，S有最大值8故答案為：8【點睛】本題考查了二次函數的性質，四邊形的面積，當四邊形的兩條對角線垂直時，其面積與菱形面積一樣，等于兩條對角線乘積的一半．把面積最大值轉化為函數問題是關鍵．13．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習）若一個四邊形的兩條對角線互相垂直且相等，則稱這個四邊形為奇妙四邊形．如圖1，四邊形中，若，，則稱四邊形為奇妙四邊形．根據奇妙四邊形對角線互相垂直的特征可得奇妙四邊形的一個重要性質：奇妙四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半．根據以上信息回答：(1)矩形________奇妙四邊形（填“是”或“不是”）；(2)如圖2，已知的內接四邊形是奇妙四邊形，若的半徑為8，．求奇妙四邊形的面積；(3)如圖3，已知的內接四邊形是奇妙四邊形．請猜測和的位置關系，并證明你的結論．【答案】(1)不是(2)96(3)平行，見解析【分析】（1）根據矩形的對角線的性質判斷即可．（2）如圖2中，連接、，作于，則．解直角三角形求出，再根據奇妙四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半計算即可．（3）依據同圓中等弧所對的圓周角都相等推導出，進而得到推導出，，，進而得到，．【詳解】（1）解：∵矩形的對角線不一定相互垂直，∴矩形不是“奇妙四邊形”，故答案為：不是；（2）如圖2中，連接、，作于，則．∵，∴，在中，∵，∴，∴，∵，∵四邊形是奇妙四邊形，∴，∴“奇妙四邊形”的面積；（3）結論：．證明如下：如圖3，∵的內接四邊形是奇妙四邊形，∴，，則，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查圓綜合題，考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理等知識，“奇妙四邊形”的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，正確尋找等量關系解決問題．14．（23-24九年級上·廣東東莞·期中）如圖，四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”

(1)試猜想箏形的對角線有什么位置關系，然后用全等三角形的知識證明你的猜想；(2)已知箏形的對角線的長度為整數值，且滿足．設的長為x，四邊形的面積為S，試求x為多少時，S有最大值，最大值是多少？【答案】(1)垂直，理由見解析；(2)當時，有最大值，最大值為【分析】（1）證可得，再證即可得，故可求證；（2）根據即可求解．【詳解】（1）解：，理由如下：∵，，,∴∴，，，∴，∴，，∴，∴（2）解：，∵，的長為x∴∴∴當時，有最大值，最大值為【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、二次函數的實際應用等．掌握相關知識是解題關鍵．15．（2024·山西晉城·三模）請閱讀列材料，并完成相應的任務：三角形中線定理三角形中線定理又稱阿波羅尼奧斯定理，是一種平面幾何的定理之一，指三角形三邊和中線長度關系．阿波羅尼奧斯（約公元前262-190年），古希臘數學家，與歐幾里得、阿基米德合稱為古希臘亞歷山大前期的三大數學家．中線定理：三角形兩邊的平方和等于第三邊的一半與第三邊上的中線的平方和的兩倍．如圖1，在中，點D為BC的中點，根據“阿波羅尼奧斯”，可得．下面是該定理的證明過程（部分）：證明：過點A作于點E，如圖2，在中，，同理可得：，，證明的方便，不妨設，，…任務：(1)按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余部分；(2)如圖3，在中，點為的中點，，，，則AD的長為______；(3)如圖4，已知平行四邊形中，和BD相交于點，設，，請直接用含，的代數式表示的值；(4)如圖5，已知平行四邊形內接于，點為內一點，若，，，，請直接寫出的長．【答案】(1)見解析(2)(3)(4)【分析】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，平行四邊形的性質，矩形的性質；（1）用線段的和差關系以及等量代換即可證明．（2）直接利用阿波羅尼奧斯定理，即可求解．（3）根據平行四邊形的性質以及阿波羅尼奧斯定理，即可求解；（4）根據題意得出是矩形，進而根據阿波羅尼奧斯定理，即可求解．【詳解】（1）解：．（2）解：∵在中，點為的中點，，，，∴，根據“阿波羅尼奧斯”，可得∴解得：；（3）∵四邊形是平行四邊形，∴∵，，∴在中，是中線，根據“阿波羅尼奧斯”，可得∴∴；（4）∵平行四邊形內接于，是直徑，∴∴四邊形是矩形，，∴∴在中，根據“阿波羅尼奧斯”，可得∴,解得：．16．（24-25九年級上·廣東深圳·月考）垂美四邊形定義如下：對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”．(1)如圖1，四邊形是“垂美四邊形”，猜想與之間的數量關系：______，并說明理由．(2)如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和正方形，連接，若，求的長．(3)如圖3，在中，，點P是外一點，連接，，已知，若以A、B、C、P為頂點的四邊形為垂美四邊形，請直接寫出的長．【答案】(1)，理由見詳解(2)(3)或【分析】本題考查了勾股定理的應用，全等三角形的判定與性質，正方形的性質，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關鍵．（1）分別對運用勾股定理，再根據等式的性質即可求證；（2）先證明，得到四邊形為“垂美四邊形”，則，再運用勾股定理求得，，代入即可求解；（3）①當時，對中，由勾股定理求得，，過點P作延長線的垂線，垂足為點D，可證明，則，，在中，由勾股定理得；②當時，同上．【詳解】（1）解：數量關系為：記交于點O，∵，∴在中，由勾股定理得：，∴，同理可得：，∴；（2）解：如圖，∵四邊形是正方形，為直角三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴四邊形為“垂美四邊形”，∴，在中，由勾股定理得：，∴，同理可求,∴，解得：；（3）解：①當時，則，在中，，∴由勾股定理得，∴，解得：（舍負），∴，過點P作延長線的垂線，垂足為點D，由題意得，，∴，∴，而，∴，∴，∴，∴在中，由勾股定理得，②當時，同上可求此時，過點P作于點D，同上可證：，∴，∴，∴在中，由勾股定理求得，綜上：或．17．（2024·山東德州·一模）我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．例如圖1，圖2，圖3中，，是的中線，，垂足為．則稱為“中垂三角形”．設，，．

(1)①如圖1，當，時，____________．②如圖2，當，時，求和的值．(2)請猜想、和三者之間的數量關系，并結合圖3寫出證明過程．(3)如圖4，在邊長為3的菱形中，為對角線，的交點，分別為線段，的中點，連接，并延長交于點，，分別交于點，求的值．【答案】(1)①；②，(2)，見解析(3)【分析】（1）①先由三角形中位線定理得出，，證明為等腰直角三角形，從而得出也為等腰直角三角形，即可得出答案；②連接，根據含角的直角三角形的性質結合勾股定理得出，，由三角形中位線定理得出，，求出，，再由勾股定理得出、的長，即可得解；（2）設，，表示出線段、，最后由勾股定理即可得出答案；（3）證出，，利用（2）的結論可得，進而由，即可求解．【詳解】（1）解：①如圖所示，連接，

，，是的中線，是的中位線，，，，，為等腰直角三角形，，也是等腰直角三角形，，故答案為：；②如圖，連接，

，，，，，，，是的中線，是的中位線，，，，，，，，，，；（2）解：，理由如下：如圖，連接，

，設，，，在中，，，是的中線，是的中位線，，，，，，，，，；（3）解：如圖，連接，

，四邊形是菱形，，，，分別為線段，的中點，，，，，，同理可得：，分別為線段，的中點，是的中位線，，，，即，四邊形是菱形，，，，，分別為線段、的中點，，，，由（2）得，，，，，，．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理、三角形中位線的呢隔離、菱形的性質、相似三角形的判定與性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．18．（2023·山東青島·二模）如果一個三角形有兩條互相垂直的中線，我們就把這樣的三角形稱為“中垂三角形”，例如圖1，圖2，圖3中，，是的中線，，垂足為P，稱這樣的三角形為“中垂三角形”，設，，．

(1)如圖1，當，時，______，______；如圖2，當，時，______，．歸納證明(2)請你觀察（1）中的計算結果，用等式表示對，，三者之間關系的猜想，并利用圖3證明，，三者之間的關系．【答案】(1)，；，(2)，見詳解．【分析】（1）先判斷是等腰直角三角形，再得到也是等腰直角三角形，最后計算即可，連接，則是的中位線．根據三角形中位線定理可得的值，根據含角的直角三角形的性質求出，，，，最后利用勾股定理即可求解；（2）先設，，表示出線段，，最后利用勾股定理即可．【詳解】（1）解：如圖1，∵，