2023八年級數(shù)學上冊 第2章 三角形2.2 命題與證明第3課時 證明與反證法教學實錄 （新版）湘教版

2023八年級數(shù)學上冊第2章三角形2.2命題與證明第3課時證明與反證法教學實錄（新版）湘教版一、課程背景與目標定位

本節(jié)課是2023年八年級數(shù)學上冊第2章三角形2.2節(jié)命題與證明的第3課時，內(nèi)容為證明與反證法。湘教版教材在這一部分旨在讓學生掌握反證法的基本步驟，并能運用反證法證明一些簡單的數(shù)學命題。通過本節(jié)課的學習，學生能夠理解反證法的思想，提高邏輯推理能力，為后續(xù)學習更復雜的數(shù)學證明打下基礎(chǔ)。二、核心素養(yǎng)目標

本節(jié)課將培養(yǎng)學生的邏輯思維與推理能力，著重于邏輯推理核心素養(yǎng)。學生將通過探究反證法，提升分析問題和解決問題的能力，能夠運用反證法進行數(shù)學命題的證明，從而增強其數(shù)學抽象和數(shù)學建模素養(yǎng)。通過本節(jié)課的學習，學生將更加熟練地運用數(shù)學語言進行表達和交流，發(fā)展批判性思維和創(chuàng)新意識。三、教學難點與重點

1.教學重點

本節(jié)課的教學重點是理解和掌握反證法的概念及其應用。具體包括：

-反證法的定義與基本步驟：通過假設命題的否定成立，推導出矛盾，從而證明原命題成立。

-運用反證法證明數(shù)學命題：例如，證明一個三角形中，至少有兩個角的度數(shù)小于60度。

2.教學難點

本節(jié)課的教學難點主要在于學生對反證法邏輯的理解和應用，具體包括：

-理解反證法的邏輯過程：學生可能會混淆反證法與直接證明法的區(qū)別，難以理解為何通過證明命題的否定不成立就能證明原命題成立。

-構(gòu)造反證法的證明過程：學生在實際操作中，可能會難以找到合適的假設點，或者在推導過程中迷失方向。

-舉例說明：例如，在證明“一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的和是奇數(shù)”時，學生可能不知道如何從假設“和是偶數(shù)”出發(fā)，找到推導過程中的矛盾點。教師需要引導學生理解，假設和是偶數(shù)，則兩數(shù)之和可以表示為2n，但由于一個數(shù)是奇數(shù)（形式為2k+1），另一個數(shù)是偶數(shù)（形式為2m），它們的和為2k+2m+1，這與假設的2n矛盾，從而證明原命題成立。通過此類例子的講解，可以幫助學生突破反證法的理解難點。四、教學方法與策略

1.結(jié)合講授與討論，通過講解反證法的基本步驟和邏輯，隨后引導學生討論如何在實際問題中應用反證法。

2.設計證明練習活動，讓學生分組進行反證法的證明實踐，鼓勵學生互相解釋和質(zhì)疑，增強理解。

3.使用多媒體展示反證法證明的動態(tài)過程，以及歷史上有趣的反證法應用案例，幫助學生形象理解并激發(fā)興趣。五、教學過程

1.導入環(huán)節(jié)（約5分鐘）

內(nèi)容：教師通過一個簡單的數(shù)學謎題或日常生活中的實例來引導學生思考，例如提出一個看似簡單但實際上需要用到反證法解決的問題。學生嘗試解答，教師引導學生發(fā)現(xiàn)直接證明的困難，從而引入反證法作為解決問題的另一種思路。

2.新知學習（約25分鐘）

內(nèi)容：教師首先介紹反證法的定義和步驟，通過板書和口頭講解使學生初步理解反證法的邏輯。接著，教師展示幾個經(jīng)典的反證法證明案例，如證明“任意兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)存在”。在講解過程中，教師強調(diào)反證法的每一步驟，并引導學生思考每一步的目的和意義。隨后，教師引導學生分組討論，分析案例中的關(guān)鍵步驟，并讓學生嘗試用自己的語言復述反證法的步驟和邏輯。

3.實踐應用（約10分鐘）

內(nèi)容：教師給出幾個設計好的練習題，要求學生獨立或小組合作使用反證法進行證明。這些題目難度逐漸增加，從簡單到復雜，旨在讓學生逐步建立起反證法的解題框架。學生完成后，教師挑選幾個學生的作業(yè)進行全班展示和討論，確保學生理解正確并能夠應用反證法。

4.總結(jié)與提升（約5分鐘）

內(nèi)容：教師總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，強調(diào)反證法在數(shù)學證明中的應用價值。教師提出一些思考題，如“反證法與直接證明法有何不同？”“在什么情況下我們會選擇使用反證法？”等，以激發(fā)學生的思考。最后，教師布置家庭作業(yè)，要求學生復習反證法的步驟，并嘗試解決一些更復雜的證明問題，以加深對反證法的理解和應用。六、教學反思

這節(jié)課學生對反證法的理解有了初步的認識，但在實際應用中仍顯得有些吃力。我發(fā)現(xiàn)有些學生在證明過程中難以找到合適的假設點，這可能是因為他們還沒有完全掌握反證法的邏輯。我需要在今后的教學中加強這一點，可能通過更多的實例分析和學生自主嘗試來提高他們的邏輯推理能力。此外，課堂討論的環(huán)節(jié)有些學生參與度不高，我需要思考如何更好地激發(fā)每個學生的積極性，讓每個學生都能在課堂上有所收獲。七、教學資源與支持

1.多媒體資源

-視頻資源：收集與三角形性質(zhì)及證明相關(guān)的教學視頻，如反證法證明過程的動畫演示，幫助學生直觀理解反證法的步驟和邏輯。

-圖片資源：準備不同類型的三角形圖形，以及反證法證明過程中的圖示，用于輔助講解和練習題的解析。

-音頻資源：錄制反證法證明的語音講解，學生可以在課后反復收聽，加深對知識點的記憶和理解。

2.閱讀材料

-教材配套閱讀：提供與本章內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學閱讀材料，如數(shù)學家的故事、數(shù)學證明的歷史背景等，增加學生對數(shù)學文化的了解和興趣。

-擴展閱讀：選取一些包含復雜三角形證明問題的文章，讓學生閱讀并嘗試解決，提高其分析和解決復雜問題的能力。

3.在線工具

-在線數(shù)學工具：推薦一些在線幾何工具，如幾何畫板，學生可以使用這些工具繪制三角形，進行角度和邊長的測量，輔助證明過程。

-數(shù)學論壇和社區(qū)：引導學生參與在線數(shù)學論壇和社區(qū)，如數(shù)學StackExchange，在這里他們可以提問、回答問題，與其他學習者交流證明方法和技巧。

-數(shù)學練習網(wǎng)站：推薦一些在線數(shù)學練習網(wǎng)站，如KhanAcademy，學生可以在這里找到大量的三角形證明練習題，以及詳細的解題步驟和視頻講解。

4.軟件資源

-幾何軟件：介紹一些專業(yè)的幾何軟件，如GeoGebra，學生可以使用這些軟件進行幾何圖形的構(gòu)建和動態(tài)演示，加深對幾何證明的理解。

-邏輯訓練軟件：推薦一些邏輯訓練軟件，如LogicPuzzles，通過解決邏輯謎題來鍛煉學生的邏輯思維能力，為反證法的應用打下基礎(chǔ)。

5.教學參考書籍

-教師參考書：準備一些數(shù)學教學法參考書籍，如《初中數(shù)學課程標準解讀》和《數(shù)學教學方法與策略》，幫助教師更好地理解教材，設計教學活動。

-數(shù)學雜志和期刊：訂閱數(shù)學教育相關(guān)的雜志和期刊，如《中學數(shù)學教學參考》，教師可以從中獲取最新的教學資源和教學方法。八、九結(jié)語

同學們，今天我們一起學習了反證法在三角形證明中的應用。通過這節(jié)課，我希望你們不僅理解了反證法的步驟，還體會到了它在數(shù)學證明中