2023學(xué)年烏魯木齊市六校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試卷附答案解析

學(xué)年烏魯木齊市六校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試卷考試時(shí)間120分鐘，總分150分第I卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.直線的傾斜角為（）．A. B. C. D.2.空間四邊形中,點(diǎn)在上,且,中點(diǎn),則等于()A. B.C D.3.設(shè)、，向量，，且，，則（）A. B. C. D.4.在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（）A B. C. D.5.圓：與圓：的位置關(guān)系是（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切6.拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是（）A B.2 C. D.7.已知雙曲線C：，若雙曲線C的一條弦的中點(diǎn)為，則這條弦所在直線的斜率為（）A. B. C.1 D.8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與橢圓交于點(diǎn)M，，則橢圓的離心率為（）A B. C. D.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分，多選、錯(cuò)選得0分，不全得2分）9.已知，，，則（）A. B.C.若，則 D.若，則，10.下列直線中，與圓相切的有（）A. B. C. D.11.下列關(guān)于雙曲線的判斷，正確的是（）A.頂點(diǎn)坐標(biāo)為 B.焦點(diǎn)坐標(biāo)為C.實(shí)軸長為 D.漸近線方程為12.為了迎接二十大的召開，我國全體航空人以昂揚(yáng)的精神面貌?實(shí)際行動，踐行“航空報(bào)國?航空強(qiáng)國”的初心使命.2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的焦點(diǎn)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與y軸交于點(diǎn)G.若過原點(diǎn)O的直線與上半橢圓交于點(diǎn)A，與下半圓交于點(diǎn)B，則（）A.橢圓的長軸長為B.線段AB長度的取值范圍是C.的周長為D.不算橢圓在x軸上的端點(diǎn)，x軸上方橢圓上存在2個(gè)點(diǎn)A，使得第II卷（非選擇題）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.拋物線上與焦點(diǎn)的距離等于6的點(diǎn)的坐標(biāo)是_______________．14.求經(jīng)過且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為________________．15.已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)，且，則三角形的面積為______.16.已知四邊形為矩形，平面，設(shè)，則平面與平面夾角的余弦值為________.四、解答題17.已知點(diǎn)，直線.（1）求經(jīng)過點(diǎn)P且與直線l平行的直線的方程；（2）求經(jīng)過點(diǎn)P且與直線l垂直的直線的方程.18.已知圓的圓心坐標(biāo)為，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線：與圓交于、兩點(diǎn)，求線段的長度．19.在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求到面的距離．20.已知拋物線C的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為．（1）求拋物線C的方程；（2）過點(diǎn)F的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，求的面積．21.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，點(diǎn)Q是PC的中點(diǎn)．（1）求證：平面BDQ；（2）在線段AB上是否存在點(diǎn)F，使直線PF與平面PAD所成的角為30°？若存在，求出AF的長，若不存在，請說明理由？22.已知橢圓，長軸長為4，離心率是（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）斜率為且不過原點(diǎn)的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為E，射線OE交橢圓C于點(diǎn)G，交直線于點(diǎn)D.若證明：直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).2023學(xué)年烏魯木齊市六校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試卷考試時(shí)間120分鐘，總分150分第I卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.直線的傾斜角為（）．A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)直線方程可得直線的斜率，進(jìn)而即得.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，將化為，則，，∴．故選：．2.空間四邊形中,點(diǎn)在上,且,為中點(diǎn),則等于()A. B.C. D.【答案】B【分析】按照向量運(yùn)算律計(jì)算即可【詳解】因?yàn)?所以因?yàn)闉锽C中點(diǎn),所以所以故選：B3.設(shè)、，向量，，且，，則（）A. B. C. D.【答案】D【分析】利用空間向量垂直與共線的坐標(biāo)表示求出、的值，求出向量的坐標(biāo)，利用空間向量的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，解得，則，因?yàn)?，則，解得，即，所以，，因此，.故選：D.4.在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（）A. B. C. D.【答案】D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因?yàn)椤危曰蚱溲a(bǔ)角為直線與所成的角，因?yàn)槠矫妫?，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長為2，則，，所以.故選：D5.圓：與圓：的位置關(guān)系是（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切【答案】D【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法求得正確答案.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，圓圓心坐標(biāo)為，半徑，因?yàn)?，所以圓與圓內(nèi)切.故選：D6.拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是（）A. B.2 C. D.【答案】A【分析】寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和雙曲線的漸近線方程，由點(diǎn)到直線的距離計(jì)算．【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，雙曲線的漸近線方程是，所求距離為．故選：A．7.已知雙曲線C：，若雙曲線C的一條弦的中點(diǎn)為，則這條弦所在直線的斜率為（）A. B. C.1 D.【答案】D【分析】運(yùn)用點(diǎn)差法，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】設(shè)該弦為，設(shè)，則有，兩式相減，得，因?yàn)殡p曲線C的一條弦的中點(diǎn)為，所以，因此由，即這條弦所在直線的斜率為，方程為，代入雙曲線方程中，得，因?yàn)椋栽撓掖嬖?，故選：D8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與橢圓交于點(diǎn)M，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【分析】先根據(jù)題意畫出橢圓的圖像，再求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而利用得到離心率.【詳解】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M為第二象限的點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn).，于是，，.，又，，則由,得，即，于是.所以橢圓的離心率.故選:C.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分，多選、錯(cuò)選得0分，不全得2分）9.已知，，，則（）A. B.C.若，則 D.若，則，【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算即可；B選項(xiàng)，根據(jù)模的公式計(jì)算；CD選項(xiàng)，根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算.詳解】，所以，故A正確；，所以，故B錯(cuò)；因?yàn)椋?，解得，故C正確；因?yàn)椋?，即，解得，故D正確.故選：ACD.10.下列直線中，與圓相切的有（）A. B. C. D.【答案】BC【分析】根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系對選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.【詳解】圓的圓心為，半徑．對于選項(xiàng)A，圓心到直線的距離．所以直線與圓相交；對于選項(xiàng)B，圓心到直線的距離，所以直線與圓相切；對于選項(xiàng)C，圓心到直線的距離，所以直線與圓相切；對于選項(xiàng)D，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離．故選：BC.11.下列關(guān)于雙曲線的判斷，正確的是（）A.頂點(diǎn)坐標(biāo)為 B.焦點(diǎn)坐標(biāo)為C.實(shí)軸長為 D.漸近線方程為【答案】ACD【分析】確定、、的值，利用雙曲線的幾何性質(zhì)可判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】對于雙曲線，，，則，對于A選項(xiàng)，雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，A對；對于B選項(xiàng)，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，雙曲線的實(shí)軸長為，C對；對于D選項(xiàng)，雙曲線的漸近線方程為，即，D對.故選：ACD.12.為了迎接二十大的召開，我國全體航空人以昂揚(yáng)的精神面貌?實(shí)際行動，踐行“航空報(bào)國?航空強(qiáng)國”的初心使命.2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的焦點(diǎn)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與y軸交于點(diǎn)G.若過原點(diǎn)O的直線與上半橢圓交于點(diǎn)A，與下半圓交于點(diǎn)B，則（）A.橢圓的長軸長為B.線段AB長度的取值范圍是C.的周長為D.不算橢圓在x軸上的端點(diǎn)，x軸上方橢圓上存在2個(gè)點(diǎn)A，使得【答案】ABC【分析】根據(jù)給定條件，求出橢圓短半軸長、半焦距，求出長軸長判斷A；求出OA長范圍判斷B；利用橢圓定義求出焦點(diǎn)三角形周長判斷C；計(jì)算判斷D作答.【詳解】依題意，半橢圓所在橢圓的半焦距，短半軸長，得長半軸長，則長軸長，A正確；，因此，B正確；因點(diǎn)F，G是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則的周長，C正確；顯然，在中，，因此不可能為直角，除橢圓在x軸上的端點(diǎn)外，x軸上方橢圓上不存在點(diǎn)A，使，D不正確.故選：ABC第II卷（非選擇題）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.拋物線上與焦點(diǎn)的距離等于6的點(diǎn)的坐標(biāo)是_______________．【答案】或.【分析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義，得到，求得，代入拋物線方程，求得，即可求解.【詳解】設(shè)拋物線上與焦點(diǎn)的距離等于6的點(diǎn)為，即，由拋物線，可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線的定義，可得，即，解得，將代入拋物線方程，可得，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故答案為：或.14.求經(jīng)過且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為________________．【答案】或【分析】注意直線過原點(diǎn)的情況，直線不過原點(diǎn)時(shí)用截距式結(jié)合題意列方程即可求解【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，方程為，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，則有，解得，故直線方程為，即，綜上所述，所求直線方程為或．故答案為：或．15.已知，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)，且，則三角形的面積為______.【答案】4【分析】由橢圓定義以及勾股定理即可求得，即可求得三角形的面積為4.【詳解】根據(jù)橢圓定義可知，由勾股定理可得，所以可得，因此可得三角形的面積為.故答案為：416.已知四邊形為矩形，平面，設(shè)，則平面與平面夾角的余弦值為________.【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【詳解】由題意，兩兩垂直，分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，.設(shè)平面、平面的法向量分別為，則有和取，可得，則.即平面與平面的夾角的余弦值為.故答案為：四、解答題17.已知點(diǎn)，直線.（1）求經(jīng)過點(diǎn)P且與直線l平行的直線的方程；（2）求經(jīng)過點(diǎn)P且與直線l垂直的直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出所求平行直線的方程，利用點(diǎn)坐標(biāo)求得正確答案.（2）利用點(diǎn)斜式求得所求直線的方程.【小問1詳解】設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P且與直線l平行的直線的方程為，將代入得，所以所求直線方程為小問2詳解】直線的斜率為，與直線垂直的直線的斜率為，所以經(jīng)過點(diǎn)P且與直線l垂直的直線的方程為，即.18.已知圓的圓心坐標(biāo)為，且經(jīng)過點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線：與圓交于、兩點(diǎn)，求線段的長度．【答案】（1）（2）【分析】（1）求出圓D的半徑，即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用圓的弦長公式即可得出答案.【小問1詳解】由題意可得：圓D的半徑，所以圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】由（1）可知圓心，半徑，則圓心到直線l：的距離，所以.19.在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求到面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面垂直時(shí)，直線的方向向量與平面的法向量共線證明即可；（2）利用空間向量，根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式求解即可.【小問1詳解】以為原點(diǎn)，直線，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，，所以，又因?yàn)?，所以，所以平?【小問2詳解】由（1）知平面的法向量為，又因?yàn)?，所以到面的距離為．20.已知拋物線C頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為．（1）求拋物線C的方程；（2）過點(diǎn)F的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)求出拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用弦長公式求出，即可求出的面積．小問1詳解】拋物線C的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】由消去y得，設(shè)，則，，所以，點(diǎn)到直線的距離，所以的面積21.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，點(diǎn)Q是PC的中點(diǎn)．（1）求證：平面BDQ；（2）在線段AB上是否存在點(diǎn)F，使直線PF與平面PAD所成的角為30°？若存在，求出AF的長，若不存在，請說明理由？【答案】（1）證明見解析（2）當(dāng)時(shí)存在,；當(dāng)時(shí)不存在.【解析】【分析】（1）連接AC，