2024−2025學(xué)年廣東省深圳市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024?2025學(xué)年廣東省深圳市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知直線過，兩點(diǎn)，且，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．“”是“直線和直線平行”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知橢圓C上任意一點(diǎn)都滿足關(guān)系式，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.4．已知橢圓：的離心率為，則（

）A． B．或 C．8或2 D．85．經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是（

）A．8 B．9 C．10 D．206．已知圓，圓，則這兩圓的公共弦長(zhǎng)為（

）A． B． C．2 D．17．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上，若點(diǎn)，點(diǎn)滿足，且，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．以下四個(gè)命題中正確是（）A．若空間向量、滿足，則與夾角為銳角B．若空間向量，，則在上的投影向量為C．點(diǎn)為平面上一點(diǎn)，為平面外一點(diǎn)，且，則D．任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底10．已知空間向量，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．11．已知橢圓分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．橢圓離心率為B．C．若，則的面積為D．最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．經(jīng)過點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上的截距的2倍的直線的方程是.13．求圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最大值．14．已知直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為四、解答題（本大題共5小題）15．已知點(diǎn)和直線.(1)求過點(diǎn)且與直線垂直的直線的一般方程；(2)求與直線平行且與之間的距離為的直線的一般方程.16．已知圓C：，點(diǎn)，點(diǎn)．(1)過點(diǎn)P作圓C的切線l，求出l的方程；(2)設(shè)A為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，G為三角形APQ的重心，求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程．17．如圖，在三棱柱中，平面，已知，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；18．如圖，在四棱錐中，，，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)．

(1)證明：；(2)當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求．19．已知圓過，，三點(diǎn)．(1)求圓的方程；(2)求圓與圓：的公共弦長(zhǎng)；(3)已知，P為圓上任意一點(diǎn)，在y軸上是否存在定點(diǎn)N（異于點(diǎn)M），使得為定值？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

答案1．【正確答案】A【詳解】因?yàn)橹本€過，兩點(diǎn)，可得，又因?yàn)?，所以，可得，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)椋?，所以直線的傾斜角為.故選：A.2．【正確答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，直線即3x＋2y＋6＝0，直線即，可知兩直線的斜率相等，且在y軸上的截距不等，此時(shí)，兩直線平行；反過來，當(dāng)直線與直線平行時(shí)，能得出或．綜上所述，選A．3．【正確答案】C【詳解】由題設(shè)可知，橢圓C的焦點(diǎn)為，橢圓C上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.4．【正確答案】C【詳解】橢圓：的離心率為，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，解得，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，解得.故選：C.5．【正確答案】D【詳解】為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，的周長(zhǎng)為．故選：D．6．【正確答案】C【詳解】由圓，圓，兩式相減得相交弦所在直線方程.由圓可得圓，所以圓心、半徑.所以圓心到直線的距離，所以相交弦長(zhǎng)為.故選：C7．【正確答案】B【詳解】，故在為直徑的圓上，即，圓在橢圓內(nèi)部，故，，故.故選：B.8．【正確答案】C【詳解】橢圓中，.

如圖，由得，∴，∴當(dāng)取最小值時(shí)，最小.由題意得，點(diǎn)A為橢圓右焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，，∴.故選：C.9．【正確答案】BC【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若空間向量、滿足，則與夾角為銳角或，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若空間向量，，則在上的投影向量為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)為平面上一點(diǎn)，為平面外一點(diǎn)，則、、共面，設(shè)，其中、，則，所以，，又因?yàn)?，則，即，解得，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，但不共線的三個(gè)向量可能共面，D錯(cuò).故選：BC.10．【正確答案】ABD【分析】根據(jù)空間向量的模的坐標(biāo)公式即可判斷A；根據(jù)空間向量共線定理即可判斷B；根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可判斷C；根據(jù)空間向量夾角的坐標(biāo)公式即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，，故A正確；對(duì)于B，，設(shè)，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選ABD.11．【正確答案】BCD【詳解】由橢圓方程可知，，，，所以橢圓的離心率，故A錯(cuò)誤；由橢圓定義知，故B正確；又，因?yàn)?，所以，，解得：，所以的面積為，故C正確；因?yàn)椋?，設(shè)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，所以，故D正確.故選：BCD.12．【正確答案】和；【詳解】若直線經(jīng)過原點(diǎn)，則設(shè)直線方程為，將代入可得，若直線不經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)直線方程為，將代入可得，所以直線方程為，即，故和；13．【正確答案】【詳解】圓可化為，其圓心為，半徑為1，圓心到直線的距離，所以圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為.故答案為.14．【正確答案】【詳解】由可得，整理可得，所以，曲線表示圓在軸的上半部分，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，結(jié)合圖形可知，，則，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，，結(jié)合圖形可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn).因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）直線的斜率為，所以過點(diǎn)且與直線垂直的直線的斜率為，故所求方程為，即；（2）設(shè)與直線平行的直線方程為，則，即，解得或，所以所求直線的方程為或.16．【正確答案】(1)或；(2)．【詳解】（1）由C：，則圓心，半徑，當(dāng)切線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，符合題意；當(dāng)切線l的斜率存在時(shí),則設(shè)切線l的方程為，即，所以，解得，此時(shí)切線l的方程為，即.綜上所述，切線l的方程為或.（2）設(shè)，，因?yàn)?，，G為三角形APQ的重心，所以，即，由A為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，得，則，整理得，即動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程為．17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）中，，即，滿足，故，平面，平面，故，又，平面，故平面；（2）如圖所示：以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

，，，，，，平面，故平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，，，則，取得到，平面與平面夾角的平面角為銳角，故余弦值為.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以．?）因?yàn)椋?，則．由（1）可知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．可知，設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量n1=則即令，解得，，故，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得令，解得，故，所以，即，整理，得，解得或（舍去）．故．19．【正確答案】(1)(2)(3)存在定點(diǎn)【詳解】（1）設(shè)圓方程為，因?yàn)閳A過，，三點(diǎn)，則，解得：,所以圓方程為.（2）圓方程化為一般方程為：，聯(lián)立圓