專題06 圓中的重要模型之圓冪定理模型解讀與提分精練（北師大版）

專題06圓中的重要模型之圓冪定理模型圓冪定理是一個總結(jié)性的定理，是對相交弦定理、切割線定理、割線定理、弦切角定理、托勒密定理以及它們推論的統(tǒng)一與歸納。可能是在19世紀由德國數(shù)學家施泰納（Steiner）或者法國數(shù)學家普朗克雷（Poncelet）提出的。圓冪定理的用法：可以利用圓冪定理求解與圓有關的線段比例、角度、面積等問題。大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導致本末倒置。要知道數(shù)學題目的考察不是一成不變的，學數(shù)學更不能死記硬背，要在理解的基礎之上再記憶，這樣才能做到對于所學知識的靈活運用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當延伸、拓展，所以學生在學習幾何模型要能夠做到的就是：①認識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點，因為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯點。當然，以上三點均屬于基礎要求，因為題目的多變性，若想在幾何學習中突出，還需做到的是，在平時的學習過程中通過大題量的訓練，深刻認識幾何模型，認真理解每一個題型，做到活學活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.相交弦模型 2模型2.雙割線模型 3模型3.切割線模型 5模型4.弦切角模型 7模型5.托勒密定理模型 9 12模型1.相交弦模型相交弦定理（IntersectingChordsTheorem），經(jīng)過圓內(nèi)一點引兩條弦，各弦被這點所分成的兩線段的積相等。條件：在圓O中，弦AB與弦CD交于點E，點E在圓O內(nèi)。結(jié)論：。證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴。例1．（2023·廣東廣州·九年級?？计谥校┤鐖D，兩個同心圓，大圓的弦與小圓相切于點P，大圓的弦經(jīng)過點P，且，，兩圓組成的圓環(huán)的面積是．

例2．（2023·江蘇·九年級專題練習）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．

(1)為了說明相交弦定理正確性，需要對其進行證明，如下給出了不完整的“已知”“求證”，請補充完整，并寫出證明過程．已知：如圖①，弦，交于點P，求證：______________．(2)如圖②，已知是的直徑，與弦交于點P，且于點P，過D作的切線，交的延長線于E，D為切點，若，的半徑為5，求的長．例3．（2023春·山東·統(tǒng)考三模）如圖，圓O上有A，B，C三點，AC是直徑，點D是的中點，連接CD交AB于點E，點F在AB延長線上，且FC＝FE．(1)求證：CF是圓O的切線；(2)若，BE＝2，求圓O的半徑和的值．模型2.雙割線模型割線定理（SecantTheorem），從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等。條件：如圖，割線CH與弦CF交圓O于點E和點G。結(jié)論：證明：∵HGEF是圓的內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴又，∴，∴

，∴例1．（2023·重慶·一模）如圖，PAB、PCD為⊙O的兩條割線，若PA=5，AB=7，CD=11，則AC：BD=．例2．（2023·四川成都·九年級?？茧A段練習）如圖，為的割線，且，交于點C，若，則的半徑的長為．例3．（2023春·湖北九年級課時練習）如圖所示：、分別與圓O交于A、B、C、D四點，連接、，(1)證明：(2)若，，，求的長.模型3.切割線模型切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。條件：如圖，CB是圓O的切線，CA是圓O的割線。結(jié)論：證明：連接BO并延長交⊙O于點E，連接ED，∵BC是⊙O的切線，∴，∵，∴，∵BE是圓的直徑，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴。例1．（2023·廣東·九年級假期作業(yè)）如圖，切于點A，是的割線，若，則．

例2．（2023春·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期中）《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得所著的一部著作，它是歐洲數(shù)學的基礎，總結(jié)了平面幾何五大公設，被廣泛地認為是歷史上學習數(shù)學幾何部分最成功的教科書．下面是其中的切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線上是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項，即如圖①，是的切線，直線為的割線，則．下面是切割線定理的證明過程（不完整）：證明：如圖②，連接，連接并延長交于點E，連接、．∵是的切線，是的半徑，∴．∵是的直徑，∴（__________），∴，∴__________．∵，∴__________．∵，∴∽，∴（__________），∴．任務：(1)請在橫線上補充證明過程，在括號內(nèi)補充推理的依據(jù)；(2)如圖③，已知是的直徑，是的切線，A為切點，割線與于點E，且滿足，，求的長．例3．（23-24九年級上·北京·期末）如圖，AB為⊙O的直徑，割線PCD交⊙O于C、D,∠PAE=∠PDA．（1）求證：PA是⊙O的切線；（2）若PA=6，CD=3PC，求PD的長.模型4.弦切角模型弦切角定理：\t"/item/%E5%BC%A6%E5%88%87%E8%A7%92%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"弦切角的\t"/item/%E5%BC%A6%E5%88%87%E8%A7%92%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"度數(shù)等于它所夾的弧所對的\t"/item/%E5%BC%A6%E5%88%87%E8%A7%92%E5%AE%9A%E7%90%86/_blank"圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數(shù)。條件：如圖，點A、B、D在O上，直線BC與O相切于點B。結(jié)論：∠CBD==∠BAD。證明：連接BO并延長交⊙O于點E，連接OD、ED，∵BC是⊙O的切線，∴，∵，∴，∵BE是圓的直徑，∴，∴，∴，∴，∵，∴∠CBD==∠BAD。例1．（2023·成都市九年級期中）定義：弦切角：頂點在圓上，一邊與圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角．問題情景：已知如圖所示，直線是的切線，切點為，為的一條弦，為弧所對的圓周角．（1）猜想：弦切角與之間的關系．試用轉(zhuǎn)化的思想：即連接并延長交于點，連接，來論證你的猜想．（2）用自己的語言敘述你猜想得到的結(jié)論．例2．（2023春·山西大同·九年級校聯(lián)考期中）閱讀與思考閱讀下面內(nèi)容并完成任務：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．如圖1，直線與相切于點，為的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夾的弧，是所對的圓周角，為直徑時，很容易證明．小華同學認為這是一種特殊情況，若不是直徑會如何呢？即在圖2中嗎？她連接并延長，交于點，連接…問題得到了解決．小穎同學利用圖3證明了當弦切角為直角時，弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．小亮積極思考，提出當弦切角為鈍角時，能證明（如圖4）嗎？任務：(1)請按照小華的思路，利用圖2證明；(2)結(jié)合小華、小穎的思路或結(jié)論，利用圖4解答小亮提出的問題；(3)寫出在上面解決問題的過程中體現(xiàn)的數(shù)學思想：______（寫出兩種）；(4)解決問題：如圖5，點為的弦延長線上一點，切于點，連接，，，，則______°模型5.托勒密定理模型托勒密定理（Ptolemy'stheorem）指出，圓的內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。條件：如圖，AB、CD是圓O的兩條弦；結(jié)論：證明：如圖2，作交BD于點E．∵，∴．∴，∴，∴．∵，∴，∴，∵，∴；∴．∴．∴．∴，∴．例1．（2023·湖北武漢·?？寄M預測）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圓的內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積之和．如圖，中有圓內(nèi)接四邊形，已知，，，，則（

）

A． B． C． D．例2．（2023春·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并完成相應任務托勒密，古希臘天問學家、地理學家和光學家，而他在數(shù)學方面也有重大貢獻，下面就是托勒密發(fā)現(xiàn)的一個定理，圓內(nèi)接四邊形的兩組對邊乘積之和等于兩條對角線的乘積．下面是該定理的證明過程（部分）已知：如圖①四邊形是的內(nèi)接四邊形

求證：證明：以C頂點，為一邊作交于點E，使得又∵∴∴

∴，又，∴∴∴，∴∴

∴

即任務：(1)請將“托勒密”定理的證明過程補充完整；(2)當圓內(nèi)接四邊形是矩形時，托勒密定理就是我們非常熟知的一個定理：．(3)如圖②若，試探究線段之間的數(shù)量關系，并利用托勒密定理證明這個結(jié)論．

例3．（2023·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）【舊知再現(xiàn)】圓內(nèi)接四邊形的對角.如圖①，四邊形是的內(nèi)接四邊形，若，則.【問題創(chuàng)新】圓內(nèi)接四邊形的邊會有特殊性質(zhì)嗎？如圖②，某數(shù)學興趣小組進行深入研究發(fā)現(xiàn)：證明：如圖③，作，交于點.

∵，∴，∴

即

（請按他們的思路繼續(xù)完成證明）【應用遷移】如圖④，已知等邊外接圓，點為上一點，且，，求的長.1．（23-24九年級上·成都市·期中）如圖，切于，是的割線，如果，，則的長為（）A．2 B． C．4 D．2．（23-24九年級上·浙江杭州·階段練習）克羅狄斯·托勒密是古希臘著名數(shù)學家、天文學家和地理學家，他在所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當凸四邊形的對角互補時取等號，后人稱之為托勒密定理的推論．如圖，四邊形內(nèi)接于半徑為的圓，，，，則四邊形的周長為（

）

A． B． C． D．3．（2023·遼寧葫蘆島·一模）已知：如圖，、是⊙的割線，，，.則=.4．（23-24九年級下·山東泰安·期中）如圖所示，是圓O的直徑，是圓的切線，E為切點，，若與圓的交點為D，且，則的大小為．5.（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考二模）請閱讀下列材料，解答問題：克羅狄斯·托勒密（約90年—168年），是希臘數(shù)學家，天文學家，地理學家和占星家．在數(shù)學方面，他還論證了四邊形的特性，即有名的托勒密定理．托勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形的兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積的和．如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于，，則對角線BD的長為．6．（2023春·北京通州·九年級統(tǒng)考開學考試）在與圓有關的比例線段探究學習中，某興趣小組發(fā)現(xiàn)有三種不同情況，并完成了情況一的證明．請你選擇情況二或者情況三中的一種情況進行證明．為上的點，直線相交于點．證明情況一點P在⊙O內(nèi)時，連接（如圖1）：，∴∴，即情況二點P在⊙O外時（如圖2）：情況三當點A和點B重合時（如圖3）7．（2023·江西宜春·統(tǒng)考模擬預測）閱讀與思考九年級學生小剛喜歡看書，他在學習了圓后，在家里突然看到某本數(shù)學書上居然還有一個相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等），下面是書上的證明過程，請仔細閱讀，并完成相應的任務．圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點分成的兩條線段的積相等．已知：如圖1，的兩弦相交于點P．求證：．證明：如圖1，連接．∵，．∴，（根據(jù)）∴@，∴，∴兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等．任務：(1)請將上述證明過程補充完整．根據(jù)：____________；@：____________．(2)小剛又看到一道課后習題，如圖2，AB是的弦，P是上一點，，，，求的半徑．8．（2023春·四川綿陽·九年級統(tǒng)考期中）定義：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．如圖1，為的切線，點為切點，為內(nèi)一條弦，即為弦切角．(1)古希臘數(shù)學家歐幾里得的《幾何原本》是一部不朽的數(shù)學巨著，全書共13卷，以第1卷的23個定義、5個公設和5個公理作為基本出發(fā)點，給出了119個定義和465個命題及證明．第三卷中命題32一弦切角定理的內(nèi)容是：“弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數(shù)．”如下給出了弦切角定理不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出“證明”過程．已知：如圖2，為的切線，點為切點，為內(nèi)一條弦，點在上，連接，，，．求證：．證明：(2)如圖3，為的切線，為切點，點是上一動點，過點作于點，交于，連接，，．若，，求弦的長．11．（2023·江蘇·九年級專題練習）閱讀下列材料，完成相應任務：弗朗索瓦?韋達，法國杰出數(shù)學家．第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)學理論研究的重大進步，在歐洲被尊稱為“代數(shù)學之父”．他還發(fā)現(xiàn)從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項（切割線定理）．如圖1，P是外一點，是的切線，是的一條割線，與的另一個交點為B，則．證明：如圖2，連接、，過點C作的直徑，連接．∵是的切線，∴，∴，即．……任務：(1)請按照上面證明思路寫出該證明的剩余部分．(2)如圖3，與相切于點A，連接并延長與交于點B、C，，，，連接．①與的位置關系是．②求的長．13．（2023春·山西·三模）閱讀與思考請閱讀下列材料，并完成相應的任務．人們在研究圓與直線的位置和數(shù)量關系時，發(fā)現(xiàn)存在這樣一個關系：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點構(gòu)成的兩條線段長的比例中項．這個幾何關系也叫圓的切割線定理．喜歡探究的小明嘗試給出了該定理的如下證明：已知：如圖1，P為⊙O外一點，切線PA與圓相切于點A，割線PBC與圓相交于點B，C．求證：．證明：如圖2，連接AB，AC，BO，AO．∵PA切⊙O于點A，∴，即．∵，∴．∵，∴．……任務：(1)請幫助小明補充完成以上證明過程．(2)如圖，割線PDE與圓交于點D，E，且，，連接BE，過點C向下作交PE的延長線于點F，求EF的長．14．（2023春·河南商丘·統(tǒng)考二模）讀下面材料，并完成相應的任務切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．下面是不完整的證明過程，請補充完整．已知：P為外一點，PA與交于A，B兩點，PM與相切于點M．求證：．證明：如圖，連接AM，BM，連接MO并延長交于點C，連接BC．∵PM為的切線，∴_______，∴，∵CM為的直徑，∴_______，∴，∴_______，∵，∴．∵，∴_______．∴，∴．學習任務：如圖，若線段AB與相交于C，D兩點，且，射線AB，BF為的兩條切線，切點分別為E，F(xiàn)，連接CF．(1)求證：；(2)若，，，求的面積．15．（2023·河南周口·?？既＃╅喿x與思考學習了圓的相關知識后，某數(shù)學興趣小組的同學們進行了如下探究活動，請仔細閱讀，并完成相應任務．割線定理如圖，A是外一點，過點A作直線分別交于點B，C，D，E，則有．

證明：如圖，連接．∵（依據(jù)：①________________），，∴．∴②_________________．∴．任務：(1)上述閱讀材料中①處應填的內(nèi)容是________，②處應填的內(nèi)容是_______．(2)興趣小組的同學們繼續(xù)思考，當直線AE與圓相切時，是否仍有類似的結(jié)論．請將下列已知、求證補充完整，并給出證明．已知：如圖，A是外一點，過點A的直線交于點B，C，__________．求證：___________．