高中物理競賽試題分類匯編-電磁學

全國中學生物理競賽分類匯編

三、（15分）測定電子荷質(zhì)比（電荷q與質(zhì)量m之比q/m）的實驗裝置如圖所示。

真空玻璃管內(nèi)，陰

極K發(fā)出的電子，經(jīng)

陽極A與陰極K之間

P

的高電壓加速后，

形成一束很細的電

子流，電子流以平行于平板電容器極板的速度進入兩極板C、D間的區(qū)域。若兩

極板C、D間無電壓，則離開極板區(qū)域的電子將打在熒光屏上的。點；若在兩極

板間加上電壓U,則離開極板區(qū)域的電子將打在熒光屏上的P點：若再在極板間

加一方向垂直于紙面向外、磁感應強度為8的勻強磁場，則打到熒光屏上的電

子產(chǎn)生的光點又回到。點?，F(xiàn)己知極板的長度/=5.00cm,C、D間的距離4=

1.50cm,極板區(qū)的中點例到熒光屏中點。的距離為L=12.50cm,U=200V,P點

4

到。點的距離y=OP=3.0cm；8=6.3X10TO試求電子的荷質(zhì)比。（不計重力

影響）。

五、（15分）如圖所示，兩條平行

的長直金屬細導軌KL、PQ固定于同

一水平面內(nèi)，它們之間的距離為/,

電阻可忽略不計：ab和cd是兩根質(zhì)

量皆為m的金屬細桿，桿與導軌垂

直，且與導軌良好接觸，并可沿導軌無摩擦地滑動。兩桿的電阻皆為R。桿cd

的中點系一輕繩，繩的另一端繞過輕的定滑輪懸掛一質(zhì)量為M的物體，滑輪與

轉(zhuǎn)軸之間的摩擦不計，滑輪與桿cd之間的輕繩處于水平伸直狀態(tài)并與導軌平

行。導軌和金屬細桿都處于勻強磁場中，磁場方向垂直于導軌所在平面向上,

磁感應強度的大小為8。現(xiàn)兩桿及懸物都從靜止開始運動，當ab桿及cd桿的速

度分別達到力和。時，兩桿

加速度的大小各為多少？

八、（17分）如圖所示的

電路中，各電源的內(nèi)阻均為零，其中8、C兩點與其右方由1.0C的電阻和2.0C

的電阻構(gòu)成的無窮組合電路相接。求圖中10"的電容器與E點相接的極板上

的電荷量。

應電荷電量等于一2q.空腔內(nèi)部的電場是由qi、qz和兩者在空腔內(nèi)表面上的感

應電荷共同產(chǎn)生的.由于我們尚不知道這些感應電荷是怎樣分布的，所以很難

用場強疊加原理直接求得腔內(nèi)的電勢或場強,但理論上可以證明，感應電荷對

腔內(nèi)電場的貢獻，可用假想的位于腔外的（等效）點電荷來代替（在本題中假

想（等效）點電荷應為兩個），只要假想的（等效）點電荷的位置和電量能滿足這

樣的條件，即：設(shè)想將整個導體殼去掉，由班在原空腔內(nèi)表面的感應電荷的

假想（等效）點電荷《與qi共同產(chǎn)生的電場在原空腔內(nèi)表面所在位置處各點

的電勢皆為0；由qz在原空腔內(nèi)表面的感應電荷的假想（等效）點電荷/與

qz共同產(chǎn)生的電場在原空腔內(nèi)表面所在位置處各點的電勢皆為0.這樣確定的

假想電荷叫做感應電荷的等效電荷，而且這樣確定的等效電荷是唯一的.等效

電荷取代感應電荷后，可用等效電荷公和q1、qz來計算原來導體存在時

空腔內(nèi)部任意點的電勢或場強.

1.試根據(jù)上述條件，確定假想等效電荷％'、《的位置及電量.

2.求空腔內(nèi)部任意點4的電勢必.己知4點到球心。的距離為r,萬與國

的夾角為8.

七、（25分）如圖所示，有二

平行金屬導軌，相距/,位于

同一水平面內(nèi)（圖中紙面），

x

處在磁感應強度為8的勻強磁場中，磁場方向豎直向下（垂直紙面向里）.質(zhì)

量均為m的兩金屬桿ab和cd放在導軌上，與導軌垂直.初始時刻，金屬桿

ab和cd分別位于x=xo和x=0處.假設(shè)導軌及金屬桿的電殂都為零，由兩金

屬桿與導軌構(gòu)成的回路的自感系數(shù)為L.今對金屬桿ab施以沿導軌向右的瞬

時沖量，使它獲得初速%.設(shè)導軌足夠長，/也足夠大，在運動過程中，兩

金屬桿之間距離的變化遠小于兩金屬桿的初始間距見,因而可以認為在桿運動

過程中由兩金屬桿與導軌構(gòu)成的回路的自感系數(shù)L是恒定不變的.桿與導軌之

間摩擦可不計.求任意時刻兩桿的位置Xab和Xcd以及由兩桿和導軌構(gòu)成的回路

中的電流/三者各自隨時間t的變化關(guān)系.

第20屆預賽

四、（20分）從z軸上的。點發(fā)射一束電量為q（＞0）、質(zhì)量為m的帶電粒

子，它們速度統(tǒng)方向分布在以。點為頂點、z軸為對稱軸的一個頂角很小的錐

體內(nèi)（如圖所示），速度的大小都等于

v.試設(shè)計一種勻強磁場，能使這束帶電---------------------

0

粒子會聚于z軸上的另一點M,M點離

開。點的經(jīng)離為d.要求給出該磁場的用預254

方向、磁感應強度的大小和最小值.不計粒子間的相互作用和重力的作用.

七、（20分）圖預20-7-1中A和8是真空中的兩塊面積很大的平行金屬板、

加上周期為T的交流電壓，在兩板間產(chǎn)生交變的勻強電場.己知B板電勢為零,

八板電勢UA隨時間變化的規(guī)律如圖預20-7-2所示，其中UA的最大值為的Uo,

最小值為一2Uo.在圖預20-7-1中，虛線MN表示與48丞平行等距的一個

較小的面，此面至UA和8的距離皆為/.在此面所在處，不斷地產(chǎn)生電量為q、

質(zhì)量為m的帶負電的微粒，各個時刻產(chǎn)生帶電微粒的機會均等.這種微粒產(chǎn)

生后，從靜止出發(fā)在電場力的作用下運動.設(shè)微粒一旦碰到金屬板，它就附在

板上不再運動，且其電量同時消失，不影響八、8板的電壓.己知上述的八

u。、/,q和m等各量的值正好滿足等式

162m\2)

若在交流電壓變化的每個周期7■內(nèi)，平均產(chǎn)主320個上述微粒，試論證在t=0

到t=T/2這段時間內(nèi)產(chǎn)主的微粒中，有多少微?？傻竭_A板（不計重力，不

考慮微粒之間的相互作用）。

a

:r-7720772T3772^7,

r

田預圖預2O?7.2

第20屆復賽

一、（15分）圖中a為一固定放置的半徑

為R的均勻帶電球體，O為其球心.己,J_

知取無限遠處的電勢為零時，球表面處的一

電勢為U=1000V.在離球心。很遠的。'

點附近有一質(zhì)子b,它以&=2000eVRM20-1

的動能沿與。'。平行的方向射向a.以/表示b與。，。線之間的垂直距離，要

使質(zhì)子b能夠與帶電球體a的表面相碰，試求/的最大值.把質(zhì)子換成電子,

再求/的最大值.

六、（23分）兩個點電荷位于/軸上，在它們形成的

電場中，若取無限遠處的電勢為零，則在正x軸上

各點的電勢如圖中曲線所示，當時，電勢

Uf8：當XT8時，電勢U-0；電勢為零的點

的坐標與，電勢為極小值-〃的點的坐標為做

（a>2）o試根據(jù)圖線提供的信息，確定這兩個點

電荷所帶電荷的符號、電量的大小以及它們在彳軸

上的位置.

第19屆預賽

二、（20分）圖預19-2所示電路中，電池的

—1—孑Q

電動勢為E,兩個電容器的電容皆為C,K''

為一單刀雙擲開關(guān)。開始時兩電容器均不帶

電__________________________

（1）第一種情況，現(xiàn)將K與。接通，達到也預以2

穩(wěn)定，此過程中電池內(nèi)阻消耗的電能等于

;再將K與。斷開而與力接通，此過程中電池供給的電能等于

（2）第二種情況，現(xiàn)將K與6接通，達到穩(wěn)定，此過程中電池內(nèi)阻消耗的電

能等于;再將K與人斷開而與。接通，此過程中電池供給的電能等

于O

第19屆復賽

二、（18分）在圖復19-2中，半徑—

為R的圓柱形區(qū)域內(nèi)有勻強磁場，磁停--------------------

場方向垂直紙面指向紙外，磁感應強

度3隨時間均勻變化，變化率

AB/A/=K（K為一正值常量）,圓柱形圖復19.2

區(qū)外空間沒有磁場，沿圖中4c弦的方向畫一直線，并向外延長，弦4c與半徑

的夾角。=萬/4.直線上有一任意點，設(shè)該點與A點的距離為x,求從A沿

直線到該點的電動勢的大小.

四、（18分）有人設(shè)計了下述裝置用以測量線圈的自感系數(shù).在圖復19-4-1中，

E為電壓可調(diào)的直流電源。K為開關(guān)，L為待測線圈的自感系數(shù)，。為線圈的

直流電阻，D為理想二極管，「為用電阻絲做成的電阻器的電阻，A為電流表。

將圖復19-4-1中。、匕之間的電阻線裝進圖復19-4-2所示的試管1內(nèi)，圖復

19-4-2中其它裝置見圖下說明.其中注射器筒5和試管1組成的密閉容器內(nèi)裝

有某種氣體（可視為理想氣體），通過活塞6的上下移動可調(diào)節(jié)毛細管8中有

色液注的初始位置，調(diào)節(jié)后將閥門10關(guān)閉，使兩邊氣體隔開.毛細管8的內(nèi)

直徑為d.

已知在壓

強不變的條件

下，試管中的

氣體溫度升高

1K時，需要吸

收的熱量為

】?試管2.橡皮蠢3.銅導線4.三通甘，注射濟尚6.活塞7.電制絲8.水平放置的毛細管.內(nèi)有

Cq,大氣壓強一段有色液柱,其右端與大氣相通,左端與試管相通.934刻度尺的底板.10.閥門

圖復19-4-2

為〃。設(shè)試管、

三通管、注射器和毛細管皆為絕熱的，電阻絲的熱容不計.當接通電鍵K后，

線圈L中將產(chǎn)生磁場，已知線圈中儲存的磁場能量W='〃2,/為通過線圈的

2

電流，其值可通過電流表A測量，現(xiàn)利用此裝置及合理的步驟測量的自感系數(shù)

L.

1.簡要寫出此實驗的步驟.

2.用題中所給出的各己知量（八Cq、p、d等）及直接測得的量

導出L的表達式，

六、（20分）在相對于實驗室靜止的平面直角坐標系S中，有一個光子，沿x軸

正方向射向一個靜止于坐標原點。的電子.在），軸方向探測到一個散射光

子.已知電子的靜止質(zhì)量為叫），光速為叫入射光子的能量與散射光子的能量

之差等于電子靜止能量的1/10.

1.試求電子運動速度的大小乙電子運動的方向與“軸的夾角。；電子運動

到離原點距離為4（作為己知量）的A點所經(jīng)歷的時間，.

2.在電子以1中的速度-開始運動時，…觀察者V相對于坐標系S也以速

度v沿S中電子運動的方向運動（即V相對于電子靜止）,

試求S'測出的0A的長度.

第18屆預賽

圖預12.2

二、（15分）兩塊豎直放置的平行金屬大平板A、B,相距d,兩極間的電壓

為U。一帶正電的質(zhì)點從兩板間的M點開始以豎直向上的初速度％運動，當

它到達電場中某點N點時，速度變?yōu)樗椒较?，大小仍為?如圖預18—2

所示.求“、N兩點問的電勢差.（忽略帶電質(zhì)點對金屬板上電荷均勻分布

的影響）

七、（25分）如圖預18—7所示，在半徑為。的圓柱空間中（圖中圓為其橫

截面）充滿磁感應強度大小為8的均勻磁場，其方向平行于軸線遠離讀者.在

圓柱空間中垂直軸線平面內(nèi)固定放置一絕緣材料制成的邊長為L=1.6a的剛性

等邊三角形框架拉比F,其中心。位于圓柱的軸線上.DE邊上S點、（丞

4

處有一發(fā)射帶電粒子的源，發(fā)射粒子的方向皆在圖預18-7中截面內(nèi)且垂直于

DE邊向下.發(fā)射粒子的電量皆為4（＞0）,質(zhì)量皆為加，但速度口有各種不

同的數(shù)值.若這些粒子與三角形框架的碰撞均為完全彈性碰撞，并要求每一次

碰撞時速度方向垂直于被碰的邊.試問：

1.帶電粒子速度v的大小取哪些數(shù)值時可使S點發(fā)出的粒子最終又回到S

點？

2.這些粒子中，回到S點所用的最短時間是多

少？

圖預18.7

X

第18屆復賽乂

四、（22分）如圖復18-4所示，均

勻磁場的方向垂直紙面向里，磁感X

X

圖復18-4

應強度8隨時間，變化，B=B.-kt（々為大于。的常數(shù)）.現(xiàn)有兩個完全相同的

均勻金屬圓環(huán)相互交疊并固定在圖中所示位置，環(huán)面處于圖中紙面內(nèi)。圓環(huán)的

半徑為R,電阻為，相交點的電接觸良好.兩個環(huán)的接觸點A與C間的劣弧

對圓心。的張角為60。。求f=時，每個環(huán)所受的均勻磁場的作用力，不考慮

感應電流之間的作用.

五、（25分）如圖復18-5所示，一薄壁導體球殼（以

下簡稱為球殼）的球心在。點.球殼通過一細導線

與端電壓U=90V的電池的正極相連，電池負極接？

地.在球殼外4點有一電量為%=10x1。-c的點電

荷，5點有一電量為夕2=16x10-9C的點電荷。04之

間的距離4=20cm,之間的距離人=40cm.現(xiàn)設(shè)想球殼的半徑從a=10cm

開始緩慢地增大到50cm,I'nJ：在此過程中的不同階段，大地流向球殼的電量

各是多少？己知靜電力恒量上=9xl（）9N.m2.cf.假設(shè)點電荷能穿過球殼壁進

入導體球殼內(nèi)而不與導體壁接觸。

第17屆預賽

四、（20分）某些非電磁量的測量是可以通過一些

相應的裝置轉(zhuǎn)化為電磁量來測量的。一平板電容器

的兩個極扳豎直放置在光滑的水平平臺上，極板的

面積為S,極板間的距離為d。極板1固定不動，

與周圍絕緣；極板2接地，且可在水平平臺上滑動

并始終與極板1保持平行。極板2的兩個側(cè)邊與勁

度系數(shù)為l、自然長度為L的兩個完全相同的彈簧

相連，兩彈簧的另一端固定.圖預17-4-1是這一裝

置的俯視圖.先將電容器充電至電壓U后即與電源

斷開，再在極板2的右側(cè)的整個表面上施以均勻的向左的待測壓強使兩極

板之間的距離發(fā)生微小的變化，如圖預17-4-2所示。測得此時電容器的電壓改

變量為o設(shè)作用在電容器極板2上的靜電作用力不致引起彈簧的可測量到

的形變，試求待測壓強〃。

五、（20分）如圖預17-5?1所示，在正方形導線回路所圍

的區(qū)域4444內(nèi)分布有方向垂直于回路平面向里的勻強

磁場，磁感應強度8隨時間以恒定的變化率增大，回路中

的感應電流為/=1.0mA.己知44、44兩邊的電阻皆

為零；44邊的電阻仆=3.0kQ,人24邊的電阻圖預17-5-1

&=7.0kCo

1.試求兩點間的電壓％2、兩點間的電壓43、4A4兩點間的電

壓人4、A/i兩點間的電壓

2.若一內(nèi)阻可視為無限大的電壓表V位于正方形導線回路所在的平面內(nèi)，

其正負端與連線位置分別如圖預17-5-2、圖預17-5-3和圖預17-5-4所示，求三

種情況下電壓表的讀數(shù)以、4、4。

第0屆復賽

三、（25分）1995年，美國費米國家實驗室CDF實驗組和DO實驗組在質(zhì)子反質(zhì)

子對撞機TEVATRON的實驗中，觀察到了頂夸克，測得它的靜止質(zhì)量

112-25-24

mx=1.75x10eV/c=3.1x10kg,壽命r=0.4xl0s,這是近十幾

年來粒子物理研究最重要的實驗進展之一.

1.正、反頂夸克之間的強相互作用勢能可寫為U（r）=M也，式中「是正、

3r

反頂夸克之間的距離，%=0」2是強相互作用耦合常數(shù)，攵是與單位制有關(guān)的

常數(shù)，在國際單位制中％=0.319x10一25j.m.為估算正、反頂夸克能否構(gòu)成一

個處在束縛狀態(tài)的系統(tǒng)，可把束縛狀態(tài)設(shè)想為正反頂夸克在彼此間的吸引力作

用下繞它們連線的中點做勻速圓周運動.如能構(gòu)成束縛態(tài)，試用玻爾理論確定

系統(tǒng)處于基態(tài)中正、反頂夸克之間的距離后.已知處于束縛態(tài)的正、反夸克粒

子滿足量子化條件，即

2wv|—|=n=l,2,3,???

32乃

式中w仔）為一個粒子的動量w與其軌道半徑會的乘積，〃為量子數(shù),

ZJ=6.63X10-34Js為普朗克常量.

2.試求正、反頂夸克在上述設(shè)想的基態(tài)中做勻速圓周運動的周期T.你

認為正、反頂夸克的這種束縛態(tài)能存在嗎？

五、（25分）在真空中建立一坐標系，以水平向右為x軸

正方向，豎直向下為），軸正方向，z軸垂直紙面向里（圖

復17-5）.在OWyWL的區(qū)域內(nèi)有勻強磁場，L=0.80m,

磁場的磁感強度的方向沿z軸的正方向，其大小

B=0.10T.今把一荷質(zhì)比〃M=50C?kgT的帶正電質(zhì)點

在x=0,y=-0.20m,z=0處靜止釋放，將帶電質(zhì)點過

原點的時刻定為Z=0時刻，求帶電質(zhì)點在磁場中任一時刻，的位置坐標.并求

它剛離開磁場時的位置和速度.取重力加速度g=10m。-20

第16屆預賽

四、（20分）位于豎直平面內(nèi)的矩形平面導線框血0卜1上并

"長為是水平的，歷長為，2，線框的質(zhì)量為IJ,

C

電阻為其下方有一勻強滋場區(qū)域，該區(qū)域的上、h

下邊界尸產(chǎn)和。。均與"平行，兩邊界間的距離為〃，…|…P，

”＞，2,磁場的磁感應強度為8,方向與線框平面垂直，*X*8"

XxX??

如圖預16-4所示。令線框的de邊從離磁場區(qū)域上邊界M***

2-1-------------------------------&

。產(chǎn)的距離為人處自由下落，已知在線框的A邊進入磁圖放16.4

場后，外邊到達邊界P尸之前的某一時刻線框的速度已達到這一階段的最大

值。問從線框開始下落到de邊剛剛到達磁場區(qū)域下邊界QQ，的過程中，磁場作

用于線框的安培

六、（15分）如圖預16-4?1所示，電阻鳥=4=lkC,電動勢E=6V,兩個相

同的二極管D串聯(lián)在電路中，二極管D的k特性曲線如圖預16-6-2所示。

試求：

1.通過二極管D的電流。

2.電阻與消耗的功率。

第16屆復賽

三、（25分）用直徑為1mm的超導材料制成的導線做成一個半徑為5cm的圓環(huán)。

圓環(huán)處于超導狀態(tài)，環(huán)內(nèi)電流為100A。經(jīng)過一年，經(jīng)檢測發(fā)現(xiàn)，圓環(huán)內(nèi)電流

的變化量小于10-6人0試估算該超導材料電阻率數(shù)量級的上限。

提示：半徑為「的圓環(huán)中通以電流/后，圓環(huán)中心的磁感應強度為8,

2r

式中3、/、，?各量均用國際單位，//o=^xlO-7N-A-2O

五、（25分）六個相同的電阻（阻值均為R）連成一個電阻環(huán)，六個接點依次

為1、2、3、4、5和6,如圖復16-5-1所示?，F(xiàn)有五個完全相同的這樣的電

阻環(huán)，分別稱為鼻、4、…2。

現(xiàn)將①的1、3、5三點分別與D,的2、4、6三點用導線連接，如圖復16-5-2

所示。然后將2的1、3、5三點分別與4的2、4、6三點用導線連接，一依

此類推。最后將。5的1、3、5三點分別連接到2的2、4、6三點上。

1.證明全部接好后，在R上的1、3兩點間的等效電阻為四R。

2.求全部接好后，在口上的1、3兩點間的等效電阻。

六、(25分)如圖復16-6所示，z軸豎直

向上，個平面是一絕緣的、固定的、剛性平

面。在A(%,0,0)處放一帶電量為一夕(g>0)的

小物塊，該物塊與一細線相連，細線的另一

端8穿過位于坐標原點O的光滑小孔，可通

過它牽引小物塊?，F(xiàn)對該系統(tǒng)加一勻強電場,

場強方向垂直與x軸，與z軾夾角為0(如圖

復16-6所示)。設(shè)小物塊和絕緣平面間的摩

擦系數(shù)為〃=lan。，且靜摩擦系數(shù)和滑動摩擦系數(shù)相同。不計重力作用?，F(xiàn)通過

細線來牽引小物塊，使之移動。在牽引過程中，我們約定：細線的3端只準沿

z軸向下緩慢移動，不得沿z軸向上移動；小物塊的移動非常緩慢，在任何時

刻，都可近似認為小物塊處在力平衡狀態(tài)。若已知小物塊的移動軌跡是一條二

次曲線，試求出此軌跡方程。

參考答案

第21屆預賽

三、設(shè)電子剛進入平行板電容器極板間區(qū)域時的速度為內(nèi),因為速度方向平行

于電容器的極板，通過長度為/的極板區(qū)域所需的時間

ti=l/vo

(1)

當兩極板之間加上電壓時，設(shè)兩極板間的場強為E,作用于電子的靜電力的大

小為班方向垂直于極板由C指向D,電子的加速度

(3)

因電子在垂直于極板方向的初速度為0,因而在時間h內(nèi)垂直于極板方向的位移

12

凹=5硒

(4)

電子離開極板區(qū)域時，沿垂直于極板方向的末速度

設(shè)電子離開極板區(qū)域后，電子到達熒光屏上P點所需時間為

t2=(L-//2)/vQ

(6)

在匕時間內(nèi)，電子作勻速直線運動，在垂直于極板方向的位移

P點離開。點的距離等于電子在垂直于極板方向的總位移

由以上各式得電子的荷質(zhì)比為

幺=虬

mUIL

加上磁場8后，熒光屏上的光點重新回到。點，表示在電子通過平行板電容器

的過程中電子所受電場力與磁場力相等，即

（10）

注意到（3）式，可得電子射入平行板電容器的速度

U

%=而

(11)

代人（9）式得

qU

—=—x——y

mB2lLd-

代入有關(guān)數(shù)據(jù)求得

旦=1.6x10“C/kg

m

評分標準:

本題15分.（I）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、

（8）式各1分，（10）式3分，（12）、（13）式各2分。

五、用，’和/分別表示abdc回路的感應電動勢和感應電流的大小，根據(jù)法拉第

電磁感應定律和歐姆定律可知

/=BI（1/2—V1）

（1）

/=—

2R

（2）

令F表示磁場對每根桿的安培力的大小，則

F=IBI

（3）

令6和。2分別表示岫桿cd桿和物體M加速度的大小，丁表示繩中張力的大小，由

牛頓定律可知

F=mai

（4）

Mg—T=mai

(5)

mai

(6)

由以上各式解得

a\=

2Rin

(7)

2批/?-52/2（為一匕）

a?=

2(A/+m}R

(8)

評分標準:

本題15分.（I）式3分，（2）式2分，（3）式3分，（4）、（5）、（6）

式各1分，（7）、（8）式各2分。

八、設(shè)8、C右方無窮組合電路的等效電阻為RBC，則題圖中通有電流的電路可

以簡化為圖1中的電路。8、C右方的電路又可簡化為圖2的電路，其中RBC是虛

線右方電路的等效電阻。由于6、。右方的電路與8、C右方的電路結(jié)構(gòu)相同,

由式（1）、（2）兩式得

&C-R8c-2=°

解得

RBC=2.0C(3)

圖1所示回路中的電流為

20+10-24

A=0.10A(4)

10+30+18+220V

電流沿順時針方向。D\02Q

設(shè)電路中三個電容器的電容分別為a、G30Q

24V

C

10V

圖3

和C3,各電容器極板上的電荷分別為Q、Q2和Q3,極性如圖3所示。由于電荷

守恒，在虛線框內(nèi)，三個極板上電荷的代數(shù)和應為零，即

。1+。2—。3=0(5)

A、E兩點間的電勢差

(6)

又有

力一%二(10-30x0.10)V=7.0V(7)

8、E兩點間的電勢差

u—u=2+0

GG

(8)

又有

UB-UE=(24+20x0.10)V=26V

(9)

根據(jù)(5)、(6)、(7)、(8)、(9)式并代入G、C2和C3之值后可得

。3=1.3X10-4C

(10)

即電容器C3與￡點相接的極板帶負電，電荷量為1.3X104Co

評分標準：

本題17分.求得(3)式給3分，(4)式1分，(5)、(6)、(7)、(8)、

(9)、(10)式各2分，指出所考察的極板上的電荷是負電荷再給1分。

第21屆復賽

五、1.解法I：

如圖1所示，5為原空腔內(nèi)表面所在位置，《的位置應位于西的延長線

上的某點比處，小的位置應位于函的延長線上的某點82處.設(shè)4為S面上

的任意一點，根據(jù)題意有

a+*=o⑴

A6A心

k生+kJL=s(2)

4P2AjB2

怎樣才能使（1）式成立呢？下面分析圖1中AOAA與AQ4出的關(guān)系.

若等效電荷％'的位置&使下式成立，即

兩礪=廢（3）

即空=空（4）

OAXOBi

則△084SZ\0A[8]

有維=空=巴（5）

A[8]。4]R

由（1）式和（5）式便可求得等效電荷4

=--Q\⑹

a

由（3）式知，等效電荷〃的位置81到原球殼中心位置0的距離

___R2

0B.=—（7）

a

同理，82的位置應使△。鳥用類似的方法可求得等效電荷

qZ=——。2⑻

a

等效電荷/的位置82到原球殼中心。位置的距離

-----R2

OB.=—（9）

a

解法II：

在圖1中，設(shè)麗=4，硒=彳，甌=1.根據(jù)題意，名和〃兩者在4

點產(chǎn)生的電勢和為零.有

也+總=0

r

0

式中

22

rx=(R+a-2&8sg嚴

(20

r；=(R2+d2-2Rdcos0)l/2

(30

由(1‘)、(2')、(3')式得

q2(R2+d?-2Rd8s9)=q：(R?+a2-2Racos0)

(4)

(4Z)式是以cos。為變量的一次多項式，要使(40式對任意。均成立，等號

兩邊的相應系數(shù)應相等，即

22,222

qf(R+d)=qi(R+a)

(5')

q[d=q^a

(69

由(5‘)、(60式得

ad2一d+R2)d+aR2=0

(70

解得朝面+―2一W)

2a

由于等效電荷位于空腔外部，由(89式求得

由（6‘）、（90式有

,Rz

22(109

q、=/%

考慮到（1‘）式，有

，R

q、=一名

a

(119

同理可求得

西=幺

a

(120

,R(13‘)

q?=一一夕2

2.A點的位置如圖2所示.A的電勢由?、q；、q2.《共同產(chǎn)生，即

R

（10）

P{AaP2Aa52A

因

22

P{A=ylr-IracosO+a

+2racos(J+a

代入（10）式得

R

UA=k

ylr2-2racos^+a2yja2戶-2raKcos。+R4

R

+-----(11)

ylr2+2racosU+a2>la2r2+2raK2cosd/+K4；

評分標準:

本題20分.第1問18分，解法I中⑴、(2)、⑹、⑺、⑻、(9)式各3分.解

法II的評分可參考解法I.

第2問2分,即(11)式2分.

七、解法I:

當金屬桿ab獲得沿x軸正方向的初速如時，因切割磁力線而產(chǎn)生感應電

動勢，由兩金屬桿與導軌構(gòu)成的回路中會出現(xiàn)感應電流.由于回路具有自感系

數(shù)，感應電流的出現(xiàn)，又會在回路中產(chǎn)生自感電動勢，自感電動勢將阻礙電流

的增大，所以，雖然回路的電阻為零，但回路的電流并不會趨向無限大，當回

路中一旦有了電流，磁場作用于桿ab的安培力將使ab桿減速，作用于cd桿

的安培力使cd桿運動.

設(shè)在任意時刻t,ab桿和cd桿的速度分別為s和外(相對地面參考系S),

當為、。2為正時，表示速度沿x軸正方向；若規(guī)定逆時針方向為回路中電流和

電動勢的正方向，則因兩桿作切割磁力線的運動而產(chǎn)生的感應電動勢

E=Bl(yx-v2)(1)

當回路中的電流j隨時間的變化率為加/4時，回路中的自感電動勢

互=-琮⑵

根據(jù)歐姆定律，注意到回路沒有電阻，有

￡+互=0(3)

金屬桿在導軌上運動過程中，兩桿構(gòu)成的系統(tǒng)受到的水平方向的合外力為

零，系統(tǒng)的質(zhì)心作勻速直線運動.設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心的速度為束，有

?加0=2mVc(4)

得

憶吟(5)

生方向與00相同，沿X軸的正方向.

現(xiàn)取一新的參考系SL它與質(zhì)心固連在一起，并把質(zhì)心作為坐標原點。，

取坐標軸與x軸平行.設(shè)相對V系，金屬桿ab的速度為u,cd桿的速度

為〃則有

0=%+〃(6)

v2=VC+u'(7)

因相對S，系，兩桿的總動量為零，即有

mu+mur=0(8)

由⑴、(2)、(3)、⑸、(6)、(7)、⑻各式,得

2Blu=L—(9)

Ar

在S'系中，在t時刻，金屬桿ab坐標為V,在t+At時刻，它的坐標為

V+Af,則由速度的定義

(10)

代入(9)式得

2BIAX1=LM(11)

若將/視為，的函數(shù)，由di)式知674為常數(shù)，所以/與/的美系可用一

直線方程表示

x^—i+b(12)

2BI

式中b為常數(shù)，其值待定.現(xiàn)已知在t=0時刻，金屬桿ab在卜系中的坐標/

=3/，這時/J。，故得

1

x=^—i+—x0(13)

28/2°

或‘二等卜-9。)(14)

；須表示t=0時刻金屬桿ab的位置./表示在任意時刻3桿ab的位置，

故口一：/)就是桿ab在t時刻相對初始位置的位移，用X表示，

X=/-gx()(15)

當X>0時，ab桿位于其初始位置的右側(cè)；當X<0時，ab桿位于其初始位置的

左側(cè).代入(14)式，得

i=—X(16)

L

這時作用于ab桿的安培力

2B2/2_一

L

ab桿在初始位置右側(cè)時，安培力的方向指向左側(cè);ab桿在初始位置左側(cè)時,

安培力的方向指向右側(cè)，可知該安培力具有彈性力的性質(zhì).金屬桿ab的運動

是簡諧振動，振動的周期

7=271(18)

7L

在任意時刻t,ab桿離開其初始位置的位移

X=Acos(^f+,

(19)

A為簡諧振動的振幅，。為初相位，都是待定的常量.通過參考圓可求得ab

桿的振動速度

(20)

(19)、(20)式分別表示任意時刻ab桿離開初始位置的位移和運動速度.現(xiàn)已

知在t=0時刻，ab桿位于初始位置，即

x=o

速度

故有

0=Acos(p

sin(p

解這兩式，并注意到(18)式得

(P=3兀/2(21)

(22)

由此得ab桿的位移

3/

(23)

~2)

由(15)式可求得ab桿在S'系中的位置

,11\mL.2兀

^ab=-xo+—J—smTr(24)

因相對質(zhì)心，任意時刻ab桿和cd桿都在質(zhì)心兩側(cè)，到質(zhì)心的距離相等，故在

S，系中，cd桿的位置

(25)

相對地面參考系5,質(zhì)心以％=g%的速度向右運動，并注意到(18)式，得

ab桿在地面參考系中的位置

…。+9"粉楞si"怎＞(26)

cd桿在5系中的位置

回路中的電流由(16)式得

，空彘欄，哼=”。咫"B喘)(28)

解法II:

當金屬桿在磁場中運動時，因切割磁力線而產(chǎn)生感應電動勢，回路中出現(xiàn)

電流時，兩金屬桿都要受到安培力的作用，安培力使ab桿的速度改變，使cd

桿運動.設(shè)任意時刻t,兩桿的速度分別為內(nèi)和。2(相對地面參考系S),若規(guī)

定逆時針方向為回路電動勢和電流的正方向，則由兩金屬桿與導軌構(gòu)成的回路

中，因桿在磁場中運動而出現(xiàn)的感應電動勢為

E=Bl(yx-v2)(巧

令u表示ab桿相對于cd桿的速度，有

Ef=Blu(2‘)

當回路中的電流，變化時，回路中有自感電動勢瓦，其大小與電流的變化率成

正比，即有

互=-吟