江蘇邳州運(yùn)河中學(xué)2025屆高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

江蘇邳州運(yùn)河中學(xué)2025屆高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．240 B．264 C．274 D．2822．已知雙曲線的焦距為，若的漸近線上存在點(diǎn)，使得經(jīng)過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知向量，，且，則（）A． B． C．1 D．24．若雙曲線的焦距為，則的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為（）A． B． C． D．5．設(shè)雙曲線（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn)，過B,C分別作AC，AB的垂線交于點(diǎn)D．若D到直線BC的距離小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是（）A．B．C．D．6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（）A． B． C． D．7．已知雙曲線C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線l與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn).若，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．8．已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，且，則（）A． B．或 C． D．9．已知集合，，，則（）A． B． C． D．10．已知點(diǎn)、．若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則使得的面積為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．11．M、N是曲線y=πsinx與曲線y=πcosx的兩個(gè)不同的交點(diǎn),則|MN|的最小值為()A．π B．π C．π D．2π12．函數(shù)的定義域?yàn)?，集合，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，，成等差數(shù)列，則.14．角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值是．15．在平行四邊形中，已知，，，若，，則____________．16．《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（""表示一根陽線，""表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有兩根陽線，四根陰線的概率為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求和的直角坐標(biāo)方程；（2）已知為曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)到直線的最大距離．18．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為.（1）若，求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，、分別為線段、的中點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若，，，求證：.20．（12分）已知橢圓的離心率為，且以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知?jiǎng)又本€l過右焦點(diǎn)F，且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，已知Q點(diǎn)坐標(biāo)為，求的值．21．（12分）設(shè)都是正數(shù)，且，．求證：．22．（10分）如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，，，為正三角形，且平面平面，、分別為、的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求幾何體的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

將三視圖還原成幾何體，然后分別求出各個(gè)面的面積，得到答案.【詳解】由三視圖可得，該幾何體的直觀圖如圖所示，延長交于點(diǎn)，其中，，，所以表面積.故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原幾何體，求組合體的表面積，屬于中檔題2、B【解析】

由可得；由過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直可得,又焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為,則,進(jìn)而求解.【詳解】,所以離心率,又圓是以為圓心,半徑的圓,要使得經(jīng)過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直,必有,而焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為,所以,即,所以,所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用.3、A【解析】

根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，解方程求得的值.【詳解】由于向量，，且，所以解得.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)焦距即可求得參數(shù)，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦距為，故可得，解得，不妨?。挥纸裹c(diǎn)，其中一條漸近線為，由點(diǎn)到直線的距離公式即可求的.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由雙曲線的焦距求方程，以及雙曲線的幾何性質(zhì)，屬綜合基礎(chǔ)題.5、A【解析】

由題意,根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性知在軸上，設(shè)，則由得：，因?yàn)榈街本€的距離小于，所以，即，所以雙曲線漸近線斜率，故選A．6、D【解析】循環(huán)依次為直至結(jié)束循環(huán)，輸出，選D.點(diǎn)睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項(xiàng).7、D【解析】

設(shè)，利用余弦定理，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，由雙曲線的定義可知：因此再由雙曲線的定義可知：，在三角形中，由余弦定理可知：，因此雙曲線的漸近線方程為：.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用，考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了雙曲線的漸近線方程，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.8、A【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，通分化簡即可.【詳解】由題意，數(shù)列為等比數(shù)列，則，又，即，所以，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求解.【詳解】解：，，，則故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解析】

設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，以為底結(jié)合的面積計(jì)算出點(diǎn)到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程，求出方程的解，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，即，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，解得，另一方面，由點(diǎn)到直線的距離公式得，整理得或，，解得或或.綜上，滿足條件的點(diǎn)共有三個(gè)．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算，涉及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題．11、C【解析】

兩函數(shù)的圖象如圖所示,則圖中|MN|最小,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1=,x2=π,|x1-x2|=π,|y1-y2|=|πsinx1-πcosx2|=π+π=π,∴|MN|==π.故選C.12、A【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域得集合，解對(duì)數(shù)不等式得到集合，然后直接利用交集運(yùn)算求解.【詳解】解：由函數(shù)得，解得，即；又，解得，即，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了交集及其運(yùn)算，考查了函數(shù)定義域的求法，是基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】試題分析：∵，，成等差數(shù)列，∴，又∵等比數(shù)列，∴.考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于容易題，在解題過程中，需要建立關(guān)于等比數(shù)列基本量的方程即可求解，考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想與方程思想.14、【解析】試題分析：由三角函數(shù)定義知，又由誘導(dǎo)公式知，所以答案應(yīng)填：．考點(diǎn)：1、三角函數(shù)定義；2、誘導(dǎo)公式．15、【解析】

設(shè)，則，得到，，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解．【詳解】由題意，如圖所示，設(shè)，則，又由，，所以為的中點(diǎn)，為的三等分點(diǎn)，則，，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的共線定理以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中解答中熟記向量的線性運(yùn)算法則，以及向量的共線定理和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．16、【解析】

觀察八卦中陰線和陽線的情況為3線全為陽線或全為陰線各一個(gè)，還有6個(gè)是1陰2陽和1陽2陰各3個(gè)。抽取的兩卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰，或兩卦全是1陽2陰?！驹斀狻堪素灾嘘幘€和陽線的情況為3線全為陽線的一個(gè)，全為陰線的一個(gè)，1陰2陽的3個(gè)，1陽2陰的3個(gè)。抽取的兩卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰，或兩卦全是1陽2陰?！鄰?個(gè)卦中任取2卦，共有種可能，兩卦中共2陽4陰的情況有，所求概率為。故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查古典概型，解題關(guān)鍵是確定基本事件的個(gè)數(shù)。本題不能受八卦影響，我們關(guān)心的是八卦中陰線和陽線的條數(shù)，這樣才能正確地確定基本事件的個(gè)數(shù)。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）．．（2）最大距離為．【解析】

（1）直接利用極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的公式計(jì)算得到答案.（2）曲線的參數(shù)方程為，設(shè)，計(jì)算點(diǎn)到直線的距離公式得到答案.【詳解】（1）由，得，則曲線的直角坐標(biāo)方程為，即．直線的直角坐標(biāo)方程為．（2）可知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)，，則到直線的距離為，所以線段的中點(diǎn)到直線的最大距離為．【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程，距離的最值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.18、（1）；（2）.【解析】

（1）由橢圓的離心率求出、的值，由此可求得橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立直線與橢圓的方程，列出韋達(dá)定理，由題意得出，可得出，【詳解】（1）由題意得，，.又因?yàn)?，，所以橢圓的方程為；（2）由，得.設(shè)、，所以，，依題意，，易知，四邊形為平行四邊形，所以.因?yàn)?，，所?即，將其整理為.因?yàn)?，所以?所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法和直線與橢圓位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）分、、三種情況解不等式，即可得出該不等式的解集；（2）利用分析法可知，要證，即證，只需證明即可，因式分解后，判斷差值符號(hào)即可，由此證明出所證不等式成立.【詳解】（1）.當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí).綜上所述，不等式的解集為；（2）要證，即證，因?yàn)?，，所以，，?所以，.故所證不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的求解，同時(shí)也考查了利用分析法和作差法證明不等式，考查分類討論思想以及推理能力，屬于中等題.20、（1）；（2）．【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率為，得到，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，得到原心到直線的距離等于半徑，得到，從而求得，進(jìn)而求得橢圓的方程；（2）分直線的斜率存在是否為0與不存在三種情況討論，寫出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件求得結(jié)果.【詳解】（1）由離心率為，可得，，且以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓的方程為，因與直線相切，則有，即，，，故而橢圓方程為．（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，，由于；②當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，，，則；③當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，，由及，得，有，∴，，，，∴，綜上所述：．【點(diǎn)睛】該題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，求向量數(shù)量積，在解題的過程中，注意對(duì)直線方程的分類討論，屬于中檔題目.21、證明見解析【解析】

利用比較法進(jìn)行證明：把代數(shù)式展開、作差、化簡可得,,可證得成立,同理可證明,由此不等式得證.【詳解】證明:因?yàn)?，所以，∴成立，又都是正數(shù)，∴，①同理，∴．【點(diǎn)睛】本題考查利用比較法證明不等式;考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力;把差變形為因式乘積的形式是證明本題的關(guān)鍵;屬于中檔題。22、（1）見解析；（2）【解析】

（1）由題可知，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)