高等數(shù)學(xué)課件同濟(jì)版泰勒公式

泰勒公式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，表示函數(shù)在該點(diǎn)處的變化率。導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)是函數(shù)圖像在該點(diǎn)處的切線的斜率。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算可以通過(guò)求極限來(lái)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，也可以使用導(dǎo)數(shù)公式。泰勒公式的定義1定義設(shè)f(x)在x=a的某個(gè)鄰域內(nèi)具有n階導(dǎo)數(shù)，則稱2展開(kāi)式為f(x)在x=a處的泰勒公式。3余項(xiàng)Rn(x)稱為泰勒公式的余項(xiàng)。泰勒展開(kāi)式1公式將函數(shù)展開(kāi)成無(wú)窮級(jí)數(shù)形式2意義用多項(xiàng)式逼近函數(shù)3應(yīng)用計(jì)算積分、求解微分方程泰勒公式的幾何意義泰勒公式可以用多項(xiàng)式來(lái)近似地表示一個(gè)函數(shù)。從幾何意義上來(lái)說(shuō)，泰勒公式就是用一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)逼近一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的局部行為，這個(gè)多項(xiàng)式的階數(shù)越高，對(duì)函數(shù)的逼近就越精確。泰勒公式的幾何意義可以用圖形來(lái)直觀地表示，例如，在某一點(diǎn)處，泰勒公式的二階展開(kāi)式對(duì)應(yīng)著函數(shù)在該點(diǎn)的切線，而泰勒公式的更高階展開(kāi)式則對(duì)應(yīng)著函數(shù)在該點(diǎn)的更高階的曲線。泰勒公式的性質(zhì)泰勒公式在滿足一定條件下是唯一的。泰勒公式可以用來(lái)逼近函數(shù)。泰勒公式的收斂性取決于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。泰勒公式的應(yīng)用1函數(shù)逼近泰勒公式可以用多項(xiàng)式來(lái)近似地表示一個(gè)函數(shù)，從而簡(jiǎn)化函數(shù)的運(yùn)算和分析。2求解微分方程泰勒公式可以用來(lái)近似地求解一些微分方程的解，例如，可以用來(lái)求解常微分方程的數(shù)值解。3函數(shù)的積分泰勒公式可以用來(lái)近似地計(jì)算函數(shù)的積分，從而得到函數(shù)的數(shù)值積分。4數(shù)值計(jì)算泰勒公式可以用來(lái)近似地計(jì)算一些函數(shù)的值，例如，可以用來(lái)計(jì)算三角函數(shù)的值。冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)是無(wú)限項(xiàng)級(jí)數(shù)的一種特殊形式，其通項(xiàng)為xn的形式，其中n是自然數(shù)，x是一個(gè)變量。冪級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。1定義形如a0+a1x+a2x2+...+anxn+...的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)。2收斂域?qū)τ诿總€(gè)冪級(jí)數(shù)，都存在一個(gè)收斂域，在這個(gè)域內(nèi)級(jí)數(shù)收斂。3性質(zhì)冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)具有許多性質(zhì)，例如可微性、可積性、可加性、可乘性等。冪級(jí)數(shù)的概念定義形如∑n=0∞an(x-x0)n的無(wú)窮級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)，其中an為常數(shù)，稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)，x0為常數(shù)，稱為冪級(jí)數(shù)的中心。舉例例如，∑n=0∞xn=1+x+x2+...是一個(gè)以x0=0為中心的冪級(jí)數(shù)，其系數(shù)為an=1。冪級(jí)數(shù)的收斂性1收斂半徑確定冪級(jí)數(shù)收斂的范圍2收斂區(qū)間收斂半徑確定的區(qū)間內(nèi)，冪級(jí)數(shù)收斂3收斂域包含收斂區(qū)間和端點(diǎn)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)收斂域每個(gè)冪級(jí)數(shù)都有一個(gè)收斂域，在這個(gè)域內(nèi)級(jí)數(shù)收斂，域外則發(fā)散。連續(xù)性在收斂域內(nèi)，冪級(jí)數(shù)表示的函數(shù)是連續(xù)函數(shù)?？晌⑿栽谑諗坑騼?nèi)，冪級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，所得的級(jí)數(shù)仍是收斂的，且其和函數(shù)為原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)?？煞e性在收斂域內(nèi)，冪級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)積分，所得的級(jí)數(shù)仍是收斂的，且其和函數(shù)為原函數(shù)的積分。指數(shù)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式公式ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+o(xn)性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式收斂于任何實(shí)數(shù)x應(yīng)用可以用來(lái)近似計(jì)算指數(shù)函數(shù)的值，也可以用來(lái)求解一些微分方程三角函數(shù)的泰勒展開(kāi)式1正弦函數(shù)sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...2余弦函數(shù)cos(x)=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+...3正切函數(shù)tan(x)=x+x^3/3+2x^5/15+17x^7/315+...對(duì)數(shù)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式1ln(1+x)x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...2ln(1-x)-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4-...3ln(x)ln(a)+(x-a)/a-(x-a)^2/(2a^2)+(x-a)^3/(3a^3)-...雙曲函數(shù)的泰勒展開(kāi)式雙曲正弦sinh(x)=x+x3/3!+x5/5!+...雙曲余弦cosh(x)=1+x2/2!+x4/4!+...雙曲正切tanh(x)=x-x3/3+2x5/15-...雙曲余切coth(x)=1/x+x/3-x3/45+...雙曲正割sech(x)=1-x2/2+5x4/24-...雙曲余割csch(x)=1/x-x/6+7x3/360-...示例1:用泰勒公式計(jì)算1步驟一確定函數(shù)和展開(kāi)點(diǎn)。2步驟二求出函數(shù)在展開(kāi)點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)。3步驟三將導(dǎo)數(shù)的值代入泰勒公式，得到展開(kāi)式。4步驟四根據(jù)需要，截取展開(kāi)式的前幾項(xiàng)作為近似值。示例2:用泰勒公式計(jì)算1計(jì)算e的近似值利用泰勒公式計(jì)算e的近似值2泰勒公式展開(kāi)將e的泰勒展開(kāi)式展開(kāi)到n階3誤差估計(jì)利用拉格朗日余項(xiàng)估計(jì)誤差示例3:用泰勒公式計(jì)算1計(jì)算sin(0.1)使用泰勒公式展開(kāi)sin(x)至三階項(xiàng)2展開(kāi)結(jié)果sin(0.1)≈0.1-(0.1)^3/63計(jì)算近似值sin(0.1)≈0.09983示例4:用泰勒公式計(jì)算泰勒展開(kāi)式根據(jù)泰勒公式，我們可以將sinx展開(kāi)成一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)。求導(dǎo)對(duì)sinx進(jìn)行求導(dǎo)，可以得到cosx，再繼續(xù)求導(dǎo)，可以得到-sinx，再繼續(xù)求導(dǎo)，可以得到-cosx，最后回到sinx，形成一個(gè)循環(huán)。代入將x=0代入上述求導(dǎo)結(jié)果，可以得到sinx在x=0處的泰勒展開(kāi)式，即sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...計(jì)算利用上述泰勒展開(kāi)式，我們可以計(jì)算sinx在x=0.1處的近似值，即sin(0.1)=0.1-0.1^3/3!+0.1^5/5!-0.1^7/7!+...≈0.099833。示例5:用泰勒公式計(jì)算1計(jì)算使用泰勒公式計(jì)算函數(shù)在某點(diǎn)處的近似值，如計(jì)算sin(0.1)的近似值。2誤差估計(jì)計(jì)算泰勒公式的余項(xiàng)，以評(píng)估近似值的精度。3分析結(jié)果分析計(jì)算結(jié)果，并比較與實(shí)際值的誤差。泰勒公式的誤差估計(jì)泰勒公式的誤差估計(jì)拉格朗日余項(xiàng)公式誤差的度量余項(xiàng)公式誤差大小與階數(shù)的關(guān)系階數(shù)越高，誤差越小誤差與區(qū)間長(zhǎng)度的關(guān)系區(qū)間長(zhǎng)度越長(zhǎng)，誤差越大泰勒公式的應(yīng)用舉例1近似計(jì)算泰勒公式可以用來(lái)近似計(jì)算函數(shù)值，尤其當(dāng)函數(shù)的精確值難以計(jì)算時(shí)。2求解方程泰勒公式可以用來(lái)近似求解某些類型的方程，例如超越方程。3函數(shù)逼近泰勒公式可以用來(lái)用多項(xiàng)式函數(shù)逼近一個(gè)給定的函數(shù)，從而簡(jiǎn)化計(jì)算或分析。一維泰勒公式1一元函數(shù)一個(gè)變量的函數(shù)2多項(xiàng)式用泰勒公式展開(kāi)3近似用多項(xiàng)式近似函數(shù)一維泰勒公式用于近似表示一元函數(shù)，將函數(shù)用多項(xiàng)式來(lái)表示，以方便計(jì)算和分析。多元泰勒公式1多元函數(shù)展開(kāi)將多元函數(shù)展開(kāi)成多項(xiàng)式形式2高階偏導(dǎo)數(shù)利用多元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)3誤差估計(jì)估算展開(kāi)式與原函數(shù)之間的誤差多元泰勒公式將多元函數(shù)在某一點(diǎn)附近展開(kāi)成一個(gè)多項(xiàng)式，該多項(xiàng)式由函數(shù)在該點(diǎn)的值和高階偏導(dǎo)數(shù)決定。它類似于一元泰勒公式，但需要考慮多個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)，并引入多項(xiàng)式中的混合偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。多元泰勒公式在多元函數(shù)的逼近、優(yōu)化、數(shù)值積分等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。多元函數(shù)的泰勒展開(kāi)式1二階展開(kāi)式f(x+h,y+k)=f(x,y)+?f/?x*h+?f/?y*k+1/2*(?2f/?x2*h2+2*?2f/?x?y*h*k+?2f/?y2*k2)+R?(x,y,h,k)2三階展開(kāi)式f(x+h,y+k)=f(x,y)+?f/?x*h+?f/?y*k+1/2!*(?2f/?x2*h2+2*?2f/?x?y*h*k+?2f/?y2*k2)+1/3!*(?3f/?x3*h3+3*?3f/?x2?y*h2*k+3*?3f/?x?y2*h*k2+?3f/?y3*k3)+R?(x,y,h,k)3n階展開(kāi)式f(x+h,y+k)=f(x,y)+∑(i=1ton)(1/i!)*∑(j=0toi)(iCj*??f/?x^(i-j)?y^j*h^(i-j)*k^j)+Rn(x,y,h,k)多元函數(shù)泰勒公式的應(yīng)用優(yōu)化問(wèn)題可以用來(lái)尋找函數(shù)的極值點(diǎn)，例如求解非線性規(guī)劃問(wèn)題。近似計(jì)算可以用來(lái)近似計(jì)算復(fù)雜函數(shù)的值，例如計(jì)算積分或求解微分方程。誤差分析可以用來(lái)分析函數(shù)近似的誤差，例如估計(jì)數(shù)值計(jì)算的精度?？偨Y(jié)及思考題泰勒公式的應(yīng)用泰勒公式在數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，例如近似計(jì)算函數(shù)值、求解微分方程、分析函數(shù)的性質(zhì)等。泰勒公式的局限性泰勒公式的應(yīng)用也有一些局限性，例如當(dāng)函數(shù)在展開(kāi)點(diǎn)附近不光滑時(shí)，泰勒展開(kāi)式可能不收斂或收斂速度很慢