專題11 圓中的重要模型之定角定高（探照燈）模型、米勒最大角模型解讀與提分精練（北師大版）

專題11圓中的重要模型之定角定高（探照燈）模型、米勒最大角模型圓在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就圓形中的重要模型（米勒最大視角（張角）模型、定角定高（探照燈）模型）進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。近幾年一些中考幾何問題涉及了“最大視角”與“定角定高”模型，問題往往以動點為背景，與最值相結(jié)合，綜合性較強，解析難度較大，學(xué)生難以找到問題的切入點，不能合理構(gòu)造輔助圓來求解。實際上，這樣的問題中隱含了幾何的“最大視角”與“定角定高”模型，需要對其中的動點軌跡加以剖析，借助圓的特性來探究最值情形。而軌跡問題是近些年中考壓軸題的熱點和難點，既可以與最值結(jié)合考查，也可以與軌跡長結(jié)合考查，綜合性較強、難度較大。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.米勒最大張角（視角）模型 1模型2.定角定高模型（探照燈模型） 8 17模型1.米勒最大張角（視角）模型已知點A，B是∠MON的邊ON上的兩個定點，點C是邊OM上的動點，則當(dāng)C在何處時，∠ACB最大？對米勒問題在初中最值的考察過程中，也成為最大張角或最大視角問題。米勒定理：已知點AB是∠MON的邊ON上的兩個定點，點C是邊OM上的一動點，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABC的外圓與邊OM相切于點C時，∠ACB最大。如圖1，設(shè)C’是邊OM上不同于點C的任意一點，連結(jié)A，B，因為∠AC’B是圓外角，∠ACB是圓周角，易證∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。在三角形AC’D中， 又常常以解析幾何、平面幾何和實際應(yīng)用為背景進行考查。若能從題設(shè)中挖出隱含其中的米勒問題模型，并能直接運用米勒定理解題，這將會突破思維瓶頸、大大減少運算量、降低思維難度、縮短解題長度，從而使問題順利解決。否則這類問題將成為考生的一道難題甚至一籌莫展，即使解出也費時化力。例1．（23-24九年級上·河北滄州·期末）如圖，甲、乙、丙三名同學(xué)比賽定點射門，PQ是球門，且甲、乙、丙三名同學(xué)位于以點O為圓心的同一圓弧上，僅從射門角度考慮的話，進球概率最大的是（

）

A．甲 B．乙 C．丙 D．三名同學(xué)一樣大例2．（24-25九年級上·廣東·期中）如圖，某雕塑位于河段上，游客在步道上由點出發(fā)沿方向行走．已知，，當(dāng)觀景視角最大時，游客行走的距離是多少米？

例3．（23-24九年級上·北京房山·期末）在平面直角坐標系中，為軸正半軸上一點．已知點，，是的外接圓．（1）點的橫坐標為；（2）若最大時，則點的坐標為．例4．（24-25九年級上·江蘇南京·期中）【問題提出】當(dāng)你進入博物館的展覽廳時，你知道站在何處觀賞最理想？【數(shù)學(xué)眼光】如圖①，設(shè)墻壁上的展品最高處點A距離地面a米，最低處點B距離地面b米，觀賞者的眼睛點C距離地面m米，當(dāng)過A，B，C三點的圓與過點C的水平線相切于點C時，視角最大，站在此處觀賞最理想．【數(shù)學(xué)思維】小明同學(xué)想這是為什么呢？如圖②，他在過點C的水平線上任取異于點C的點，連接交于點D，連接，．（1）按照小明的思路完成證明過程；【問題解決】（2）如圖③，若墻壁上的展品最高處的點A距地面3米，最低處的點B距地面米，最大視角為，求此時觀賞者站在距墻壁多遠的地方最理想，并求出觀賞者的眼睛點C與地面的距離？（3）如圖③，設(shè)墻壁上的展品最高處的點A距地面a米，最低處的點B距地面b米，觀賞者的眼睛點C距地面m米，直接寫出最佳觀賞距離的長．（用含a，b，m的代數(shù)式表示）例5．（2024·山東濟寧·一模）如圖，拋物線與軸交于點A?2,0、B4,0，且經(jīng)過點．(1)求拋物線的表達式；(2)在軸下方的拋物線上任取一點，射線、分別與拋物線對稱軸交于點、，點關(guān)于軸的對稱點為，求的面積；(3)點是軸上一動點，當(dāng)最大時，請直接寫出點的坐標．模型2.定角定高模型（探照燈模型）定角定高模型：如圖，直線BC外一點A，A到直線BC距離為定值（定高AD），∠BAC為定角，則BC有最小值，即△ABC的面積有最小值。因為其形像探照燈，所以也叫探照燈模型。條件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC邊上的高，且AD=h（定高）。結(jié)論：當(dāng)△ABC是等腰三角形（AB=AC）時，BC的長最??；△ABC的面積最小；△ABC的周長最小。證明：如圖，作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，過點O作OH⊥BC于點E，設(shè)的半徑為r，則∠BOH=∠BAC=；∴BC=2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos?！逴A+OH≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)點A，O，H三點共線時,等號成立），∴r+rcos≥h，即，當(dāng)取等號時r有最小值；∴，當(dāng)取等號時BC有最小值；∴，當(dāng)取等號時△ABC有最小值；∴，當(dāng)取等號時△ABC有最小值。例1．（23-24九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知：如圖，點O是直線l外一點，點O到直線l的距離是4，點A、點B是直線l上的兩個動點，且cos∠AOB=，則線段AB的長的最小值為（）A． B． C．3 D．4例2．（2023·陜西渭南·二模）如圖，在中，，邊上的高為4，則周長的最小值為．

例3.（23-24浙江·九年級?？计谥校榱擞有履甑牡絹砟呈信e辦了迎新年大型燈光秀表演。其中一個鐳射燈距地面30米，鐳射燈發(fā)出的兩根彩色光線夾角為60°，如圖：若將兩根光線(AB、AC)和光線與地面的兩交點的連接的線段(BC)看作一個三角形，記為△ABC，三角形面積的最小值為_______平方米，其周長最小值為_______米。例4.（23-24·重慶·九年級?？计谥校┤鐖D，正方形ABCD邊長為4，E、F分別是邊BC、CD上的動點，則△AEF面積的最小值為________.例5．（23-24九年級上·廣東深圳·階段練習(xí)）【場景發(fā)現(xiàn)】小明晚上經(jīng)過河邊時，發(fā)現(xiàn)探照燈的照射光線都不是垂直于河邊，而是有一個角度，為了尋找原因，小明將這一場景進行數(shù)學(xué)抽象化如圖所示，【模型遷移】在一個矩形院子安裝一個攝像頭，攝像頭的監(jiān)控角度為，若將攝像頭安裝在墻的處，，是攝像頭與墻壁的交點，如圖圖所示，陰影部分為攝像頭的盲區(qū)．

(1)假設(shè)探照燈的有效照射角度為，河寬米，米的時候照射的面積最小，最小值為；(2)若米，米，在線段是否存在點，當(dāng)攝像頭在點轉(zhuǎn)動時，攝像頭的盲區(qū)不變，若存在，等于多少，攝像頭的盲區(qū)面積為多少？(3)在南北走向的馬路上，工作人員要安裝一個攝像角度為的攝像頭，正好可以監(jiān)控到整面墻面，以墻面的中點為為原點建立如圖所示的坐標系，，馬路距離墻面的最小距離為，請寫出符合條件的攝像頭的坐標．例6．（2024·陜西西安·?？寄M預(yù)測）【問題提出】（1）如圖1，是等腰直角三角形，，可得到，點D，E分別在邊，上，且，把繞點A旋轉(zhuǎn)時，則的值是；【問題探究】（2）如圖2，O為矩形對角線的交點，點M為邊上任一點，且與邊交于點N，若，，求四邊形面積的最大值；【問題解決】（3）如圖3，是西安市紡渭路的一部分，因燃氣管道搶修，需在米，米的矩形平面開挖一個的工作面，其中E、F分別在直線、直線上，且，為緩解該路段對市民正常生活和出行影響，經(jīng)勘測發(fā)現(xiàn)的面積越小越好，求出的面積最小值．1．（2023·江蘇蘇州·九年級校考階段練習(xí)）已知：如圖，點O是直線l外一點，點O到直線l的距離是4，點A、點B是直線l上的兩個動點，且cos∠AOB=，則線段AB的長的最小值為（）A． B． C．3 D．42．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，，點為邊上一點，當(dāng)最大時，求的值．3．（2023上·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）如圖．在正方形ABCD中，邊長為4，M是CD的中點，點P是BC上一個動點，當(dāng)∠DPM的度數(shù)最大時，則BP=．4.（2023·山東·九年級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD與BC之間的距離為2，點E是AD邊上一點，且∠BEC=45°，則四邊形ABCD面積的最小值為。5．（2024九年級上·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在中，，邊上的高，則周長的最小值為．6．（23-24九年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖1，在中，，，定長線段的端點E，F(xiàn)分別是邊上的動點，O是的中點，連接．設(shè)，，y與x之間的函數(shù)關(guān)系的部分圖象如圖2所示（最高點為），當(dāng)時，最大，則a的值為．7．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，墻壁上的展品最高點與地面的距離，最低點與地面的距離，觀賞者的眼睛E距地面，經(jīng)驗表明，當(dāng)水平視線與過P、Q、E三點的圓相切于點E時，視角最大，站在此處觀賞最理想，求此時點E到墻壁的距離．8．（2024九年級上·江蘇·專題練習(xí)）某兒童游樂場的平面圖如圖所示，場所工作人員想在邊上的點P處安裝監(jiān)控裝置，用來監(jiān)控邊上的段，為了讓監(jiān)控效果更佳，必須要求最大，已知：，米，米，問在邊上是否存在一點P，使得最大？若存在，請求出此時的長和的度數(shù)；若不存在，請說明理由．9．（23-24九年級上·江蘇泰州·期末）【生活問題】2022年卡塔爾世界杯比賽中，某球員P帶球沿直線接近球門，他在哪里射門時射門角度最大？【操作感知】小米和小勒在研究球員P對球門的張角時，在上取一點Q，過A、B、Q三點作圓，發(fā)現(xiàn)直線與該圓相交或相切．如果直線與該圓相交，如圖1，那么球員P由M向N的運動過程中，的大小______：（填序號）①逐漸變大；②逐漸變??；③先變大后變?。虎芟茸冃『笞兇蟆静孪腧炞C】小米和小勒進一步探究發(fā)現(xiàn)，如果直線與該圓相切于點Q，那么球員P運動到切點Q時最大，如圖2，試證明他們的發(fā)現(xiàn)．【實際應(yīng)用】如圖3，某球員P沿垂直于方向的路線帶球，請用尺規(guī)作圖在上找出球員P的位置，使最大．（不寫作法，保留作圖痕跡）10．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）足球射門時，在不考慮其他因素的條件下，射點到球門AB的張角越大，射門越好．當(dāng)張角達到最大值時，我們稱該射點為最佳射門點．通過研究發(fā)現(xiàn)，如圖1所示，運動員帶球在直線CD上行進時，當(dāng)存在一點Q，使得（此時也有）時，恰好能使球門AB的張角達到最大值，故可以稱點Q為直線CD上的最佳射門點．(1)如圖2所示，AB為球門，當(dāng)運動員帶球沿CD行進時，，，為其中的三個射門點，則在這三個射門點中，最佳射門點為點______；(2)如圖3所示，是一個矩形形狀的足球場，AB為球門，于點D，，．某球員沿CD向球門AB進攻，設(shè)最佳射門點為點Q．①用含a的代數(shù)式表示DQ的長度并求出的值；②已知對方守門員伸開雙臂后，可成功防守的范圍為，若此時守門員站在張角內(nèi)，雙臂張開MN垂直于AQ進行防守，求MN中點與AB的距離至少為多少時才能確保防守成功．（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）11．（2023·山西晉城·模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線與軸交于、兩點(在的左側(cè))，與軸交于點，，點的坐標為．

(1)求、、的坐標及的值；(2)直線經(jīng)過點，與拋物線交于、，若，求直線的解析式；(3)過點作直線，為直線上的一動點．是否存在點，使的值最大？若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．12．（2024九年級下·上?！ｎ}練習(xí)）（1）如圖①，是的弦，直線l上有兩點M、N，點P在上，則、、的大小關(guān)系為__________＜__________＜__________；（2）如圖②，已知點A、B的坐標分別是、，點C為x軸正半軸上一動點，當(dāng)最大時，求出點C的坐標；（3）如圖③，在平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸分別交于點D、C．點M為直線上一點且，為x軸上一條可移動的線段，，連接，點P為直線l上任意一點，連接．求當(dāng)最小時，的最大值及此時點P的坐標．13．（2023·廣東深圳·三模）【問題發(fā)現(xiàn)】船在航行過程中，船長常常通過測定角度來確定是否會遇到暗礁．如圖1，A，B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A，B兩點的一個圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧上任一點C都是有觸礁危險的臨界點，就是“危險角”．當(dāng)船P位于安全區(qū)域時，它與兩個燈塔的夾角與“危險角”有怎樣的大小關(guān)系？【解決問題】(1)數(shù)學(xué)小組用已學(xué)知識判斷與“危險角”的大小關(guān)系，步驟如下：如圖2，與相交于點D，連接，由同弧或等弧所對的圓周角相等，可知，∵是的外角，∴（填“＞”，“＝”或“＜”），∴（填“＞”，“＝”或“＜”）；【問題探究】(2)如圖3，已知線段與直線l，在直線l上取一點P，過A、B兩點，作使其與直線l相切，切點為P，不妨在直線上另外任取一點Q，連接，請你判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【問題拓展】(3)一位足球左前鋒球員在某場賽事中有一精彩進球，如圖4，他在點P處接到球后，沿方向帶球跑動，球門米，米，米，，．該球員在射門角度（）最大時射門，球員在上的何處射門？（求出此時的長度．）

14．（2024·陜西·二模）（1）如圖1，已知點A是直線l外一點，點B，C均在直線l上，于點D，且，，求的最小值；（2）如圖2，某公園有一塊四邊形空地，園區(qū)管理人員計劃將該空地進行劃分，種植不同的花卉，點E，F(xiàn)分別為，上的點，，將其分為三個區(qū)域．已知，，，若保持，試求四邊形面積的最大值．15．（2024·廣東深圳·二模）【問題提出】(1)如圖1，在邊長為的等邊中，點在邊上，，連接，則的面積為____【問題探究】(2)如圖2，已知在邊長為的正方形中，點在邊上，點在邊上，且，若，求的面積；【問題解決】(3)如圖3是我市華南大道的一部分，因自來水搶修，需要在米，米的矩形區(qū)域內(nèi)開挖一個的工作面，其中、分別在、邊上不與點、、重合，且，為了減少對該路段的交通擁堵影響，要求面積最小，那么是否存在一個面積最小的若存在，請求出面積的最小值；若不存在，請說明理由．16．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）【問題提出】（1）如圖①，為的一條弦，圓心到弦的距離為4，若的半徑為7，則上