廣東省深圳市羅湖區(qū)布心中學(xué)2022-2023學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2022-2023學(xué)年廣東省深圳市羅湖區(qū)布心中學(xué)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1.下列圖案是歷屆冬奧會會徽，其中是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】解：A、是中心對稱圖形，此項符合題意；B、不是中心對稱圖形，此項不符題意；C、不是中心對稱圖形，此項不符題意；D、不是中心對稱圖形，此項不符題意；故選：A．【點睛】本題考查了中心對稱圖形，熟記中心對稱圖形的定義（在平面內(nèi)，把一個圖形繞某點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與另一個圖形重合，那么這兩個圖形互為中心對稱圖形）是解題關(guān)鍵．2.若，則下列不等式一定成立的是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，依次分析各個選項，選出不等式的變形正確的選項即可．【詳解】解：A．若，不等式兩邊同時乘以得，，故此選項錯誤，不符合題意；B．若，不等式兩邊同時減去2得，，故此選項正確，符合題意；C．若，當(dāng)時，，故此選項錯誤，不符合題意；D．若，不等式兩邊同時除以2得，，故此選項錯誤，不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，正確掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．應(yīng)用不等式的性質(zhì)應(yīng)注意的問題：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)時，一定要改變不等號的方向．3.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，CD⊥AB于D，則∠DCB等于()A.70° B.50° C.40° D.20°【答案】D【解析】【詳解】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠B=∠ACB=（180°-40°）÷2=70°，又∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∴∠DCB=90°-70°=20°．故選D．4.若分式有意義，則的取值范圍是()A. B. C.且 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分式有意義的條件可得3-x≠0，再解即可．【詳解】解：由題意得：3-x≠0，

解得：x≠3，

故選：D．【點睛】本題主要考查了分式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握分式有意義，分母不為零．5.若正多邊形的一個外角是，則該正多邊形的邊數(shù)是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】利用外角和360°÷外角的度數(shù)即可得到邊數(shù)．【詳解】解：360°÷60°=6．故該正多邊形的邊數(shù)為6．故選：D．【點睛】此題主要考查了多邊形內(nèi)角與外角，關(guān)鍵是掌握多邊形外角和為360°．6.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC繞B點C順時針旋轉(zhuǎn)至△AB'C使得點A恰好落在AB上，則旋轉(zhuǎn)角度為（）A.30° B.60° C.90° D.150°【答案】B【解析】【分析】先利用互余得到∠A=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CA′=CA，∠ACA′等于旋轉(zhuǎn)角，然后判斷△ACA′為等邊三角形得到∠ACA′=60°，從而得到旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．【詳解】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=60°，∵△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，使得點A′恰好落在AB上，∴CA′=CA，∠ACA′等于旋轉(zhuǎn)角，∴△ACA′為等邊三角形，∴∠ACA′=60°，即旋轉(zhuǎn)角度為60°．故選：B．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．本題的關(guān)鍵是證明△ACA′為等邊三角形，7.下列命題中，錯誤的是（）A.過n邊形一個頂點的所有對角線，將這個多邊形分成（n-2）個三角形B.斜邊和一條直角邊分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等C.三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分D.一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)多邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定、三角形中線及平行四邊形的判定即可依次判斷.【詳解】A.過n邊形一個頂點的所有對角線，將這個多邊形分成（n-2）個三角形，正確；B.斜邊和一條直角邊分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，正確；C.三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，正確；D.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故錯誤；故選D.【點睛】此題主要考查幾何圖形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知多邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定、三角形中線及平行四邊形的判定.8.如圖，在中，．分別以B、C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧分別交于E、F兩點，連接直線，分別交于點M、N，連接，則的面積為（）A.12 B.6 C.7.5 D.15【答案】B【解析】【分析】利用基本作圖得到垂直平分，則根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，，再證明，得到，然后利用勾股定理計算出，從而得到的面積．【詳解】解：由作法得垂直平分，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，∴的面積．故選：B．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．9.某次數(shù)學(xué)競賽共有16道題，評分辦法是：每答對一道題得6分，每答錯一道題扣2分，不答的題不扣分也不得分．已知某同學(xué)參加了這次競賽，成績超過了60分，且只有一道題未作答．設(shè)該同學(xué)答對了x道題，根據(jù)題意，下面列出的不等式正確的是（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)答對x道，則答錯道，根據(jù)成績超過了60分列不等式求解即可.【詳解】解：設(shè)答對x道，則答錯道，由題意得，故選：B．【點睛】此題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)實際問題中的條件列不等式時，要注意抓住題目中的一些關(guān)鍵性詞語，找出不等關(guān)系，列出不等式式是解題關(guān)鍵．10.如圖，正方形ABCD的頂點A，B分別在x軸，y軸上，A（﹣4，0），G（0，4），BC的中點E恰好落在x軸上，CD交y軸于點F，連接DG，DO．給出判斷：①BF＝AE；②CD平分∠ODG；③∠AEB+∠CDG＝90°；④△ADO是等腰三角形．其中正確的是（）A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得，從而得到①③正確，延長GD，過A作GD延長線的垂線并與GD的延長線交于點H，再由A，G的坐標(biāo)，可推出，得出D是HG的中點，最后得出△ADO是等腰三角形進(jìn)而判斷④，先假設(shè)CD平分∠ODG，根據(jù)已知條件得到，根據(jù)點的坐標(biāo)求得進(jìn)而可以判斷②．【詳解】是正方形，又,在和中，故①正確；又故③正確；延長，過作延長線垂線并與的長線交于點，則是的中點，由①可知四邊形是正方形是等腰三角形，故④正確：若CD平分∠ODG則故②不正確綜上所述，①③④正確．故選D．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟悉圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11.分解因式_____．【答案】【解析】【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式解答即可．【詳解】解：原式．故答案為：【點睛】本題主要考查了整式的因式分解，掌握整式的完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵．12.若一個多邊形的每個內(nèi)角都為，則這個多邊形是________邊形．【答案】十【解析】【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理：求解即可．【詳解】∵多邊形的每個內(nèi)角都是144°，則解得，則這個多邊形是十邊形；故答案為：十．【點睛】主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理，邊形的內(nèi)角和為：，掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．13.使分式有意義的x的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式有意義的條件列出不等式求解即可．【詳解】解：∵分式有意義∴解得故答案為：【點睛】本題考查了分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握分式有意義的條件，即分母不為0．14.如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則關(guān)于x的不等式的解集為_____．【答案】【解析】【分析】由一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，以及y隨x的增大而減小，可得關(guān)于x的不等式的解集．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，∴時，，又y隨x的增大而減小，∴關(guān)于x的不等式的解集為．故答案是：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：利用數(shù)形結(jié)合的思想，從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．15.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，點D在線段BC上，BD＝3，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，EF⊥AC，垂足為點F．則AF的長為________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)勾股定理先求出BC邊長，再求出DC長，過點D作DM垂直AC，可證，即AF=DM，在等腰直角△DMC中可求DM，即可直接求解．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，根據(jù)勾股定理得，AB2+AC2=BC2，∴．又∵BD=3，∴DC＝BC?BD＝．過點D作DM⊥AC于點M，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠DAE=90°，AD＝AE，∴∠DAC+∠EAF=90°．又∵∠DAC+∠ADM=90°，∴∠ADM=∠EAF．在Rt△ADM和Rt△EAF中，．∴（AAS），∴AF=DM．在等腰Rt△DMC中，由勾股定理得，DM2+MC2=DC2，∴DM=1，∴AF=DM=1．故答案為：1．【點睛】本題主要考查等腰直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△ADM≌△EAF是解答本題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題，滿分55分）16.（1）解不等式：．（2）解不等式組：，并把它解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】（1）；（2），數(shù)軸見解析【解析】【分析】（1）按照解一元一次不等式的步驟求解即可；（2）先分別求出兩個不等式的解集，進(jìn)而求出不等式組的解集，最后在數(shù)軸上表示出不等式組的解集即可．【詳解】解：（1），去括號得，，移項得，，合并同類項得，，把x的系數(shù)化為1得，；（2），由①得，，由②得，，故不等式組的解集為：．在數(shù)軸上表示為：．【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，熟知解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵．17.（1）化簡：；（2）先化簡，再求值：，然后從0，1，2，3四個數(shù)中選擇一個恰當(dāng)?shù)臄?shù)代入求值．【答案】（1）；（2）；當(dāng)時，原式【解析】【分析】（1）根據(jù)分式混合運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可；（2）先根據(jù)分式混合運(yùn)算法則進(jìn)行計算，然后再代入數(shù)據(jù)計算即可．【詳解】解：（1）；（2），由題意得：，2，3，則當(dāng)時，原式．【點睛】本題主要考查了分式混合運(yùn)算，及其求值，分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計算．18.按要求完成作圖：（1）作△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1；（2）將△ABC向左平移5個單位得△A2B2C2，請作出△A2B2C2；（3）在x軸上有一個點P，滿足PB＋PC最小，請直接寫出P點的坐標(biāo)．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）（3，0）【解析】【分析】(1)分別作出三個頂點關(guān)于x軸的對稱點，再首尾順次連接即可；(2)分別作出三個頂點關(guān)于y軸的對稱點，再首尾順次連接即可；(3)連接B1C，與x軸的交點即為所求．【小問1詳解】解：A(3，3)關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)為A1(3，-3)，B(1，2)關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)為B1(1，-1)，C(4，1)關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)為C1(4，-1)，如圖所示，△A1B1C1即為所求．【小問2詳解】解：A(3，3)向左平移5個單位的坐標(biāo)為A2(-2，3)，B(1，2)向左平移5個單位的坐標(biāo)為B2(-4，2)，C(4，1)向左平移5個單位的坐標(biāo)為C2(-1，1)，如上圖所示，△A2B2C2即為所求；【小問3詳解】解：如上圖所示，根據(jù)對稱性可知：PB=PB1，連接BC與x軸的交點點P即為所求，其坐標(biāo)為(3，0)．【點睛】本題主要考查點的軸對稱變換與平移變換，屬于基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換和平移變換的定義與性質(zhì)．19.如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，點E是邊CD的中點，連接BE并延長與AD的延長線交于點F．（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；（2）若BC＝BD，求BF的長．【答案】（1）見解析（2）2【解析】【分析】（1）根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行得出∥，從而得出，再證明，得出，從而證明四邊形是平行四邊形；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出的長，從而得出的長，再用勾股定理先求出的長，再求出的長．【小問1詳解】證明：∵，∴，∴∥，∴，∵E是邊CD的中點，∴CE＝DE，在△BEC與△FED中，∴△BEC≌△FED（AAS），∴，∴四邊形BDFC是平行四邊形；【小問2詳解】解：∵BD＝BC＝3，∠A＝90°，，∴∵四邊形是平行四邊形∴∴∴【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，平行四邊形的判定，以及勾股定理的運(yùn)用，熟練掌握全等三角形的判定，平行四邊形的判定，以及勾股定理的運(yùn)用是解答此題的關(guān)鍵．20.某商店準(zhǔn)備購進(jìn)一批冰箱和空調(diào)，每臺冰箱的進(jìn)價比每臺空調(diào)的進(jìn)價多400元，商城購進(jìn)6臺冰箱和10臺空調(diào)剛好花費(fèi)28000元．（1）求每臺冰箱與空調(diào)的進(jìn)價分別是多少？（2）已知冰箱的銷售價為每臺2100元，空調(diào)的銷售價為每臺1750元，現(xiàn)商城準(zhǔn)備購進(jìn)這兩種家電共100臺，要求購進(jìn)空調(diào)數(shù)量不超過冰箱數(shù)量的3倍，則該商店購進(jìn)冰箱、空調(diào)各多少臺才能獲得最大利潤？最大利潤為多少？【答案】（1）每臺空調(diào)進(jìn)價為1600元，每臺電冰箱進(jìn)價為2000元（2）當(dāng)購進(jìn)冰箱25臺，空調(diào)75臺獲利最大，最大利潤為13750元【解析】【分析】（1）根據(jù)每臺電冰箱的進(jìn)價比每臺空調(diào)的進(jìn)價多400元，商店購進(jìn)6臺冰箱和10臺空調(diào)剛好花費(fèi)28000元，可以列出相應(yīng)的方程，從而可以解答本題；（2）設(shè)購進(jìn)電冰箱x臺，則購進(jìn)空調(diào)（100-x）臺，根據(jù)：總利潤=冰箱每臺利潤×冰箱數(shù)量+空調(diào)每臺利潤×空調(diào)數(shù)量，列出函數(shù)解析式，結(jié)合x的范圍和一次函數(shù)的性質(zhì)可知最值情況．【小問1詳解】設(shè)每臺冰箱進(jìn)價為x元，空調(diào)每臺進(jìn)價為為（x-400）元，根據(jù)題意得，解得，x=2000∴x-400=2000-400=1600（元）答：每臺空調(diào)進(jìn)價為1600元，每臺電冰箱進(jìn)價為2000元【小問2詳解】設(shè)購進(jìn)冰箱x臺，由題意可得，y＝（2100－2000）x＋（1750－1600）×（100－x）＝－50x＋15000，∵購進(jìn)空調(diào)數(shù)量不超過冰箱數(shù)量的3倍，∴100－x≤3x，解得，x≥25，∵x為正整數(shù)，y＝－50x＋15000，－50<0，∴y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝25時，y取得最大值，此時y＝－50×25＋15000＝13750（元），100－x＝75，答：當(dāng)購進(jìn)冰箱25臺，空調(diào)75臺獲利最大，最大利潤為13750元．【點睛】本題主要考查一元一次方程和一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意確定相等關(guān)系并據(jù)此列出方程和函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．21.因式分解中拆項法原理：在多項式乘法運(yùn)算時，經(jīng)過整理、化簡通常將幾個同類項合并為一項，或相互抵消為零，在對某些多項式分解因式時，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項（拆項）．例：分解因式：x2＋4x＋3解：把4x分成x和3x，原式就可以分成兩組了原式＝x2＋x＋3x＋3＝x（x＋1）＋3（x＋1）繼續(xù)提公因式＝（x＋3）（x＋1）請類比上邊方法分解因式：x2＋5x＋6．【答案】（x＋3）（x＋2）【解析】【分析】根據(jù)題中拆項法原理，把5x分成2x和3x，進(jìn)而根據(jù)提公因式法因式分解即可．【詳解】解：把5x分成2x和3x，原式就可以分成兩組了原式＝x2＋2x＋3x＋6＝x(x＋2)＋3(x＋2)繼續(xù)提公因式＝(x＋3)(x＋2)【點睛】本題考查了因式分解，理解題意仿照例題求解是解題的關(guān)鍵．22.（1）模型建立：如圖1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經(jīng)過點C，過點A作AD⊥ED于點D，過點B作BE⊥ED于點E．求證：△BEC≌△CDA；（2）模型應(yīng)用：①如圖2，已知直線y＝3x＋3與y軸交于A點，與x軸交于B點，將線段AB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BC，過點A，C作直線，求直線AC的函數(shù)解析式；②如圖2，在直線AC上有一動點P，在y軸上有一動點Q，以B、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出點Q的坐標(biāo)；③如圖3，矩形ABCO，點O為坐標(biāo)原點，點B的坐標(biāo)為（8，6），A，C分別在坐標(biāo)軸上，點P是線段BC上動點，已知點D在第一象限，且是直線y＝2x－6上的一點，若△APD是不以點A為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點D的坐標(biāo)．【答案】（1）見解析；（2）①y＝x＋3；②點Q（0，）或（0，）；③（4，2）或（，）或（，）【解析】【分析】（1）由條件可求得∠EBC＝∠ACD，利用AAS可證明△BEC≌△CDA；（2）①過C過C作CD⊥x軸于點D，可得△CDB≌△BAO，可求點C坐標(biāo)，待定系數(shù)法求直線AC解析式即可；②以B、C、P、Q四點構(gòu)成的平行四邊行有三種情況進(jìn)行討論即可；③結(jié)合前兩問的結(jié)論，最后一問分類討論等腰直角三角形的直角頂點，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)列方程求解即可．【詳解】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠ACD，在△BEC和△CDA中，∴△BEC≌△