(完整版)初等數(shù)論教案

PAGEPAGE5初等數(shù)論教案一、數(shù)論發(fā)展史

數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一門很古老的數(shù)學(xué)分支，其初等部分是以整數(shù)的整除性為中心的，包括整除性、不定方程、同余式、連分?jǐn)?shù)、素?cái)?shù)（即整數(shù)）分布以及數(shù)論函數(shù)等內(nèi)容，統(tǒng)稱初等數(shù)論（ElementaryNumberTheory）。初等數(shù)論的大部分內(nèi)容早在古希臘歐幾里德的《幾何原本》中就已出現(xiàn)。歐幾里得證明了素?cái)?shù)有無窮多個(gè)，他還給出求兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)的方法，即所謂歐幾里得算法。我國古代在數(shù)論方面亦有杰出之貢獻(xiàn)，現(xiàn)在一般數(shù)論書中的“中國剩余定理”正是我國古代《孫子算經(jīng)》中的下卷第26題，我國稱之為“孫子定理”。近代初等數(shù)論的發(fā)展得益于費(fèi)馬、歐拉、拉格朗日、勒讓德和高斯等人的工作。1801年，高斯的《算術(shù)探究》是數(shù)論的劃時(shí)代杰作。

“數(shù)學(xué)是科學(xué)之王，數(shù)論是數(shù)學(xué)之王”。高斯由于自20世紀(jì)以來引進(jìn)了抽象數(shù)學(xué)和高等分析的巧妙工具，數(shù)論得到進(jìn)一步的發(fā)展，從而開闊了新的研究領(lǐng)域，出現(xiàn)了代數(shù)數(shù)論、解析數(shù)論、幾何數(shù)論等新分支。而且近年來初等數(shù)論在計(jì)算器科學(xué)、組合數(shù)學(xué)、密碼學(xué)、代數(shù)編碼、計(jì)算方法等領(lǐng)域內(nèi)更得到了廣泛的應(yīng)用，無疑同時(shí)間促進(jìn)著數(shù)論的發(fā)展。二幾個(gè)著名數(shù)論難題初等數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一門學(xué)科，歷史上遺留下來沒有解決的大多數(shù)數(shù)論難題其問題本身容易搞懂，容易引起人的興趣，但是解決它們卻非常困難。其中，非常著名的問題有：哥德巴赫猜想；費(fèi)爾馬大定理；孿生素?cái)?shù)問題；完全數(shù)問題等。1、哥德巴赫猜想：1742年,由德國中學(xué)教師哥德巴赫在教學(xué)中首先發(fā)現(xiàn)的。1742年6月7日，哥德巴赫寫信給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉,正式提出了以下的猜想：一個(gè)大于6的偶數(shù)可以表示為不同的兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和。陳景潤在1966年證明了“哥德巴赫猜想”的“一個(gè)大偶數(shù)可以表示為一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)不超過兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和”〔所謂的1+2〕，是篩法的光輝頂點(diǎn)，至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好結(jié)果。2、費(fèi)爾馬大定理：費(fèi)馬是十七世紀(jì)最卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在數(shù)學(xué)許多領(lǐng)域中都有極大的貢獻(xiàn)，因?yàn)樗谋拘惺菍I(yè)的律師，世人冠以“業(yè)余王子”之美稱。在三百七十多年前的某一天，費(fèi)馬正在閱讀一本古希臘數(shù)學(xué)家戴奧芬多斯的數(shù)學(xué)書時(shí)，突然心血來潮在書頁的空白處，寫下一個(gè)看起來很簡單的定理。經(jīng)過8年的努力，英國數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯終于在1995年完成了該定理的證明。3、孿生素?cái)?shù)問題存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)p,使得p+2也是素?cái)?shù)。究竟誰最早明確提出這一猜想已無法考證，但是1849年法國數(shù)學(xué)AlphonsedePolignac提出猜想：對于任何偶數(shù)2k,存在無窮多組以2k為間隔的素?cái)?shù)。對于k=1，這就是孿生素?cái)?shù)猜想，因此人們有時(shí)把AlphonsedePolignac作為孿生素?cái)?shù)猜想的提出者。不同的k對應(yīng)的素?cái)?shù)對的命名也很有趣，k=1我們已經(jīng)知道叫做孿生素?cái)?shù)；k=2(即間隔為4)的素?cái)?shù)對被稱為cousinprime；而k=3(即間隔為6)的素?cái)?shù)對竟然被稱為sexyprime(不過別想歪了，之所以稱為sexyprime其實(shí)是因?yàn)閟ex正好是拉丁文中的6。)4、最完美的數(shù)——完全數(shù)問題完美數(shù)又稱為完全數(shù),最初是由畢達(dá)哥拉斯的信徒發(fā)現(xiàn)的,他們注意到,數(shù)6有一個(gè)特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和，如：6=1+2+3.下一個(gè)具有同樣性質(zhì)的數(shù)是28,28=1+2+4+7+14.接著是496和8128.他們稱這類數(shù)為完美數(shù).歐幾里德在大約公元前350-300年間證明了:注意以上談到的完全數(shù)都是偶完全數(shù),至今仍然不知道有沒有奇完全數(shù)。三、我國古代數(shù)學(xué)的偉大成就1、周髀算經(jīng)公元前100多年，漢朝人撰，是一部既談天體又談數(shù)學(xué)的天文歷算著作，主要討論蓋天說，提出了著名的“勾三股四弦五”這個(gè)勾股定理的一個(gè)特例。2、孫子算經(jīng)約成書于四、五世紀(jì)，作者生平和編寫年代都不清楚?，F(xiàn)在傳本的《孫子算經(jīng)》共三卷。卷上敘述算籌記數(shù)的縱橫相間制度和籌算乘除法則，卷中舉例說明籌算分?jǐn)?shù)算法和籌算開平方法。卷下第31題，可謂是后世“雞兔同籠”題的始祖，后來傳到日本，變成“鶴龜算”。具有重大意義的是卷下第26題：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？《孫子算經(jīng)》不但提供了答案，而且還給出了解法。南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶則進(jìn)一步開創(chuàng)了對一次同余式理論的研究工作，推廣“物不知數(shù)”的問題。德國數(shù)學(xué)家高斯﹝1777-1855﹞于1801年出版的《算術(shù)探究》中明確地寫出了上述定理。1852年，英國基督教士偉烈亞士將《孫子算經(jīng)》中物不知數(shù)問題的解法傳到歐洲，1874年馬蒂生指出孫子的解法符合高斯的定理，從而在西方的數(shù)學(xué)史里將這一個(gè)定理稱為“中國剩余定理”。3、算數(shù)書1983年在湖北省江陵縣張家山，出土了一批西漢初年，即呂后至文帝初年的竹簡，共千余支。經(jīng)初步整理，其中有律令、《脈書》、《引書》、歷譜、日書等多種古代珍貴的文獻(xiàn)，還有一部數(shù)學(xué)著作，據(jù)寫在一支竹簡背面的字跡辨認(rèn)，這部竹簡算書的書名叫《算數(shù)書》。《算數(shù)書》是中國現(xiàn)已發(fā)現(xiàn)的最古的一部算書，大約比現(xiàn)有傳本的《九章算術(shù)》還要早近二百年，而且《九章算術(shù)》是傳世抄本或刊書，《算數(shù)書》則是出土的竹筒算書，屬于更可珍貴的第一手資料，所以《算數(shù)書》引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，目前正在被深入研究之中。4、數(shù)術(shù)記遺《數(shù)術(shù)記遺》相傳是漢末徐岳所作，亦有數(shù)學(xué)史家認(rèn)為本書是北周甄鸞自著?！稊?shù)術(shù)記遺》把大數(shù)的名稱按不同的涵義排列三個(gè)不同的數(shù)列，另一部份是關(guān)于一個(gè)幻方的清楚的說明，它成為數(shù)論中這一發(fā)現(xiàn)的最古的文字記載之一，書中至少提到了四種算盤，因此它是談到算盤的最古老的書籍。5、九章算術(shù)根據(jù)研究，西漢的張蒼、耿壽昌曾經(jīng)做過增補(bǔ)和整理，其時(shí)大體已成定本。最后成書最遲在東漢前期。九章算術(shù)將書中的所有數(shù)學(xué)問題分為九大類，就是“九章”。三國時(shí)期的劉徽為《九章》作注，加上自己心得體會(huì)，使其便于了解，可以流傳下來。唐代的李淳風(fēng)又重新做注(656年)，作為《算數(shù)十經(jīng)》之一，版刻印刷，作為通用教材?！毒耪滤阈g(shù)》的出現(xiàn)，標(biāo)志著我國古代數(shù)學(xué)體系的正式確立，當(dāng)中有以下的一些特點(diǎn)：1.是一個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)體系，全書表述為應(yīng)用問題集的形式；2.以算法為主要內(nèi)容，全書以問、答、術(shù)構(gòu)成，“術(shù)”是主要需闡述的內(nèi)容；3.以算籌為工具?！毒耪滤阈g(shù)》取得了多方面的數(shù)學(xué)成就，包括：分?jǐn)?shù)運(yùn)算、比例問題、雙設(shè)法、一些面積、體積計(jì)算、一次方程組解法、負(fù)數(shù)概念的引入及負(fù)數(shù)加減法則、開平方、開立方、一般二次方程解法等?！毒耪滤阈g(shù)》的思想方法對我國古代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的影響。自隋唐之際，《九章算術(shù)》已傳入朝鮮、日本，現(xiàn)在更被譯成多種文字。6、海島算經(jīng)《海島算經(jīng)》由三國劉徽所著，最初是附于他所注的《九章算術(shù)》（263）之后，唐初開始單行，體例亦是以應(yīng)用問題集的形式。全書共9題，全是利用測量來計(jì)算高深廣遠(yuǎn)的問題，首題測算海島的高、遠(yuǎn)，故得名?！逗u算經(jīng)》是中國最早的一部測量數(shù)學(xué)事著，亦為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。7、算經(jīng)十書唐代國子監(jiān)內(nèi)設(shè)立算學(xué)館，置博士、助教指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，規(guī)定《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《綴術(shù)》、《緝古算經(jīng)》十部算經(jīng)為課本，用以進(jìn)行數(shù)學(xué)教育和考試，后世通稱為算經(jīng)十書．算經(jīng)十書是中國漢唐千余年間陸續(xù)出現(xiàn)的十部數(shù)學(xué)著作．北宋時(shí)期（1084年），曾將一部算經(jīng)刊刻發(fā)行，這是世界上最早的印刷本數(shù)學(xué)書．（此時(shí)《綴術(shù)》已經(jīng)失傳，實(shí)際刊刻的只有九種）。8、測圓海鏡《測圓海鏡》由中國金、元時(shí)期數(shù)學(xué)家李冶所著，成書于1248年。全書共有12卷，170問。這是中國古代論述容圓的一部專箸，也是天元術(shù)的代表作?！稖y圓海鏡》所討論的問題大都是已知勾股形而求其內(nèi)切圓、旁切圓等的直徑一類的問題。在《測圓海鏡》問世之前，我國雖有文字代表未知數(shù)用以列方程和多項(xiàng)式的工作，但是沒有留下很有系統(tǒng)的記載。李冶在《測圓海鏡》中系統(tǒng)而概栝地總結(jié)了天元術(shù)，使文詞代數(shù)開始演變成符號代數(shù)。所謂天元術(shù)，就是設(shè)“天元一”為未知數(shù)，根據(jù)問題的已知條件，列出兩個(gè)相等的多項(xiàng)式，經(jīng)相減后得出一個(gè)高次方式程，稱為天元開方式，這與現(xiàn)代設(shè)x為未知數(shù)列方程一樣。歐洲的數(shù)學(xué)家，到了16世紀(jì)以后才完全作到這一點(diǎn)。數(shù)論是以嚴(yán)格和簡潔著稱，內(nèi)容既豐富又深刻。我將會(huì)介紹數(shù)論中最基本的概念和理論，希望大家能對這門學(xué)問產(chǎn)生興趣，并且對中小學(xué)時(shí)代學(xué)習(xí)過的一些基本概念，例如整除性、最大公因子、最小公倍數(shù)、輾轉(zhuǎn)相除法等，有較深入的了解。第一章整數(shù)的整除性

第一節(jié)整除的概念一、基本概念1、自然數(shù)、整數(shù)2、正整數(shù)、負(fù)整數(shù)3、奇數(shù)、偶數(shù)關(guān)于奇數(shù)和偶數(shù)性質(zhì)：1.奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)；偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)；2.兩個(gè)數(shù)之和是奇（偶）數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的奇偶性相反（同）。3.若干個(gè)整數(shù)之和為奇數(shù)，則這些數(shù)中必有奇數(shù)，且奇數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)；若干個(gè)整數(shù)之和為偶數(shù)，則這些數(shù)中若有奇數(shù)，奇數(shù)的個(gè)數(shù)必為偶數(shù)個(gè)。關(guān)于奇數(shù)和偶數(shù)性質(zhì)：4.奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)；奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)；5.若干個(gè)整數(shù)之積為奇數(shù)，則這些數(shù)必為奇數(shù)；若干個(gè)整數(shù)之積為偶數(shù)，則這些數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)。6.若a是整數(shù)，則|a|與a有相同的奇偶性。7.若a，b是整數(shù)，則a+b與a-b奇偶性相同。例1在1,2,3，L，1998,1999這1999個(gè)數(shù)的前面任意添加一個(gè)正號或負(fù)號，問它們的代數(shù)和是奇數(shù)還是偶數(shù)？例2設(shè)n為奇數(shù)，是1,2，L，n的任意一個(gè)排列，證明必是偶數(shù)。例3將正方形ABCD分割成個(gè)相等的小方格（n是正整數(shù)），把相對的頂點(diǎn)A,C染成紅色，B,D染成藍(lán)色，其他交點(diǎn)任意染成紅藍(lán)兩色中的一種顏色，證明：恰有三個(gè)頂點(diǎn)同顏色的小方格的數(shù)目必是偶數(shù)。例4設(shè)正整數(shù)d不等于2,5,13，證明集合中可以找到兩個(gè)數(shù)a，b，使得ab-1不是完全平方數(shù)。一個(gè)性質(zhì)：整數(shù)+整數(shù)=整數(shù)整數(shù)-整數(shù)=整數(shù)整數(shù)*整數(shù)=整數(shù)二、整除1、定義：設(shè)a，b是整數(shù)，b≠0。如果存在一個(gè)整數(shù)q使得等式：a=bq成立，則稱b能整除a或a能被b整除，記b∣a；如果這樣的q不存在，則稱b不能整除a，記為ba。注：顯然每個(gè)非零整數(shù)a都有約數(shù)±1，±a，稱這四個(gè)數(shù)為a的平凡約數(shù)，a的另外的約數(shù)稱為非平凡約數(shù)。素?cái)?shù)：定義設(shè)整數(shù)n≠0，±1.如果除了顯然因數(shù)±1，±n以外，n沒有其他因數(shù)，那么，n叫做素?cái)?shù)（或質(zhì)數(shù)或不可約數(shù)），否則，n叫做合數(shù).規(guī)定：若沒有特殊說明，素?cái)?shù)總是指正整數(shù)，通常寫成p或p1，p2，…，pn.例整數(shù)2，3，5，7都是素?cái)?shù)，而整數(shù)4，6，8，10，21都是合數(shù).2、整除的性質(zhì)設(shè)a，b，c是整數(shù)（1）a∣a（2）如果a∣b，b∣c，則a∣c（3）如果a∣b，a∣c,則對任意整數(shù)m，n有a∣mb+cn.（4）如果a∣c，則對任何整數(shù)b，a∣bc.（5）若（a，b）=1，且a∣bc，則a∣c（6）若（a，b）=1，且a∣c，b∣c則ab∣c（7）若（a，b）=1，且ab∣c，則a∣c，b∣c（8）若在等式中，除某一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)都能被c整除，則這一項(xiàng)也能被c整除。常用結(jié)論：（1）設(shè)p為素?cái)?shù)，若p∣ba，則p∣a或p∣b.（2）p|a或(p，a)=1.p?Tp?a例6證明：121，n?Z。（3）素?cái)?shù)判定法則：設(shè)n是一個(gè)正整數(shù)，如果對所有的素?cái)?shù)p≤，都有pn，則n一定是素?cái)?shù).（4）任何大于1的整數(shù)a都至少有一個(gè)素約數(shù)。推論任何大于1的合數(shù)a必有一個(gè)不超過的素約數(shù)。10以內(nèi)的素?cái)?shù)是2,3,5,7，用它們除100以內(nèi)大于10的數(shù)，刪去所有能被它們整除的數(shù)，剩下的(含2,3,5,7在內(nèi))就是100以內(nèi)的所有素?cái)?shù)．最后剩下2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89和97.這25個(gè)數(shù)就是100以內(nèi)的全部素?cái)?shù)．再用這25個(gè)素?cái)?shù)除1002＝10000以內(nèi)大于100的數(shù)，刪去所有能被它們整除的數(shù)，可以得到10000以內(nèi)的所有素?cái)?shù)．重復(fù)這個(gè)做法可以得到任意給定的正整數(shù)以內(nèi)的所有