甘肅省夏河縣夏河中學(xué)2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

甘肅省夏河縣夏河中學(xué)2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，則等于（）A． B． C． D．2．已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的離心率等于()A． B． C． D．3．下列函數(shù)中，圖象關(guān)于軸對稱的為（）A． B．，C． D．4．設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減，則（）A． B．C． D．5．已知向量，滿足||＝1，||＝2，且與的夾角為120°，則＝（）A． B． C． D．6．已知某口袋中有3個白球和個黑球（），現(xiàn)從中隨機取出一球，再換回一個不同顏色的球（即若取出的是白球，則放回一個黑球；若取出的是黑球，則放回一個白球），記換好球后袋中白球的個數(shù)是．若，則=()A． B．1 C． D．27．在中，，則=（）A． B．C． D．8．為計算，設(shè)計了如圖所示的程序框圖，則空白框中應(yīng)填入（）A． B． C． D．9．如圖，圓是邊長為的等邊三角形的內(nèi)切圓，其與邊相切于點，點為圓上任意一點，，則的最大值為（）A． B． C．2 D．10．已知雙曲線：的焦點為，，且上點滿足，，，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．511．已知直線y=k(x+1)(k>0)與拋物線C相交于A，B兩點，F(xiàn)為C的焦點，若|FA|=2|FB|，則|FA|=（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知雙曲線的左右焦點分別為，，以線段為直徑的圓與雙曲線在第二象限的交點為，若直線與圓相切，則雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點D，且，則的最小值為________．14．設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，若，則______________.15．已知，若的展開式中的系數(shù)比x的系數(shù)大30，則______．16．在一次醫(yī)療救助活動中，需要從A醫(yī)院某科室的6名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中分別抽調(diào)3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生，且男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師必須參加，則不同的選派案共有________種.(用數(shù)字作答)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）求函數(shù)的最大值．18．（12分）如圖，平面分別是上的動點，且.（1）若平面與平面的交線為，求證：；（2）當(dāng)平面平面時，求平面與平面所成的二面角的余弦值.19．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，解不等式；（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是矩形，，，分別是，的中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）設(shè)，求三棱錐的體積.21．（12分）設(shè)不等式的解集為M，.（1）證明：；（2）比較與的大小，并說明理由.22．（10分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若在定義域內(nèi)是增函數(shù)，且存在不相等的正實數(shù)，使得，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

先化簡集合A，再與集合B求交集.【詳解】因為，，所以.故選：C【點睛】本題主要考查集合的基本運算以及分式不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】由于直線的斜率k,所以一條漸近線的斜率為，即，所以，選B.3、D【解析】

圖象關(guān)于軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù),用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對選項進(jìn)行判斷可解.【詳解】圖象關(guān)于軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù)；A中，，，故為奇函數(shù)；B中，的定義域為，不關(guān)于原點對稱，故為非奇非偶函數(shù)；C中，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，為奇函數(shù)；D中，且，，故為偶函數(shù).故選：D.【點睛】本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法:(1)定義法：對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個都有，則函數(shù)是奇函數(shù)；都有，則函數(shù)是偶函數(shù)(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于原點(軸)對稱．4、D【解析】

利用是偶函數(shù)化簡，結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性，比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù)，，而，因為在上遞減，，即．故選:D【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

先計算，然后將進(jìn)行平方，，可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：∴∴則.故選：D.【點睛】本題考查的是向量的數(shù)量積的運算和模的計算，屬基礎(chǔ)題。6、B【解析】由題意或4，則，故選B．7、B【解析】

在上分別取點,使得,可知為平行四邊形，從而可得到，即可得到答案．【詳解】如下圖，，在上分別取點,使得,則為平行四邊形，故,故答案為B.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算，考查了學(xué)生邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解析】

根據(jù)程序框圖輸出的S的值即可得到空白框中應(yīng)填入的內(nèi)容．【詳解】由程序框圖的運行，可得：S＝0，i＝0滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝1，S＝1，i＝1滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝2×（﹣2），S＝1+2×（﹣2），i＝2滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝3×（﹣2）2，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i＝3…觀察規(guī)律可知：滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，a＝99×（﹣2）99，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i＝1，此時，應(yīng)該不滿足判斷框內(nèi)的條件，退出循環(huán)，輸出S的值，所以判斷框中的條件應(yīng)是i＜1．故選：A．【點睛】本題考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，當(dāng)型循環(huán)是先判斷后執(zhí)行，滿足條件執(zhí)行循環(huán)，不滿足條件時算法結(jié)束，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解析】

建立坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)的點坐標(biāo)，得到的表達(dá)式，進(jìn)而得到最大值.【詳解】以D點為原點，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為1，以（0，1）為圓心，1為半徑的圓；根據(jù)三角形面積公式得到，可得到內(nèi)切圓的半徑為可得到點的坐標(biāo)為：故得到故得到，故最大值為：2.故答案為C.【點睛】這個題目考查了向量標(biāo)化的應(yīng)用，以及參數(shù)方程的應(yīng)用，以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的運算，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法.10、D【解析】

根據(jù)雙曲線定義可以直接求出，利用勾股定理可以求出，最后求出離心率.【詳解】依題意得，，，因此該雙曲線的離心率.【點睛】本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率，考查了運算能力.11、C【解析】

方法一：設(shè)，利用拋物線的定義判斷出是的中點，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得點的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義求得，進(jìn)而求得.方法二：設(shè)出兩點的橫坐標(biāo)，由拋物線的定義，結(jié)合求得的關(guān)系式，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，寫出韋達(dá)定理，由此求得，進(jìn)而求得.【詳解】方法一：由題意得拋物線的準(zhǔn)線方程為，直線恒過定點，過分別作于，于，連接，由，則，所以點為的中點，又點是的中點，則，所以，又所以由等腰三角形三線合一得點的橫坐標(biāo)為，所以，所以．方法二：拋物線的準(zhǔn)線方程為，直線由題意設(shè)兩點橫坐標(biāo)分別為，則由拋物線定義得又①②由①②得.故選：C【點睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.12、B【解析】

先設(shè)直線與圓相切于點，根據(jù)題意，得到，再由，根據(jù)勾股定理求出，從而可得漸近線方程.【詳解】設(shè)直線與圓相切于點，因為是以圓的直徑為斜邊的圓內(nèi)接三角形，所以，又因為圓與直線的切點為，所以，又，所以，因此，因此有，所以，因此漸近線的方程為.故選B【點睛】本題主要考查雙曲線的漸近線方程，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、9【解析】分析：先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解：由題意可知，,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡得，因此當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則的最小值為.點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.14、9【解析】

用換中的n，得，作差可得，從而數(shù)列是等比數(shù)列，再由即可得到答案.【詳解】由，得，兩式相減，得，即；又，解得，所以數(shù)列為首項為-3、公比為3的等比數(shù)列，所以.故答案為：9.【點睛】本題考查已知與的關(guān)系求數(shù)列通項的問題，要注意n的范圍，考查學(xué)生運算求解能力，是一道中檔題.15、2【解析】

利用二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，求得的值．【詳解】展開式通項為：且的展開式中的系數(shù)比的系數(shù)大，即：解得：（舍去）或本題正確結(jié)果：【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師，由題意利用排列組合公式即可確定不同的選派案方法種數(shù).【詳解】首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師，然后從名男醫(yī)生、名女醫(yī)生中分別抽調(diào)2名男醫(yī)生、名女醫(yī)生，故選派的方法為：.故答案為．【點睛】解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

試題分析：由柯西不等式得試題解析：因為，所以．等號當(dāng)且僅當(dāng)，即時成立．所以的最大值為．考點：柯西不等式求最值18、（1）見解析；（2）【解析】

（1）首先由線面平行的判定定理可得平面，再由線面平行的性質(zhì)定理即可得證；（2）以點為坐標(biāo)原點，，所在的直線分別為軸，以過點且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值；【詳解】解：（1）由，又平面，平面，所以平面.又平面，且平面平面，故.（2）因為平面，所以，又，所以平面，所以，又，所以.若平面平面，則平面，所以，由且，又，所以.以點為坐標(biāo)原點，，所在的直線分別為軸，以過點且垂直于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)則由，可得，，即，所以可得，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，，，取，得所以易知平面的法向量為，設(shè)平面與平面所成的二面角為，則，結(jié)合圖形可知平面與平面所成的二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面平行的判定定理及性質(zhì)定理的應(yīng)用，利用空間向量法求二面角，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題．19、（1）；（2）.【解析】

（1）分類討論去絕對值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.（2）先得到的取值范圍，判斷，為正，去掉絕對值，轉(zhuǎn)化為在時恒成立,得到，，在恒成立，從而得到的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，，由，得，即，或，即，或，即，綜上：或，所以不等式的解集為.（2），，因為，，所以，又，，，得.不等式恒成立，即在時恒成立，不等式恒成立必須，，解得.所以，解得，結(jié)合，所以，即的取值范圍為.【點睛】本題考查分類討論解絕對值不等式，含有絕對值的不等式的恒成立問題.屬于中檔題.20、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）取中點，連，，根據(jù)平行四邊形，可得，進(jìn)而證得平面平面，利用面面垂直的性質(zhì)，得平面，又由，即可得到平面.（Ⅱ）根據(jù)三棱錐的體積公式，利用等積法，即可求解.【詳解】（Ⅰ）取中點，連，，由，可得，可得是平行四邊形，則，又平面，∴平面平面，∵平面，平面，∴平面平面，∵，是中點，則，而平面平面，而，∴平面.（Ⅱ）根據(jù)三棱錐的體積公式，得.【點睛】本題主要考查了空間中線面位置關(guān)系的判定與證明，以及利用“等體積法”求解三棱錐的體積，其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，以及合理利用“等體積法”求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.21、(1)證明見解析；(2).【解析】試題分析：(1)首先求得集合M，然后結(jié)合絕對值不等式的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論；(2)利用平方做差的方法可證得|1-4ab|＞2|a-b|.試題解析：（Ⅰ）證明：記f(x)=|x-1|-|x+2|，則f(x)=，所以解得-＜x＜，故M=(-,).所以，||≤|a|+|b|＜×+×=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得0≤a2＜，0≤b2＜.|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-1)(b2-1)>0.所以，|1-4ab|＞2|a-b|.22、（1）當(dāng)時，在上遞增，在上遞減；當(dāng)時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；當(dāng)時，在上遞增；當(dāng)時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；（2）證明見解析【解析】

（1）對求導(dǎo)，分，，進(jìn)行討論，可得的單調(diào)性；（2）在定義域內(nèi)是是增函數(shù)，由（1）可知，，