專題06 圓中的重要模型之圓冪定理模型解讀與提分精練（北師大版）

專題06圓中的重要模型之圓冪定理模型圓冪定理是一個(gè)總結(jié)性的定理，是對(duì)相交弦定理、切割線定理、割線定理、弦切角定理、托勒密定理以及它們推論的統(tǒng)一與歸納?？赡苁窃?9世紀(jì)由德國(guó)數(shù)學(xué)家施泰納（Steiner）或者法國(guó)數(shù)學(xué)家普朗克雷（Poncelet）提出的。圓冪定理的用法：可以利用圓冪定理求解與圓有關(guān)的線段比例、角度、面積等問(wèn)題。大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.相交弦模型 2模型2.雙割線模型 3模型3.切割線模型 5模型4.弦切角模型 7模型5.托勒密定理模型 9 12模型1.相交弦模型相交弦定理（IntersectingChordsTheorem），經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條弦，各弦被這點(diǎn)所分成的兩線段的積相等。條件：在圓O中，弦AB與弦CD交于點(diǎn)E，點(diǎn)E在圓O內(nèi)。結(jié)論：。證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴。例1．（2023·廣東廣州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，兩個(gè)同心圓，大圓的弦與小圓相切于點(diǎn)P，大圓的弦經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且，，兩圓組成的圓環(huán)的面積是．

例2．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等．

(1)為了說(shuō)明相交弦定理正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明，如下給出了不完整的“已知”“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫(xiě)出證明過(guò)程．已知：如圖①，弦，交于點(diǎn)P，求證：______________．(2)如圖②，已知是的直徑，與弦交于點(diǎn)P，且于點(diǎn)P，過(guò)D作的切線，交的延長(zhǎng)線于E，D為切點(diǎn)，若，的半徑為5，求的長(zhǎng)．例3．（2023春·山東·統(tǒng)考三模）如圖，圓O上有A，B，C三點(diǎn)，AC是直徑，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接CD交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AB延長(zhǎng)線上，且FC＝FE．(1)求證：CF是圓O的切線；(2)若，BE＝2，求圓O的半徑和的值．模型2.雙割線模型割線定理（SecantTheorem），從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓交點(diǎn)的距離的積相等。條件：如圖，割線CH與弦CF交圓O于點(diǎn)E和點(diǎn)G。結(jié)論：證明：∵HGEF是圓的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴又，∴，∴

，∴例1．（2023·重慶·一模）如圖，PAB、PCD為⊙O的兩條割線，若PA=5，AB=7，CD=11，則AC：BD=．例2．（2023·四川成都·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，為的割線，且，交于點(diǎn)C，若，則的半徑的長(zhǎng)為．例3．（2023春·湖北九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示：、分別與圓O交于A、B、C、D四點(diǎn)，連接、，(1)證明：(2)若，，，求的長(zhǎng).模型3.切割線模型切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。條件：如圖，CB是圓O的切線，CA是圓O的割線。結(jié)論：證明：連接BO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接ED，∵BC是⊙O的切線，∴，∵，∴，∵BE是圓的直徑，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴。例1．（2023·廣東·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，切于點(diǎn)A，是的割線，若，則．

例2．（2023春·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期中）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部著作，它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛地認(rèn)為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書(shū)．下面是其中的切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線上是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)，即如圖①，是的切線，直線為的割線，則．下面是切割線定理的證明過(guò)程（不完整）：證明：如圖②，連接，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接、．∵是的切線，是的半徑，∴．∵是的直徑，∴（__________），∴，∴__________．∵，∴__________．∵，∴∽，∴（__________），∴．任務(wù)：(1)請(qǐng)?jiān)跈M線上補(bǔ)充證明過(guò)程，在括號(hào)內(nèi)補(bǔ)充推理的依據(jù)；(2)如圖③，已知是的直徑，是的切線，A為切點(diǎn)，割線與于點(diǎn)E，且滿足，，求的長(zhǎng)．例3．（23-24九年級(jí)上·北京·期末）如圖，AB為⊙O的直徑，割線PCD交⊙O于C、D,∠PAE=∠PDA．（1）求證：PA是⊙O的切線；（2）若PA=6，CD=3PC，求PD的長(zhǎng).模型4.弦切角模型弦切角定理：\t"/item/%E5%BC%A6%E5%88%87%E8%A7%92%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"弦切角的\t"/item/%E5%BC%A6%E5%88%87%E8%A7%92%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的\t"/item/%E5%BC%A6%E5%88%87%E8%A7%92%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角度數(shù)。條件：如圖，點(diǎn)A、B、D在O上，直線BC與O相切于點(diǎn)B。結(jié)論：∠CBD==∠BAD。證明：連接BO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接OD、ED，∵BC是⊙O的切線，∴，∵，∴，∵BE是圓的直徑，∴，∴，∴，∴，∵，∴∠CBD==∠BAD。例1．（2023·成都市九年級(jí)期中）定義：弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊與圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角．問(wèn)題情景：已知如圖所示，直線是的切線，切點(diǎn)為，為的一條弦，為弧所對(duì)的圓周角．（1）猜想：弦切角與之間的關(guān)系．試用轉(zhuǎn)化的思想：即連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，來(lái)論證你的猜想．（2）用自己的語(yǔ)言敘述你猜想得到的結(jié)論．例2．（2023春·山西大同·九年級(jí)校聯(lián)考期中）閱讀與思考閱讀下面內(nèi)容并完成任務(wù)：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角．如圖1，直線與相切于點(diǎn)，為的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夾的弧，是所對(duì)的圓周角，為直徑時(shí)，很容易證明．小華同學(xué)認(rèn)為這是一種特殊情況，若不是直徑會(huì)如何呢？即在圖2中嗎？她連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接…問(wèn)題得到了解決．小穎同學(xué)利用圖3證明了當(dāng)弦切角為直角時(shí)，弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角．小亮積極思考，提出當(dāng)弦切角為鈍角時(shí)，能證明（如圖4）嗎？任務(wù)：(1)請(qǐng)按照小華的思路，利用圖2證明；(2)結(jié)合小華、小穎的思路或結(jié)論，利用圖4解答小亮提出的問(wèn)題；(3)寫(xiě)出在上面解決問(wèn)題的過(guò)程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想：______（寫(xiě)出兩種）；(4)解決問(wèn)題：如圖5，點(diǎn)為的弦延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，切于點(diǎn)，連接，，，，則______°模型5.托勒密定理模型托勒密定理（Ptolemy'stheorem）指出，圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積。條件：如圖，AB、CD是圓O的兩條弦；結(jié)論：證明：如圖2，作交BD于點(diǎn)E．∵，∴．∴，∴，∴．∵，∴，∴，∵，∴；∴．∴．∴．∴，∴．例1．（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圓的內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積之和．如圖，中有圓內(nèi)接四邊形，已知，，，，則（

）

A． B． C． D．例2．（2023春·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)托勒密，古希臘天問(wèn)學(xué)家、地理學(xué)家和光學(xué)家，而他在數(shù)學(xué)方面也有重大貢獻(xiàn)，下面就是托勒密發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理，圓內(nèi)接四邊形的兩組對(duì)邊乘積之和等于兩條對(duì)角線的乘積．下面是該定理的證明過(guò)程（部分）已知：如圖①四邊形是的內(nèi)接四邊形

求證：證明：以C頂點(diǎn)，為一邊作交于點(diǎn)E，使得又∵∴∴

∴，又，∴∴∴，∴∴

∴

即任務(wù)：(1)請(qǐng)將“托勒密”定理的證明過(guò)程補(bǔ)充完整；(2)當(dāng)圓內(nèi)接四邊形是矩形時(shí)，托勒密定理就是我們非常熟知的一個(gè)定理：．(3)如圖②若，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并利用托勒密定理證明這個(gè)結(jié)論．

例3．（2023·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）【舊知再現(xiàn)】圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角.如圖①，四邊形是的內(nèi)接四邊形，若，則.【問(wèn)題創(chuàng)新】圓內(nèi)接四邊形的邊會(huì)有特殊性質(zhì)嗎？如圖②，某數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行深入研究發(fā)現(xiàn)：證明：如圖③，作，交于點(diǎn).

∵，∴，∴

即

（請(qǐng)按他們的思路繼續(xù)完成證明）【應(yīng)用遷移】如圖④，已知等邊外接圓，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，，求的長(zhǎng).1．（23-24九年級(jí)上·成都市·期中）如圖，切于，是的割線，如果，，則的長(zhǎng)為（）A．2 B． C．4 D．2．（23-24九年級(jí)上·浙江杭州·階段練習(xí)）克羅狄斯·托勒密是古希臘著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和地理學(xué)家，他在所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)，后人稱之為托勒密定理的推論．如圖，四邊形內(nèi)接于半徑為的圓，，，，則四邊形的周長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．3．（2023·遼寧葫蘆島·一模）已知：如圖，、是⊙的割線，，，.則=.4．（23-24九年級(jí)下·山東泰安·期中）如圖所示，是圓O的直徑，是圓的切線，E為切點(diǎn)，，若與圓的交點(diǎn)為D，且，則的大小為．5.（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考二模）請(qǐng)閱讀下列材料，解答問(wèn)題：克羅狄斯·托勒密（約90年—168年），是希臘數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，地理學(xué)家和占星家．在數(shù)學(xué)方面，他還論證了四邊形的特性，即有名的托勒密定理．托勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積的和．如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于，，則對(duì)角線BD的長(zhǎng)為．6．（2023春·北京通州·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）在與圓有關(guān)的比例線段探究學(xué)習(xí)中，某興趣小組發(fā)現(xiàn)有三種不同情況，并完成了情況一的證明．請(qǐng)你選擇情況二或者情況三中的一種情況進(jìn)行證明．為上的點(diǎn)，直線相交于點(diǎn)．證明情況一點(diǎn)P在⊙O內(nèi)時(shí)，連接（如圖1）：，∴∴，即情況二點(diǎn)P在⊙O外時(shí)（如圖2）：情況三當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)B重合時(shí)（如圖3）7．（2023·江西宜春·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）閱讀與思考九年級(jí)學(xué)生小剛喜歡看書(shū)，他在學(xué)習(xí)了圓后，在家里突然看到某本數(shù)學(xué)書(shū)上居然還有一個(gè)相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等），下面是書(shū)上的證明過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等．已知：如圖1，的兩弦相交于點(diǎn)P．求證：．證明：如圖1，連接．∵，．∴，（根據(jù)）∴@，∴，∴兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等．任務(wù)：(1)請(qǐng)將上述證明過(guò)程補(bǔ)充完整．根據(jù)：____________；@：____________．(2)小剛又看到一道課后習(xí)題，如圖2，AB是的弦，P是上一點(diǎn)，，，，求的半徑．8．（2023春·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．如圖1，為的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)，為內(nèi)一條弦，即為弦切角．(1)古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》是一部不朽的數(shù)學(xué)巨著，全書(shū)共13卷，以第1卷的23個(gè)定義、5個(gè)公設(shè)和5個(gè)公理作為基本出發(fā)點(diǎn)，給出了119個(gè)定義和465個(gè)命題及證明．第三卷中命題32一弦切角定理的內(nèi)容是：“弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角度數(shù)．”如下給出了弦切角定理不完整的“已知”和“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫(xiě)出“證明”過(guò)程．已知：如圖2，為的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)，為內(nèi)一條弦，點(diǎn)在上，連接，，，．求證：．證明：(2)如圖3，為的切線，為切點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于，連接，，．若，，求弦的長(zhǎng)．11．（2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)：弗朗索瓦?韋達(dá)，法國(guó)杰出數(shù)學(xué)家．第一個(gè)有意識(shí)地和系統(tǒng)地使用字母來(lái)表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來(lái)了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進(jìn)步，在歐洲被尊稱為“代數(shù)學(xué)之父”．他還發(fā)現(xiàn)從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)（切割線定理）．如圖1，P是外一點(diǎn)，是的切線，是的一條割線，與的另一個(gè)交點(diǎn)為B，則．證明：如圖2，連接、，過(guò)點(diǎn)C作的直徑，連接．∵是的切線，∴，∴，即．……任務(wù)：(1)請(qǐng)按照上面證明思路寫(xiě)出該證明的剩余部分．(2)如圖3，與相切于點(diǎn)A，連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)B、C，，，，連接．①與的位置關(guān)系是．②求的長(zhǎng)．13．（2023春·山西·三模）閱讀與思考請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．人們?cè)谘芯繄A與直線的位置和數(shù)量關(guān)系時(shí)，發(fā)現(xiàn)存在這樣一個(gè)關(guān)系：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)構(gòu)成的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．這個(gè)幾何關(guān)系也叫圓的切割線定理．喜歡探究的小明嘗試給出了該定理的如下證明：已知：如圖1，P為⊙O外一點(diǎn)，切線PA與圓相切于點(diǎn)A，割線PBC與圓相交于點(diǎn)B，C．求證：．證明：如圖2，連接AB，AC，BO，AO．∵PA切⊙O于點(diǎn)A，∴，即．∵，∴．∵，∴．……任務(wù)：(1)請(qǐng)幫助小明補(bǔ)充完成以上證明過(guò)程．(2)如圖，割線PDE與圓交于點(diǎn)D，E，且，，連接BE，過(guò)點(diǎn)C向下作交PE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求EF的長(zhǎng)．14．（2023春·河南商丘·統(tǒng)考二模）讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．下面是不完整的證明過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整．已知：P為外一點(diǎn)，PA與交于A，B兩點(diǎn)，PM與相切于點(diǎn)M．求證：．證明：如圖，連接AM，BM，連接MO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)C，連接BC．∵PM為的切線，∴_______，∴，∵CM為的直徑，∴_______，∴，∴_______，∵，∴．∵，∴_______．∴，∴．學(xué)習(xí)任務(wù)：如圖，若線段AB與相交于C，D兩點(diǎn)，且，射線AB，BF為的兩條切線，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接CF．(1)求證：；(2)若，，，求的面積．15．（2023·河南周口·?？既＃╅喿x與思考學(xué)習(xí)了圓的相關(guān)知識(shí)后，某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們進(jìn)行了如下探究活動(dòng)，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．割線定理如圖，A是外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線分別交于點(diǎn)B，C，D，E，則有．

證明：如圖，連接．∵（依據(jù)：①________________），，∴．∴②_________________．∴．任務(wù)：(1)上述閱讀材料中①處應(yīng)填的內(nèi)容是________，②處應(yīng)填的內(nèi)容是_______．(2)興趣小組的同學(xué)們繼續(xù)思考，當(dāng)直線AE與圓相切時(shí)，是否仍有類似的結(jié)論．請(qǐng)將下列已知、求證補(bǔ)充完整，并給出證明．已知：如圖，A是外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線交于點(diǎn)B，C，__________．求證：___________．