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試題PAGE1試題深圳市南山外國語學校(集團)高級中學2023-2024學年第一學期期中考試高一數(shù)學科試卷一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.已知集合,,則()A. B. C. D.2.下列函數(shù)既是奇函數(shù),又是增函數(shù)的是()A. B. C. D.3.已知,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知,則()A. B. C. D.5.已知函數(shù)的定義域為,則的值域為()A. B. C. D.6.已知正數(shù)滿足,則的最小值為()A. B. C. D.7.已知函數(shù)有最大值,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.8.已知函數(shù),且,則實數(shù)取值范圍是()A. B. C. D.二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,錯選或不選得0分)9.若,則下列結論正確的有()A. B. C. D.10.已知函數(shù),下列說法正確的有()A. B.不等式解集為C.的單調增區(qū)間為 D.當時,方程有三個不等根11.已知是定義在上的奇函數(shù),圖象關于對稱,且當時,單調遞減,則下列說法正確的有()A. B.C.在區(qū)間上單調遞減 D.12.指數(shù)與對數(shù)的研究常常結合進行,例如:已知,則可得到,因此;仿照上述步驟,結合,等指數(shù)不等式,可以得到()A. B. C. D.三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知,且,則的最大值為________________14.函數(shù)的單調遞減區(qū)間為________________15.已知是定義在上的偶函數(shù),且在區(qū)間上單調遞增,則不等式的解集為________________16.已知函數(shù),若對,都有,則的取值范圍為________________四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.已知集合,(1)當時,求;(2)若,求的取值范圍.18.已知(1)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍;(2)求不等式的解集19.某公司經過調研知:某產品年產量最大為件,生產該產品年固定成本為萬元,年產量為件時另需投入可變成本(單位:萬元),若,每件產品的售價為1萬元,且生產的產品能夠全部銷售完(1)寫出年利潤(單位:萬元)關于年產量函數(shù)解析式;(2)當該產品年產量為多少時,公司所獲利潤最大?最大利潤是多少?20.已知函數(shù)(1)若,求在區(qū)間上的值域;(2)若,使得,求實數(shù)的取值范圍21.已知函數(shù)是奇函數(shù)(1)求的值;(2)利用定義判斷的單調性;(3)若,解不等式:22已知(1)討論的奇偶性;(2)若在上的最大值為,求的值深圳市南山外國語學校(集團)高級中學2023-2024學年第一學期期中考試高一數(shù)學科試卷一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.已知集合,,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的交運算即可求解.【詳解】由得,所以,故選:C2.下列函數(shù)既是奇函數(shù),又是增函數(shù)的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的奇偶性以及單調性,即可根據(jù)選項逐一求解.【詳解】對于A,由指數(shù)函數(shù)的性質可知為非奇非偶函數(shù),故A錯誤,對于B,由反比例函數(shù)的性質可知在和均為單調遞減函數(shù),故B錯誤,對于C,的定義域為,由于所以為偶函數(shù),故C錯誤,對于D,的定義域為,且,故為奇函數(shù),又為上的單調遞增函數(shù),故D正確,故選:D3.已知,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】結合,從充分性和必要性兩方面考慮即可.【詳解】由函數(shù),其在單調遞減,單調遞增,則當時,能推出;當時,只能推出,不能推出,故“”是“”的充分不必要條件.故選:A4.已知,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用冪函數(shù)是上的增函數(shù)可判斷,的大??;指數(shù)函數(shù)是R上的減函數(shù)可判斷,的大??;得解.【詳解】是上的增函數(shù),,即;又是R上的減函數(shù),,即;故選:A.5.已知函數(shù)的定義域為,則的值域為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意,轉化為不等式的解集為,結合根與系數(shù)的關系,求得的值,再結合二次函數(shù)的性質,即可求解.【詳解】由函數(shù)的定義域為,即不等式的解集為,所以和是方程兩個根,可得且,解得,所以,因為,所以函數(shù)的值域為.故選:D.6.已知正數(shù)滿足,則的最小值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意,結合,即可求解.【詳解】由且,可得,則,當且僅當時,即時,等號成立,所以的最小值為.故選:B.7.已知函數(shù)有最大值,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的性質即可求解.【詳解】當時,函數(shù),若函數(shù)當時,,當時,,此時函數(shù)的最大值為4,符合要求,當時,在上單調遞減,故,若有最大值,則,則,綜上可知,故選:A8.已知函數(shù),且,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域,計算,進而判斷函數(shù)的單調性,利用函數(shù)的單調性進行轉化求解即可.【詳解】由得,得,即函數(shù)的定義域為,,則,,由于函數(shù)均為單調遞減函數(shù),所以為的單調遞減函數(shù)即函數(shù)在上為減函數(shù),由得得,解得,故選:B二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,錯選或不選得0分)9.若,則下列結論正確的有()A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對于AC,利用不等式的性質分析判斷,對于B,舉例判斷,對于D,利用指數(shù)函數(shù)的單調性判斷.【詳解】對于A,因為,所以,所以,即,所以A正確,對于B,若,則滿足,此時,所以B錯誤,對于C,因為,所以,所以,即,所以C正確,對于D,因為在上遞增,且,所以,所以D正確,故選:ACD10.已知函數(shù),下列說法正確有()A. B.不等式的解集為C.的單調增區(qū)間為 D.當時,方程有三個不等根【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)表達式,作出函數(shù)圖象,即可結合圖象,逐一求解.【詳解】作出的圖象如下:對于A,,A正確,對于B,令,解得或或,結合函數(shù)圖象可知:的解集為,B正確,對于C,的單調減區(qū)間為,故C錯誤,對于D,,故當方程有三個不等根時,,D正確,故選:ABD11.已知是定義在上的奇函數(shù),圖象關于對稱,且當時,單調遞減,則下列說法正確的有()A. B.C.在區(qū)間上單調遞減 D.【答案】AB【解析】【分析】由奇函數(shù)及,取,即可判斷A,結合奇函數(shù)即可判斷B,結合周期和對稱性可判斷出單調區(qū)間,即可判斷CD.【詳解】由知是定義在上的奇函數(shù),則,且,又圖象關于對稱,則,令,則,A正確;由,得,則,B正確為奇函數(shù),時,單調遞減,則其在單調遞減,又圖象關于對稱,則在區(qū)間上的單調性與在區(qū)間的單調性相反,即在區(qū)間上單調遞增,C錯誤;則,則,則周期為4,則在的單調性與在的單調性相同,即在的單調遞減,則,,則,D錯誤.故選:AB12.指數(shù)與對數(shù)的研究常常結合進行,例如:已知,則可得到,因此;仿照上述步驟,結合,等指數(shù)不等式,可以得到()A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的互化,即可根據(jù)指數(shù)不等式求解.【詳解】由得,由得,因此,故B正確,由得,由得,所以,故D正確,故選:BD三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知,且,則的最大值為________________【答案】##【解析】【分析】根據(jù)已知條件結合基本不等式求解即可.【詳解】因為,,所以,當且僅當,即時取等號,所以,即,當且僅當,即時取等號,所以的最大值為,故答案為:14.函數(shù)的單調遞減區(qū)間為________________【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)復合函數(shù)的單調性,結合二次函數(shù)的性質即可求解.【詳解】的定義域為,且是由函數(shù)和符合而成,由于函數(shù)在遞增,而在定義域內為單調遞減,故的單調遞減區(qū)間為,故答案為:15.已知是定義在上的偶函數(shù),且在區(qū)間上單調遞增,則不等式的解集為________________【答案】【解析】【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)可將原不等化為,再根據(jù)函數(shù)在上單調遞增,可得,從而可求得結果.【詳解】因為是定義在上的偶函數(shù),所以可化為,因為在上單調遞增,所以,所以,即,解得,所以原不等式的解集為,故答案為:.16.已知函數(shù),若對,都有,則的取值范圍為________________【答案】【解析】【分析】由題意將問題轉化為在上,再分和兩種情況,結合對數(shù)函數(shù)的單調性,可求出的取值范圍.【詳解】當時,在上遞增,因為對,都有,所以,所以,所以,解得;當時,在上遞減,因為對,都有,所以,所以,所以,解得;綜上,或,即的取值范圍為,故答案為:.四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.已知集合,(1)當時,求;(2)若,求的取值范圍.【答案】17.18【解析】【分析】(1)根據(jù),分別求出集合的解集,然后利用集合補集即可求解;(2)根據(jù)分情況討論集合,從而求解.【小問1詳解】當時,,所以:.【小問2詳解】因為,所以有:,兩種情況,若時,即:,得:.若時,即:,解得:.綜上所述:的取值范圍為:.18.已知(1)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍;(2)求不等式的解集【答案】(1)(2)當時,不等式的解為,當時,不等式的解為,當時,不等式的解為【解析】【分析】(1)根據(jù)一元二次不等式恒成立,即可由判別式求解,(2)分解因式,結合分類討論,即可由一元二次不等式解的特征求解.【小問1詳解】恒成立,則對恒成立,故,化簡得,解得,故實數(shù)的取值范圍【小問2詳解】,即,當時,不等式的解為,當時,不等式的解為,當時,不等式的解為19.某公司經過調研知:某產品年產量最大為件,生產該產品年固定成本為萬元,年產量為件時另需投入可變成本(單位:萬元),若,每件產品的售價為1萬元,且生產的產品能夠全部銷售完(1)寫出年利潤(單位:萬元)關于年產量的函數(shù)解析式;(2)當該產品的年產量為多少時,公司所獲利潤最大?最大利潤是多少?【答案】(1)(2)年產量為800件時,該公司所獲利潤最大,最大利潤為86萬元.【解析】【分析】(1)根據(jù)條件即可建立年利潤關于年產量(件)函數(shù)解析式;(2)根據(jù)函數(shù)的表達式,利用二次函數(shù)的性質及基本不等式即可求出最大值.【小問1詳解】由題意可得,所以.【小問2詳解】當,時,.當時,取得最大值.當,時,.當,即時,取得最大值.綜上,當時,取得最大值86,即年產量為800件時,該公司所獲利潤最大,最大利潤為86萬元.20.已知函數(shù)(1)若,求在區(qū)間上的值域;(2)若,使得,求實數(shù)的取值范圍【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)應用換元法,結合二次函數(shù)的最值即可求解;(2)應用換元法,即二次函數(shù)在有圖像在軸下方,即可求解.【小問1詳解】當時,,令,,則,開口向上,對稱軸為,離對稱軸較遠,則,,即在區(qū)間上的值域為【小問2詳解】函數(shù),令,則開口向上,對稱軸為,若,使得,又,即,使得,當時,則需,即,當時,需,解得則實數(shù)的取值范圍.21.已知函數(shù)是奇函數(shù)(1)求的值;(2)利用定義判斷的單調性;(3)若,解不等式:【答案】(1)(2)答案見解析(3)【解析】【分析】(1)由奇函數(shù)得解得,再驗證定義域是否關于原點對稱即可;(2)利用定義作差變形,結合對數(shù)函數(shù)的單調性利用作差比較法判斷的符號;(3)設,不等式變形為,再利用單調性求解.【小問1詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù),則,所以,則有,解得,當時,,由于定義域為,不關于原點對稱,故舍去;當時,,由,解得,或,定義域為,關于原點對稱,滿足題意.綜上,若函數(shù)是奇函數(shù),則.【小問2詳解】,.任取,且,則因為,所以,又,,,則,即,故在區(qū)間上單調遞增.由是奇函數(shù),則在區(qū)間上也單調遞增.所以在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上也單調遞增.【小問3詳解】設,且,則不等式,當時,函數(shù)單調遞增,函數(shù)也單調遞增,則在區(qū)間單調遞增,所以有,解得,故原不等式的解集為22.已知(1)討論的奇偶性;(2)若在上的最大值為,求的值【答案】(1)當時,為奇函數(shù);當時,既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)3或4【解析】【分

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