2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.2排列與組合1.2.2第2課時(shí)組合二練習(xí)含解析新人教A版選修2-3

PAGE第一章1.21.2.2第2課時(shí)A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．12名同學(xué)合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)依次不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是(C)A．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,3) B．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(6,6)C．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,6) D．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,5)[解析]第一步從后排8人中抽2人有Ceq\o\al(2,8)種抽取方法，其次步前排共有6個(gè)位置，先從中選取2個(gè)位置排上抽取的2人，有Aeq\o\al(2,6)種排法，最終把前排原4人按原依次排在其他4個(gè)位置上，只有1種支配方法，∴共有Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,6)種排法．2．(2024·山西一模)某天的值日工作由4名同學(xué)負(fù)責(zé)，且其中1人負(fù)責(zé)清理講臺(tái)，另1人負(fù)責(zé)掃地，其余2人負(fù)責(zé)拖地，則不同的分工共有(B)A．6種 B．12種C．18種 D．24種[解析]依據(jù)題意，分3步分析：①，在4人中選出1人負(fù)責(zé)清理講臺(tái)，有Ceq\o\al(1,4)＝4種狀況，②，在剩下的3人中選出1人負(fù)責(zé)掃地，有Ceq\o\al(1,3)＝3種狀況，③，剩下的2人負(fù)責(zé)拖地，有1種狀況，則有4×3＝12種不同的分工；故選B．3．把0、1、2、3、4、5這六個(gè)數(shù)，每次取三個(gè)不同的數(shù)字，把其中最大的數(shù)放在百位上排成三位數(shù)，這樣的三位數(shù)有(A)A．40個(gè) B．120個(gè)C．360個(gè) D．720個(gè)[解析]先選取3個(gè)不同的數(shù)有Ceq\o\al(3,6)種方法，然后把其中最大的數(shù)放在百位上，另兩個(gè)不同的數(shù)放在十位和個(gè)位上，有Aeq\o\al(2,2)種排法，故共有Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(2,2)＝40個(gè)三位數(shù)．4．某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位摯友，每位摯友1本，則不同的贈(zèng)送方式共有(B)A．4種 B．10種C．18種 D．20種[解析]分兩類：第一類，取出兩本畫冊，兩本集郵冊，從4人中選取2人送畫冊，則另外兩人送集郵冊，有Ceq\o\al(2,4)種方法．其次類，3本集郵冊全取，取1本畫冊，從4人中選1人送畫冊，其余送集郵冊，有Ceq\o\al(1,4)種方法，∴共有Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＝10種贈(zèng)送方法．5．(2024·浙江卷，16)從1,3,5,7,9中任取2個(gè)數(shù)字，從0,2,4,6中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成____________個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．(D)A．720 B．560C．540 D．1260[解析]不含有0的四位數(shù)有Ceq\o\al(2,5)×Ceq\o\al(2,3)×Aeq\o\al(4,4)＝720(個(gè))．含有0的四位數(shù)有Ceq\o\al(2,5)×Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(3,3)＝540(個(gè))．綜上，四位數(shù)的個(gè)數(shù)為720＋540＝1260．6．如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A、B、C、D中，(四種顏色可以不全用也可以全用)要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有(A)ABCDA．72種 B．48種C．24種 D．12種[解析]解法一：(1)4種顏色全用時(shí)，有Aeq\o\al(4,4)＝24種不同涂色方法．(2)4種顏色不全用時(shí)，因?yàn)橄噜従匦尾煌?，故必需用三種顏色，先從4種顏色中選3種，涂入A、B、C中，有Aeq\o\al(3,4)種涂法，然后涂D，D可以與A(或B)同色，有2種涂法，∴共有2Aeq\o\al(3,4)＝48種，∴共有不同涂色方法24＋48＝72種．解法二：涂A有4種方法，涂B有3種方法，涂C有2種方法，涂D有3種方法，故共有4×3×2×3＝72種涂法．二、填空題7．在直角坐標(biāo)平面xOy上，平行直線x＝n(n＝0,1,2，…，5)與平行直線y＝n(n＝0,1,2，…，5)組成的圖形中，矩形共有__225__個(gè)．[解析]在垂直于x軸的6條直線中任取2條，在垂直于y軸的6條直線中任取2條，四條直線相交得出一個(gè)矩形，所以矩形總數(shù)為Ceq\o\al(2,6)×Ceq\o\al(2,6)＝15×15＝225個(gè)．8．將7支不同的筆全部放入兩個(gè)不同的筆筒中，每個(gè)筆筒中至少放兩支筆，有__112__種放法(用數(shù)字作答)．[解析]設(shè)有A，B兩個(gè)筆筒，放入A筆筒有四種狀況，分別為2支，3支，4支，5支，一旦A筆筒的放法確定，B筆筒的放法隨之確定，且對(duì)同一筆筒內(nèi)的筆沒有依次要求，故為組合問題，總的放法為Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(5,7)＝112．9．(2024·浙江模擬)安排4名水暖工去3個(gè)不同的居民家里檢查暖氣管道，要求4名水暖工全部安排出去，并每名水暖工只能去一個(gè)居民家，且每個(gè)居民家都要有人去檢查，那么安排的方案共有__36__種(用數(shù)字作答)．[解析]依據(jù)題意，分2步分析：①，將4名水暖工分成3組，有Ceq\o\al(2,4)＝6種分組方法，②，將分好的三組全排列，對(duì)應(yīng)3個(gè)不同的居民家，有Aeq\o\al(3,3)＝6種安排方法，則有6×6＝36種不同的安排方案；故答案為36．三、解答題10．已知平面α∥平面β，在α內(nèi)有4個(gè)點(diǎn)，在β內(nèi)有6個(gè)點(diǎn)．(1)過這10個(gè)點(diǎn)中的3點(diǎn)作一平面，最多可作多少個(gè)不同的平面？(2)以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，最多可作多少個(gè)三棱錐？(3)(2)中的三棱錐最多可以有多少個(gè)不同體積？[解析](1)所作出的平面有三類．①α內(nèi)1點(diǎn)，β內(nèi)2點(diǎn)確定的平面，最多有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,6)個(gè)．②α內(nèi)2點(diǎn)，β內(nèi)1點(diǎn)確定的平面，最多有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,6)個(gè)．③α，β本身，有2個(gè)．故所作的平面最多有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,6)＋2＝98(個(gè))．(2)所作的三棱錐有三類．①α內(nèi)1點(diǎn)，β內(nèi)3點(diǎn)確定的三棱錐，最多有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,6)個(gè)．②α內(nèi)2點(diǎn)，β內(nèi)2點(diǎn)確定的三棱錐，最多有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,6)個(gè)．③α內(nèi)3點(diǎn)，β內(nèi)1點(diǎn)確定的三棱錐，最多有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,6)個(gè)．故最多可作出的三棱錐有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,6)＝194(個(gè))．(3)當(dāng)?shù)鹊酌娣e、等高時(shí)，三棱錐的體積相等．所以體積不相同的三棱錐最多有Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)＝114(個(gè))．故最多有114個(gè)體積不同的三棱錐．B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7的七盞路燈，晚上用時(shí)只亮三盞燈，且隨意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開燈方案有(C)A．60種 B．20種C．10種 D．8種[解析]四盞熄滅的燈產(chǎn)生的5個(gè)空檔中放入三盞亮燈，即Ceq\o\al(3,5)＝10．2．編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)人，分別坐在編號(hào)為1、2、3、4、5的座位上，則至多有兩個(gè)號(hào)碼一樣的坐法種數(shù)為(D)A．120 B．119C．110 D．109[解析]5個(gè)人坐在5個(gè)座位上，共有不同坐法Aeq\o\al(5,5)種，其中3個(gè)號(hào)碼一樣的坐法有Ceq\o\al(3,5)種，有4個(gè)號(hào)碼一樣時(shí)必定5個(gè)號(hào)碼全一樣，只有1種，故所求種數(shù)為Aeq\o\al(5,5)－Ceq\o\al(3,5)－1＝109．二、填空題3．將6名黨員干部安排到4個(gè)貧困村駐村扶貧，每個(gè)貧困村至少安排1名黨員干部，則不同的安排方案共有__1_560__．[解析]依題意，6人分成每組至少一人的4組，可以分為3,1,1,1或2,2,1,1兩種分為3,1,1,1四組時(shí)，有Ceq\o\al(3,6)×Aeq\o\al(4,4)＝480種，分為2,2,1,1四組時(shí)，有eq\f(C\o\al(2,6)×C\o\al(2,4),A\o\al(2,2))×Aeq\o\al(4,4)＝1080種，故共有480＋1080＝1560種．4．以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有__58__個(gè)．[解析]先從8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)的取法為Ceq\o\al(4,8)種，其中，共面的4點(diǎn)有12個(gè)，則四面體的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(4,8)－12＝58個(gè)．三、解答題5．(2024·泰州高二檢測)男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長各1名，選派5人外出競賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；(2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員；(3)既要有隊(duì)長，又要有女運(yùn)動(dòng)員．[解析](1)第一步：選3名男運(yùn)動(dòng)員，有Ceq\o\al(3,6)種選法；其次步：選2名女運(yùn)動(dòng)員，有Ceq\o\al(2,4)種選法，故共有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,4)＝120種選法．(2)解法一：(干脆法)：“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”包括以下幾種狀況，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(1,6)＝246種選法．解法二：(間接法)，不考慮條件，從10人中任選5人，有Ceq\o\al(5,10)種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有Ceq\o\al(5,6)種，故“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,6)＝246(種)．(3)當(dāng)有女隊(duì)長時(shí)，其他人選法隨意，共有Ceq\o\al(4,9)種選法；不選女隊(duì)長時(shí)，必選男隊(duì)長，共有Ceq\o\al(4,8)種選法，其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有Ceq\o\al(4,5)；故不選女隊(duì)長時(shí)共有Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5)種選法．所以既有隊(duì)長又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有Ceq\o\al(4,9)＋Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5)＝191(種)．6．四個(gè)不同的小球，全部放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒子中．(1)隨意放(可以有空盒，但球必需都放入盒中)有多少種放法？(2)四個(gè)盒都不空的放法有多少種？(3)恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？(4)恰有兩個(gè)空盒的放法有多少種？(5)甲球所放盒的編號(hào)總小于乙球所放盒的編號(hào)的放法有多少種？[解析](1)由于可以隨意放，故每個(gè)小球都有4種放法，所以放法總數(shù)是：4×4×4×4＝44＝256種．(2)將四個(gè)小球全排列后放入四個(gè)盒子即可，所以放法總數(shù)是：Aeq\o\al(4,4)＝24種．(3)由題意知，必定是四個(gè)小球放入三個(gè)盒子中．分三步完成：選出三個(gè)盒子；將四個(gè)小球分成三堆；將三堆小球全排列后放入三個(gè)盒子．所以放法總數(shù)是：Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,3)＝144種．(4)由題意，必定是四個(gè)小球放入2個(gè)盒子中．分三步完成：選出兩個(gè)盒子；將四個(gè)小球分成兩堆；將兩堆小球全排列放入兩個(gè)盒子．所以放法總數(shù)是：Ceq\o\al(2,4)·(eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(3,3))·Aeq\