2024-2025學(xué)年重慶市高二上學(xué)期第三次（12月）數(shù)學(xué)檢測試題

2024-2025學(xué)年重慶市高二上學(xué)期第三次（12月）數(shù)學(xué)檢測試題試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：答卷前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卷規(guī)定的位置上.答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卷上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.答非選擇題時，必須使用毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卷規(guī)定的位置上．考試結(jié)束后，將答題卷交回．一．單選題：本小題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，1.如圖所示，兩條異面直線，所成的角為，在直線，上分別取點(diǎn)，和點(diǎn)，，使，且已知，，，則線段的長為(

)

A. B. C.或 D.或2.如圖，在多面體中，底面是邊長為的正方形，為底面內(nèi)的一個動點(diǎn)包括邊界，底面，底面，且，則的最小值與最大值分別為(

)

A.， B.， C.， D.，3.經(jīng)過點(diǎn)作直線，若直線與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是(

)A. B. C. D.4.已知兩直線，若，則與間的距離為(

)A. B. C. D.5.已知點(diǎn)，，則以為直徑的圓的方程為(

)A. B.

C. D.6.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，表示面積，則的離心率為(

)A. B. C. D.7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與的左支交于，兩點(diǎn)，且，，則的漸近線為(

)A. B. C. D.8.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，如圖所示，則

以線段為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；

以為直徑的圓經(jīng)過焦點(diǎn)；若已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且已知點(diǎn)，則直線與該拋物線相切；

，，其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)三點(diǎn)共線；則以上說法中正確的個數(shù)為(

)A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知直三棱柱中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則下列說法正確的是(

)

A.

B.平面

C.異面直線與所成的角的余弦值為

D.點(diǎn)到平面的距離為10.已知點(diǎn)，，曲線是滿足的點(diǎn)的軌跡，，分別是曲線與圓上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是(

)A.若曲線與圓有公共點(diǎn)，則

B.若，則兩曲線交點(diǎn)所在直線的方程為

C.若，則的取值范圍為

D.若，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則存在點(diǎn)，使得11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)是平面內(nèi)的一個動點(diǎn)，則下列說法正確的是(

)A.若，則點(diǎn)的軌跡是雙曲線

B.若，則點(diǎn)的軌跡是橢圓

C.若，則點(diǎn)的軌跡是一條直線

D.若，則點(diǎn)的軌跡是圓三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知平面內(nèi)的動點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離分別為和，且，則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為

．13.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若過且斜率為的直線與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，且，則的值為

．14.如圖，在空間四邊形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)，，，，，，則試用向量表示向量

．

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題13分如圖，在棱長為的平行六面體中，．

求線段的長度求直線與直線的夾角的余弦值．16.本小題15分已知過拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且．求該拋物線的方程；為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積．17.本小題15分在平面直角坐標(biāo)系中，已知，滿足的點(diǎn)形成的曲線記為．求曲線的方程是直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)分別為，求切線長的最小值，并求出此時直線的方程．18.本小題17分若集合表示由滿足一定條件的全體直線組成的集合，定義：若集合中的每一條直線都是某圓上一點(diǎn)處的切線，且該圓上每一點(diǎn)處的切線都是中的一條直線，則稱該圓為集合的包絡(luò)圓．若圓是集合的包絡(luò)圓．(ⅰ)求，滿足的關(guān)系式(ⅱ)若，求的取值范圍若集合，的包絡(luò)圓為，是上任意一點(diǎn)，判斷軸上是否存在定點(diǎn)，，使得，若存在，求出點(diǎn)，的坐標(biāo)若不存在，請說明理由．19.本小題17分定義：若橢圓上的兩個點(diǎn)滿足，則稱為該橢圓的一個“共軛點(diǎn)對”．如圖，為橢圓的“共軛點(diǎn)對”，已知，且點(diǎn)在直線上，直線過原點(diǎn)．

求直線的方程；已知是橢圓上的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．求證：線段被直線平分；若點(diǎn)在第二象限，直線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求面積的最大值．

數(shù)學(xué)答案1-5.CACDB6-8.DAD6-8.DAD9.10.11.12.13.14.【正確答案】

15.解：如圖所示：由圖可知

，

因為棱長為，，

因此由題意有

．

如圖所示：，

由可知，

所以由題意有

，

，

又，

且可知，不妨設(shè)直線與直線的夾角為，

所以，

故直線與直線的夾角的余弦值為．

16.解：拋物線的焦點(diǎn)為，所以直線的方程為，由消去得，易得，所以，由拋物線定義得，即，所以，所以拋物線的方程為由知，方程，可化為，解得，，故，，所以，．則面積．17.解：由，即，得，

化簡得，，

即曲線的方程為．

由知曲線為圓，且圓心為，半徑當(dāng)與直線垂直時，

切線長取得最小值．

此時，

所以切線長的最小值為．

由解得

即，所以四邊形的外接圓是以為直徑的圓的方程，即

，即．

所以直線的方程為，

化簡為，即．

18.解：因為圓是集合的包絡(luò)圓，

所以圓心到直線的距離為，

即，所以．

由，滿足及，可得圓與直線有公共點(diǎn)，

所以，解得，故的取值范圍是．

設(shè)，由題意可知點(diǎn)到直線的距離為與無關(guān)的定值，

即為與無關(guān)的定值，

所以，，故C，此時，．

所以的方程為，

設(shè)，則，即，

假設(shè)軸上存在定點(diǎn)，，使得，設(shè)，，

則，

所以

解得或．

所以，或，．

19.解：由已知，點(diǎn)在直線上，又因為直線過原點(diǎn)，所以所求直線的方程為：．

方法：因為，所以設(shè)，則兩式相減得，整理得，即，所以線段的中點(diǎn)在直線上．所以線段被