2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.3.3平面向量加減運(yùn)算的坐標(biāo)表示6.3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示習(xí)題含解析新人教A版必修第二冊

.3.3平面對量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示6.3.4平面對量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.(多選題)下列各對向量中,不共線的是()A.a=(2,3),b=(3,-2)B.a=(2,3),b=(4,-6)C.a=(,-1),b=(1,)D.a=(1,),b=(,2)解析A,B,C中各對向量均不滿意共線向量定理,D中b=a,兩個(gè)向量共線.答案ABC2.(2024浙江高一期中)已知向量a,b滿意a=(1,2),b=(2,0),則2a+b=()A.(4,4) B.(2,4)C.(2,2) D.(3,2)解析由題得2a+b=(2,4)+(2,0)=(4,4).答案A3.已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,則c等于()A.(-2,6) B.(-4,0) C.(7,6) D.(-2,0)解析∵a-3b+2c=0,∴(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),即即c=(-2,0).故選D.答案D4.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b與非零向量ma+nb共線,則等于()A.-2 B.2 C.- D.解析因?yàn)橄蛄縜=(2,3),b=(-1,2),所以a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),ma+nb=(2m-n,3m+2n).因?yàn)閍-2b與非零向量ma+nb共線,所以,解得14m=-7n,=-.答案C5.已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A. B.C.(3,2) D.(1,3)解析設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)?(4,3),=(x,y-2),且=2,所以所以所以選A.答案A6.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),則λ=.

解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=.答案7.已知平面對量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,則3a+2b=.

解析因?yàn)橄蛄縜=(2,1),b=(m,2),且a∥b,所以1·m-2×2=0,解得m=4.所以b=(4,2).故3a+2b=(6,3)+(8,4)=(14,7).答案(14,7)8.已知=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),若點(diǎn)A,B,C在同一條直線上,且m=2n,則m+n=.

解析=(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),=(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2).因?yàn)锳,B,C共線,所以共線,所以-2(n+2)=(1-m)(5-n).①又m=2n,②解①②組成的方程組得所以m+n=9或m+n=.答案9或9.已知點(diǎn)A(-1,2),B(2,8),及=-,求點(diǎn)C,D和的坐標(biāo).解設(shè)點(diǎn)C,D的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則=(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),=(-3,-6).∵=-,∴(x1+1,y1-2)=(3,6),(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6),即(x1+1,y1-2)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=(1,2).∴∴點(diǎn)C,D的坐標(biāo)分別為(0,4)和(-2,0).故=(-2,-4).10.已知點(diǎn)A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).(1)求實(shí)數(shù)x的值,使向量共線;(2)當(dāng)向量共線時(shí),點(diǎn)A,B,C,D是否在一條直線上?解(1)=(x,1),=(4,x).∵,∴x2=4,x=±2.(2)由已知得=(2-2x,x-1),當(dāng)x=2時(shí),=(-2,1),=(2,1),∴不平行,此時(shí)A,B,C,D不在一條直線上.當(dāng)x=-2時(shí),=(6,-3),=(-2,1),∴,此時(shí)A,B,C三點(diǎn)共線.又,∴A,B,C,D四點(diǎn)在一條直線上.綜上,當(dāng)x=2時(shí),A,B,C,D不在一條直線上;當(dāng)x=-2時(shí),A,B,C,D四點(diǎn)在一條直線上.11.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).設(shè)=a,=b,=c,且=3c,=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求滿意a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n;(3)求M,N的坐標(biāo)及的坐標(biāo).解a==(5,-5),b==(-6,-3),c==(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)∵a=mb+nc,∴(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8).∴(3)設(shè)M(x1,y1),由=3c,得(x1+3,y1+4)=3(1,8),∴∴x1=0,y1=20.∴M(0,20).設(shè)N(x2,y2),由=-2b,得(x2+3,y2+4)=-2(-6,-3).∴解得∴N(9,2).∴=(9,-18).12.如圖,已知在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),,AD與BC相交于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的坐標(biāo).解因?yàn)?0,5)=,所以C.因?yàn)?4,3)=,所以D.設(shè)M(x,y),則=(x,y-5),-(0,5)=.因?yàn)?所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.①因?yàn)?所以x-4=0,即7x-16y=-20.②聯(lián)立①②,解得x=,y=2,故點(diǎn)M的坐標(biāo)為.實(shí)力提升練1.(多選題)已知向量a=(2,x2),b=(-1,y2-2),若a,b共線,則y的值可以是()A.-1 B.0 C.1 D.2解析∵a=(2,x2),b=(-1,y2-2),且a,b共線,∴2(y2-2)-(-1)x2=0,∴x2=4-2y2≥0,整理得y2≤2,解得-≤y≤.∴y的取值范圍是[-].答案ABC2.已知點(diǎn)A(,1),B(0,0),C(,0),∠BAC的平分線AE與BC相交于點(diǎn)E,設(shè)=λ,則λ等于()A.2 B. C.-3 D.-解析如圖,由已知得,∠ABC=∠BAE=∠EAC=30°,∠AEC=60°,||=1,∴||=.∵=λ,λ<0,∴|λ|==3.∴λ=-3.答案C3.設(shè)向量a=(a1,b1),b=(a2,b2),定義一種運(yùn)算“”,向量ab=(a1,b1)(a2,b2)=(a2b1,a1b2).已知m=,n=,點(diǎn)P(x,y)在y=sinx的圖象上運(yùn)動,點(diǎn)Q在y=f(x)的圖象上運(yùn)動且滿意=m+n(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則y=f(x)的最小值為()A.-1 B.-2 C.2 D.解析由題意知,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,sinx),則=m+n=.又因?yàn)辄c(diǎn)Q在y=f(x)的圖象上運(yùn)動,所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿意y=f(x)的解析式,即y=2sin.所以函數(shù)y=f(x)的最小值為-2.答案B4.設(shè)向量繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得向量,且2=(7,9),且向量=.

解析設(shè)=(m,n),則=(-n,m),所以2=(2m-n,2n+m)=(7,9),即解得因此.答案5.(2024內(nèi)蒙古高一檢測)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b與a-2b共線,則m的值為.

解析因?yàn)閙a+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1),向量ma+4b與a-2b共線,所以-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2.答案-26.(2024四川閬中中學(xué)高一期中)已知=(1,1),=(3,-1),=(a,b).(1)若A,B,C三點(diǎn)共線,求a,b的關(guān)系;(2)若=2,求點(diǎn)C的坐標(biāo).解由題意知,=(2,-2),=(a-1,b-1).(1)∵A,B,C三點(diǎn)共線,∴,∴2(b-1)-(-2)×(a-1)=0,∴a+b=2.(2)∵=2,∴(a-1,b-1)=2(2,-2)=(4,-4),∴解得∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,-3).7.已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠AOB=150°,∠BOC=90°,設(shè)=a,=b,=c且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量的坐標(biāo).解如圖所示,以點(diǎn)O為原點(diǎn),所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系.∵||=1,∠AOB=150°,∴B(-cos30°,sin30°),∴B.∵||=3,∴C(-3sin30°,-3cos30°),即C.又A(2,0),∴-(2,0)=,=.素養(yǎng)培優(yōu)練(2024上海高二檢測)已知向量a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7).(1)當(dāng)