專題08 圓中的最值模型之阿氏圓模型解讀與提分精練（北師大版）

專題08圓中的最值模型之阿氏圓模型最值問題在中考數(shù)學(xué)常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的阿氏圓問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.阿氏圓模型 1 13模型1.阿氏圓模型動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之比為定值（即：平面上兩點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA/PB=k（k為常數(shù)，且k≠1）），那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是圓，因這個(gè)結(jié)論最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故稱這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱為阿氏圓。如圖1所示，⊙O的半徑為r，點(diǎn)A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=k·OB（即），連接PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？最小值是多少呢？如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴，∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值。其中與A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小，如圖3所示。阿氏圓求最值的本質(zhì)就是通過構(gòu)造母子相似，化去比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩定一動(dòng)將軍飲馬型求最值，難點(diǎn)在于如何構(gòu)造母子相似。阿氏圓最值問題常見考法：點(diǎn)在圓外：向內(nèi)取點(diǎn)（系數(shù)小于1）；點(diǎn)在圓內(nèi)：向外取點(diǎn)（系數(shù)大于1）；一內(nèi)一外：提系數(shù)；隱圓型阿氏圓等。注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識(shí)了“k·PA+PB”最值問題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．例1．（2024·湖北武漢·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）A．7 B．5 C． D．例2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方ABCD的邊長(zhǎng)為6，圓B的半徑為3，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_______．例3．（2024·四川成都·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，在△ABC中，∠B＝90°，BA＝BC＝2，以B為圓心作圓B與AC相切，點(diǎn)P是圓B上任一動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PC，則PA+PC的最小值為．例4．（2024·重慶·?？家荒＃┤鐖D，在中，點(diǎn)A、點(diǎn)B在上，，，點(diǎn)C在OA上，且，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)M是劣弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．例5．（2024·福建·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方形邊長(zhǎng)為4，是的中點(diǎn)，在上，的最大值是，的最小值是.例6．（2023·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，，，是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，連接、，(1)求直線的解析式．(2)求的最小值．例7．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）正方形ABCD中，AB＝2，點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，點(diǎn)P是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接PC，PM，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)時(shí)，始終保持∠MPC＝45°，連接BP，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BP中點(diǎn)，求3BP＋2EF的最小值為．

例8．（2024·廣東·?？级＃?）初步研究：如圖1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q為AB上一點(diǎn)且AQ=1，證明：PB=2PQ；（2）結(jié)論運(yùn)用：如圖2，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，⊙A的半徑為2，點(diǎn)P是⊙A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠A=60°，⊙A的半徑為2，點(diǎn)P是⊙A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求2PC?PB的最大值．例9．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．拋物線的對(duì)稱軸與經(jīng)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求直線及拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)以點(diǎn)為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出的最小值．1．（2024·山東泰安·二模）如圖，在中，，，，以為圓心，為半徑作，為上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·四川宜賓·二模）正方形邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作，交于點(diǎn)F、Q，過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，連接．以下說法：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)F為的中點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)；③；④點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，有最小值6．其中結(jié)論正確的有（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④3．（2023春·江蘇·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，的半徑為2，為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是．4．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，圓C半徑為2，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接最小值__________．最小值__________．5．（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為2，銳角大小為，與相切于點(diǎn)E，在上任取一點(diǎn)P，則的最小值為___________．6．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B，所有滿足k(k為定值)的P點(diǎn)形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”，【問題解決】如圖，在△ABC中，CB4，AB2AC，則△ABC面積的最大值為_____．7．（2024·四川成都·一模）如圖，矩形中，已知為邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿邊翻折到．點(diǎn)與點(diǎn)重合．連接．則的最小值為．8．（2024·四川自貢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，以O(shè)為圓心，4為半徑作，分別交兩邊于點(diǎn)C，D兩點(diǎn)，P為劣孤上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值．9．（2024九年級(jí)·廣東·專題練習(xí)）如圖，的半徑為，，Q為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值．的最小值10．（2024九年級(jí)·廣東·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與兩坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，D是弧上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值．11．（23-24九年級(jí)上·重慶江津·階段練習(xí)）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則2PB＋PC的最小值為．12．（2023·廣東廣州·二模）【問題情境】（1）如圖1，四邊形是正方形，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接，若，則的長(zhǎng)度是_________；【類比探究】（2）如圖2，四邊形是矩形，，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接，判斷線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；【拓展提升】（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，求的最小值．

13．（2024·重慶·二模）在中，，點(diǎn)E是內(nèi)部的一點(diǎn)，連接，且，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D．

(1)如圖1，若，求的長(zhǎng)．(2)如圖2，過點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作交于點(diǎn)M，求證：．(3)如圖3，在（1）問的條件下，點(diǎn)H是的中點(diǎn)，點(diǎn)О是直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，連接，直接寫出當(dāng)取最小值時(shí)的值．14．（23-24九年級(jí)下·江蘇蘇州·開學(xué)考試）請(qǐng)認(rèn)真閱讀下列材料：如圖①，給定一個(gè)以點(diǎn)O為圓心，r為半徑的圓，設(shè)點(diǎn)A是不同于點(diǎn)O的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A的反演點(diǎn)定義為射線上一點(diǎn)，滿足．顯然點(diǎn)A也是點(diǎn)的反演點(diǎn)．即點(diǎn)A與點(diǎn)互為反演點(diǎn)，點(diǎn)O為反演中心，r稱為反演半徑．這種從點(diǎn)A到點(diǎn)的變換或從點(diǎn)到點(diǎn)A的變換稱為反演變換．例如：如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓，交y軸的正半軸于點(diǎn)B；C為線段的中點(diǎn)，P是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為；若C關(guān)于的反演點(diǎn)分別為．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連接、，求的最小值．解：（1）由反演變換的定義知：，其中，．∴，故點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）如圖③，連接、，由反演變換知，即，而，∴．∴，即．∴．故的最小值為13.請(qǐng)根據(jù)上面的閱讀材料，解決下列問題：如圖④，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，為半徑畫圓，交y軸的正半軸于點(diǎn)B，C為線段的中點(diǎn)，P是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．（1）點(diǎn)D關(guān)于的反演點(diǎn)的坐標(biāo)為________；（2）連接、，求的最小值；（3）如圖⑤，以為直徑作，那么上所有的點(diǎn)（點(diǎn)O除外）關(guān)于的反演點(diǎn)組成的圖形具有的特征是．15．（23-24九年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）（1）如圖，在中，D為上一點(diǎn)，．求證：；（2）如圖2，在菱形中，E，F(xiàn)分別為上的點(diǎn)，且，射線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，射線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．若求：①的長(zhǎng)；②的長(zhǎng)；（3）如圖3，在菱形中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，在平面內(nèi)存在點(diǎn)F，且滿足，以為一邊作（頂點(diǎn)F、A、P按逆時(shí)針排列），使得，且，請(qǐng)直接寫出的最小值．16．（2024·浙江·一模）問題提出：如圖1，在等邊△ABC中，AB＝9，⊙C半徑為3，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，BP，求AP+BP的最小值(1)嘗試解決：為了解決這個(gè)問題，下面給出一種解題思路，通過構(gòu)造一對(duì)相似三角形，將BP轉(zhuǎn)化為某一條線段長(zhǎng)，具體方法如下：(請(qǐng)把下面的過程填寫完整)如圖2，連結(jié)CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD＝1，則有又∵∠PCD＝∠∴△∽△∴∴PD＝BP∴AP+BP＝AP+PD∴當(dāng)A，P，D三點(diǎn)共線時(shí)，A