重難點專項突破01二次函數(shù)的最值（4種題型）（原卷版）

重難點專項突破01二次函數(shù)的最值（4種題型）【題型細(xì)目表】題型一：利用二次函數(shù)的對稱性求最短路徑題型二：面積最值問題題型三：最大利潤問題題型四：線段最值問題【考點剖析】題型一：利用二次函數(shù)的對稱性求最短路徑一、填空題1．（浙江寧波·九年級寧波東海實驗學(xué)校?？计谥校┤鐖D，拋物線過點A（1，0），B（3，0），與y軸相交于點C．若點P為線段OC上的動點，連結(jié)BP，過點C作CN垂直于直線BP，垂足為N，當(dāng)點P從點O運動到點C時，點N運動路徑的長為_____2．（浙江杭州·九年級翠苑中學(xué)校聯(lián)考期中）若拋物線y＝﹣x2+2x+m+1（m為常數(shù)）交y軸于點A，與x軸的一個交點在2和3之間，拋物線頂點為點B．①拋物線y＝﹣x2+2x+m+1與直線y＝m+2有且只有一個交點；②若點M（﹣2，y1）、點N（，y2）、點P（2，y3）在該函數(shù)圖象上，則y1＜y2＜y3；③將該拋物線向左平移2個單位，再向下平移2個單位，所得的拋物線解析式為y＝﹣（x+1）2+m；④點A關(guān)于直線x＝1的對稱點為C，點D、E分別在x軸和y軸上，當(dāng)m＝1時，四邊形BCDE周長的最小值為．其中正確的是___．（填序號）二、解答題3．（浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線，且拋物線經(jīng)過B(1，0)，C(0，3)兩點，與x軸交于點A．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，在拋物線的對稱軸直線上找一點M，使點M到點B的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標(biāo)；（3）如圖2，點Q為直線AC上方拋物線上一點，若∠CBQ=45°，請求出點Q坐標(biāo).4．（浙江杭州·九年級期末）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且．（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；（2）點M是對稱軸上的一個動點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求點M的坐標(biāo)．5．（浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）如圖，二次函數(shù)圖象與x軸交于點A、B，與y軸交與點C，拋物線的頂點坐標(biāo)是（2，9），且經(jīng)過D（3，8）．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）求△ABC的面積；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得BM＋DM最短？若存在，求出M的坐標(biāo)．若不存在，請說明理由．6．（2022秋·浙江麗水·九年級校聯(lián)考期中）如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點B的坐標(biāo)為(5，0)．(1)求m的值及拋物線的頂點坐標(biāo)．(2)點P是拋物線對稱軸l上的一個動點，當(dāng)PA+PC的值最小時，求點P的坐標(biāo)．7．（浙江寧波·校聯(lián)考一模）如圖，拋物線M1：y=x2-4與x軸的負(fù)半軸相交于點A，將拋物線M1平移得到拋物線M2：y=ax2+bx+c，M1與M2相交于點B，直線AB交M2于點C（8，m），且AB=BC．（1）求點A，B，C的坐標(biāo)；（2）寫出一種將拋物線M1平移到拋物線M2的方法；（3）在y軸上找點P，使得BP+CP的值最小，求點P的坐標(biāo)．8．（2022秋·浙江金華·九年級?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的圖象如圖所示，它與x軸的一個交點的坐標(biāo)為，與y軸的交點坐標(biāo)為．(1)求拋物線的解析式及與x軸的另一個交點B的坐標(biāo)；(2)根據(jù)圖象回答：當(dāng)x取何值時，？(3)在拋物線的對稱軸上有一動點P，求的值最小時的點P的坐標(biāo)．題型二：面積最值問題一、解答題1．（2022·浙江·九年級自主招生）中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個三角形，邊長分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式求得，其中p為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫——秦九韶公式，現(xiàn)有一個三角形的邊長滿足，求這個三角形面積的最大值，并判斷此時三角形的形狀．2．（2022秋·浙江寧波·九年級?？计谥校┤鐖D，在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園，其中，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄．若設(shè)的長度為x米，矩形菜園面積為S平方米．(1)寫出S與x的關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(2)若，所圍成的矩形菜園的面積為450平方米，求所利用舊墻的長；(3)求矩形菜園面積的最大值．3．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）某?？萍寂d趣小組制作了一個機器人，該機器人能根據(jù)指令要求進行旋轉(zhuǎn)和行走．機器人從起點出發(fā)，連續(xù)執(zhí)行如下指令：機器人先向前直行（表示第次行走的路程），再逆時針旋轉(zhuǎn)，直到第一次回到起點后停止．記機器人共行走的路程為，所走路徑形成的封閉圖形的面積為．例如：如圖1，當(dāng)每次直行路程均為1（即），時，機器人的運動路徑為，機器人共走的路程，由圖1圖2易得所走路徑形成的封閉圖形的面積為．(1)若，請完成下表．(2)如圖3，若，機器人執(zhí)行六次指令后回到起點處停止．①若，，，，則______，______．②若，，，請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系，并求出當(dāng)最大時的值．4．（2022秋·浙江杭州·九年級校考期中）如圖，有一個鋁合金窗框，所使用的鋁合金材料長度為．設(shè)長為，窗戶的總面積為．(1)求關(guān)于的函數(shù)表達式；(2)若的長不能低于，且，求此時窗戶總面積的最大值和最小值．5．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）有一塊形狀如圖1的四邊形余料，，，，，，要在這塊余料上截取一塊矩形材料，其中一條邊在上．(1)如圖2，若所截矩形材料的另一條邊在上，設(shè)，矩形的面積為y，①求y關(guān)于x的函數(shù)表達式．②求矩形面積y的最大值．(2)能否截出比（1）中更大面積的矩形材料？如果能，求出這些矩形材料面積的最大值；如果不能，說明理由．6．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）“距離”是數(shù)學(xué)研究的重要對象，如我們所熟悉的兩點間的距離．現(xiàn)在我們定義一種新的距離：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點，我們將稱作P，Q間的“L型距離”，記作L（P，Q），即．已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的A，B，C三點，其中A，B兩點的坐標(biāo)為A（－1，0），B（0，3），點C在直線x＝2上運動，且滿足．

(1)求L（A，B）；(2)求拋物線的表達式；(3)已知是該坐標(biāo)系內(nèi)的一個一次函數(shù)．①若D，E是圖像上的兩個動點，且，求面積的最大值；②當(dāng)時，若函數(shù)的最大值與最小值之和為8，求實數(shù)t的值．題型三：最大利潤問題一、解答題1．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）某商店經(jīng)營兒童益智玩具，已知成批購進時的單價是20元，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價是30元時，月銷售量是230件，而銷售單價每上漲1元，月銷售量就減少10件，但每件玩具的售價不能高于40元．設(shè)每件玩具的銷售單價上漲了x元，（x為整數(shù)）月銷售利潤為y元．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍．(2)每件玩具的售價定為多少元時，月銷售利潤恰為2520元？(3)如果商店想要每月獲得的利潤不低于2520元，那么每月用于購進這種玩具的成本需要多少元？(4)每件玩具的售價定為多少元時可使月銷售利潤最大？最大的月利潤是多少？2．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）某服裝廠生產(chǎn)A品種服裝，每件成本為71元，零售商到此服裝廠一次性批發(fā)A品牌服裝x件時，批發(fā)單價為y元，y與x之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系，其中批發(fā)件數(shù)x為10的正整數(shù)倍．(1)當(dāng)時，y與x的函數(shù)關(guān)系式為．(2)某零售商到此服裝廠一次性批發(fā)A品牌服裝200件，需要支付多少元？(3)零售商到此服裝廠一次性批發(fā)A品牌服裝件，服裝廠的利潤為w元，問：x為何值時，w最大？最大值是多少？3．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）某水果店銷售一種新鮮水果，平均每天可售出120箱，每箱盈利60元，為了擴大銷售減少庫存，水果店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每箱水果每降價5元，水果店平均每天可多售出20箱．設(shè)每箱水果降價x元．(1)當(dāng)時，求銷售該水果的總利潤；(2)設(shè)每天銷售該水果的總利潤為w元．①求w與x之間的函數(shù)解析式：②試判斷w能否達到8200元，如果能達到，求出此時x的值；如果不能達到，求出w的最大值．4．（2022秋·浙江寧波·九年級校聯(lián)考期中）在新冠肺炎抗疫期間，小明決定在淘寶上銷售一批口罩．經(jīng)市場調(diào)研，某類型口罩進價每袋為20元，當(dāng)售價為每袋25元時，銷售量為250袋，若銷售單價每提高1元，銷售量就會減少10袋．(1)直接寫出小明銷售該類型口罩銷售量y（袋）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式_____，每天所得銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式_____．(2)若小明想每天獲得該類型口罩的銷售利潤2000元時，則銷售單價應(yīng)定為多少元？(3)求當(dāng)銷售單價定為多少元時，利潤最大，最大利潤是多少？5．（2022秋·浙江金華·九年級校聯(lián)考期中）某超市銷售一種商品，每千克成本為30元，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，該種商品的每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其每天銷售單價，銷售量的四組對應(yīng)值如表所示：銷售單價x（元/千克）55606570銷售量y（千克）70605040(1)求y（千克）與x（元/千克）之間的函數(shù)表達式；(2)為保證某天獲得1600元的銷售利潤，則該天的銷售單價應(yīng)定為多少？(3)當(dāng)銷售單價定為多少時，才能使當(dāng)天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？6．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）抗擊疫情期間，某商店購進了一種消毒用品，進價為每件8元，銷售過程中發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量(件）與每件售價（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系（其中，且為整數(shù))，部分對應(yīng)值如下表:每件售價（元）91113每天的銷售量（件）1059585(1)求與的函數(shù)關(guān)系式．(2)若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤，則每件消毒用品的售價為多少元．(3)設(shè)該商店銷售這種消毒用品每天獲利(元)，問：當(dāng)每件消毒用品的售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？7．（2022秋·浙江金華·九年級?？计谥校┪沂心趁缒痉N植基地嘗試用單價隨天數(shù)而變化的銷售模式銷售某種果苗，利用天時間銷售一種成本為元/株的果苗，售后經(jīng)過統(tǒng)計得到此果苗，單日銷售n（株）與第x天（x為整數(shù)）滿足關(guān)系式：，銷售單價m（元/株）與x之間的函數(shù)關(guān)系為(1)計算第10天該果苗單價為多少元/株?(2)求該基地銷售這種果苗20天里單日所獲利潤y（元）關(guān)于第x（天）的函數(shù)關(guān)系式．(3)“吃水不忘挖井人”，為回饋本地居民，基地負(fù)責(zé)人決定將區(qū)30天中，其中獲利最多的那天的利潤全部捐出，進行“精準(zhǔn)扶貧”，試問：基地負(fù)員人這次為“精準(zhǔn)扶貧”捐贈多少錢?題型四：線段最值問題一、解答題1．（2022秋·浙江·九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A坐標(biāo)為，O為坐標(biāo)原點，連接OA，二次函數(shù)圖像從點O沿OA方向平移，頂點始終在線段OA上（包括端點O和A），平移后的拋物線與直線x＝6交于點P，頂點為M．(1)若OM＝5，求此時二次函數(shù)的解析式，并求不等式的解集．(2)二次函數(shù)圖像平移過程中，設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m，直線AP交x軸于點B，線段PB是否存在最小值？若存在，求出此時m的值；若不存在，說明理由．2．（2022秋·浙江舟山·九年級校聯(lián)考期中）已知拋物線與x軸交于兩點（A左B右），交y軸負(fù)半軸點C，P是第四象限拋物線上一點．(1)若，求a的值；(2)若，過點P作直線垂直于x軸，交于點Q，求線段的最大值，并求此時點P的坐標(biāo)；(3)直線交y軸于點M，直線交y軸于點N，求的值．3．（2022秋·浙江溫州·九年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，過點、兩點的拋物線的頂點C在x軸正半軸上．(1)求拋物線的解析式；(2)求點C的坐標(biāo)；(3)為線段AB上一點，，作軸交拋物線于點M，求PM的最大值？4．（浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖1，拋物線交x軸于點和點B，交y軸于點．(1)求拋物線的函數(shù)表達式．(2)若點M在拋物線上，且，求點M的坐標(biāo)．(3)如圖2，設(shè)點N是線段AC上的一動點，作DN⊥x軸，交拋物線于點D，求線段DN長度的最大值．5．（2022秋·浙江·九年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物