對(duì)流傳熱與傳質(zhì)-上海交通大學(xué)-楊強(qiáng)生-課后題答案

1-1：在怎樣的條件下納維埃?斯托克斯方程式可以轉(zhuǎn)化為定物性流體的邊界層動(dòng)量方程式(1?57)?說(shuō)明邊

界層中壓力p只是x的函數(shù)的物理意義。

⑴N-S方程的原始形式為(x方向)：

夕竽“字+2梟吟]回++抖〃停+-智以向+X在磁性流體、二維

Didx3x(dx)d)[\dydxJJdz\_(dzdx)\3dx

穩(wěn)定流動(dòng)的情況下，上式化簡(jiǎn)為：

展開(kāi)其在x、y方向的表達(dá)式如下：

在速度邊界層內(nèi)有一下的特點(diǎn)和邊界條件：

dududxdvdudv

u?v,一?一,一?一,一?一

dydxdydxdydy

量綱分析后，忽略流體所受的質(zhì)量力和x方向的速度梯度，化簡(jiǎn)結(jié)果如下：

(2)壓力p僅是x的函數(shù),則守/&可以寫(xiě)為dp/dx,從而根據(jù)邊界層外勢(shì)流區(qū)的伯努利方程可以求得壓力，然

后直接用于速度邊界層。

1-2:設(shè)一定物性流體在二平行平板間作二維穩(wěn)定的流動(dòng)。在離進(jìn)口導(dǎo)邊足夠遠(yuǎn)的地方，y方向的速度分量v=0,

而u只是y的函數(shù)。試根據(jù)納維埃-斯托克斯方程式分別寫(xiě)出x和y方向的動(dòng)量方程式，并說(shuō)明怎樣確定軸向

壓力梯度？

解：定物性流體二維穩(wěn)定流動(dòng)的N-S方程為：

題目描述的條件下簡(jiǎn)化成為-半+m=0

dxdy

軸向壓力梯度半由伯努利方程確定(z+2+2”。而)，零二-pm華

dxpg2gdxdx

1?3.根據(jù)圖1?13所示的軸對(duì)稱(chēng)旋轉(zhuǎn)體的坐標(biāo)系統(tǒng)，采用邊界層中控制容積的方法，試推導(dǎo)出軸對(duì)稱(chēng)旋轉(zhuǎn)體的連

續(xù)性方程式(1-79)和邊界層動(dòng)量積分方程式(1?80%

(1)推導(dǎo)連續(xù)性方程：

如圖示：圖中&=Hx沛

1

x軸上：從左邊流入控制體的質(zhì)量流量為：Gxl=\pudy;

o

從右邊流出控制體的質(zhì)量流量為：G34=]'口心+竽xAx說(shuō);

oaX

d（i\

則在x軸上凈剩余的質(zhì)量流量為：AG、=-5Jp〃d），x/?x說(shuō);

y軸上：從下邊流入控制體的質(zhì)量流量為：c14=夕泌；

從上邊流出控制體的質(zhì)量流量為：GZ3=PF#涉;

則在y軸上凈剩余的質(zhì)量流量為：△G）,=（p?.vK.-PM）R前;

對(duì)于穩(wěn)定流，控制體內(nèi)流體的密度為常數(shù)，即孕=0,故根據(jù)質(zhì)量守恒定律則有:

dr

等式兩邊同除以用加，即得到公式（1-79）,即：

（2）推導(dǎo)動(dòng)量方程：（對(duì)于x軸）

2

腳標(biāo)定義同上:Ml2=^pudy；MM=M12+華IxRx麗；由于％=0故Mu=。:M”=PFMR涉。

0以

根據(jù)動(dòng)量守恒定律有:

由伯努力方程可知至二-!△/,即半=-0/s學(xué)，代入上式動(dòng)量方程，同時(shí)考慮到/的長(zhǎng)度大于邊界層

P,}2,dxdx

厚度，因此有為二（,r,=0,等式兩邊同除以A麗化簡(jiǎn)得到動(dòng)量積分方程式（1-80）:

證畢

1-4.試根據(jù)上題所給的條件，推導(dǎo)軸對(duì)稱(chēng)旋轉(zhuǎn)體的能量方程式（1-94\

（1）進(jìn)入控制容積的熱量：

I

a.從左邊帶入的熱量為：Jhpi心;

0

b.從下邊帶入的熱量為：人.匕也R泌；

C.由壁面導(dǎo)入的熱量為：&渺=/「&渺;

（2）.帶出控制體的熱量：

2

d.從上邊帶出的熱量為：0；

/f

e.從右邊帶出的熱量為:!puhdy+?。╤pudy）xRx的;

根據(jù)能量守恒關(guān)系，則有a+b+c=d+e;

\p^dy、

設(shè)瓦.二%-%，〃*二〃一心定義烙厚度為△,二^—，而G”=4〃」l-上一力，代入上式

p/J、、,~八d

化簡(jiǎn)得到能量方程的積分形式：

考慮到壁面曲率的影響（不懂）,給上式加一項(xiàng)，即得到要證明的公式（1-94）:

1-5.試用直接對(duì)邊界層動(dòng)量方程式（1-58）積分的方法，推導(dǎo)二維坐標(biāo)系統(tǒng)的邊界層動(dòng)量積分方

程式（1?78）,并最后得出用邊界層排量厚度和動(dòng)量厚度表示的方程式（1?83X

解：（1）

因?yàn)檫吔鐚油鉃閯?shì)流區(qū)，因此有丁|尸0,由此可得：

1a（du\,du.du牛頓內(nèi)摩擦定律八

/（dy）dydy-〃=一丁卬(1)

力〃力?按邊界層外勢(shì)流區(qū)的伯努力公式得：

J。%"中"心"/j(2)

對(duì)「/川磔力分部積分得：

Jooy

pvdy=pvuMdy

Ldy^LX

=但"川》叫1/PVM|0+Ju（?）dy

J。ox

(3)

“no、八,fze（p〃）

=-~~>Pi匕（+1?.辦

J°ox

質(zhì)砒守恒定律「dlr1\1d(pu),

-------------------公《夕〃磯+ii——dy

-Jodx

又+「外包辦二『3辦=幺『海時(shí)

J。dx'」。dxJ。dxdtU。"

3

解一

把或=￡（工0加""）一24瓦兩端同時(shí)除以人'令I(lǐng)f8

得：

由于：

[puhdy

由式△,二曲-------「知：

RJjhw

故：q、v[4/--411d411diQ?1昕、

PM瓦PMa去21Aodx%dx%dx,

第二章作業(yè):

2-1:對(duì)于二無(wú)限長(zhǎng)平行平板間充分發(fā)展區(qū)的流動(dòng)（圖2?la）,若上平板以速度匕運(yùn)動(dòng)，下平板靜止不動(dòng)，則流

動(dòng)稱(chēng)為考埃脫（Couette）流動(dòng)。試以無(wú)量綱量（—工-羋）作為參變量，用無(wú)量綱速度〃/V；和無(wú)量綱距離

2〃匕dx

y/。之間的函數(shù)關(guān)系表示充分發(fā)展區(qū)的速度分布；若上述無(wú)量綱參數(shù)在+2到-2之間變化，描繪無(wú)量綱速度的分

布。

解：二無(wú)限長(zhǎng)平板間充分發(fā)展區(qū)溜達(dá)，其控制方程為：

邊界條件為：〃（），=〃）=乂;"（＞=-〃）=（）；

對(duì)控制方程進(jìn)行積分得：

將邊界條件代入得:

..\dpV\dp

故：u=------y2+—{v--------b-2+—

2/adx-2b.2/7dx2

即:廣治簫2

ybdp?1

2yb）2//Vdx2

人b2dp..u（21

令m--------------，故：一=-m\—+-+〃？+一

2juV}dxV}[b）2⑺2

當(dāng)無(wú)量綱參數(shù)，〃在-2~2之間變化時(shí)，無(wú)量綱速度分布如下圖所示：

5

2-2:分析二無(wú)限長(zhǎng)平行平板間的層流換熱。

1.解釋在怎樣的條件下它的能量方程式可以寫(xiě)成4￡二-〃(?/；

dydy

2?若下平板靜止不動(dòng)，壁溫是定值力，上平板以速度巧運(yùn)動(dòng)，壁溫L(>r,)也是定值，并忽略平行平板間的

州向壓力梯度"%.,試以無(wú)量綱距離y/b之間的函數(shù)表示充分發(fā)展區(qū)的溫度分布；

3.若上述無(wú)量綱參數(shù)在0到2之間變化，描述無(wú)量綱溫度的分布。

解：1、(1)在P,常數(shù)較大,考慮能量粘性耗散；(2)定壁溫;(3)常物性;(4)處于充分發(fā)展階段；

2、認(rèn)為此兩個(gè)無(wú)限長(zhǎng)平行平板間的距離為2b。

(1)求解速度分布:

由題目可知，描述此問(wèn)題的動(dòng)量方程為：

等」半由于忽略軸向壓力梯度，即爭(zhēng)二。

ay~〃dxdx“

邊界條件：u(y=b)=V];w(y=-/?)=0；

vduV

解方程可得：〃=-y；丁二心；

bayb

(2)溫度分布:

能量方程：4答二一〃(半]令：e=±L;y?=9；

dy-[dy)t2-tAb

能量方程可寫(xiě)為：2=---次邊界條件：)/=1,o=\；/=-1,6=0

2

dyW2-r,)

經(jīng)積分得：9="G-。）y'GV+G

將邊界條件代入得：G=??；c，」+■件、；

2-282(r2-r,)

故：。=

84（，2—乙）,2-282（^-^）

A

令…辭下,則溫度方程可寫(xiě)為："一分"+1+會(huì);

6

3、當(dāng)無(wú)量綱參數(shù)m在0~2之間變化時(shí)，無(wú)量綱溫度分布如下圖所示：

2-3分析平板間距為2b的二無(wú)限長(zhǎng)平板間充分發(fā)展區(qū)的層流換熱，并考慮能量粘性耗散。設(shè)平板壁溫維持定值，

并取作溫度計(jì)算的起點(diǎn)，試確定平板間的溫度分布和流體混合平均溫度。

他與士卬Ohdhdpdp..d2td2t..

能里方程“〃豕+々而=味+記+〃/+豕)+。

其中：-//(—+—)2+Z42(—)24-2(—)24-(―4--)21

3oxcyoxoydyox

對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)平板間充分發(fā)展區(qū)的層流換熱，近似考慮：竺&二0

dx

(jt

即：v=0

dx

層流：v=0

充分發(fā)展：筌。

所以能量方程為：哼一母」嚕

在充分發(fā)展區(qū)，u=const,

mdyb2附

能量方程嚕=-〃（粵y+a）:程；翱2+qy+q承

dy//dx2//drGx

、.44dp、、2

積分得：t=4匹）2dxy-c}y+c2

邊界條件：y=±b,t=twt>

匹加第吟g八斗

求混合平均溫度：

2?4:試推導(dǎo)二側(cè)均勻加熱時(shí)平行平板間充分發(fā)展區(qū)的流體溫度分布、流體混合平均溫度和N”數(shù)的下列計(jì)算公

式：

—卬二一(華(八6廳+5);

oX

1?4Z?140

乜她；==8.235

354~r77

7

解：兩平行平板間充分發(fā)展區(qū)的能量方程為：產(chǎn)

dy~aox

定熱流時(shí)，§=華

exax

根據(jù)能量守恒可得：牛二—^，代入能量方程得：

dxpcriitnb

速度分布幺"u—d）2]=]（i—/）（令〃=?）

um2b2b

相應(yīng)的邊界條件為：f（〃=±l）=。

積分兩次并由邊界條件確定積分常數(shù)，得溫度分布為，

即：，—=_!!砧

mw352

位玨q“354

換熱系數(shù)為：or=u=--

17b

er-4b140

則努謝爾數(shù)為：9=/叱=上=8.235

217

2-5:在定熱流條件下的同心圓環(huán)形管道的充分發(fā)展區(qū)的層流換熱式（2-53）和（2-54）中，若

“％，%=1或“//%=1則課分別得出N《,f8或N/f8。試問(wèn)：（1）對(duì)于，-1的平行平板，相應(yīng)

于上述條件的內(nèi)外側(cè)熱流的比值是多少？（2）定性的繪出它的溫度分布，并解釋上述結(jié)論；（3）若

>1或44/%>1,又說(shuō)明什么？這二個(gè)公式是否仍然適用？為什么？

解：（1）對(duì)于-1的平行大平板，查P63表2?2得，“=&=0.346

則對(duì)應(yīng)于4s/%=1或=1的內(nèi)外側(cè)熱流的比值為：

（2）根據(jù)〃<=還（1-“1/%）和*F=幺（1-*/如可知,

%%

4z/%=1或〃％/彳=1時(shí)，說(shuō)明"晨或a=卻。

此時(shí)，雖然N《,-8或NuiT8，但無(wú)傳熱。

（3）或自//《>1,說(shuō)明Zo<*或乙.<&,即流體將向平板傳熱

此兩公式仍然適用。

2-6:計(jì)算畫(huà)管的格雷芝問(wèn)題。已知進(jìn)口處的流體溫度分布為：0<，W，"2時(shí)"ioo（rc；rj2<r<〃，是

8

t=500。。。如果這個(gè)進(jìn)口條件成立，試根據(jù)表2-3給出的前三個(gè)特征函數(shù)計(jì)算沿管壁的熱流分布；到達(dá)充分發(fā)

展區(qū)時(shí)的局部努謝爾特?cái)?shù)是多少？

解：取幾,=。；5=10。0；

貝！J：r1（）＜/＜-;

2

盤(pán)二＜

根據(jù)查表2-!所得的前三個(gè)特征函數(shù),對(duì)上式分段積分得

2-7:在變壁溫圓管熱進(jìn)口段層流換熱問(wèn)題中，壁溫和流體進(jìn)口溫度之差按直線規(guī)律沿管長(zhǎng)變化:&一5=憂,

這里b是一個(gè)常數(shù)，&是從進(jìn)口導(dǎo)邊開(kāi)始計(jì)算的無(wú)量綱距離。試證明該情況下的局部努謝爾特蝴斜率b無(wú)關(guān)，

并可按下列公式計(jì)算：

8

1—8巨鳥(niǎo)產(chǎn)+

N=------------------------------提示：從式（2-70）出發(fā)得到的任意x+處的熱流，再對(duì)式（P）積分得到&-&。

11-6一碇L）

注意在管進(jìn)口處%=1,根據(jù)式（2?64）可得到Za/Z=18

證明：

+

將九一5=%和g(￡Y/+)=1-2Cne-^Rn(r)代入并積分:

〃二0

之舞C0-"6)

/卬一，加dO"=。％/=1

4

手J：空=8宓圣令『+,

*氏=q、、d￡=

24GH=04〃n=()4"

又巨條=1，可得：

〃=o（

2-8:計(jì)算變壁溫圓管熱進(jìn)口段問(wèn)題，假定進(jìn)口處已具有充分發(fā)展的速度分布。若空氣以均勻溫度10（FC流入圓

管，Re=1000,壁溫變化為：0v/W0.04時(shí)，4=200℃;x+>0.04時(shí)％,=50℃,求相應(yīng)于￡=0.04

和0.08時(shí)的x/4值和管壁熱流qw（/;和2不必具體計(jì)算\

解:Atwl=200℃-1()()℃=100℃;ArH；2=5()℃-200℃=-15()℃;

9

當(dāng)r=0.04,時(shí)，竽=:乂。+)“血”(爐)

A2

查表2-5,y=0.04N”=4.17,Gm=0.628

=1/2x4.17x100x0.628=130.938℃

A

當(dāng)￡=0.08時(shí),Nl(=3.770m=0.459

=1/2x[.77x100x0.459+4.17x(-150)x0.628]-219.771℃

2-9一內(nèi)徑為0.6cm,管長(zhǎng)為1.2m的圓管，四周繞有電熱絲，用以均勻加熱流過(guò)的有機(jī)燃料。燃料進(jìn)口溫度

為10℃,出口溫度為65七，質(zhì)流量為l.26xl0-3kg/s,并當(dāng)作定物性處理。它的物性參數(shù)為

3

Pr=10A=0.1398W/(mK)p=753kg/mp=6.684xl0*kg/(ms)cp=2.092kJ/(kgK)

試求管壁溫度、流體混和平均溫度和局部努謝爾數(shù)沿管長(zhǎng)的變化

解：因?yàn)榱黧w的Pr數(shù)較大，可認(rèn)為速度邊界層充分發(fā)展時(shí)，熱邊界層還只是剛發(fā)展起來(lái)，近似已知熱流時(shí)圓管

熱進(jìn)口段的對(duì)流換熱問(wèn)題,由能量守恒G?cp\t=4,?2萬(wàn)?R?/得到熱流密度為

(1)壁面溫度分布由課本中式(2-77)計(jì)算得到

由表2-3得Rn(r+=l)=0

所以上式簡(jiǎn)化為

G?c4一

將名尸〃，代入上式得

24?6?/

其中無(wú)量綱軸向距離爐=--i―=--，代入上式得

“RePr%8小2ro

C

rK.=45.66%+73.04(C)

(2)流體混和平均溫度可由式(2-78)求得

一=.技竽牛+345.8370仁)

此結(jié)果和直接用能量守恒得到的結(jié)果一致：

取dx長(zhǎng)度的流體微元作為控制體積，列能量守恒

枳分得到

10

t（x）=—-------x+10=45.83%+10（℃）

m1.2

（3）局部努謝爾數(shù)沿管長(zhǎng)的變化可由（2-79）求得

由表2-6顯示的特征值力和常數(shù)，代入上式即得到局部努謝爾數(shù)沿管長(zhǎng)的變化結(jié)果，在表2-7中也可以看到

實(shí)用方便的計(jì)算結(jié)果

2-10、一變壁溫圓管熱進(jìn)口段的進(jìn)口處已具有充分發(fā)展的速度分布。當(dāng)/=。時(shí)，壁溫比流體進(jìn)口溫度升高的

數(shù)值為a,并維持定值直到/二J,此后再次增大，升高的數(shù)值為b,并繼續(xù)保持不變。試推導(dǎo)一個(gè)普遍的公

式，用以確定工+>4時(shí)的壁面熱流、流體混合平均溫度和局部努謝爾特?cái)?shù)。

解：由已知Ag=a,。皿=b,則由公式（2-63）得壁面熱流為：

或=抖%；〃exp(—%￡)+應(yīng)G“exp[—%(x+g)]](2?1)

〃=0,

其中％=4"+§,3=1.01276/1^;

3"

流體混合平均溫度：

,x4r*

“=--------卜3=半+

a-乙Jqwdx(2-2)

。'盟%o

將公式（2-1）代入（2-2）中，有：

口=8〃力條（l-exp))+8應(yīng)條晶數(shù))-exp[-%(￡-圳(2-3)

,r=04”n=Q4〃

局部努謝爾特?cái)?shù)：由公式（2-59）得：

Nu=——(2-4)

—x刀

優(yōu)卜）==1-8尤%（1--exp(-&x+))+8力圣[exp(/l^)-exp[-2jg-圳

n=0Ai

=1+疙圣晟電%+）+exp[_￡（x+3）]_exp(現(xiàn))]

M=OAl

o0_=￡G〃QTR+*+書(shū))(2-5)

n=0

11

=---------------------------------------------------------（2-6）

辦"I+8f￡exp（碌x+）+exp[-友（xTR-expLW]

n=04〃

2-11,一變熱流圓管熱進(jìn)口段的進(jìn)口處已具有充分發(fā)展的速度分布。當(dāng)0<kW0.01時(shí)管壁熱流維持以不變，

當(dāng)/>0.01時(shí)管壁為絕熱。試推導(dǎo)一個(gè)普遍的公式，用以確定<>0.01的絕熱段中的壁溫變化。

解：由已知可知：△/=qw.△%=-qw,則由式（2-82）得：

"加=、M/Q+，1)+頌-0.01,1)](2-7)

A

而由式（2-81）得：

/X

將（2?8）式代入（2-7）中得到：

也[4x()0]?寧—xp(-yG-().01)"exp"￡)

(2-9)

%[.占4"

即有i+皿WxO.Ol++xp(一片(￡—0.01?.exp"叩(2.w)

4L合A〃九

3.1空氣以27℃、latm和10m/s的來(lái)流速度垂直流過(guò)一個(gè)5cm直徑的圓柱體，沿圓柱體邊面邊界層的主流速度

可按式（3-50）計(jì)算。試確定駐點(diǎn)處的排量厚度，并對(duì)計(jì)算結(jié)果作出解釋。

2Vr

解：根據(jù)式（3-50）得圓柱體表面邊界層外的主流速度為：%二彳

則dy=

查附表1得空氣得運(yùn)動(dòng)粘度為I，=15.75x10，〃2/s

所以，駐點(diǎn)處的排量厚度為：

查圖3-5,并采用復(fù)合梯形積分公式求解,得排量厚度為，

3.2定物性流體以速度氣;常數(shù)外掠一平壁。若邊界層中的速度分布可近似按〃/〃8=sin（?），/25）確定式中K

12

是邊界層厚度，試應(yīng)用動(dòng)量積分方程式的求解方法求排量厚度、動(dòng)量厚度和局部阻力系數(shù)，并和精確解的結(jié)果進(jìn)

行比較。若速度分布按，〃(=(^)"規(guī)律變化，能按上面相同的步驟進(jìn)行求解嗎？為什么？

解：(1)由速度分布'"二sin(g)計(jì)算

排量厚度：偽=「（l—singMy=（l-2紀(jì)

JO7rS7T

動(dòng)量厚度：&=「sin"(l—sin筌Wy=￥b

~J。2326?21

壁面更應(yīng)力：r.=zz—1,=4/--

wdyl=02o

由動(dòng)量積分方程式：」彳=華=±±半=

pu：dx2兀dx

積分得x處的邊界層厚度為：-—^Re；,/2=4.795Re；l/2

壁面的局部阻力系數(shù)：土=3=處=土4絲=0.328Re芳

2卬心dx2）dx

與式(3-15)的精確解只相差1.2%,足夠精確。

(2)當(dāng)速度分布為上二(5)；時(shí)，由于不滿足邊界條件半I4=0,所以不能用上述步驟進(jìn)行求解。

>a￡I*

d(夕7夕)

積分得：

0、'+鼻0'"\=0,由于。"(0)=0,將其代入得

2

繼續(xù)積分得：^=C2JJexp(-^77k/z7

又由于6(8)=1,可得：

Joexp（一;〃2）沏

3-4

13

根據(jù)表3-2中對(duì)應(yīng)的〃值和,將匕=0.01代入公式(a)并對(duì)其數(shù)值積分得

C,=0.0559即

NRe",/2=0.00559

“X

根據(jù)3-3的近似結(jié)果可得：

NRe-,/2=0.564xVoXH=0.00564

〃X

比較得誤差為

可見(jiàn)，近似結(jié)果與數(shù)值積分所得結(jié)果誤差較小

3-5Pr=0.01的低Pr數(shù)介質(zhì)繞流，壁面無(wú)噴注，試求二維駐點(diǎn)流的相似解。根據(jù)駐點(diǎn)動(dòng)量方程式

求得的f(n)列于下表

n00.51.01.52.03.0n>3.o

f(n)00.120.450.871.342.32n-o.7

解：由課本(3-44)式可得楔狀流換熱時(shí)無(wú)量綱溫度梯度的表達(dá)式，對(duì)于駐點(diǎn)流其中的m=l,則其

能量方程的相似解為

由題目給出的動(dòng)量方程式相似解的結(jié)果可用梯形積分的方法求得

其中A=「exp(-0.005if+0.007;7-0.00485

使用拋物線積分技術(shù)對(duì)上式進(jìn)行數(shù)值積分的VB程序如下：

PublicFunctione(y)

e=Exp(-0.005*yA2+0.007*y-0.00485)

EndFunction

PrivateSubCommandl_Clicl<()

A=0'積分下限

B=300'積分上限

N=1000'積分區(qū)域的等分份數(shù)，要求為偶數(shù)

deity=B/N，步長(zhǎng)

14

‘拋物線求積分的第一項(xiàng)

El=e(A)

‘拋物線求積分的第二項(xiàng)

E2=e(B)

‘拋物線求積分的第三項(xiàng)

E3=0

Fori=0ToN-2Step2

E3=E3+e(A+i*deity)

Nexti

‘拋物線求積分的第四項(xiàng)

E4=0

Fori=1ToN-1Step2

E4=E4+e(A+i*deity)

Nexti

積分結(jié)果

Sum=deity*(El+E2+2*E3+4*E4)/3

result=1/Sum

Textl.Text=result

EndSub

程序運(yùn)行結(jié)果為7.46275206378875E-02。0.0746

修改積分上限B的數(shù)值可知程序中使用300已經(jīng)足夠大，因?yàn)楫?dāng)B=350時(shí)，程序運(yùn)行得到的結(jié)

果是0.0744,與上限為300時(shí)的結(jié)果僅有0.2%的誤差，可以接受

3-6對(duì)伯拉修斯方程式進(jìn)行一次變換，令fW=C%F?^=C%

這里C是一個(gè)任意常數(shù)。試求變換后的方程式是噎+gF七=0

15

式中，/和七式F對(duì)W的二階和三階導(dǎo)數(shù)

解：伯拉修斯方程的原始形式為/”'+；./r=o

3-7根據(jù)習(xí)題3-6的結(jié)論，取F(0)=0.62.%(0)=0、%(0)=1進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，計(jì)算時(shí)取

結(jié)=0.1(0〈”1)和鰭=0.4(^>l)e試求此時(shí)的噴注參數(shù)(%/%》府和壁面上的無(wú)量綱速度

梯度，并把結(jié)果和表3-5中給出的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較

解：按題意數(shù)值計(jì)算的VB程序編寫(xiě)如下：

PrivateSubCommandl_Click()

'賦初值

x=0

F=0.62

Fl=0

F2=1

F3=-0.5*F*F2

'步長(zhǎng)

deltxl=0.1

deltx2=0.4

’存放結(jié)果的文件

Open"fprint.txtnForOutputAs#1

'表義

Print#1,"x";Tab;"F";Tab;"Fl";Tab;"F2M;Tab;"F3"

Print#LFormat(x,"0.0");Tab;Format","0.00000");Tab;Format(Fl,"0.00000");Tab;

Format(F2,"0.00000");Tab;Format(F3,"0.00000")

'0~l

Fori=1To10

16

x=x+deltxl

F=F+Fl*deltxl

Fl=Fl+F2*deltxl

F2=F2+F3*deltxl

F3=-0.5*F*F2

Print#1,Format%"0.0");Tab;Format(F,"0.00000');Tab;Format(Fl,"0.00000");Tab;

Format(F2,"0.00000");Tab;Format(F3/"0.00000")

Nexti

'>1

Fori=1To10

x=x+deltx2

F=F+Fl*deltx2

Fl=Fl+F2*deltx2

F2=F2+F3*deltx2

F3=-0.5*F*F2

Print#LFormat(x,"0.0")；Tab;Format(F,"0.00000')；Tab;Format(Fl,-0.00000");Tab;

Format(F2,"0.00000");Tab;Format(F3,"0.00000")

Nexti

Close#1

EndSub得到結(jié)果如下：

其中,F=F,F1=F；,F2=/，F(xiàn)3=噎

XFFlF2F3

0.00.620000.000001.00000-0.31000

17

0.10.620000.100000.96900-0.30039

0.20.630000.196900.93896-0.29577

0.30.649690.290800.90938-0.29541

0.40.678770.381730.87984-0.29861

0.50.716940.469720.84998-0.30469

0.60.763910.554720.81951-0.31302

0.70.819390.636670.78821-0.32292

0.80.883050.715490.75592-0.33376

0.90.954600.791080.72254-0.34487

1.01.033710.863340.68806-0.35563

1.41.379041.138560.54581-0.37635

1.81.83447135688039527-0.36255

2.22.377221.514990.25025-0.29745

2.62.983211.615090.13127-0.19580

3.03.629251.667590.05295-0.09608

3.44.296291.688770.01452-0.03118

3.84.971791.694580.00204-0.00508

4.25.649631.695400.00001-0.00003

4.66.327781.695400.000000.00000

5.07.005941.695400.000000.00000

得到C=0.4530

由課本94頁(yè)式(I)得噴注參數(shù)=—：/(°)=?；C*(0)=-0.2381

壁面無(wú)量綱速度梯度和廣成正比，r(0)=C=0.4530

18

表3-5中的結(jié)果為一半=。廣(0)=0.332

插值得到一=-0.2381/M(0)=0.5139

2

和數(shù)值積分得到的f兩階導(dǎo)數(shù)的誤差為11.8%

3-8

解：由P101式3-23：

積分兩次可得：

當(dāng)Pr=10時(shí)：

對(duì)上式進(jìn)行數(shù)值積分并作圖可得：

比較上面兩幅圖可知，無(wú)量綱溫度和無(wú)量綱速度的變化趨勢(shì)是一樣的。

3-9

解：查空氣的熱物理性質(zhì)表可得空氣物性參數(shù)：

3

t=540℃時(shí)：v=84.78x10，//$pr=().7()32=57.628x10-

t=40C時(shí)：p=1.1277k^/m3Cp=1005w/(kg?k)

04

若ReJ=0.707即vvv=0.1426m/sNuR=0.293x&x1.153Re/Pr=12.35

由熱平衡方程可得圓柱體駐點(diǎn)的溫度為：

?04

若半Re/=1.414即丫廿=0.285/7?/sNuR=0.238RcPr=6.15

由熱平衡方程可得圓柱體駐點(diǎn)的溫度為：

3-10

解：流體參考溫度為：tR=寫(xiě)生=42.5。。

則流體的物性參數(shù)為一=17.2乂10%72/5義=27.28乂10?3卬/(m.攵)Pr=0.7088

本題可以看成壁溫有一個(gè)臺(tái)階變化的對(duì)流換熱問(wèn)題：

x=0.3m。=0.075mt-65-20-45C

Aw

19

將以上數(shù)據(jù)代入下面公式

0.332x27.28x1()-330x0.345

q=----------------x(--------->x().70883x

”0.317.2x10-6—幽)”

得

0.3

二1011.88卬/〃2

所以所求傳熱量為：

Q=qwxx=1011.88x0.3=303.56w

3-11

解：由題可得無(wú)量綱速度分布為：幺=](1)

無(wú)量綱溫度分布為：夕=士匚(2)

心一42A21△J

將無(wú)量綱速度分布代入下式

8（\/\e

^=f—1--dy積分得動(dòng)量厚度唬:&1一=4二鄉(xiāng)(3)

MJuj-J。"b）6

壁面剪應(yīng)力一方面可直接根據(jù)壁面上的速度梯度計(jì)算：0=…=牛（4）

dy''o

另一方面由動(dòng)量積分方程式有烏二華=，學(xué)（5）

piQax6ax

由式（41（5）得到邊界層厚度的變化：=.公

(6)

叫

從導(dǎo)邊開(kāi)始積分J；bdb=￡票dx

可得x處的邊界層厚度為：5=笆^

四(7)

壁面熱流可根據(jù)壁面上的溫度梯度計(jì)算：

1%I_1〃，、31q_。3

名"二一2^■尸。二或-------w----=———(8)

2、叫人（。-L）2A

另一方面由能量方程式得——}--=華=《字+%牛

(9)

夕金以（。一晨）dx10dx5dx

20

r2dbdrdra3

由式（81（9）可得到r或的變化：

1()dx5dx2A

d8+232r2包_15a

因?yàn)閞=三代入上式化簡(jiǎn)后得：知(10)

odx心i晨

(A3、

5

把式（6）代入式（10）中化簡(jiǎn)整理后得：r_"J

dx2Pr

因?yàn)橹疫吔鐚邮菑膞=J處開(kāi)始發(fā)展的，此時(shí)r=0o對(duì)上式積分可求得x處的邊界層厚度比r:

3

4

r=Pr%=1.357Pr-31-

3234

換熱系數(shù)々二

_Q2A24

&+0)20+65

由題（3-10）得4=42.5°C查表得流體的物性參數(shù)為：

22

3

dt32瓜

”一女r=-；r=1.357Pr31-5=Re=—

匹'vv

其中《=0.0756;x=0.3，〃代入得：