專題08 不等式及不等式組（解析版）

第08講不等式及不等式組

1.結(jié)合具體問題，了解不等式的意義

2.探索不等式的基本性質(zhì)

3.能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集

4.會用數(shù)軸確定由兩個一元一次不等式組成的不等式組解集

5.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式，解決簡單問題

★簡單；★★易錯；★★★中等；★★★★難；★★★★★壓軸

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考點(diǎn)1：不等式及其性質(zhì).....................................................................................................................3

考點(diǎn)2：一元一次不等式解法及其解集表示.....................................................................................9

考點(diǎn)3：一元一次不等式組解法及解集表示...................................................................................15

考點(diǎn)4：一元一次不等式的實際應(yīng)用...............................................................................................22

課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖..........................................................................................................................34

分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固..................................................................................................................35

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考點(diǎn)1：不等式及其性質(zhì)

①不等式及其相關(guān)概念：

（1）不等式：用不等號(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等關(guān)系的式子.

（2）不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值.

（3）不等式的解集：使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍.

②不等式的性質(zhì)：

性質(zhì)1：若a＞b,則a±c>b±c；

ab

性質(zhì)2：若a＞b,c>0，則ac>bc，>；

cc

ab

性質(zhì)3：若a＞b,c<0，則ac<bc，<.

cc

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【例題精析1】｛不等式的定義★｝下列各式：①1x：②4x50；③x3；④x2x10，不等

式有()個．

A．1B．2C．3D．4

【分析】主要依據(jù)不等式的定義：用“”、“?”、“”、“?”、“”等不等號表示不相等關(guān)系的式子是

不等式來判斷．

【解答】解：根據(jù)不等式的定義，只要有不等符號的式子就是不等式，所以為不等式有②4x50；③x3，

有2個．故選：B．

【點(diǎn)評】本題考查不等式的識別，一般地，用不等號表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式．

【例題精析2】｛不等式的性質(zhì)★｝若ab，則()

A．a(chǎn)2b2B．a(chǎn)|m|b|m|C．a(chǎn)c2?bc2D．a(chǎn)c2bc2

【分析】通過舉特例用排除法即可得出答案．

【解答】解：A選項，如a2，b1，a2b2，故該選項不符合題意；B選項，當(dāng)m0時，a|m|b|m|，

故該選項不符合題意；C選項，當(dāng)c0時，ac2bc2；當(dāng)c0時，ac2bc2；綜上所述，ac2?bc2；故該

選項符合題意；D選項，當(dāng)c0時，ac2bc2，故該選項不符合題意；故選：C．

【點(diǎn)評】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，分c0和c0兩種情況來比較大小

是解題的關(guān)鍵．

【例題精析3】｛不等式的性質(zhì)★｝已知實數(shù)x，y滿足xy3，且x3，y?1，則xy的取值范圍

9xy?1．

【分析】根據(jù)xy3，可以得到x與y的關(guān)系，根據(jù)x3，y?1，可以得到y(tǒng)的取值范圍，從而可以得

到xy的取值范圍．

y33

【解答】解：xy3，且x3，y?1，xy3，解得，1?y6，

y?1

xyy3y2y3，92y3?1，故答案為：9xy?1．

【點(diǎn)評】本題考查解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想將xy的取值范圍轉(zhuǎn)為

求關(guān)于y的代數(shù)式的取值范圍．

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【對點(diǎn)精練1】｛不等式的定義★｝現(xiàn)有以下數(shù)學(xué)表達(dá)式：①30；②4x3y0；③x3；

④x2xyy2；⑤x5；⑥x2y3．其中不等式有()

A．5個B．4個C．3個D．1個

【分析】運(yùn)用不等式的定義進(jìn)行判斷．

【解答】解：③是等式，④是代數(shù)式，沒有不等關(guān)系，所以不是不等式．不等式有①②⑤⑥，共4個．

故選：B．

【點(diǎn)評】本題考查不等式的識別，一般地，用不等號表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式．解答此類題關(guān)鍵

是要識別常見不等號：，，?，?，．

【對點(diǎn)精練2】｛不等式的性質(zhì)★｝P、Q、R、S四人去公園玩蹺蹺板，由下面的示意圖，判斷這四

人的輕重正確的是()

A．RSPQB．QSPRC．SPRQD．SPQR

【分析】根據(jù)圖形可得不等式組，由RQSP，可得RSPQ，然后把RSPQ代入

RPQS中，聯(lián)立可得RSPQ．

SP

【解答】解：根據(jù)題意可得RPQS，由RQSP，可得RSPQ，然后把RSPQ代

RQSP

入RPQS中，可得PQ，RQSP，SRQP0，SR，RSPQ．故選：

A．

【點(diǎn)評】本題考查了不等式組的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是采用代入法解不等式，并能使用統(tǒng)一的不等號進(jìn)行連

接．

【對點(diǎn)精練3】｛不等式的性質(zhì)★｝根據(jù)不等式的性質(zhì)，下列變形正確的是()

A．由ab得ac2bc2B．由ac2bc2得ab

1

C．由a2得a2D．由2x1x得x1

2

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得答案．

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【解答】解；A、ab，c0時，ac2bc2，故A不符合題意；B、由ac2bc2得ab，故B符合題意；

1

C、由a2得a4，故C不符合題意；D、由2x1x得x1，故D不符合題意；故選：B．

2

【點(diǎn)評】本題考查了不等式的性質(zhì)，注意不等式的兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．

【對點(diǎn)精練4】｛不等式的性質(zhì)★｝已知xy3，且x1，y?0，若mxy，則m的取值范圍是

1m?3．

【分析】分別求得x、y的取值范圍，然后再來求xy的取值范圍．

【解答】解：xy3，xy3，而x1，y31，y2又y?0，2y?0①，

再由xy3得yx3，又y?0，x3?0，x?3，x1，1x?3②，

①②得：21xy?30，xy的取值范圍是1xy?3，故答案為：1m?3．

【點(diǎn)評】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，掌握不等式的基本性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．

【對點(diǎn)精練5】｛不等式的性質(zhì)★｝已知實數(shù)a，b，c，滿足ab8，ca10．若a?2b，則abc

的最大值為34．

【分析】由ca10得ca10，與ab8相加得abca18，由ab8及a?2b，可得a的最

大值為16，從而得出abc的最大值．

【解答】解：由ca10得ca10，由ab8得abca18，ab8及a?2b，

a?16，a的最大值為16，abc的最大值181634．故答案為：34．

【點(diǎn)評】本題考查了不等式的性質(zhì)運(yùn)用．關(guān)鍵是由已知等式得出abc的表達(dá)式，再求最大值．

【對點(diǎn)精練6】｛不等式的性質(zhì)★｝已知實數(shù)x、y滿足2x3y4，且x1，y?2，設(shè)kxy，則

k的取值范圍是1k?3．

11

【分析】先把2x3y4變形得到y(tǒng)(2x4)，由y?2得到(2x4)?2，解得x?5，所以x的取值范圍

33

14

為1x?5，再用x變形k得到kx，然后利用一次函數(shù)的性質(zhì)確定k的范圍．

33

11

【解答】解：2x3y4，y(2x4)，y?2，(2x4)?2，解得x?5，

33

11414

又x1，1x?5，kx(2x4)x，當(dāng)x1時，k(1)1；

33333

14

當(dāng)x5時，k53，1k?3．故答案為：1k?3．

33

【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次不等式：根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式，基本步驟為：①去分母；

②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數(shù)為1．也考查了代數(shù)式的變形和一次函數(shù)的性質(zhì)．

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【實戰(zhàn)經(jīng)典1】（2021?臨沂）已知ab，下列結(jié)論：①a2ab；②a2b2；③若b0，則ab2b；

11

④若b0，則，其中正確的個數(shù)是()

ab

A．1B．2C．3D．4

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐個判斷即可．

【解答】解：ab，當(dāng)a0時，a2ab，當(dāng)a0時，a2ab，當(dāng)a0時，a2ab，故①結(jié)論錯誤

ab，當(dāng)|a||b|時，a2b2，當(dāng)|a||b|時，a2b2，當(dāng)|a||b|時，a2b2，故②結(jié)論錯誤；

11

ab，b0，ab2b，故③結(jié)論錯誤；ab，b0，ab0，，故④結(jié)論正確；

ab

正確的個數(shù)是1個．故選：A．

【點(diǎn)評】本題考查了不等式的性質(zhì)，能熟記不等式的性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．

【實戰(zhàn)經(jīng)典2】（2019?濟(jì)南）實數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列關(guān)系式不成立的是(

)

A．a(chǎn)5b5B．6a6bC．a(chǎn)bD．a(chǎn)b0

【分析】根據(jù)數(shù)軸判斷出a、b的正負(fù)情況以及絕對值的大小，然后解答即可．

【解答】解：由圖可知，b0a，且|b||a|，a5b5，6a6b，ab，ab0，

關(guān)系式不成立的是選項C．故選：C．

【點(diǎn)評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，實數(shù)的大小比較，利用了兩個負(fù)數(shù)相比較，絕對值大的反而小．

a1b23c

【實戰(zhàn)經(jīng)典3】（2021?內(nèi)江）已知非負(fù)實數(shù)a，b，c滿足，設(shè)Sa2b3c的最大

234

n11

值為m，最小值為n，則的值為．

m16

a1b23c

【分析】設(shè)k，則a2k1，b3k2，c34k，可得S4k14；利用a，b，

234

c為非負(fù)實數(shù)可得k的取值范圍，從而求得m，n的值，結(jié)論可求．

a1b23c

【解答】解：設(shè)k，則a2k1，b3k2，c34k，

234

Sa2b3c2k12(3k2)3(34k)4k14．

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2k1?0

1313

a，b，c為非負(fù)實數(shù)，3k2?0，解得：?k?．當(dāng)k時，S取最大值，當(dāng)k時，S取

2424

34k?0

13n1111

最小值．m4()1416，n41411．．故答案為：．

24m1616

a1b23c

【點(diǎn)評】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的應(yīng)用，設(shè)k是解題的關(guān)鍵．

234

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考點(diǎn)2：一元一次不等式解法及其解集表示

①一元一次不等式定義：

用不等號連接，含有一個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)項的次數(shù)都是1的，左右兩邊為整式的式子叫做一

元一次不等式.

②解法：

（1）步驟：去分母；去括號；移項；合并同類項；系數(shù)化為1.

（2）解集在數(shù)軸上表示:

x≥ax＞ax≤ax＜a

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1

【例題精析1】｛解不等式★｝已知a、b為常數(shù)，若axb0的解集是x，則bxa0的解集是(

3

)

A．x3B．x3C．x3D．x3

1b1

【分析】根據(jù)axb0的解集是x得出a0且，求出a3b，把a(bǔ)3b代入bxa0得出

3a3

bx3b根據(jù)a3b0求出b0，再求出不等式的解集即可．

1b1

【解答】解：axb0的解集是x，a0且，a3b0，b0，bxa0，

3a3

bxa，bx3b，x3，故選：D．

【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次不等式和不等式的性質(zhì)，能求出a0和b0是解此題的關(guān)鍵．

xa

【例題精析2】｛不等式的解集★★｝關(guān)于x的不等式組有解，則a的值不可能是()

x?1

1

A．0B．1C．D．1

2

【分析】由題意可得，a1，對比選項即可得出答案．

xa1

【解答】解：不等式組有解，a1，01，11，1，11，

x?12

a的值不可能是1．故選：D．

【點(diǎn)評】本題主要考查了不等式的解集，熟練掌握不等式解集的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．

xa

【例題精析3】｛不等式的解集★★｝已知不等式組的整數(shù)解有三個，則a的取值范圍是()

x5

A．1a?2B．2?a3C．1a2D．1?a2

【分析】根據(jù)不等式組的整數(shù)解有三個，確定出a的范圍即可．

xa

【解答】解：不等式組的整數(shù)解有三個，1?a2，故選：D．

x5

【點(diǎn)評】此題考查了不等式的解集，熟練掌握不等式解集的確定方法是解本題的關(guān)鍵．

【例題精析4】｛不等式的解集★｝滿足3x?1的數(shù)在數(shù)軸上表示為()

A．B．

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C．D．

【分析】3x?1表示不等式x3與不等式x?1的公共部分．實心圓點(diǎn)包括該點(diǎn)，空心圓圈不包括該點(diǎn)，

大于向右小于向左．兩個不等式的公共部分就是不等式組的解集．

【解答】解：由于x3，所以表示3的點(diǎn)應(yīng)該是空心點(diǎn)，折線的方向應(yīng)該是向右．由于x?1，所以表示1

的點(diǎn)應(yīng)該是實心點(diǎn)，折線的方向應(yīng)該是向左．所以數(shù)軸表示的解集為：故選：A．

【點(diǎn)評】此題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(，?向右畫；，

?向左畫），數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一

樣，那么這段就是不等式組的解集．在表示解集時“?”，“?”要用實心圓點(diǎn)表示；“”，“”要用空心圓

點(diǎn)表示．

【例題精析5】｛一元一次不等式的定義★｝若(m2)x2m115是關(guān)于x的一元一次不等式，則m的

值為1．

【分析】利用一元一次不等式的定義判斷即可．含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元

一次不等式．

m20

【解答】解：(m2)x2m115是關(guān)于x的一元一次不等式，，解得m1，故答案為：1．

2m11

【點(diǎn)評】本題主要考查的是一元一次不等式的定義，掌握一元一次不等式的定義是解題的關(guān)鍵．

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x?5

【對點(diǎn)精練1】｛不等式的解集★★｝關(guān)于x的不等式組無解，則a的取值范圍是()

xa

A．a(chǎn)?5B．a(chǎn)?5C．a(chǎn)5D．a(chǎn)5

x?5

【分析】關(guān)于x的不等式組無解，根據(jù)：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不

xa

了，求出a的取值范圍是多少即可．

x?5

【解答】解：關(guān)于x的不等式組無解，則a的取值范圍是a?5．故選：B．

xa

【點(diǎn)評】此題主要考查了不等式的解集，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：同大取較大，同小取較

小，小大大小中間找，大大小小解不了．

【對點(diǎn)精練2】｛不等式的解集★｝不等式x1?2x1的解集在數(shù)軸上表示正確的是()

A．B．

C．D．

【分析】根據(jù)不等式解集的表示方法，可得答案．

【解答】解：由x1?2x1，得x?2，故選：A．

【點(diǎn)評】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(，?向右畫；，?向

左畫），注意在表示解集時“?”，“?”要用實心圓點(diǎn)表示；“”，“”要用空心圓點(diǎn)表示．

【對點(diǎn)精練3】｛一元一次不等式的定義★｝已知(m2)x|m|130是關(guān)于x的一元一次不等式，則m的

值為2．

【分析】利用一元一次不等式的定義判斷即可．

m20

【解答】解：(m2)x|m|130是關(guān)于x的一元一次不等式，，解得m2．故答案為：2．

|m|11

【點(diǎn)評】本題主要考查的是一元一次不等式的定義，掌握一元一次不等式的定義是解題的關(guān)鍵．

【對點(diǎn)精練4】｛不等式的解集★｝不等式x4?2的解集為x?6．

【分析】不等式移項，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解集．

【解答】解：不等式x4?2，

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移項得：x?24，解得：x?6．故答案為：x?6．

【點(diǎn)評】此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解法是解本題的關(guān)鍵．

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【實戰(zhàn)經(jīng)典1】（2021?深圳）不等式x12的解集在數(shù)軸上表示為()

A．B．

C．D．

【分析】先移項、合并同類項解出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來即可．

【解答】解：因為x12，所以x1，在數(shù)軸上表示為：故選：D．

【點(diǎn)評】此題考查一元一次不等式的解法及在數(shù)軸上表示不等式的解集，關(guān)鍵是解出不等式的解集．

【實戰(zhàn)經(jīng)典2】（2020?天水）若關(guān)于x的不等式3xa?2只有2個正整數(shù)解，則a的取值范圍為()

A．7a4B．7?a?4C．7?a4D．7a?4

2a

【分析】先解不等式得出x?，根據(jù)不等式只有2個正整數(shù)解知其正整數(shù)解為1和2，據(jù)此得出

3

2a

2?3，解之可得答案．

3

2a

【解答】解：3xa?2，3x?2a，則x?，不等式只有2個正整數(shù)解，不等式的正整數(shù)解為

3

2a

1、2，則2?3，解得：7a?4，故選：D．

3

【點(diǎn)評】本題主要考查一元一次不等式的整數(shù)解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解不等式的基本步驟和依據(jù)，并

根據(jù)不等式的整數(shù)解的情況得出某一字母的不等式組．

【實戰(zhàn)經(jīng)典3】（2021?眉山）若關(guān)于x的不等式xm1只有3個正整數(shù)解，則m的取值范圍是

3?m2．

【分析】首先解關(guān)于x的不等式，求得不等式的解集，然后根據(jù)不等式只有3個正整數(shù)解，即可得到一個關(guān)

于m的不等式組求得m的范圍．

【解答】解：解不等式xm1得：x1m，根據(jù)題意得：31m?4，即3?m2，故答案是：3?m2．

【點(diǎn)評】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解．正確解不等式，求出正整數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．解不等式

應(yīng)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)．

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考點(diǎn)3：一元一次不等式組解法及解集表示

①定義

由幾個含有同一個未知數(shù)的一元一次不等式合在一起，就組成一個一元一次不等式組．

②解法

先分別求出各個不等式的解集，再求出各個解集的公共部分

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【例題精析1】｛不等式的定義★｝下列不等式組：

x2x0x10x302

①；②；③；④；⑤x1x，其中是一元一次不等式組的個數(shù)

3()

x3x24y40x7x24

A．2個B．3個C．4個D．5個

【分析】利用一元一次不等式組定義解答即可．

x2x0x10

【解答】解：①是一元一次不等式組；②是一元一次不等式組；③含有兩個未

x3x24y40

x302

知數(shù)，不是一元一次不等式組；④是一元一次不等式組；⑤x1x，未知數(shù)是次，不是一

33

x7x24

元一次不等式組，其中是一元一次不等式組的有3個，故選：B．

【點(diǎn)評】此題主要考查了一元一次不等式組，關(guān)鍵是掌握幾個含有同一個未知數(shù)的一元一次不等式組合在

一起，就組成了一個一元一次不等式組．

x1m1

【例題精析2】｛不等式組的解集★★｝在關(guān)于x的不等式組恰好有3個整數(shù)解，那么m的

22x3

取值范圍是1?m2．

【分析】表示出不等式組的解集，根據(jù)不等式組恰好有3個整數(shù)解，確定出m的范圍即可．

xm2

x1m1x1m1

【解答】解：不等式組整理得5，關(guān)于x的不等式組恰好有3個整數(shù)解，

22x3x22x3

2

整數(shù)解為0，1，2，1?m20，解得：1?m2．故答案為：1?m2．

【點(diǎn)評】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解本題的關(guān)鍵．

3x?4x1

【例題精析3】｛不等式組的解集★★｝若關(guān)于x的不等式組，恰有2個整數(shù)解，則a的取值

xa0

范圍為0a?1．

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)不等式組整數(shù)解的個數(shù)可得答案．

【解答】解：解不等式3x?4x1，得：x?1，解不等式xa0，得：xa，則不等式組的解集為1?xa，

不等式組的整數(shù)解有2個，0a?1，故答案為：0a?1．

【點(diǎn)評】本題考查的是一元一次不等式組的整數(shù)解，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；

第16頁共58頁.

同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．

【例題精析4】｛解不等式組★｝解下列不等式組并在數(shù)軸上表示它們的解．

3x12(x1)

2x?3

（1）；（2）x3．

3(x1)x9?1

2

【分析】（1）先根據(jù)不等式的性質(zhì)求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集，最后在數(shù)軸上表示出

不等式組的解集即可；

（2）先根據(jù)不等式的性質(zhì)求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集，最后在數(shù)軸上表示出不等式組

的解集即可．

2x?3①

【解答】解：（1），解不等式①，得x?1，解不等式②，得x6，

3x1x9②

所以不等式組的解集是1?x6，在數(shù)軸上表示為：

；

3x12x1①

（2）x3，解不等式①，得x3，解不等式②，得x?1，所以不等式組的解集是1?x3，

?1②

2

在數(shù)軸上表示為：．

【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式組的解集，能根據(jù)不等式的解集找出不等

式組的解集是解此題的關(guān)鍵．

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4x160

【對點(diǎn)精練1】｛不等式組的解集★★｝求不等式組的非負(fù)整數(shù)解0、1、2．

3x6?0

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找

不到確定不等式組的解集．

【解答】解：解不等式4x160，得：x4，解不等式3x6?0，得：x?2，則不等式組的解集為4x?2，

所以不等式組的非負(fù)整數(shù)解為0、1、2．

【點(diǎn)評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取

?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．

3xa2(x2)

【對點(diǎn)精練2】｛不等式組的解集★★｝已知不等式不等式組15的整數(shù)解有3個，則a的

xx2

33

取值范圍為1?a2．

【分析】分別求出每個不等式的解集，再根據(jù)不等式整數(shù)解的個數(shù)可得關(guān)于a的不等式組，解之即可．

15

【解答】解：解不等式3xa2(x2)，得：x4a，解不等式xx2，得：x1，

33

不等式組的整數(shù)解有3個，24a?3，解得1?a2，故答案為：1?a2．

【點(diǎn)評】本題考查的是一元一次不等式組的整數(shù)解，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；

同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．

2

xx1

【對點(diǎn)精練3】｛不等式組的解集★★｝若關(guān)于x的一元一次不等式組3恰有3個整數(shù)解，則a

4x1?a

的取值范圍是3a?1．

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)不等式組的整數(shù)解個數(shù)得到關(guān)于a的不等式組，解之即可．

2a1

【解答】解：解不等式xx1，得：x3，解不等式4x1?a，得：x?，不等式組恰有3個整

34

a1

數(shù)解，整數(shù)解為2、1、0，1?0，解得3a?1，故答案為：3a?1．

4

【點(diǎn)評】本題考查的是一元一次不等式組的整數(shù)解，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；

同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．

2(x1)?3x

【對點(diǎn)精練4】｛解不等式組★｝解不等式組：3x14x1．

1

23

第18頁共58頁.

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找

不到確定不等式組的解集．

3x14x1

【解答】解：解不等式2(x1)?3x，得：x?5，解不等式1，得：x1，不等式組的解

23

集為1x?5．

【點(diǎn)評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取

??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．

3x2?x6

【對點(diǎn)精練5】｛解不等式組★｝解不等式組5x1，并把解集在數(shù)軸上表示出來．

2x

2

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找

不到確定不等式組的解集．

3x2?x6①

【解答】解：5x1，解不等式①得x?4，解不等式②得x1，不等式組的解集為1x?4．

2x②

2

將不等式的解集表示在數(shù)軸上如下：．

【點(diǎn)評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取

?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．

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x64x3

【實戰(zhàn)經(jīng)典1】（2021?日照）若不等式組的解集是x3，則m的取值范圍是()

xm

A．m3B．m?3C．m?3D．m3

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找

不到確定不等式組的解集．

【解答】解：解不等式x64x3，得：x3，xm且不等式組的解集為x3，m?3，故選：C．

【點(diǎn)評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取

??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．

2x1?x

【實戰(zhàn)經(jīng)典2】（2021?濰坊）不等式組113x1的解集在數(shù)軸上表示正確的是()

x

3412

A．B．

C．D．

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無

解了確定不等式組的解集．

113x1

【解答】解：解不等式2x1?x，得：x?1，解不等式x，得：x2，則不等式組的解集為

3412

1?x2，故選：D．

【點(diǎn)評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取

??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．

2x3?1

【實戰(zhàn)經(jīng)典3】（2021?呼和浩特）已知關(guān)于x的不等式組xa1無實數(shù)解，則a的取值范圍是(

1?

42

)

55

A．a(chǎn)?B．a(chǎn)?2C．a(chǎn)D．a(chǎn)2

22

【分析】分別解兩個不等式，根據(jù)不等式組無實數(shù)解，得到關(guān)于a的不等式，解之即可．

xa1

【解答】解：解不等式2x3?1得：x?2，解不等式1?得：x?2a2，

42

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2x3?1

關(guān)于x的不等式組xa1無實數(shù)解，2a22，解得：a2，故選：D．

1?

42

【點(diǎn)評】本題考查一元一次不等式組的解，正確找出不等關(guān)系，列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．

4(x1)3x2

【實戰(zhàn)經(jīng)典4】（2021?寧夏）解不等式組：1x1x．

?1

23

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找

不到確定不等式組的解集．

【解答】解：解不等式4(x1)3x2，得：x2，

1x1x

解不等式?1，得：x?1，

23

則不等式組的解集為x2．

【點(diǎn)評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取

??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．

第21頁共58頁.

考點(diǎn)4：一元一次不等式的實際應(yīng)用

（1）一般步驟

審題；設(shè)未知數(shù)；找出不等式關(guān)系；列不等式；解不等式；驗檢是否有意義.

（2）應(yīng)用不等式解決問題的情況

a.關(guān)鍵詞：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（?。┯凇?、“超過

（＞）”、“不足（＜）”等；

b.隱含不等關(guān)系：如“更省錢”、“更劃算”等方案決策問題，一般還需根據(jù)整數(shù)解，得出最佳方案

第22頁共58頁.

【例題精析1】｛不等式的應(yīng)用★★｝據(jù)了解，受國慶節(jié)期間火爆上映的六部影片的影響，而其相關(guān)著

作也受到廣大書迷朋友的追捧．已知某網(wǎng)上書店《長津湖》的銷售單價與《我和我的父輩》相同，《鐵

道英雄》的銷售單價是《五個撲水的少年》單價的3倍，《長津湖》與《五個撲水的少年》的單價和大

于50元且不超過60元；若自電影上映以來，《長津湖》與《五個撲水的少年》的日銷售量相同，《我

和我的父輩》的日銷售量為《鐵道英雄》日銷售量的3倍，《長津湖》與《鐵道英雄》的日銷售量和為

2

450本，且《長津湖》的日銷售量不低于《鐵道英雄》的日銷售量的且小于230本，《長津湖》與《鐵

3

道英雄》的日銷售額之和比《我和我的父輩》、《五個撲水的少年》的日銷售額之和多2205元，則當(dāng)《長

津湖》、《鐵道英雄》這兩部小說日銷售額之和最多時，《長津湖》的單價為28.75元．

【分析】設(shè)出未知數(shù)，表示四部小說的單價、數(shù)量、總價，分別根據(jù)題意，列出相應(yīng)的方程或不等式，確

定未知數(shù)的值，或未知數(shù)的取值范圍，最后根據(jù)“當(dāng)《長津湖》、《鐵道英雄》這兩部小說日銷售額之和最多

時”求出相應(yīng)的《長津湖》的單價即可．

【解答】解：設(shè)《長津湖》的單價為m元/本，《五個撲火的少年》單價為n元/本，則《我和我的父輩》的

單價也為m元/本，《鐵道英雄》的單價為3n元/本，設(shè)《長津湖》的銷售量為a本，《鐵道英雄》的銷售量

為b本，則《五個撲火的少年》的銷售量為a本，《我和我的父輩》的銷售量為3b本，

單價、數(shù)量、總價之間的關(guān)系可用下表表示：

《長津湖》與《鐵道英雄》的日銷售量和為450本，ab450，即，b450a，

2