2024-2025學(xué)年重慶市高二上學(xué)期第三次（12月）數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年重慶市高二上學(xué)期第三次（12月）數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．如圖所示，兩條異面直線所成的角為，在直線上分別取點(diǎn)和點(diǎn)，使，且.已知，則線段的長為（

）A． B．4 C．6或 D．4或2．如圖，在多面體中，底面是邊長為1的正方形，為底面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），底面底面，且，則的最小值與最大值分別為（

）A． B． C． D．3．經(jīng)過點(diǎn)作直線l，若直線l與連接兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．已知兩直線，若，則與間的距離為（）A． B． C． D．5．已知點(diǎn)，則以為直徑的圓的方程為（

）A． B．C． D．6．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為1的直線與交于兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)，表示面積），則的離心率為（）A． B． C． D．7．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與C的左支交于A，B兩點(diǎn)，且，，則C的漸近線為（

）A． B． C． D．8．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，如圖所示，則①以線段為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；②以為直徑的圓經(jīng)過焦點(diǎn)；③，，（其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）三點(diǎn)共線；④若已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且已知點(diǎn)，則直線與該拋物線相切；則以上說法中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題（本大題共3小題）9．已知直三棱柱中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A． B．平面C．異面直線AE與所成的角的余弦值為 D．點(diǎn)到平面ACE的距離為10．已知點(diǎn)，曲線是滿足的點(diǎn)的軌跡，分別是曲線與圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．若曲線與圓有公共點(diǎn)，則B．若，則兩曲線交點(diǎn)所在直線的方程為C．若，則的取值范圍為D．若，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則存在點(diǎn)，使得11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．若，則點(diǎn)的軌跡是雙曲線B．若，則點(diǎn)的軌跡是橢圓C．若，則點(diǎn)的軌跡是一條直線D．若，則點(diǎn)的軌跡是圓三、填空題（本大題共3小題）12．已知平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離分別為和，且，則點(diǎn)到直線的距離d的取值范圍為.13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若過且斜率為的直線與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，且，則的值為．14．如圖，在空間四邊形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)，，則試用向量表示向量；．四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在棱長為2的平行六面體中，.

(1)求線段的長度；(2)求直線與直線的夾角的余弦值.16．已知過拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且.(1)求該拋物線的方程；(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積.17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，滿足的點(diǎn)形成的曲線記為E.(1)求曲線E的方程；(2)Q是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作曲線E的切線，切點(diǎn)分別為B，C.求切線長的最小值，并求出此時(shí)直線的方程.18．若集合A表示由滿足一定條件的全體直線組成的集合，定義：若集合中的每一條直線都是某圓上一點(diǎn)處的切線，且該圓上每一點(diǎn)處的切線都是中的一條直線，則稱該圓為集合的包絡(luò)圓.(1)若圓是集合的包絡(luò)圓.（i）求a，b滿足的關(guān)系式;（ii）若，求的取值范圍;(2)若集合的包絡(luò)圓為C，P是上任意一點(diǎn)，判斷軸上是否存在定點(diǎn)M，N，使得，若存在，求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.19．定義：若橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)滿足，則稱為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對”．如圖，為橢圓的“共軛點(diǎn)對”，已知，且點(diǎn)在直線上，直線過原點(diǎn)．

(1)求直線的方程；(2)已知是橢圓上的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．（i）求證：線段被直線平分；（ii）若點(diǎn)在第二象限，直線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求面積的最大值．

答案1．【正確答案】C【詳解】過作直線，使得，在直線上取，連接，如下圖：因?yàn)?，且，所以，因?yàn)椋?，設(shè)，所以，因?yàn)?，且，所以，，則，由圖可知，則，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角為，且，所以或，當(dāng)時(shí)，在中，由余弦定理可得，則，在中，，解得；當(dāng)時(shí)，在中，由余弦定理可得，則，在中，，解得.故選：C.2．【正確答案】A【詳解】因?yàn)榈酌嫫矫?，所?因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，所以兩兩垂直，所以以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)或1，或1時(shí)，取得最大值4.故選：A3．【正確答案】C【詳解】如圖所示，設(shè)直線l的傾斜角為，則直線與連接的線段總有公共點(diǎn)，或，即或，又，則有.故選：C.4．【正確答案】D【詳解】因?yàn)椋?，解得，所以，由平行線之間的距離公式可得.故選：D.5．【正確答案】D【詳解】因?yàn)椋€段的中點(diǎn)為，，所以以線段為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，所以線段為直徑的圓的方程為.故選：D.6．【正確答案】D【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，則直線的方程為，設(shè)Ax1得，因?yàn)辄c(diǎn)在的內(nèi)部，所以，又，所以，將代入，可得，再將代入，可得，又，所以，故的離心率．故選：D.7．【正確答案】A【分析】由題意設(shè)，則，根據(jù)雙曲線定義可得，，在，中分別利用勾股定理可求得答案.【詳解】如圖．設(shè)，，則，，在中由勾股定理：，解得：，在中，由勾股定理：解得：，所以，所以漸近線方程為.故選：A．8．【正確答案】D【詳解】對于①，設(shè)，則，所以線段的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以以線段為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，故①正確；對于②，連接，如圖，因?yàn)?，，所以，所以，所以即，所以以為直徑的圓經(jīng)過焦點(diǎn)，故②正確；對于③，設(shè)直線，，將直線方程代入拋物線方程化簡得，，則，又，因?yàn)椋?，所以，所以，，三點(diǎn)共線，故③正確；對于④，不妨設(shè)，則，則直線，代入拋物線方程化簡得，則，所以直線與該拋物線相切，故④正確.故選：D.9．【正確答案】ABD【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則.A：，所以，故A正確；B：，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以，所以，即，又平面，所以平面，故B正確；C：，則，所以，即異面直線與所成的角的余弦值為，故C錯(cuò)誤；D：設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以，得，所以點(diǎn)到平面的距離為，故D正確.故選：ABD10．【正確答案】AC【詳解】設(shè)Mx,y，由，可得，整理得，所以曲線的方程為，表示圓心為，半徑的圓．圓的圓心為點(diǎn)3,?4，半徑，兩圓的圓心距．對于A，若圓與圓有公共點(diǎn)，則，即，解得，故A正確；對于B，若，由A選項(xiàng)知兩圓沒有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對于C，若，則，兩圓外離，則有，即，故C正確；對于D，若，則四邊形為正方形，，如圖，又為，即，而，所以不存在這樣的點(diǎn)，使得，故D錯(cuò)誤．故選：AC11．【正確答案】ACD【詳解】因?yàn)?，所以，對于A：因?yàn)?，所以點(diǎn)是以、為焦點(diǎn)的雙曲線，故A正確；對于B：因?yàn)椋渣c(diǎn)的軌跡為線段，故B錯(cuò)誤；對于C：設(shè)，則，，因?yàn)?，所以，整理得，所以點(diǎn)的軌跡是一條直線，故C正確；對于D：因?yàn)椋?，所以點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，故D正確.故選：ACD12．【正確答案】【分析】先求得點(diǎn)的軌跡為圓，再利用圓的性質(zhì)即可求得點(diǎn)到直線的距離d的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，兩邊平方得，整理得，則點(diǎn)在以為圓心半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，圓心到直線的距離為，則點(diǎn)到直線的距離d的取值范圍為故13．【正確答案】4【詳解】由，，又直線的斜率為，則，，又橢圓方程為：，.,解得，又，，，即.故4．14．【正確答案】【詳解】由為的中點(diǎn)，則，由，則，，，，，,.故；.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）如圖所示：

由圖可知，因此由題意有.（2）如圖所示：

所以，由（1）可知，所以由題意有，，又，且（1）可知，不妨設(shè)直線與直線的夾角為，所以，故直線與直線的夾角的余弦值為.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，所以直線的方程為，由消去得，所以，由拋物線定義得，即，所以.所以拋物線的方程為.（2）由知，方程，可化為，解得，，故，.所以，.則面積17．【正確答案】(1)(2)的最小值為，此時(shí)直線的方程為【詳解】（1）由題意得：，，因?yàn)?，所以，所以，化簡得：．?）由（1）可知圓E的方程為：，所以，所以圓心E的坐標(biāo)為，半徑,所以，所以當(dāng)取最小值時(shí)，有最小值，因?yàn)镼是直線上的動(dòng)點(diǎn)，所以與直線垂直時(shí)，有最小值，此時(shí)的最小值為圓心到直線的距離，，有最小值，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的斜率，所以直線的方程為：，化簡得：，聯(lián)立，解得，所以，所以以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程為，因?yàn)橹本€BC為圓與圓的公共弦所在直線，所以兩方程相減可得直線BC的方程為：．18．【正確答案】(1)（i）（ii）(2)，或，【詳解】（1）（i）因?yàn)閳A是集合的包絡(luò)圓，所以圓心到直線的距離為2，即，化簡得，即a，b滿足的關(guān)系式為.（ii）由及，可得圓與直線有公共點(diǎn)，所以，解得，故的取值范圍是．（2）設(shè)，由題意可知點(diǎn)到直線的距離為與無關(guān)的定值，即為與無關(guān)的定值，所以，．故，此時(shí)，．所以的方程為，設(shè)，則，即，假設(shè)軸上存在定點(diǎn)，，使得，設(shè)，，則，所以解得或所以，或，．19．【正確答案】(1)；(2)（i）證明見解析；（ii）．【分析】(1)根據(jù)“共軛點(diǎn)對”的定義可得；(2)（i）方法一：利用點(diǎn)差法可證；方法二：設(shè)聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理可證；（ii）利用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式表示出，利用韋達(dá)定理化簡，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值可得.【詳解】(1)由已知，點(diǎn)在直線上，又因?yàn)橹本€