重難點(diǎn)專項(xiàng)突破03實(shí)際問題與二次函數(shù)（6種題型）（解析版）

重難點(diǎn)專項(xiàng)突破03實(shí)際問題與二次函數(shù)（6種題型）【題型細(xì)目表】題型一：圖形問題題型二：圖形運(yùn)動問題題型三：拱橋問題題型四：銷售問題題型五：投球問題題型六：噴水問題【考點(diǎn)剖析】題型一：圖形問題一、解答題1．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）果農(nóng)小張準(zhǔn)備投資觀光采摘水果項(xiàng)目：在如圖的正方形果園（陰影部分）中種植水果，在正方形果園四周建造寬2.5m的觀光道路．建造道路的成本為80元/m2，第一季水果銷售，預(yù)計(jì)平均每平方米獲得毛利潤20元．(1)當(dāng)果園邊長為米時(shí)，設(shè)第一季水果銷售的毛利潤減去道路建造成本后的利潤為元，求與之間的函數(shù)解析式．(2)當(dāng)為何值時(shí)，的值最?。?3)要使得，求的最小值（精確到，）．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，最小(3)邊長的最小值為43【分析】（1）根據(jù)題意，數(shù)形結(jié)合即可得到與之間的函數(shù)解析式；（2）將（1）中化為頂點(diǎn)式為，由二次函數(shù)圖像與性質(zhì)即可得到答案；（3）由（1）可知，滿足條件的值，先解出，再由二次函數(shù)圖像與性質(zhì)求解即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意可知，，與之間的函數(shù)解析式；（2）解：由（1）知，,拋物線開口向上，當(dāng)時(shí)，有最小值；（3）解：由（1）知，當(dāng)時(shí)，，解得，，（負(fù)值，舍棄），由二次函數(shù)圖像與性質(zhì)可知，要使得，的最小值約為．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合，涉及二次函數(shù)解實(shí)際應(yīng)用題、二次函數(shù)圖像與性質(zhì)、二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系等知識，讀懂題意，準(zhǔn)確找到函數(shù)關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江臺州·九年級?？计谥校┤鐖D1所示，裝置是王老師設(shè)計(jì)的用來畫二次函數(shù)圖像的工具．直角三角板可以在直板L上滑動，其中，在邊處，存在像拉鏈一樣可以展開的細(xì)線，一端固定在定點(diǎn)A處．點(diǎn)P處為拉鏈展開處，且隨著三角板的移動，開始時(shí)，點(diǎn)D，A，B在同一直線上，點(diǎn)P為中點(diǎn)．點(diǎn)P處的鉛筆頭可以畫出點(diǎn)P移動的軌跡．在畫軌跡時(shí)，需保持細(xì)線拉直，如圖2．(1)根據(jù)題意得，與的關(guān)系為：___________；(2)若已知點(diǎn)A到直板L的距離為，以其中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)；①用x，y表示出和的長；②若長，那么三角板向右滑動的最大距離是多少？【答案】(1)(2)①，；②【分析】（1）根據(jù)題意可得點(diǎn)在的垂直平分線上，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得答案；（2）①根據(jù)點(diǎn)A到直板L的距離為，以其中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則可得點(diǎn)，，進(jìn)而得出答案；②根據(jù)，從而得出點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大為，根據(jù)題意得出拋物線解析式，進(jìn)而得出點(diǎn)橫坐標(biāo)的最大距離．【詳解】（1）解：根據(jù)題意點(diǎn)在的垂直平分線上，∴，故答案為：；（2）①∵點(diǎn)A到直板L的距離為，以其中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，∴，，∴，；②由（1）得，即，∴，整理得，∵，∴得最大值為，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大為，∴，解得：，∴此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴三角板向右滑動的最大距離為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，垂直平分線的性質(zhì)，讀懂題意，清楚理解題目中所給的信息是解本題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）某牧場準(zhǔn)備利用現(xiàn)成的一堵“7”字型的墻面（如圖中粗線表示墻面，已知，米，米）和總長為36米的籬笆圍建一個(gè)“日”形的飼養(yǎng)場（細(xì)線表示籬笆，飼養(yǎng)場中間也是用籬笆隔開），如圖，點(diǎn)可能在線段上，也可能在線段的延長線上．（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，①設(shè)的長為米，則______米（用含的代數(shù)式表示）；②若要求所圍成的飼養(yǎng)場的面積為66平方米，求飼養(yǎng)場的寬；（2）飼養(yǎng)場的寬為多少米時(shí)，飼養(yǎng)場的面積最大？最大面積為多少平方米？【答案】（1）①；②飼養(yǎng)場的寬為11米；（2）飼養(yǎng)場的寬為8米時(shí)，飼養(yǎng)場的面積最大，最大面積為96平方米．【分析】（1）①根據(jù)矩形的性質(zhì)求出GH和DB的長度，進(jìn)而求出AD的長度，再根據(jù)籬笆總長度為36米，做減法即可求出DE的長度．②根據(jù)矩形的面積公式列出一元二次方程并求解即可．（2）根據(jù)題意，對點(diǎn)F是在線段BC上還是在線段BC的延長線上進(jìn)行分類討論，然后根據(jù)矩形的面積公式列出飼養(yǎng)場BDEF的面積S與EF的長度x的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出當(dāng)x為何值時(shí)，S取到最大值．【詳解】解：（1）①∵飼養(yǎng)場BDEF是一個(gè)“日”形，∴四邊形BDEF是由矩形BDGH和矩形FEGH組成的矩形．∴DE=BF，DB=GH=EF．∵EF=x，∴DB=GH=EF=x．又∵AB=3，∴．∴．∴．故答案為：（）．②∵要求所圍成的飼養(yǎng)場的面積為66平方米，∴．∴．解得，，∵點(diǎn)在線段上，且BC=9，∴，即．解得．∴x=11，即飼養(yǎng)場的寬為11米．答：飼養(yǎng)場的寬為11米．（2）設(shè)飼養(yǎng)場的面積為，的長為米．①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，根據(jù)（1）可得：，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，且當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。弋?dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，需滿足，∴時(shí)，有最大值，最大值為（平方米）．此時(shí)，滿足點(diǎn)F在線段BC上．②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，設(shè)DE為y米，由（1）可得DB=GH=EF=x，DE=BF=y，，∵BC=9，∴．∴．∴．解得．∴．∴．∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為（平方米）．此時(shí)，滿足點(diǎn)F在線段BC的延長線上．∵，∴飼養(yǎng)場的寬為8米時(shí)，飼養(yǎng)場的面積最大，最大面積為96平方米．答：飼養(yǎng)場的寬為8米時(shí)，飼養(yǎng)場的面積最大，最大面積為96平方米．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用和二次函數(shù)的應(yīng)用，把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題并列出方程或關(guān)系式是解題關(guān)鍵，同時(shí)根據(jù)題目實(shí)際情況要注意分類討論和實(shí)際意義．4．（2023·浙江杭州·校考一模）某農(nóng)場計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．(1)若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36，求此時(shí)x的值；(2)當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？【答案】(1)x的值為2m；(2)當(dāng)時(shí)，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為m2【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形養(yǎng)殖場的總面積為36，列一元二次方程，解方程即可求解；（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積為S，列出矩形的面積公式可得S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面積是矩形BCFA面積的2倍，∴CD=2x，∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，依題意得：3x(8-x)=36，解得：x1=2，x2=6(不合題意，舍去)，此時(shí)x的值為2m；；（2）解：設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積為S，由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，∵墻的長度為10，∴0＜3x＜10，∴0＜x＜，∵-3<0，∴x＜4時(shí)，S隨著x的增大而增大，∴當(dāng)x=時(shí)，S有最大值，最大值為，即當(dāng)時(shí)，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為m2．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)在幾何圖形問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期末）卡塔爾世界杯期間，主辦方向中國某企業(yè)訂購1萬幅邊長為4米的正方形作品，其設(shè)計(jì)圖案如圖所示（四周陰影是四個(gè)全等的矩形，用材料甲；中心區(qū)是正方形，用材料乙）．在厚度保持相同的情況下，兩種材料的消耗成本如下表材料甲乙價(jià)格（元/）6030設(shè)矩形的較短邊的長為x米，制作一幅作品的材料費(fèi)用為y元．(1)的長為______米（用含x的代數(shù)式表示）；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)當(dāng)中心區(qū)的邊長不小于3時(shí)，預(yù)備材料的購買資金700萬夠用嗎？通過運(yùn)算，請寫出你的理由．【答案】(1)(2)(3)夠用，理由見詳解．【分析】（1）通過線段的數(shù)量關(guān)系直接求解．（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系直接列函數(shù)即可．（3）先根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)求出函數(shù)最小值，直接比大小即可．【詳解】（1），，四個(gè)陰影部分是四個(gè)全等的矩形，，，，故答案為：；（2）每個(gè)矩形陰影部分面積為，中心區(qū)正方形的面積為，，由題可知，，解得，；（3），對稱軸為，中心區(qū)的邊長不小于3，，，當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增大，即時(shí)，，1萬幅作品消耗的費(fèi)用為690萬；，當(dāng)中心區(qū)的邊長不小于3時(shí)，預(yù)備材料的購買資金700萬夠用．【點(diǎn)睛】此題考查實(shí)際問題和二次函數(shù)中的圖形問題，用到了數(shù)形結(jié)合的思想，將圖形的面積用二次函數(shù)表示出來，解題關(guān)鍵是在自變量的取值范圍中取到二次函數(shù)的最大值，自變量的取值范圍容易被忽略，是易錯點(diǎn)．6．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．（1）求A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)為軸對稱圖形時(shí)，求拋物線的解析式；（3）當(dāng)關(guān)于y軸成軸對稱時(shí)，若點(diǎn)M、N是拋物線上的動點(diǎn)，且有軸，點(diǎn)P是x軸上的動點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q，使以M、N、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形構(gòu)成正方形？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；；（3）存在，；；；．【分析】（1）分別令代入解析式求出坐標(biāo)即可；（2）當(dāng)為軸對稱圖形時(shí)時(shí)，要進(jìn)行分論討論所有存在的情況，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩根式求出解析式；（2）利用分論討論思想和圖形關(guān)于軸的對稱性來求解．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，；，（2）當(dāng)時(shí)，有一種情況：設(shè)，，由兩點(diǎn)間距離公式得：，解得：（與重合，舍去）、、根據(jù)兩根式，設(shè)拋物線的解析式為：，將點(diǎn)代入上式，解得：，當(dāng)時(shí)，有一種情況：同理：設(shè)，，由兩點(diǎn)之間的距離公式得：，解得：，、、由兩根式，設(shè)拋物線的方程為：，將點(diǎn)代入上式，解得：，當(dāng)時(shí)，有兩種情況：同理：設(shè)，，由兩點(diǎn)之間的距離公式得：，解得：，分論如下：、、由兩根式，拋物線的方程設(shè)為：，將點(diǎn)代入上式，解得：，、、由兩根式，拋物線的方程設(shè)為：，將點(diǎn)代入上式，解得：，（3）由（2）知，拋物線解析式為當(dāng)為正方形一邊時(shí)，設(shè)，，①當(dāng)在x軸上方，且為正方形一邊時(shí)，，根據(jù)對稱性；有；②當(dāng)在x軸下方，且為正方形一邊時(shí)，，根據(jù)對稱性：有；當(dāng)為正方形對角線時(shí)時(shí)，設(shè)，解得：，③當(dāng)在x軸上方，且為正方形對角線時(shí)，，有；④當(dāng)在x軸下方，且為正方形對角線時(shí)，，有．【點(diǎn)睛】本題考查了求解函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，分類討論求解二次函數(shù)的解析式，動點(diǎn)問題，是函數(shù)與幾何問題的綜合題型，題目較難，解題的關(guān)鍵是：利用數(shù)形結(jié)合的思想，進(jìn)行分類討論，逐一解決．7．（2023秋·浙江寧波·九年級校考期末）已知拋物線．拋物線過點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B．直線AB與這條拋物線的對稱軸交于點(diǎn)P．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；(2)求直線AB的解析式和點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在第一象限內(nèi)的該拋物線有一點(diǎn)D（x．y），且S△ABD＝S△ABC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3，B（0，3），C（﹣1，0）(2)y＝﹣x+3，P的坐標(biāo)為（1，2）(3)D（，）或（，）．【分析】（1）將點(diǎn)A（3，0）代入y＝﹣x2+2x+m可求得m的值，令x＝0，求得y的值，即可求得B的坐標(biāo)；然后根據(jù)拋物線的對稱性求得對稱軸，進(jìn)而確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）先用待定系數(shù)法即可求得直線AB的解析式，把x＝1代入求得的直線解析式即可求得P的坐標(biāo)；（3）過D點(diǎn)作DE⊥x軸，交直線AB與E，表示出DE，然后根據(jù)三角形面積公式得到關(guān)于x的方程，解方程求得x的值即可．【詳解】（1）解：∵拋物線y＝﹣x2+2x+m過點(diǎn)A（3，0），∴﹣9+6+m＝0，解得m＝3，∴拋物線為y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，則y＝3，∴B（0，3），∵對稱軸為直線x＝﹣＝1，∴點(diǎn)A（3，0）關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為（﹣1，0），∴C（﹣1，0）．（2）解：設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，把A（3，0），B（0，3）代入得，解得，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+3，∵把x＝1代入y＝﹣x+3得，y＝2，∴P的坐標(biāo)為（1，2）．（3）解：∵拋物線有一點(diǎn)D（x．y），∴D（x，﹣x2+2x+3），過D點(diǎn)作DE⊥x軸，交直線AB于E，∴E（x，﹣x+3），∵A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0），∴DE=﹣x2+2x+3﹣(﹣x+3)=﹣x2+2x∴S△ABC＝（3+1）×3＝6，∴S△ABD＝S△ABC＝，∵S△ABD＝S△ADE+S△BDE，∴DE·（3-x）+DE·x=（﹣x2+3x）×3＝，解得x＝，∴y＝﹣x2+2x+3＝或∵在第一象限內(nèi)的該拋物線有一點(diǎn)D（x．y）∴D（，）或（，）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積等知識點(diǎn)，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．題型二：圖形運(yùn)動問題一、單選題1．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）如圖，正方形的邊長為，點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，速度均為，若點(diǎn)P沿向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)Q沿向點(diǎn)C運(yùn)動，則的面積與運(yùn)動時(shí)間之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分兩種情況討論：當(dāng)Q、P兩點(diǎn)分別在、上時(shí)，可得，；當(dāng)Q、P兩點(diǎn)分別在、上時(shí)，連接，可得，，根據(jù)的面積為正方形的面積減去面積、面積和面積，進(jìn)而有，，綜上可以求出S與t的關(guān)系式，即可求解．【詳解】解：當(dāng)Q、P兩點(diǎn)分別在、上時(shí)，，，的面積為：，；當(dāng)Q、P兩點(diǎn)分別在、上時(shí)，連接，如圖所示：根據(jù)題意有：，則，∵正方形的邊長為，∴，∴，同理可得，∵根據(jù)的面積為正方形的面積減去面積、面積和面積，∴，∴，∴，，則有，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的知識，掌握函數(shù)圖象的性質(zhì)以及分類討論是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題2．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖1，在中，，動點(diǎn)，從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分別沿和的方向都以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)后停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，的面積為，與的大致函數(shù)關(guān)系如圖2所示．則當(dāng)時(shí)，的值為______．【答案】1或【分析】因?yàn)?、運(yùn)動到不同位置時(shí)，的面積不同，所以對的取值范圍進(jìn)行分類，，，，然后進(jìn)行分別求解即可.【詳解】解：四邊形是平行四邊形，由圖得：∴，，當(dāng)時(shí)，，，是等邊三角形，，，解得，（舍去）；當(dāng)時(shí)，如圖，，，，，解得：（舍去）；當(dāng)時(shí)，如圖，，，，∴，，解得：或（舍去）；綜上所述得：當(dāng)時(shí)，或．【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)在平行四邊形中產(chǎn)生的面積問題，求二次函數(shù)解析式，掌握“化動為靜”是解題的關(guān)鍵．三、解答題3．（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2﹣2mx﹣2＋m2的頂點(diǎn)為P，矩形OABC的邊OA落在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（6，2）．(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并說明隨著m值的變化，點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是什么？(2)若該二次函數(shù)的圖象與矩形OABC的邊恰好有2個(gè)交點(diǎn)，請直接寫出此時(shí)m的取值范圍．【答案】(1)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，﹣2），點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡為直線y＝﹣2(2)﹣2＜m＜或6﹣＜m＜8【分析】（1）將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式求解．（2）根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)可得拋物線平移規(guī)律，通過數(shù)形結(jié)合方法求解．【詳解】（1）解：∵y＝x2﹣2mx﹣2+m2＝（x﹣m）2﹣2，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，﹣2），點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡為直線y＝﹣2．（2）解：∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，2），∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2），隨著m增大，拋物線自左向右移動，如圖，當(dāng)拋物線右側(cè)經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，將（0，2）代入y＝x2﹣2mx﹣2+m2可得2＝﹣2+m2，解得m＝2（舍）或m＝﹣2，m增大，圖象右移過程中，當(dāng)拋物線左側(cè)經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，0＝﹣2+m2，解得m＝﹣（舍）或m＝，∴﹣2＜m＜符合題意．當(dāng)拋物線右側(cè)經(jīng)過A（6，0）時(shí)，0＝36﹣12m﹣2+m2，解得m＝6+（舍）或m＝6﹣，當(dāng)拋物線左側(cè)經(jīng)過B（6，2）時(shí)，2＝36﹣12m﹣2+m2，解得m＝4（舍）或m＝8，∴6﹣＜m＜8符合題意．綜上所述，﹣2＜m＜或6﹣＜m＜8．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)圖象由參數(shù)變化而平移的規(guī)律，數(shù)形結(jié)合求解．4．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，小球從傾斜軌道由靜止?jié)L下時(shí)，經(jīng)過的路程s（米）與時(shí)間t（秒）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表．t（秒）00.40.811.21.6…s（米）00.0160.0640.10.1440.256…(1)請?jiān)谝淮魏瘮?shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)中選擇最適合s與t的函數(shù)類型，并求出解析式；(2)經(jīng)過多少秒時(shí)，路程為0.225米？(3)如圖2，與軌道AB相連的是一段水平光滑軌道，的另一端連接的是與平行的軌道，足夠長．兩個(gè)同樣的小球甲與乙分別從A、C處同時(shí)靜止?jié)L下，其中甲球在上滾動的時(shí)間是2秒，速度是0.4米/秒，問總運(yùn)動時(shí)間為多少時(shí)，兩球滾過的路程差為1.6米？（注：小球大小忽略不計(jì)，小球在下一段軌道的開始速度等于它在上一段軌道的最后速度）【答案】(1)二次函數(shù)，(2)1.5秒(3)7秒【分析】（1）先根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)排除不是這兩種函數(shù)，即符合二次函數(shù)關(guān)系，然后用待定系數(shù)法求解即可；（2）把代入解析式求解即可；（3）根據(jù)兩球滾過的路程差為1.6米列方程求解即可．【詳解】（1）∵，∴s與t不是一次函數(shù)關(guān)系．∵，∴s與t不是反比例函數(shù)關(guān)系，∴s與t是二次函數(shù)關(guān)系，設(shè)，把代入得，解得，∴；（2）把代入，得，解得（負(fù)值舍去），答∶經(jīng)過1.5秒．（3）由題意得∶，解得．答：總時(shí)間為7秒．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用，求出二次函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．5．（2022秋·浙江金華·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，直線y＝x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．（1）求拋物線的解析式；（2）直線AB上方拋物線上的點(diǎn)D，使得∠DBA＝2∠BAC，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）M是平面內(nèi)一點(diǎn)，將△BOC繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△B1O1C1，若△B1O1C1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，請求點(diǎn)B1的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2；（2）D（﹣2，3）;（3）B1的坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣3，2）．【分析】當(dāng)x＝0時(shí)，當(dāng)y＝0時(shí)求出A，B點(diǎn)在代入y＝﹣x2+bx+c，求出b，c，即可求解.取點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′（0，﹣2），連接AB′，過點(diǎn)B作BD∥AB′交拋物線于點(diǎn)D，因?yàn)锽、B′關(guān)于x軸對稱，所以AB＝AB′，∠BAB′＝2∠BAC，設(shè)AB′：y＝kx﹣2，代入A點(diǎn)求出k值，則，再由直線BD和拋物線交于點(diǎn)D列方程組求出，再根據(jù)象限即可求解.因?yàn)椤鰾OC繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，所以∥x軸，∥y軸，分類討論當(dāng)B1、O1在拋物線上時(shí)和當(dāng)B1、C1在拋物線上時(shí)兩種情況.【詳解】解：（1）y＝，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，2），把A、B的坐標(biāo)代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣x+2；（2）取點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′（0，﹣2），連接AB′，過點(diǎn)B作BD∥AB′交拋物線于點(diǎn)D，∵B、B′關(guān)于x軸對稱，∴AB＝AB′，∠BAB′＝2∠BAC，設(shè)AB′：y＝kx﹣2，代入A（﹣4，0）得﹣4k﹣2＝0，解得k＝﹣，則BD：y＝﹣x+2，解得，，∴D（﹣2，3）．（3）∵△BOC繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，∴B1O1∥x軸，O1C1∥y軸，當(dāng)B1、O1在拋物線上時(shí)，設(shè)B1的橫坐標(biāo)為x，則O1的橫坐標(biāo)為x+2，∴﹣x2﹣x+2＝﹣（x+2）2﹣（x+2）+2，解得x＝﹣，則B1（﹣，）；當(dāng)B1、C1在拋物線上時(shí)，設(shè)B1的橫坐標(biāo)為x，則C1的橫坐標(biāo)為x+2，C1的縱坐標(biāo)比B1的縱坐標(biāo)大1，∴﹣x2﹣x+2＝﹣（x+2）2﹣（x+2）+2﹣1，解得x＝﹣3，則B1（﹣3，2），∴B1的坐標(biāo)為（﹣，）或（﹣3，2）．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)綜合題，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵.6．（2022秋·浙江麗水·九年級校聯(lián)考期中）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)．（1）求直線BD的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，求四邊形BOCP面積的最大值，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，是否存在點(diǎn)P，使△BDP是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝x﹣3；（2）當(dāng)x＝時(shí)，四邊形BOCP面積最大值為，此時(shí)點(diǎn)P（，）；（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）或（0，3）．【分析】（1）對于y＝?x2＋2x＋3，令x＝0，則y＝3，令y＝?x2＋2x＋3＝0，解得x＝?1或3，進(jìn)而求解；（2）由四邊形BOCP面積＝S△OBC＋S△PHC＋S△PHB＝×OB?OC＋×PH×OB＝×3×3＋×3×（?x2＋2x＋3＋x?3）＝﹣x2+x+，即可求解；（3）分∠PBD為直角、∠PDB為直角兩種情況，利用數(shù)形結(jié)合的方法，分別求解即可．【詳解】（1）對于y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，則y＝3，令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，故點(diǎn)D（0，﹣3），設(shè)直線BD的表達(dá)式為y＝kx+b，則，解得，故直線BD的表達(dá)式為y＝x﹣3；（2）連接BC，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，同理可得，直線BC的表達(dá)式為y＝﹣x+3，設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2+2x+3），則點(diǎn)H（x，﹣x+3），則四邊形BOCP面積＝S△OBC+S△PHC+S△PHB＝×OB?OC+×PH×OB＝×3×3+×3×（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝﹣x2+x+，∵﹣＜0，故四邊形BOCP面積存在最大值，當(dāng)x＝時(shí)，四邊形BOCP面積最大值為，此時(shí)點(diǎn)P（，）；（3）存在，理由：①當(dāng)∠PBD為直角時(shí)，如上圖所示，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，過點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3）；②當(dāng)∠PDB為直角時(shí)，由BD的表達(dá)式知，直線BD與x軸的傾斜角為45°，當(dāng)∠PDB為直角時(shí)，即PD⊥BD，則直線PD與x軸負(fù)半軸的夾角為45°，故設(shè)直線PD的表達(dá)式為y＝﹣x+t，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入上式得，﹣3＝0+t，解得t＝﹣3，故直線PD的表達(dá)式為y＝﹣x﹣3②，聯(lián)立①②并解得：x＝，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，），綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）或（0，3）．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、面積的計(jì)算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．7．（2022秋·浙江·九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正方形的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上．拋物線經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）將正方形向左平移個(gè)單位（），邊與分別與（1）中的二次函數(shù)圖像交于、，若點(diǎn)縱坐標(biāo)是點(diǎn)縱坐標(biāo)的2倍，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由題意可知點(diǎn)B、D的坐標(biāo)分別為（2，0），（0，2），利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)關(guān)系式；（2）先分別表示出點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出它們的縱坐標(biāo)，再根據(jù)題意列出方程求解即可．【詳解】解：（1）由題意可知點(diǎn)B、D的坐標(biāo)分別為（2，0），（0，2），將（2，0），（0，2）代入，得解得∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）∵正方形向左平移個(gè)單位（），邊與分別與（1）中的二次函數(shù)圖像交于、，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-m，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為2-m，當(dāng)x=-m時(shí)，，當(dāng)x=2-m時(shí)，∵點(diǎn)縱坐標(biāo)是點(diǎn)縱坐標(biāo)的2倍，∴解得，（舍去）∴m的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式，正方形的性質(zhì)等相關(guān)知識，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．8．（2022秋·浙江·九年級期中）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)M拋物線的頂點(diǎn)．（1）連接，求與對稱軸的交點(diǎn)D坐標(biāo)．（2）點(diǎn)是對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先根據(jù)拋物線的解析式求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)和對稱軸，從而可得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)解析式，然后將點(diǎn)D的橫坐標(biāo)代入直線BC的函數(shù)解析式即可得其縱坐標(biāo)；（2）先根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得點(diǎn)C關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短、兩點(diǎn)之間的距離公式求解即可得．【詳解】（1）對于二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，解得或，則，當(dāng)時(shí)，，則，二次函數(shù)化成頂點(diǎn)式為，則二次函數(shù)的對稱軸為，點(diǎn)D為BC與二次函數(shù)的對稱軸的交點(diǎn)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得，則直線BC的函數(shù)解析式為，將代入得：，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（2）如圖，作點(diǎn)C關(guān)于對稱軸MN的對稱點(diǎn)，連接，由二次函數(shù)的對稱性得：點(diǎn)一定在此二次函數(shù)的圖象上，其縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同，且，則，由兩點(diǎn)之間線段最短得：當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，最小值為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，二次函數(shù)的對稱軸為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，，解得，即，則最小值，故的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、兩點(diǎn)之間線段最短等知識點(diǎn)，較難的是題（2），利用二次函數(shù)的對稱性找出最小值是解題關(guān)鍵．9．（2022秋·浙江·九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，與y軸的交點(diǎn)為C，點(diǎn)B為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)．（1）拋物線的函數(shù)表達(dá)式為________，拋物線的對稱軸為________．（2）線段繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點(diǎn)P落在拋物線上時(shí)，求出點(diǎn)B坐標(biāo)．（3）當(dāng)點(diǎn)B在x軸上時(shí)，M，N是拋物線上的兩個(gè)動點(diǎn)，M在N的右側(cè)，若以B，C，M，N四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求出此時(shí)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．【答案】（1），直線；（2）；（3）M的橫坐標(biāo)為或【分析】（1）把代入函數(shù)解析式，求出a的值即可得函數(shù)關(guān)系式，再進(jìn)行配方可得函數(shù)的對稱軸；（2）設(shè)，過B作軸垂足為E，過點(diǎn)P作垂足為F，證明得，可得，代入拋物線解析式得方程，求解即可；（3）分兩種情況，根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）把代入得，解得，a=-0.25∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，由∴拋物線的對稱軸為直線，故答案為：，直線；

（2）∵點(diǎn)B為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)∴設(shè)過B作軸垂足為E，過點(diǎn)P作垂足為F∵，∴，∵，∴∴∴，∵點(diǎn)P落在拋物線上，∴把代入，整理得得所以（3）①如圖，當(dāng)為邊時(shí)，∵四邊形是平行四邊形，∴∵點(diǎn)B向左平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到點(diǎn)C∴設(shè)點(diǎn)，則N坐標(biāo)為∵點(diǎn)N在拋物線上，∴把代入得，解得②如圖，當(dāng)為對角線時(shí)，∵四邊形是平行四邊形，∴∵，∴，∴設(shè)點(diǎn)，則N坐標(biāo)為∵點(diǎn)N在拋物線上，∴把代入得，解得所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了二次函數(shù)解析式的求法、平行四邊形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、解方程等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．10．（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，cm，cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從C開始沿CB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動．若P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，用S表示的面積，t表示移動的時(shí)間．(1)求秒時(shí)，的面積；(2)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求面積的最大值；(3)當(dāng)t為何值時(shí)，PQ的距離最短，并求這個(gè)最短距離．【答案】(1)5cm2(2)，最大值cm2(3)當(dāng)時(shí)，PQ的最小值為cm【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)三角形面積公式代入數(shù)據(jù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)勾股定理及二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：，，，，．（2）解：，，最大值．（3）解：，當(dāng)時(shí)，PQ的最小值為cm．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積公式，勾股定理，根據(jù)已知求出，是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣2x+10與x軸，y軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（8，4），連接AC，BC．（1）求過O，A，C三點(diǎn)的拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；（2）動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OB以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動；同時(shí)，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動．規(guī)定其中一個(gè)動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，PA=QA？（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)M，使以A，B，M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1），直角三角形；（2）；（3）M1（，），M2（，），M3（，），M4（，）．【詳解】（1）先確定出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；用勾股定理逆定理證出AC2+BC2=AB2，則△ABC是直角三角形；（2）根據(jù)運(yùn)動表示出OP=2t，CQ=10﹣t，由已知條件證明Rt△AOP≌Rt△ACQ，得到OP=CQ即可；（3）分當(dāng)BM=BA，AM=AB，MA=MB三種情況分類討論，由兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可，解：（1）∵直線y=﹣2x+10與x軸，y軸相交于A，B兩點(diǎn)，∴A（5，0），B（0，10），∵拋物線過原點(diǎn)，∴設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx，∵拋物線過點(diǎn)A（5，0），C（8，4），∴，∴，∴拋物線解析式為y=x2﹣x，∵A（5，0），B（0，10），C（8，4），∴AB2=52+102=125，BC2=82+（10﹣4）2=100，AC2=42+（8﹣5）2=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．（2）如圖1，當(dāng)P，Q運(yùn)動t秒，即OP=2t，CQ=10﹣t時(shí)，由（1）得，AC=OA，∠ACQ=∠AOP=90°，在Rt△AOP和Rt△ACQ中，AC=OA，PA=QA，∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，∴OP=CQ，∴2t=10﹣t，∴t=，∴當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為時(shí)，PA=QA；（3）存在，∵y=x2﹣x，∴拋物線的對稱軸為x=，∵A（5，0），B（0，10），∴AB=5設(shè)點(diǎn)M（，m），①若BM=BA時(shí)，∴（）2+（m﹣10）2=125，∴m1=，m2=，∴M1（，），M2（，），②若AM=AB時(shí)，∴（）2+m2=125，∴m3=，m4=﹣，∴M3（，），M4（，﹣），③若MA=MB時(shí)，∴（﹣5）2+m2=（）2+（10﹣m）2，∴m=5，∴M（，5），此時(shí)點(diǎn)M恰好是線段AB的中點(diǎn)，構(gòu)不成三角形，舍去，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M1（，），M2（，），M3（，），M4（，﹣），“點(diǎn)睛”此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的全等的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是分情況討論，也是本題的難點(diǎn)．12．（2022秋·浙江寧波·九年級校考階段練習(xí)）定義：將函數(shù)l的圖象繞點(diǎn)P（m，0）旋轉(zhuǎn)180°，得到新的函數(shù)l'的圖象，我們稱函數(shù)l'是函數(shù)關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)．例如：當(dāng)m＝1時(shí)，函數(shù)y＝（x+1）2+5關(guān)于點(diǎn)P（1，0）的相關(guān)函數(shù)為y＝﹣（x﹣3）2﹣5．（1）當(dāng)m＝0時(shí)①一次函數(shù)y＝x﹣1關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)為；②點(diǎn)（，﹣）在二次函數(shù)y＝﹣ax2﹣ax+1（a≠0）關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)的圖象上，求a的值．（2）函數(shù)y＝（x﹣1）2+2關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)y＝﹣（x+3）2﹣2，則m＝；（3）當(dāng)m﹣1≤x≤m+2時(shí)，函數(shù)y＝x2﹣mx﹣m2關(guān)于點(diǎn)P（m，0）的相關(guān)函數(shù)的最大值為6，求m的值．【答案】（1）①y＝x+1；②a＝；（2）-1；（3）m的值為或．【分析】（1）①由相關(guān)函數(shù)的定義，將y＝x﹣1旋轉(zhuǎn)變換可得相關(guān)函數(shù)為y＝x+1；②將（，﹣）代入可得a的值，（2）兩函數(shù)頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P中心對稱，可用中點(diǎn)坐標(biāo)公式獲得點(diǎn)P坐標(biāo)，從而獲得m的值；（3）在相關(guān)函數(shù)中，以對稱軸在給定區(qū)間的左側(cè)，中部，右側(cè)，三種情況分類討論，獲得對應(yīng)的m的值．【詳解】解：（1）①∵一次函數(shù)y＝x﹣1，k=1,過（0，-1）∴繞點(diǎn)P（0，0）旋轉(zhuǎn)180°后k不變，過（0，1）∴關(guān)于點(diǎn)P的相關(guān)函數(shù)為y＝x+1，故答案為：y＝x+1；②∵，∴y＝﹣ax2﹣ax+1關(guān)于點(diǎn)P（0，0）的相關(guān)函數(shù)為，∵點(diǎn)A（，﹣）在函數(shù)的圖象上，∴，解得a＝，（2）∵函數(shù)y＝（x﹣1）2+2的頂點(diǎn)為（1，2），函數(shù)y＝﹣（x+3）2﹣2的頂點(diǎn)為（﹣3，﹣2），這兩點(diǎn)關(guān)于中心對稱，∴，∴m＝﹣1，故答案為：﹣1．（3）∵，∴關(guān)于點(diǎn)P（m，0）的相關(guān)函數(shù)為，①當(dāng)，即m≤﹣2時(shí)，y有最大值是6，∴，∴，（不符合題意，舍去），②當(dāng)時(shí)，即﹣2＜m≤4時(shí)，當(dāng)時(shí)，y有最大值是6，∴∴，（不符合題意，舍去），③當(dāng)，即m＞4時(shí)，當(dāng)x＝m+2時(shí)，y有最大值是6，∴，∴（不符合題意，舍去），綜上，m的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)問題以及中心對稱，（3）是本題的難點(diǎn)，需要分三類進(jìn)行討論，研究函數(shù)的變化軌跡，是很好的一道壓軸問題．13．（2022秋·浙江·九年級期中）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，BC⊥x軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)E是線段AB上一動點(diǎn)（不與A，B重合），過點(diǎn)E作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)及S△ABF；（3）點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)，是否存在這樣的P點(diǎn)，使△ABP成為直角三角形？若存在，直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，），S△ABF＝；（3）存在，P的坐標(biāo)為（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）【分析】（1）先求出點(diǎn)B坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，點(diǎn)E（t，t+1），則F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，利用二次函數(shù)求最值方法進(jìn)一步求解即可；（3）根據(jù)題意，分三種情況①點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)；②點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；③點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)分別討論求解即可．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，0），C（4，0），∴AC＝5，OC＝4，∵AC＝BC＝5，∴B（4，5），把A（﹣1，0）和B（4，5）代入二次函數(shù)y＝x2+bx+c中得：，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如圖1，∵直線AB經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，5），設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，∴，解得：，∴直線AB的解析式為：y＝x+1，∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3，∴設(shè)點(diǎn)E（t，t+1），則F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，．．．8分∴當(dāng)t＝時(shí)，EF的最大值為，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，），∴S△ABF＝＝＝；（3）存在，∵y＝x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴對稱軸為直線x=1，設(shè)P（1，m），分三種情況：①點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，由勾股定理得：，∴（4﹣1）2+（m﹣5）2+（4+1）2+52=（1+1）2+m2，解得：m=8，∴P（1，8）；②點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，由勾股定理得：∴（1+1）2+m2+（4+1）2+52=（4﹣1）2+（m﹣52，解得：m=﹣2，∴P（1，﹣2）；③點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，由勾股定理得：，∴（4﹣1）2+（m﹣5）2+（1+1）2+m2=（4+1）2+52，解得：m=6或m=﹣1，∴P（1，6）或P（1，﹣1）綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，涉及二次函數(shù)與幾何最值、動態(tài)問題、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、求一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、解二元一次方程、解一元一次方程、解一元二次方程等知識，知識點(diǎn)較多，難度一般，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，分析圖形，尋找相關(guān)聯(lián)信息，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想方法進(jìn)行推理、探究和計(jì)算．題型三：拱橋問題一、解答題1．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知一拋物線形大門，其地面寬度為10m，一身高為1.8m的同學(xué)站在門內(nèi)，在離門腳1m處垂直地面站直拍照，其頭頂恰好頂在拋物線形門上，根據(jù)這些條件，請你求出該大門的高h(yuǎn)．【答案】5m【分析】解決拋物線的問題，需要合理地建立平面直角坐標(biāo)系，用二次函數(shù)的性質(zhì)解答，建立直角坐標(biāo)系的方法有多種，大體是以拋物線對稱軸為y軸（包括頂點(diǎn)在原點(diǎn)），拋物線經(jīng)過原點(diǎn)等等．【詳解】解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)拋物線解析式為.由題意知B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式得，解得．∴拋物線的解析式為．∴該大門的高h(yuǎn)為5m．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)求點(diǎn)的坐標(biāo)，再求拋物線解析式，從而解答題目的問題．2．（2023春·浙江衢州·九年級衢州市實(shí)驗(yàn)學(xué)校教育集團(tuán)（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團(tuán)）校聯(lián)考階段練習(xí)）橫跨“信安湖”上的衢江大橋主橋采用V型腿鋼構(gòu)加拱橋組合結(jié)構(gòu)形式，其中主拱線形呈拋物線狀．圖2是圖1的示意圖．已知拱線與橋面的兩交點(diǎn)A，B之間的距離為，拱線的最高點(diǎn)距橋面，為兩橋墩，與之間的距離為．(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出拱線所在拋物線的解析式．(2)當(dāng)橋墩露出水面部分高，此時(shí)水面與橋面的距離為多少米？【答案】(1)(2)【分析】（1）以所在直線為x軸，線段的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，得出，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意得出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，代入（1）中解析式求解，然后結(jié)合題意即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖所示，以所在直線為x軸，線段的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，∵交點(diǎn)A，B之間的距離為，拱線的最高點(diǎn)距橋面，∴，設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2）∵與之間的距離為．∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，∵橋墩露出水面部分高，∴，∴水面與橋面的距離為．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系確定解析式是解題關(guān)鍵．3．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖1，有一座拋物線形拱橋，某正常水位時(shí)，橋下的水面寬20米，拱頂?shù)剿娴木嚯x為6米，到橋面的距離為4米，相鄰兩支柱間的距離均為5米，建立直角坐標(biāo)系如圖2．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)求支柱的長度．(3)隨著水位的上升，橋下水面的寬度逐漸減?。凰邑洿谒嫔系牟糠值臋M截面是邊長為5米的正方形，當(dāng)水位上升0.75米時(shí)，這艘貨船能否順利通過拱橋？請說說你的理由．【答案】(1)(2)5.5米(3)不能，理由見解析【分析】（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，把代入求得a的值，即可得出函數(shù)關(guān)系式；（2）將代入函數(shù)關(guān)系式求得y的值，可求出支柱的長度；（3）將代入函數(shù)關(guān)系式求得y的值，再與進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．

把代入得：，解得．

拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．·（2）當(dāng)x=5時(shí)，．，∴（米）．（3）不能，理由如下：當(dāng)時(shí)，．∴這艘貨船不能順利通過拱橋．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題是解題根本，求出二次函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵．4．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，某水庫上游有一單孔拋物線型拱橋，它的跨度AB為100米．最低水位（與AB在同一平面）時(shí)橋面CD距離水面25米，橋拱兩端有兩根25米高的水泥柱BC和AD，中間等距離豎立9根鋼柱支撐橋面，拱頂正上方的鋼柱EF長5米．（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求拋物線型橋拱的解析式；（2）在最低水位時(shí)，能并排通過兩艘寬28米，高16米的游輪嗎？（假設(shè)兩游輪之間的安全間距為4米）（3）由于下游水庫蓄水及雨季影響導(dǎo)致水位上漲，水位最高時(shí)比最低水位高出13米，請問最高水位時(shí)沒在水面以下的鋼柱總長為多少米？【答案】（1）；（2）不能并列通過兩艘游輪；（3）12【詳解】（1）如圖，以AB為x軸，AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則A、B、F的坐標(biāo)分別為（-50，0），（50，0），（0，20），設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+20，將B的坐標(biāo)代入求出a即可.（2）求出x=30時(shí)的函數(shù)值，即可判斷函數(shù)值大于等于16可以通過，小于16不能通過.（3）求出x=±30、±20、±40的函數(shù)值，即可判斷.解：（1）如圖，以AB為x軸，AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.則A、B、F的坐標(biāo)分別是（-50，0），（50，0），（0，20）．

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+20，將B的坐標(biāo)代入得：.∴拋物線的表達(dá)式是y=+20．

（2）把x=28+2=30代入解析式，，

∵12.8＜16

∴不能并列通過兩艘游輪.

（3）由（2）得，當(dāng)x=±30時(shí)，y=12.8，又∵當(dāng)x=±20時(shí)，＞13，∴水面只能沒過最左邊和最右邊各兩根鋼柱.∵當(dāng)x=±40時(shí)，，∴沒在水面下的立柱總長為2×[(13-7.2)+(13-12.8)]=12米.

“點(diǎn)睛”本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，由自變量的值求函數(shù)值的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.5．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計(jì)拱橋景觀燈的懸掛方案？素材1圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形橋拱的示意圖，某時(shí)測得水面寬，拱頂離水面．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲達(dá)到最高．素材2為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛長的燈籠，如圖3.為了安全，燈籠底部距離水面不小于；為了實(shí)效，相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對稱分布．問題解決任務(wù)1確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)2探究懸掛范圍在你所建立的坐標(biāo)系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值和橫坐標(biāo)的取值范圍．任務(wù)3擬定設(shè)計(jì)方案給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標(biāo)系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】任務(wù)一：見解析，；任務(wù)二：懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是；；任務(wù)三：兩種方案，見解析【分析】任務(wù)一：根據(jù)題意，以拱頂為原點(diǎn)，建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，待定系數(shù)法求解析式即可求解；任務(wù)二：根據(jù)題意，求得懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而代入函數(shù)解析式即可求得橫坐標(biāo)的范圍；任務(wù)三：有兩種設(shè)計(jì)方案，分情況討論，方案一：如圖2（坐標(biāo)系的橫軸，圖3同），從頂點(diǎn)處開始懸掛燈籠；方案二：如圖3，從對稱軸兩側(cè)開始懸掛燈籠，正中間兩盞與對稱軸的距離均為，根據(jù)題意求得任意一種方案即可求解．【詳解】任務(wù)一：以拱頂為原點(diǎn)，建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，則頂點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)．設(shè)該拋物線函數(shù)表達(dá)式為，則，∴，∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式是．任務(wù)二：∵水位再上漲達(dá)到最高，燈籠底部距離水面至少，燈籠長，∴懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)，∴懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是．當(dāng)時(shí)，，解得或，∴懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是．任務(wù)三：有兩種設(shè)計(jì)方案方案一：如圖2（坐標(biāo)系的橫軸，圖3同），從頂點(diǎn)處開始懸掛燈籠．∵，相鄰兩燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為，∴若頂點(diǎn)一側(cè)掛4盞燈籠，則，若頂點(diǎn)一側(cè)掛3盞燈籠，則，∴頂點(diǎn)一側(cè)最多可掛3盞燈籠．∵掛滿燈籠后成軸對稱分布，∴共可掛7盞燈籠．∴最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．方案二：如圖3，從對稱軸兩側(cè)開始懸掛燈籠，正中間兩盞與對稱軸的距離均為，∵若頂點(diǎn)一側(cè)掛5盞燈籠，則，若頂點(diǎn)一側(cè)掛4盞燈籠，則，∴頂點(diǎn)一側(cè)最多可掛4盞燈籠．∵掛滿燈籠后成軸對稱分布，∴共可掛8盞燈籠．∴最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意建立坐標(biāo)系，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖1，某公園有一個(gè)圓形噴水池，噴水池中心有一個(gè)垂直于地面自動升降的噴頭，噴出的水柱形狀呈拋物線．如圖2，以噴水池中心O為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，1米為1個(gè)單位長度建立平面直角坐標(biāo)系，噴頭A的坐標(biāo)為．設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式中二次項(xiàng)系數(shù)為a．(1)當(dāng)水柱都滿足水平距離為4米時(shí)，達(dá)到最大高度為6米．①若時(shí)，求第一象限內(nèi)水柱的函數(shù)表達(dá)式．②用含t的代數(shù)式表示a．(2)為了美化公園，對公園及噴水設(shè)備進(jìn)行升級改造，a與t之間滿足，且當(dāng)水平距離為6米時(shí)，水柱達(dá)到最大高度．①求改造后水柱達(dá)到的最大高度．②若水池的直徑為25米，要使水柱不能落在水池外，求t的取值范圍．【答案】(1)①；②(2)①水柱達(dá)到的最大高度8米；②【分析】（1）①設(shè)第一象限內(nèi)水柱的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，把代入函數(shù)表達(dá)式即可得解，②把代入即可得解；（2）①設(shè)第一象限內(nèi)水柱的函數(shù)表達(dá)式為，利用得出a與t的關(guān)系，將代入，即可得解②把代入，得，要使水柱不能落在水池外，即可確定a的取值范圍，再利用等量代即可得出t的取值范圍．．【詳解】（1）①設(shè)第一象限內(nèi)水柱的函數(shù)表達(dá)式為．當(dāng)時(shí)，把代入函數(shù)表達(dá)式，得．第一象限內(nèi)水柱的函數(shù)表達(dá)式為．②把代入，得得（2）①設(shè)第一象限內(nèi)水柱的函數(shù)表達(dá)式為．．把代入，得，．水柱達(dá)到的最大高度8米．②把代入，得．要使水柱不能落在水池外，則a的取值范圍為．，，解得．．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．題型四：銷售問題一、解答題1．（2023秋·浙江嘉興·九年級統(tǒng)考期末）某超市以20元/千克的價(jià)格購進(jìn)一批綠色食品，在整個(gè)銷售旺季的40天里，設(shè)第天的銷售單價(jià)為元/千克，與滿足如下關(guān)系：，(1)第幾天時(shí)銷售單價(jià)為24元/千克？(2)如圖，設(shè)第天的銷售量為千克，與之間的關(guān)系可用圖中的函數(shù)圖象來刻畫．若超市第天銷售該綠色食品獲得的利潤為元，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出第幾天的利潤最大，最大利潤是多少？【答案】(1)第35天銷售單價(jià)為24元/千克；(2)，第20天的利潤最大，最大利潤是1250元【分析】（1）把代入，解方程即可求得；（2）根據(jù)圖象求得與之間的關(guān)系，然后根據(jù)利潤等于售價(jià)減去成本價(jià)，然后整理即可得到w與x的關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的增減性解答即可求出最大利潤．【詳解】（1）解：由題意知，解得：，第35天銷售單價(jià)為24元/千克；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，把點(diǎn)代入得，解得，由題意可知：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，w取得最大值1000元；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，w取得最大值1250元；綜上可得：，第20天的利潤最大，最大利潤是1250元．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，主要是利用二次函數(shù)的增減性求最值問題，利用一次函數(shù)的增減性求最值，難點(diǎn)在于讀懂題目信息，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式．2．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）某創(chuàng)意公司開發(fā)了一種成本為20元/個(gè)的新型智力開發(fā)玩具，其銷售量y（萬個(gè)）與銷售價(jià)格x（元/個(gè)）的變化如下表：價(jià)格（元/個(gè)）…30405060…銷售量y（萬個(gè)）…5432…(1)觀察并分析表中的y與x之間的對應(yīng)關(guān)系，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識寫出y（萬個(gè)）與x（元/個(gè)）的函數(shù)解析式．(2)在“六一節(jié)”來臨之際，為使利潤最大，該公司應(yīng)將銷售價(jià)格定為多少元？【答案】(1)y與x的解析式為(2)為使利潤最大，該公司應(yīng)將銷售價(jià)格定為50元/個(gè)【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可判斷是一次函數(shù)，利用待定系數(shù)法即可解決問題．（2）設(shè)公司獲得利潤為w元，根據(jù)每個(gè)玩具的利潤×銷售量=總利潤列出函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可知，y與x是一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)y與x的解析式為，則，解得，∴y與x的解析式為；（2）設(shè)公司獲得利潤為w元，則，∵，∴當(dāng)時(shí)，w有最大值，最大值為90萬元，答：為使利潤最大，該公司應(yīng)將銷售價(jià)格定為50元/個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，解決實(shí)際問題中的最值問題．3．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件．市場調(diào)查反映：如調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)1元，每星期少賣出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣出20件．當(dāng)每件漲價(jià)元，所得利潤．(1)當(dāng)每件降價(jià)元，試求所得利潤關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．(2)是否存在值，使？若存在，求出的值，否則說明理由．【答案】(1)(2)不存在．理由見解析【分析】（1）根據(jù)“每件商品的利潤×數(shù)量=總利潤”列出函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)一元二次方程根的判別式或結(jié)合二次函數(shù)的最值進(jìn)行分析說理．【詳解】（1）；（2）方法1：不存在．理由：令，∴，即，∵，∴原方程無實(shí)數(shù)根，即不存在方法2：不存在．理由：令，∴，即∵方程無實(shí)數(shù)根∴即不存在．方法3：不存在．理由：∵的最大值為6125元，∴不存在．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．4．（2023春·浙江寧波·九年級寧波市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某超市銷售某種兒童玩具，每件進(jìn)價(jià)為50元．根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該玩具銷售單價(jià)為100元時(shí)，每月的銷售量為50件，而銷售單價(jià)每降低1元，則每月可多售出5件．要求銷售單價(jià)不得低于成本，且不高于110元．(1)求該兒童玩具每月的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)設(shè)超市每月銷售這種玩具可獲利W（元），當(dāng)銷售單價(jià)x為多少時(shí)W最大？W最大值是多少？【答案】(1)(2)銷售單價(jià)定為80元時(shí)，每月有最大利潤4500元【分析】（1）利用該商品每月的銷售量降低的價(jià)格，即可找出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；；（2）設(shè)每月所獲利潤為W，按照等量關(guān)系列出二次函數(shù)，并根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值即可．【詳解】（1），，（2），，，此圖象開口向下，當(dāng)時(shí)，有最大值為4500，答：銷售單價(jià)定為80元時(shí)，每月有最大利潤4500元．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，根據(jù)題意找到等量關(guān)系并掌握二次函數(shù)求最值的方法是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·浙江寧波·九年級浙江省余姚市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）“味香園”葡萄基地是寧波市最大的葡萄生產(chǎn)基地，“味香園”葡萄以品種多，質(zhì)量好而聲名遠(yuǎn)播．某“味香園”農(nóng)戶準(zhǔn)備將“巨峰”和“美人指”兩種葡萄裝箱銷售，推出了兩種方案：2千克“巨峰”和3千克“美人指”裝一箱按批發(fā)價(jià)每箱98元；3千克“巨峰”和2千克“美人指”裝一箱按批發(fā)價(jià)每箱92元．(1)求“巨峰”和“美人指”兩種葡萄批發(fā)價(jià)每千克分別是多少元？(2)某經(jīng)銷商在“味香園”按批發(fā)價(jià)購入一批“巨峰”葡萄進(jìn)行銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售價(jià)為每千克24元進(jìn)行銷售時(shí)，每天能賣出80千克；銷售單價(jià)每降價(jià)0.2元，每天能多賣出4千克．求銷售價(jià)定為每千克多少元時(shí)，每天的利潤最大，最大利潤是多少元？【答案】(1)“巨峰”批發(fā)價(jià)每千克16元，“美人指”批發(fā)價(jià)每千克22元(2)銷售價(jià)為每千克22元時(shí)，最大，且為720元【分析】（1）設(shè)“巨峰”批發(fā)價(jià)每千克x元，“美人指”批發(fā)價(jià)每千克y元，根據(jù)“2千克“巨峰”和3千克“美人指”裝一箱按批發(fā)價(jià)每箱98元；3千克“巨峰”和2千克“美人指”裝一箱按批發(fā)價(jià)每箱92元”列出方程組，解之即可；（2）設(shè)銷售價(jià)定為每千克a元，每天的利潤為w元，列出函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果．【詳解】（1）解：設(shè)“巨峰”批發(fā)價(jià)每千克x元，“美人指”批發(fā)價(jià)每千克y元，由題意可得：，解得：，∴“巨峰”批發(fā)價(jià)每千克16元，“美人指”批發(fā)價(jià)每千克22元；（2）設(shè)銷售價(jià)定為每千克a元，每天的利潤為w元，由題意可得：，∵，∴開口向上，∴當(dāng)時(shí)，即銷售價(jià)為每千克22元時(shí)，最大，且為720元．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程組和函數(shù)表達(dá)式．6．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）紅燈籠，象征著闔家家團(tuán)圓，紅紅火火，掛燈籠成為我國的一種傳統(tǒng)文化．小明在春節(jié)前購進(jìn)甲、乙兩種紅燈籠，用3120元購進(jìn)甲燈籠與用4200元購進(jìn)乙燈籠的數(shù)量相同，已知乙燈籠每對進(jìn)價(jià)比甲燈籠每對進(jìn)價(jià)多9元．(1)求甲、乙兩種燈籠每對的進(jìn)價(jià)；(2)經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，乙燈籠每對售價(jià)50元時(shí)，每天可售出98對，售價(jià)每提高1元，則每天少售出2對．物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不高于每對65元，設(shè)乙燈籠每對漲價(jià)元，小明一天通過乙燈籠獲得利潤元．①填空：與之間的函數(shù)關(guān)系式是___________；②乙種燈籠的銷售單價(jià)為多少元時(shí)，一天獲得利潤最大?最大利潤是多少元?【答案】(1)甲種燈籠單價(jià)為26元/對，乙種燈籠的單價(jià)為35元/對；(2)①；②乙種燈籠的銷售單價(jià)為每對65元時(shí)，一天獲得利潤最大，最大利潤是2040元．【分析】（1）設(shè)甲種燈籠單價(jià)為x元/對，則乙種燈籠的單價(jià)為元/對，根據(jù)用3120元購進(jìn)甲燈籠與用4200元購進(jìn)乙燈籠的數(shù)量相同，列分式方程可解；（2）①利用總利潤等于每對燈籠的利潤乘以賣出的燈籠的實(shí)際數(shù)量，可以列出函數(shù)的解析式；②由函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，可知有最大值，結(jié)合問題的實(shí)際意義，可得答案．【詳解】（1）解：設(shè)甲種燈籠單價(jià)為x元/對，則乙種燈籠的單價(jià)為元/對，由題意得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，∴，答：甲種燈籠單價(jià)為26元/對，乙種燈籠的單價(jià)為35元/對；（2）解：①，答：y與x之間的函數(shù)解析式為：；②∵，∴函數(shù)y有最大值，該二次函數(shù)的對稱軸為：，物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不高于每對65元，∴，∴，∵時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，．．答：乙種燈籠的銷售單價(jià)為每對65元時(shí)，一天獲得利潤最大，最大利潤是2040元．【點(diǎn)睛】本題屬于分式方程和二次函數(shù)的應(yīng)用題綜合．根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程和函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）某品牌服裝公司新設(shè)計(jì)了一款服裝，其成本價(jià)為60（元/件）．在大規(guī)模上市前，為了摸清款式受歡迎狀況以及日銷售量y（件）與銷售價(jià)格x（元/件）之間的關(guān)系，進(jìn)行了市場調(diào)查，部分信息如表：銷售價(jià)格x（元/件）8090100110日銷售量y（件）240220200180(1)若y與x之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，請直接寫出函數(shù)的解析式______（不用寫自變量x的取值范圍）；(2)若該公司想每天獲利8000元，并盡可能讓利給顧客，則應(yīng)如何定價(jià)？(3)為了幫助貧困山區(qū)的小朋友，公司決定每賣出一件服裝向希望小學(xué)捐款10元，該公司應(yīng)該如何定價(jià)，才能使每天獲利最大？（利潤用w表示）【答案】(1)(2)應(yīng)定價(jià)100元(3)135元【分析】（1）待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)總利潤等于單件利潤乘以銷售數(shù)量，列出方程進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)總利潤等于單件利潤乘以銷售數(shù)量，確定二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．【詳解】（1）解：設(shè)一次函數(shù)的解析式為：，由圖表可知：在一次函數(shù)的圖象上，則：，解得：，∴；（2）解：由題意，得：，解得，，∵公司盡可能多讓利給顧客，∴應(yīng)定價(jià)100元；（3）解：由題意，得，，∵，∴當(dāng)時(shí)，w有最大值，最大值為8450．答：當(dāng)一件衣服定為135元時(shí)，才能使每天獲利最大．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)題意，正確的列出一次函數(shù)解析式，一元二次方程，二次函數(shù)的解析式，是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）某商場經(jīng)營A種品牌的玩具，購進(jìn)時(shí)的單價(jià)是30元，根據(jù)市場調(diào)查：在一段時(shí)間內(nèi)，銷售單價(jià)是40元時(shí)，銷售量是600件，而銷售單價(jià)每漲1元，就會少售出10件玩具．(1)不妨設(shè)該種品牌玩具的銷售單價(jià)為元，請用含的代數(shù)式表示該玩具的銷售量______．(2)若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價(jià)不低于44元，且商場要完成不少于450件的銷售任務(wù)，求商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤．(3)該商場計(jì)劃將（2）中所得的利潤的一部分采購一批B種玩具并轉(zhuǎn)手出售，根據(jù)調(diào)查準(zhǔn)備兩種方案：方案①：月初出售，獲利15%，并可用本和利再投資C種玩具，到月末又可獲利10%；方案②：只到月末出售直接獲利30%，但要另支付倉庫保管費(fèi)350元．請問商場如何使用這筆資金，采用哪種方案獲利較多？嘗試填寫以下表格．獲利比較最多投入資金最少投入資金方案①獲利較多時(shí)______元．0元方案②獲利較多時(shí)______元．______元．【答案】(1)(2)元(3)見解析【分析】（1）根據(jù)銷售量由原銷量－因價(jià)格上漲而減少的銷量可得；（2）根據(jù)利潤=銷售量×每件的利潤，即可解決問題，根據(jù)題意確定自變的取值范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決問題；（3）設(shè)投入資金為元，先表示出兩種方案的獲取利潤表達(dá)式，再分類討論可得．【詳解】（1）根據(jù)題意，得：銷售單價(jià)為元時(shí)，銷售量為；故答案為：；（2）設(shè)商場獲得的利潤為根據(jù)題意解得，時(shí)，元（3）設(shè)投入資金為元，則：；；當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)獲利相同；當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)①獲利多；當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)②獲利多．獲利比較最多投入資金最少投入資金方案①獲利較多時(shí)10000元．/方案②獲利較多時(shí)11250元．10000元．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，搞清楚銷售量與售價(jià)之間的關(guān)系，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，注意自變量的取值范圍．9．（2023春·浙江金華·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)格不變的情況下，若每千克每漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克．(1)設(shè)每千克漲價(jià)為x元，每天的總盈利為y元．若漲價(jià)x為整數(shù)，則總盈利y最大值為多少？(2)若商場只要求保證每天的盈利為6000元，每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？【答案】(1)6120(2)每千克應(yīng)漲價(jià)10元或5元【分析】（1）根據(jù)等量關(guān)系“總利潤=每千克利潤×數(shù)量”，列出y與x之間的函數(shù)關(guān)系，然后再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；（2）把代入（1）的解析式，根據(jù)題意即可解答．【詳解】（1）解：設(shè)每千克漲價(jià)x元，獲利y元則∵∴拋物線開口向下，x為整數(shù)，∴當(dāng)或8時(shí)，y最大值為．（2）解：當(dāng)時(shí)，解得：．所以每千克應(yīng)漲價(jià)10元或5元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用等知識點(diǎn)，正確求得函數(shù)解析式成為解答本題的關(guān)鍵．10．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）2022年北京冬奧會舉辦期間，冬奧會吉祥物“冰墩墩”深受廣大人民的喜愛．某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆．每個(gè)紀(jì)念品進(jìn)價(jià)40元，規(guī)定銷售單價(jià)不低于44元，且不高于52元．銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價(jià)定為44元時(shí)，每天可售出300個(gè)，銷售單價(jià)每上漲1元，每天銷量減少10個(gè)．現(xiàn)商家決定提價(jià)銷售，設(shè)每天銷售量為y個(gè)，銷售單價(jià)為x元．(1)直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍；(2)將紀(jì)念品的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤w元最大？最大利潤是多少元？(3)該店主從每天的利潤中捐出200元給希望工程，為了保證捐款后每天剩余利潤不低于2200元，同時(shí)最大限度的讓利于顧客，求銷售單價(jià)x應(yīng)定為多少？【答案】(1)(2)將紀(jì)念品的銷售單價(jià)定為52元時(shí)，商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤w元最大，最大利潤是元(3)捐款后每天剩余利潤不低于元，為最大讓利，銷售單價(jià)為50元【分析】（1）根據(jù)題意直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍；（2）根據(jù)銷售利潤=銷售量×（售價(jià)-進(jìn)價(jià)），列出平均每天的銷售利潤w（元）與銷售價(jià)x（元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式，再依據(jù)函數(shù)的增減性求得最大利潤；（3）根據(jù)題意得剩余利潤為，利用函數(shù)性質(zhì)求出時(shí)的x的取值范圍即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）根據(jù)題意得：，∵，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，∴將紀(jì)念品的銷售單價(jià)定為元時(shí)，商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤元最大，最大利潤是元；（3）依題意剩余利潤為元，∵捐款后每天剩余利潤不低于元，∵，隨x增大而增大，由得或，∴捐款后每天剩余利潤不低于元，，銷售價(jià)最少50元．答：捐款后每天剩余利潤不低于元，為最大讓利，銷售單價(jià)為50元．【點(diǎn)睛】本題考查列一次函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式．11．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測）某銷售賣場對一品牌商品的銷售情況進(jìn)行了調(diào)查，已知該商品的進(jìn)價(jià)為每件3元，每周的銷售量（件）與售價(jià)（元/件）（x為正整數(shù)）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表記錄的是某三周的有關(guān)數(shù)據(jù)：（元/件）（件）1000095009000(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式(不求自變量的取值范圍)；(2)在銷售過程中要求銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于元件．若某一周該商品的銷售量不少于件，求這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤和售價(jià)分別為多少元？(3)抗疫期間，該商場這種商品的售價(jià)不大于元件時(shí)，每銷售一件商品便向某慈善機(jī)構(gòu)捐贈整數(shù)元，捐贈后發(fā)現(xiàn)，該商場每周銷售這種商品的利潤仍隨售價(jià)的增大而增大．請直接寫出整數(shù)的值．【答案】(1)(2)一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤為元，銷售單價(jià)分別為元(3)3，4，5，6【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解即可；（2）由，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)題意得，，則對稱軸為直線，進(jìn)而求解．【詳解】（1）解：設(shè)和的函數(shù)表達(dá)式為，則，解得，故和的函數(shù)表達(dá)式為；（2）設(shè)這一周該商場銷售這種商品的利潤為元，由題意得，解得，則，∵，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，∵，x為正整數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，答：一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤為元，銷售單價(jià)分別為元；（3）根據(jù)題意得，，∴對稱軸為直線，∵，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，對稱軸，大于等于，則對稱軸大于等于，由于取整數(shù)，實(shí)際上是二次函數(shù)的離散整數(shù)點(diǎn)，取，，時(shí)利潤一直增大，只需保證時(shí)利潤大于時(shí)即可滿足要求，所以對稱軸要大于就可以了，故，解得，∵，∴，整數(shù)的值為3，4，5，6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用、二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等知識，關(guān)鍵是讀懂題意，正確列出函數(shù)解析式和不等式組．12．（2023秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期末）“中國元素”幾乎遍布卡塔爾世界杯的每一個(gè)角落，某特許商品專賣店銷售中國制造的紀(jì)念品，深受大家喜愛．自世界杯開賽以來，其銷量不斷增加，該商品銷售第x天（，且x為整數(shù)）與該天銷售量y（件）之間滿足函數(shù)關(guān)系如下表所示：第x天1234567…銷售量y（件）220240260280300320340…為回饋項(xiàng)客，該商家將此紀(jì)念品的價(jià)格不斷下調(diào)，其銷售單價(jià)z（元）與第x天（，且x為整數(shù)）成一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．已知該紀(jì)念品成本價(jià)為20元/件．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，及z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求這28天中第幾天銷售利潤最大，并求出最大利潤；(3)商店擔(dān)心隨著世界杯的結(jié)束該紀(jì)念品的銷售情況會不如從前，決定在第10天開始每件商品的單價(jià)在原來價(jià)格變化的基礎(chǔ)上再降價(jià)a元銷售，銷售第x天與該天銷售量y（件）仍然滿足原來函數(shù)關(guān)系，問第幾天的銷售利潤取得最大值，若最大利潤是20250元，求a的值．【答案】(1)，；(2)這28天中第15天銷售利潤最大，最大利潤為元；(3)第20天時(shí)，利潤最大值為元時(shí)，．【分析】（1）由表格信息可得：每增加1天，銷量增加20件，可得是的一次函數(shù)，而銷售單價(jià)z（元）與第x天（，且x為整數(shù)）成一次函數(shù)關(guān)系，再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可；（2）由總利潤等于銷售量乘以每件產(chǎn)品的利潤建立二次函數(shù)的關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解得即可；（3）由題意可得：第10天開始每件商品的單價(jià)為元，每件商品的利潤為：元，設(shè)此時(shí)利潤為：元，再建立二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案，當(dāng)最大值為時(shí)，再建立方程求解即可．【詳解】（1）解：由表格信息可得：每增加1天，銷量增加20件，可得是的一次函數(shù)，設(shè)，把，，，代入可得：，解得：，∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為；設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，解得：，∴z與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：，（2）設(shè)總利潤為元，則；當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，第15天利潤最大，最大值為：（元）．（3）由題意可得：第10天開始每件商品的單價(jià)為元，每件商品的利潤為：元，設(shè)此時(shí)利潤為：元，則當(dāng)又∵且，∴隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，當(dāng)最大值為時(shí)，∴，解得：，綜上：第20天時(shí)，利潤最大值為元時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，建立函數(shù)關(guān)系式是解本題的關(guān)鍵．題型五：投球問題一、解答題1．（2023秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在某場足球比賽中，球員甲從球門底部中心點(diǎn)的正前方處起腳射門，足球沿拋物線飛向球門中心線；當(dāng)足球飛離地面高度為時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)足球飛行的水平距離為．已知球門的橫梁高為．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，問此飛行足球能否進(jìn)球門？（不計(jì)其它情況）守門員乙站在距離球門處，他跳起時(shí)手的最大摸高為，他能阻止球員甲的此次射門嗎？如果不能，他至少后退多遠(yuǎn)才能阻止球員甲的射門？【答案】（1）能射中球門；（2）他至少后退，才能阻止球員甲的射門．【分析】(1)、根據(jù)條件可以得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（4，3），利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；(2)、求出當(dāng)x=2時(shí)，拋物線的函數(shù)值，與2.52米進(jìn)行比較即可判斷，再利用y=2.52求出x的值即可得出答案．【詳解】(1)、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（4，3），設(shè)拋物線的解析式是：y=a（x-4）2+3，把（10，0）代入得36a+3=0，解得a=-，則拋物線是y=-（x-4）2+3，當(dāng)x=0時(shí)，y=-×16+3=3-=＜2.44米，故能射中球門；（2）當(dāng)x=2時(shí)，y=-（2-4）2+3=＞2.52，∴守門員乙不能阻止球員甲的此次射門，當(dāng)y=2.52時(shí)，y=-（x