2023-2024學(xué)年廣東省深圳市南山外國語學(xué)校高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題深圳市南山外國語學(xué)校（集團(tuán)）高級中學(xué)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)科試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知，則（）A. B. C. D.5.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.6.已知正數(shù)滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，錯(cuò)選或不選得0分）9.若，則下列結(jié)論正確的有（）A. B. C. D.10.已知函數(shù)，下列說法正確的有（）A. B.不等式解集為C.的單調(diào)增區(qū)間為 D.當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)不等根11.已知是定義在上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于對稱，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則下列說法正確的有（）A. B.C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.12.指數(shù)與對數(shù)的研究常常結(jié)合進(jìn)行，例如：已知，則可得到，因此；仿照上述步驟，結(jié)合，等指數(shù)不等式，可以得到（）A. B. C. D.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，且，則的最大值為________________14.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為________________15.已知是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則不等式的解集為________________16.已知函數(shù)，若對，都有，則的取值范圍為________________四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知集合，（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求的取值范圍.18.已知（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求不等式的解集19.某公司經(jīng)過調(diào)研知：某產(chǎn)品年產(chǎn)量最大為件，生產(chǎn)該產(chǎn)品年固定成本為萬元，年產(chǎn)量為件時(shí)另需投入可變成本（單位：萬元），若，每件產(chǎn)品的售價(jià)為1萬元，且生產(chǎn)的產(chǎn)品能夠全部銷售完（1）寫出年利潤（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量函數(shù)解析式；（2）當(dāng)該產(chǎn)品年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？20.已知函數(shù)（1）若，求在區(qū)間上的值域；（2）若，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍21.已知函數(shù)是奇函數(shù)（1）求的值；（2）利用定義判斷的單調(diào)性；（3）若，解不等式：22已知（1）討論的奇偶性；（2）若在上的最大值為，求的值深圳市南山外國語學(xué)校（集團(tuán)）高級中學(xué)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)科試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的交運(yùn)算即可求解.【詳解】由得，所以，故選：C2.下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，即可根據(jù)選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對于A,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤，對于B，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知在和均為單調(diào)遞減函數(shù)，故B錯(cuò)誤，對于C，的定義域?yàn)?，由于所以為偶函?shù)，故C錯(cuò)誤，對于D，的定義域?yàn)?，且，故為奇函?shù)，又為上的單調(diào)遞增函數(shù)，故D正確，故選：D3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】結(jié)合，從充分性和必要性兩方面考慮即可.【詳解】由函數(shù)，其在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，能推出；當(dāng)時(shí)，只能推出，不能推出，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用冪函數(shù)是上的增函數(shù)可判斷，的大小；指數(shù)函數(shù)是R上的減函數(shù)可判斷，的大?。坏媒?【詳解】是上的增函數(shù)，，即；又是R上的減函數(shù)，，即；故選：A.5.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為不等式的解集為，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求得的值，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)椋床坏仁降慕饧癁?，所以和是方程兩個(gè)根，可得且，解得，所以，因?yàn)椋院瘮?shù)的值域?yàn)?故選：D.6.已知正數(shù)滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合，即可求解.【詳解】由且，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為.故選：B.7.已知函數(shù)有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)，若函數(shù)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的最大值為4，符合要求，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故，若有最大值，則，則，綜上可知，故選：A8.已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，計(jì)算，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】由得，得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，，則,,由于函數(shù)均為單調(diào)遞減函數(shù)，所以為的單調(diào)遞減函數(shù)即函數(shù)在上為減函數(shù)，由得得，解得，故選：B二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，錯(cuò)選或不選得0分）9.若，則下列結(jié)論正確的有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對于AC，利用不等式的性質(zhì)分析判斷，對于B，舉例判斷，對于D，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】對于A，因?yàn)椋?，所以，即，所以A正確，對于B，若，則滿足，此時(shí)，所以B錯(cuò)誤，對于C，因?yàn)?，所以，所以，即，所以C正確，對于D，因?yàn)樵谏线f增，且，所以，所以D正確，故選：ACD10.已知函數(shù)，下列說法正確有（）A. B.不等式的解集為C.的單調(diào)增區(qū)間為 D.當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)不等根【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)表達(dá)式，作出函數(shù)圖象，即可結(jié)合圖象，逐一求解.【詳解】作出的圖象如下：對于A，，A正確，對于B，令，解得或或，結(jié)合函數(shù)圖象可知：的解集為，B正確，對于C，的單調(diào)減區(qū)間為，故C錯(cuò)誤，對于D，，故當(dāng)方程有三個(gè)不等根時(shí)，，D正確，故選：ABD11.已知是定義在上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于對稱，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則下列說法正確的有（）A. B.C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.【答案】AB【解析】【分析】由奇函數(shù)及，取，即可判斷A，結(jié)合奇函數(shù)即可判斷B，結(jié)合周期和對稱性可判斷出單調(diào)區(qū)間，即可判斷CD.【詳解】由知是定義在上的奇函數(shù)，則，且，又圖象關(guān)于對稱，則，令，則，A正確；由，得，則，B正確為奇函數(shù)，時(shí)，單調(diào)遞減，則其在單調(diào)遞減，又圖象關(guān)于對稱，則在區(qū)間上的單調(diào)性與在區(qū)間的單調(diào)性相反，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；則，則，則周期為4，則在的單調(diào)性與在的單調(diào)性相同，即在的單調(diào)遞減，則，，則，D錯(cuò)誤.故選：AB12.指數(shù)與對數(shù)的研究常常結(jié)合進(jìn)行，例如：已知，則可得到，因此；仿照上述步驟，結(jié)合，等指數(shù)不等式，可以得到（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的互化，即可根據(jù)指數(shù)不等式求解.【詳解】由得，由得，因此，故B正確，由得，由得，所以，故D正確，故選：BD三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，且，則的最大值為________________【答案】##【解析】【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以的最大值為，故答案為：14.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為________________【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】的定義域?yàn)?且是由函數(shù)和符合而成，由于函數(shù)在遞增，而在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，故答案為：15.已知是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則不等式的解集為________________【答案】【解析】【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)可將原不等化為，再根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，從而可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以可化為，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，即，解得，所以原不等式的解集為，故答案為：.16.已知函數(shù)，若對，都有，則的取值范圍為________________【答案】【解析】【分析】由題意將問題轉(zhuǎn)化為在上，再分和兩種情況，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可求出的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上遞增，因?yàn)閷Γ加?，所以，所以，所以，解得；?dāng)時(shí)，在上遞減，因?yàn)閷Γ加?，所以，所以，所以，解得；綜上，或，即的取值范圍為，故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知集合，（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求的取值范圍.【答案】17.18【解析】【分析】（1）根據(jù)，分別求出集合的解集，然后利用集合補(bǔ)集即可求解；（2）根據(jù)分情況討論集合，從而求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以：.【小問2詳解】因?yàn)?，所以有：，兩種情況，若時(shí)，即：，得：.若時(shí)，即：，解得：.綜上所述：的取值范圍為：.18.已知（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求不等式的解集【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，不等式的解為，當(dāng)時(shí)，不等式的解為，當(dāng)時(shí)，不等式的解為【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式恒成立，即可由判別式求解，（2）分解因式，結(jié)合分類討論，即可由一元二次不等式解的特征求解.【小問1詳解】恒成立，則對恒成立，故，化簡得，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍【小問2詳解】，即，當(dāng)時(shí)，不等式的解為，當(dāng)時(shí)，不等式的解為，當(dāng)時(shí)，不等式的解為19.某公司經(jīng)過調(diào)研知：某產(chǎn)品年產(chǎn)量最大為件，生產(chǎn)該產(chǎn)品年固定成本為萬元，年產(chǎn)量為件時(shí)另需投入可變成本（單位：萬元），若，每件產(chǎn)品的售價(jià)為1萬元，且生產(chǎn)的產(chǎn)品能夠全部銷售完（1）寫出年利潤（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）（2）年產(chǎn)量為800件時(shí)，該公司所獲利潤最大,最大利潤為86萬元.【解析】【分析】（1）根據(jù)條件即可建立年利潤關(guān)于年產(chǎn)量（件）函數(shù)解析式；（2）根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式即可求出最大值．【小問1詳解】由題意可得，所以．【小問2詳解】當(dāng)，時(shí)，．當(dāng)時(shí)，取得最大值．當(dāng)，時(shí)，．當(dāng)，即時(shí)，取得最大值．綜上，當(dāng)時(shí)，取得最大值86，即年產(chǎn)量為800件時(shí)，該公司所獲利潤最大,最大利潤為86萬元．20.已知函數(shù)（1）若，求在區(qū)間上的值域；（2）若，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）應(yīng)用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的最值即可求解；（2）應(yīng)用換元法，即二次函數(shù)在有圖像在軸下方，即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，令，，則，開口向上，對稱軸為，離對稱軸較遠(yuǎn)，則，，即在區(qū)間上的值域?yàn)椤拘?詳解】函數(shù)，令，則開口向上，對稱軸為，若，使得，又，即，使得，當(dāng)時(shí)，則需,即，當(dāng)時(shí)，需，解得則實(shí)數(shù)的取值范圍.21.已知函數(shù)是奇函數(shù)（1）求的值；（2）利用定義判斷的單調(diào)性；（3）若，解不等式：【答案】（1）（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)得解得，再驗(yàn)證定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱即可；（2）利用定義作差變形，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性利用作差比較法判斷的符號；（3）設(shè)，不等式變形為，再利用單調(diào)性求解.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，則，所以，則有，解得，當(dāng)時(shí)，，由于定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故舍去；當(dāng)時(shí)，，由，解得，或，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，滿足題意.綜上，若函數(shù)是奇函數(shù)，則.【小問2詳解】，.任取，且，則因?yàn)?，所以，又，，，則，即，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.由是奇函數(shù)，則在區(qū)間上也單調(diào)遞增.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上也單調(diào)遞增.【小問3詳解】設(shè)，且，則不等式，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)也單調(diào)遞增，則在區(qū)間單調(diào)遞增，所以有，解得,故原不等式的解集為22.已知（1）討論的奇偶性；（2）若在上的最大值為，求的值【答案】（1）當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)（2）3或4【解析】【分