第5小題 三角函數(shù)與三角恒等變換（3個(gè)命題點(diǎn)12大題型）2024年高考《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)題型分類與方法點(diǎn)撥（解析版）

第5小題三角函數(shù)與三角恒等變換

國(guó)療可導(dǎo)毓

???■???????????■?????4HiK????MM??...

第5小題三角函數(shù)與三角恒等變換.......................................................1

一、主干知識(shí)歸納與回顧.............................................................3

5.1.1.任意角....................................................................3

5.1.2.弧度制....................................................................4

5.2.1.三角函數(shù)的概念...........................................................4

5.2.2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式................................................4

5.3.誘導(dǎo)公式....................................................................4

5.4.正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)................................................5

5.5.1兩角和與差的正弦.余弦.正切公式..........................................8

（一）命題角度剖析.................................................................9

（二）考情分析......................................................................9

（三）高考預(yù)測(cè)......................................................................9

二、題型分類與預(yù)測(cè)................................................................10

命題點(diǎn)一：三角函數(shù)的概念與弧度制.............................................10

1.1母題精析（三年高考真題）..............................................10

一.象限角、軸線角（共1小題）......................................10

二.任意角的三角函數(shù)的定義（共2小題）.............................10

三.三角函數(shù)應(yīng)用（共1小題）........................................11

1.2解題模型...............................................................12

1.3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市模考）.............................................12

一.扇形面積公式（共1小題）........................................12

二.任意角的三角函數(shù)的定義（共4小題）.............................13

三.運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值（共3小題）...............................15

命題點(diǎn)二：三角恒等變換........................................................17

1.1母題精析（三年高考真題）..............................................17

第1頁共ill頁

一.同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系（共6小題）...........................17

二.兩角和與差的三角函數(shù)（共4小題）...............................19

三.二倍角的三角函數(shù)（共4小題）....................................21

四.半角的三角函數(shù)（共1小題）......................................23

1.2解題模型...............................................................24

1.3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市?？迹?............................................25

一.同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系（共2小題）...........................25

二.兩角和與差的三角函數(shù)（共14小題）..............................26

三.二倍角的三角函數(shù)（共11小題）...................................32

命題點(diǎn)三：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)...............................................36

1.1母題精析（三年高考真題）.............................................36

二角函數(shù)線（共1小題）............................................36

二.三角函數(shù)的周期性（共4小題）....................................37

三.誘導(dǎo)公式（共1小題）.............................................39

四.正弦函數(shù)的圖象（共4小題）......................................39

五.正弦函數(shù)的單調(diào)性（共3小題）....................................42

六.余弦函數(shù)的對(duì)稱性（共1小題）....................................43

七.函數(shù)y=Asin（3x+。）的圖象變換（共5小題）..................44

八.1fay=Asin（3x+0）的部分圖象確定其解析式（共5小題）.......47

九.三角函數(shù)的最值（共3小題）......................................51

1.2解題模型...............................................................53

1.3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市?？迹?............................................55

一.三角函數(shù)的周期性（共2小題）....................................55

二.正弦函數(shù)的圖象（共1小題）......................................56

三.正弦函數(shù)的單調(diào)性（共6小題）....................................57

四.正弦函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性（共3小題）...........................62

五.余弦函數(shù)的圖象（共1小題）......................................65

六.函數(shù)y=Asin（cox+0）的圖象變換（共12小題）.................66

七.由丫=452（3X+0）的部分圖象確定其解析式（共5小題）.......74

第2頁共111頁

八.三角函數(shù)的最值（共1小題）.......................................79

三、類題狂刷（五年區(qū)模、校模）：.................................................81

一.任意角的三角函數(shù)的定義（共1小題）.............................81

二.三角函數(shù)的周期性（共5小題）....................................81

三.正弦函數(shù)的圖象（共1小題）......................................86

四.正弦函數(shù)的定義域和值域（共1小題）.............................87

五.正弦函數(shù)的單調(diào)性（共2小題）....................................87

六.正弦函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性（共1小題）...........................88

七.函數(shù)y=Asin（3x+。）的圖象變換（共11小題）.................89

八.由丫=人$①（3x+。）的部分圖象確定其解析式（共3小題）.......97

九.兩角和與差的三角函數(shù)（共13小題）.............................100

一十.二倍角的二角函數(shù)（共6小題）.................................107

一十一.三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值（共1小題）..................110

一十二.三角函數(shù)應(yīng)用（共1小題）....................................110

一、主干知識(shí)歸納與回顧

方質(zhì)何依

5.1.L任意角

1.正角、負(fù)角、零角、象限角的概念.

正角：一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角;

負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角;

零角：一條射線沒有任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個(gè)零角。

2.旋轉(zhuǎn)與運(yùn)算:

（D角的加法：角a的終邊旋轉(zhuǎn)角/后所得的終邊對(duì)應(yīng)的角是。+尸.

（2）角的減法：a-〃=a+（-小）。

3.與角a終邊相同的角的集合：伊尸二0+%360"丘Z}.

第3頁共111頁

5.L2.弧度制

1.弧度角：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.

2.弧度公式：（，?為圓的半徑，弧長(zhǎng)為/的弧所對(duì)的圓心角為a）。

r

弧長(zhǎng)公式：/=同/?.

角度與弧度換算：180=4-ad=>F=-^—rad；\rad=|

180（萬

njrRI?

扇形面積公式：S=」」=-/R=一同及2（&為圓的半徑，扇形弧長(zhǎng)為/,圓心角為。）

3602211

52L三角函數(shù)的概念

三角函數(shù)定義1：設(shè)。是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸（X/）,則:

把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做a的正弦函數(shù)，記作sina.即y=sina；

把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做a的余弦函數(shù)，記作cosa.即x=cosa；

把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x的比值上叫做a的正切函數(shù)，記作tana.即」=tana（xw0）,

xx

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常記為：

正弦函數(shù)：y=sinx,xeR余弦函數(shù):y=cosx,^GR正切函數(shù):y=tanx,xw鼻+k7i（keZ）

2.三角函數(shù)定義2：設(shè)點(diǎn)P（x,y）（不與原點(diǎn)重合）為角。終邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離為:

r-y]x2+y2,貝ij：sin?=—,cosa=—,tana=—

rrx

3.sina、cosa、tan。在四個(gè)象限的符號(hào)：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

522.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

1.平方關(guān)系：sin2?+cos2?=l.2.商數(shù)關(guān)系：tana=

cosa

53誘導(dǎo)公式

1.誘導(dǎo)公式一:2.誘導(dǎo)公式二:

sin（a+2k兀）=sina,sin（"+a）=-sina,

cos（a+2k7r）=cos?,（其中：k￡Z）cos（乃+a）=-cosa,

tan（a+2左乃）=tana.tan（^+a）=tana.

第4頁共111頁

3.誘導(dǎo)公式三：4.誘導(dǎo)公式四:

sin（-a）=-sina,sin（"-a）=sina,

cos（-a）=cosa,cos（乃一a）=-cosa,

tan（一a）=一tana.tan（九一a）二-tana.

5.誘導(dǎo)公式五：6.誘導(dǎo)公式六:

sinP-rz=cos.An衛(wèi)+a=cc.

（2）12J，

cos!y+6Zj=-sina.

54正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.正弦.余弦函數(shù)圖象：

2.會(huì)用五點(diǎn)法作圖.

)=sinx在xe[0、24]上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為：(0,0),(3,1),(-1),(2乃,0).

)，二85》在工￡[0,24]上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為：(0,1),(',0),(4,一1),(羊，0),(2),D.

3.周期函數(shù)定義：函數(shù)/(x)定義域?yàn)?。，如果存在一個(gè)非零常數(shù)r,使得對(duì)每一個(gè)XEO,都有X+TE。，

且+7)=/&),那么函數(shù)/(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)7叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

最小正周期：如果周期函數(shù)/(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那這個(gè)最小正數(shù)叫/Q)的最小正周

期.

4.正余弦函數(shù)的周期：

正弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kl(awZ且左。0)都是它的周期，最小正周期是2〃；

余弦函數(shù)是周期函數(shù)，2k兀(ZeZ且〃。0)都是它的周期，最小正周期是2%；

5.正切函數(shù)的圖象：

第5頁共111頁

5.正弦.余弦.正切函數(shù)的圖像及其性質(zhì):

y=sinxy=cosxy=tanx

yj

>-sinA.AGR

I

)xosx,xER?EUJER

j

圖象

匹xinJ一-

—■r￥

定義域RR{x|x工g+k7i,kGZ}

值域[-1,1][-U]R

冗,

x=2k冗+一,kwZ時(shí)，=1

最值x=2ki,keZ時(shí)，ymn=1

7T,

兀----時(shí)，時(shí),

x=2k,keZ=-1x-2kn+7r,keZymin--1無

第6頁共111頁

周期性T=2TT7=2萬T=7T

奇偶性奇偶奇

在［20-々2氏+馬上單調(diào)遞增

單調(diào)性在［2%4-肛2A幻上單調(diào)遞增在每一個(gè)區(qū)間

在加+三加吟］上單調(diào)遞

keZ在［24笈,2%乃+乃］上單調(diào)遞減（k乃一三女乃+鄉(xiāng)上單調(diào)遞增

減

對(duì)稱軸方程：兀+土

對(duì)稱性x=k對(duì)稱軸方程：x=krr無對(duì)稱軸

2

kJT

對(duì)稱中心（Qr+■1，（））,

keZ對(duì)稱中心（打r,0）,k^Z對(duì)稱中心（一,o）,keZ

keZ2

第7頁共111頁

5.5.1兩角和與差的正弦.余弦.正切公式

1.兩角和與差的正弦:

Sgg：sin(a+//)=sinacos尸+cosasinpS[a_p}：sin(a-//)=sinacos/3-cossin0

2.兩角和與差的余弦:

Qc+夕):cos(a+/?)=cosacosp-sinasinpC(<”用：c°s(a-尸)=cosacos/?+sinasin0

3.兩角和與差的正切:

tana+tan/?tana-tan/7

7；：tan(?+/?)=T：tan(?-/?)=

a+/?)l-tandztan/3/(f)1+tan<2tan/?

4.倍角公式

(1)sin2a=2sin?cosa變形：sinacosa=4sin2a.

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a.

cos2a+sin2a=12cos2(z=l+cos2a

變形:降累公式:n

cos2a-sin2a=cos2a2sin2a=l-cos2a

(3)tan2a=-2上如§一

l-tan-a

5.輔助角公式

y=t7sinx+Z?cosx=\a2+b~sin(x+e)

(其中cos°=—j=^^=,sin0=—j=^^=,tane=2).y=asinx+/?cosx=\la2+b2cos(x-0)

yja2+b2\Ja2+b~a

(其中cos。=/b=sin8=/,tan<?=N).

行了V77Fb

第8頁共111頁

g…0學(xué)有筆記

盤牛瞅魚點(diǎn)

（-）命題角度剖析

1.三角函數(shù)的概念與弧度制★☆☆☆☆2.三角恒等變換★★★★☆

3.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)★★★☆☆

k播考情今新

（二）考情分析

高考頻率：100%試題難度：中等呈現(xiàn)形式：以選擇題或填空題

“裔考我謝

（三）高考預(yù)測(cè)

與三角函數(shù)的知識(shí)相結(jié)合，利用三角恒等變換的方法將三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、求值，或分析函

數(shù)圖象變換的規(guī)律，研究三角函數(shù)的基本性質(zhì)，解決與三角函數(shù)圖象與性質(zhì)有關(guān)的問題。

第9頁共111頁

二、題型分類與預(yù)測(cè)

駕校方”

??OMV?.MBMa■■■■■??ana??MM?aMM?■aaMHBa??aa._a.._.._...._a._...

命題點(diǎn)一：三角函數(shù)的概念與弧度制

1.1母題精析（三年高考真題）

-.象限角、軸線角（共1小題）

I.（2016?上海）若sina>0,且tana<0,則角a的終邊位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【分析】由sina>0,則角a的終邊位于一二象限或y軸的非負(fù)半軸上，由tana<0,則角a的終邊位于二

四象限，兩者結(jié)合即可解決問題.

【解答】解：?.?sina>0,則角a的終邊位于一二象限或y軸的非負(fù)半軸上，

?.?由tana<0,.?.角。的終邊位于二四象限，.?.角。的終邊位于笫二象限.故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題，合理地將條件化簡(jiǎn)，從而將問題轉(zhuǎn)化為已知三角

函數(shù)值的符號(hào)問題.

二,任意角的三角函數(shù)的定義（共2小題）

2.（2018?新課標(biāo)I）已知角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)力（1,4）,8（2,b）,

2

且cos2a=—,則|a—〃|=（）

A.-B.—C.-D.1

555

【分析】推導(dǎo)出cos2a=2cos?a-1=g,從而|cosa|=,進(jìn)而|tana|=|^-y-1=|a-/）|=.由此能求出

結(jié)果.

【解答】解：?.?角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，

22s

終邊上有兩點(diǎn)力（1,a）,4（2,力），旦cos2a=—,/.cos2a=2cos2a-1=—,解得cos?a=—，

336

屜

..V30...1~30y/6J..b-a..,\sina\6行士后、，上

■,?Icos?1=—,.\|Sina|=1--=—,|tana|=|——|=|a-Z>|=---------=-^=-=—.故選：BD.

6V3662-1|cosa|J305

~6~

【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩數(shù)差的絕對(duì)值的求法，考查二倍角公式、直線的斜率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力,

考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

第10頁共111頁

3.（2020?新課標(biāo)II）若a為第四象限角，貝lj（）

A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2a>0D.sin2a<0

【分析】先求出2a是第三或第四象限角或?yàn)閥軸負(fù)半軸上的角，即可判斷.

【解答】解：a為第四象限角，則一生+24乃<a<2%乃，kcZ,

2

則-〃+4左4<20<4人乃，:.2。是第三或第四象限角或?yàn)?軸負(fù)半軸上的角，，5吊2。<0,故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的符號(hào)特點(diǎn)，考查了轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

三.三角函數(shù)應(yīng)用（共1小題）

4.（2019?北京）如圖，A,8是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，4P8是銳角，大小為夕,

圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為（）

A.4夕+4cos/?B.4^+4sinPC.2/7+2cos夕D.21+2sin夕

【分析】由題意可得N/1O8=2/4P8=2〃，要求陰影區(qū)域的面積的最大值，即為直線。。運(yùn)用扇形

面枳公式和三角形的面積公式，計(jì)算可得所求最大值.

【解答】解：由題意可得44?！?2乙428=2/y,要求陰影區(qū)域的面積的最大值，即為直線QO_L/1A,

即有°。=2,Q到線段的距離為2+2cos￡,/8=2?2sin￡=4sin￡,

扇形408的面積為3,2夕?4=4/7,A48。的面枳為

—（2+2cos/?）?4sinP=4sin/?+4sin/?cos/?=4sin/?+2sin2/7,

2

=4sin/7+2sin2[3-1.2*2sin2J3=4sin（i,即有陰影X域的面積的最大值為4A+4sin/故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的扇形面積公式和三角函數(shù)的恒等變換，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

第11頁共111頁

初履破支恢

1.2解題模型

1.三角函數(shù)定義的應(yīng)用

（1）直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，及這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，確

定這個(gè)角的三角函數(shù)值.

（2）已知角的某一個(gè)三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程（組），求出參數(shù)的

值.

2.確定叫巴（相eN*）的終邊所在象限的方法

n

（1）確定〃。的終邊所在象限的方法：先求出“Q的范圍，再直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角

即可.

（2）確定區(qū)的終邊所在象限的兩種方法

n

①不等式法：用不等式表示出區(qū)的范圍，然后對(duì)k￡Z分情況討論：被n整除，被n除余1,被

n

n除余2...被n除余〃-1,從而得出結(jié)論.

②幾何法：分別將各個(gè)象限n等分，從工軸的非負(fù)半軸起，按逆時(shí)針方向依次循環(huán)標(biāo)上

1,11,W,IV,根據(jù)a終邊所在的象限，找出相對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)，根據(jù)標(biāo)號(hào)所在的位置，確定人的終邊所

n

在的象限.

3.應(yīng)用弧度制解決問題的方法

（1）利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.

（2）求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.

（3）在解決弧長(zhǎng)和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形.

1.3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市?？迹?/p>

一.扇形面積公式（共1小題）

1.（2023?福建模擬）中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》的第一章“方田”中載有“半周半徑相乘得積步”，

其大意為：圓的帳周長(zhǎng)乘以其半徑等于圓面積.南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之曾用圓內(nèi)接正多邊形的面

積“替代”圓的面積，并通過增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)〃使得正多邊形的面積更接近圓的面枳，從而更為

“精確”地估計(jì)圓周率;r.據(jù)此，當(dāng)〃足夠大時(shí)，可以得到萬與〃的關(guān)系為（）

第12頁共111頁

B.”〃sin幽

180°

Dc.乃a〃-Jl1-cos

2Vn

【分析】設(shè)圓的半徑為“由題意可得門』?;—乎'化簡(jiǎn)即可得出答案.

【解答】解：設(shè)圓的半徑為廣，將內(nèi)接正〃邊形分成〃個(gè)小三角形,

由內(nèi)接正〃邊形的面積無限接近圓的面即可得：乃/?/r-r2-sin—,

2n

位理n-360°

解得：a—sin------.

2n

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查扇形的面積公式，屬?gòu)V基礎(chǔ)題.

二.任意角的三角函數(shù)的定義（共4小題）

2.（2022?南平模擬）在單位圓中，已知角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（g,等），現(xiàn)將角a的終邊按逆時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)工，記此時(shí)角a的終邊V單位圓交于點(diǎn)。，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

@11

A2^--C

?(-，D.

2B.2.(O.

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，得到將角，的終邊按逆時(shí)針方向旋若對(duì)應(yīng)的角的大小，利用兩角和差的

余弦公式進(jìn)行求解即可.

【解答】解一?在單位圓中，已知角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)心

/.sina=cosa=—，

T,2

將角a的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)此時(shí)角為a+q'

i石6i

則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為X=cos(tz+—)=cosctcos--sin?sin—=—x----------X----=-----

33322222

點(diǎn)0的縱坐標(biāo)卜=sin(a+—)=sinacos—+cosasin—=——x—+-x

333222T~~T

第13頁共111頁

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-；,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)三角函數(shù)的定義結(jié)合兩角和差的余弦公式是解決本題的關(guān)

鍵.

3.（2022?德化縣校級(jí)模擬）已幻角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（8,3cosa）,則（)

A.sina」C.tana=±^-D.2V2

B.cos2a=-cosa=------

3943

3cosa

【分析】由已知利用任意角的三角函數(shù)的定義可求sina=,利用三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)即可

+(3cosa)2

求解.

【解答】解：因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過點(diǎn)?（8,3cosa）,

g“.3cosa

r)f以Sina=/

用+(3cosa)2

則3ina，64+9cos'a=3cosa,B|Jsin2a(64+9cos2a)=9cos2a,

所以sin2a[64+9。一sin?a)]=9(1-sin?a),即9sin4a-82sin2a+9=0,解得sin2a=9(舍去)，或"，

因?yàn)閏osa＞0，

所以sina>0,可得sin。=L故力正確；

3

所以cosa=迪，故O正確;

3

7

因?yàn)閏os2a=2cos%-1=—,故B正確;

9

因?yàn)閠ana=?吧＞0,故C錯(cuò)誤.

cosa

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了任意角的三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)恒等變換在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了

轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

.4乃4萬,雪，則e=_3%r

4.（2023?福建模擬）已知GG（0,2幻，角0的終邊上有點(diǎn)（-cos——+sin——,cos——+sin

5555~20~

【分析】利用三角函數(shù)定義求Hltan。，再由坐標(biāo)的正負(fù)判斷。所在象限，可得。的具體值.

4^.4^4開n4T

cos——+sin——1+ian—(an-Han-

【解答】解：…_5______5__________5_4

==＜：-tan(=-tan叱tan(-第=3(2〃一除tanI型,

4”.45,4兀,“4萬20202020

-cos——+sin——1-tan1-tan-tan

55545

第14頁共111頁

19笈

故B="+k冗(keZ),

20

4乃.4乃公.21乃八

又因?yàn)?cos竺+sin”>0,cos—+sin——=V2sin-----<0,

555520

故。在第四象限,

而19萬39〃

所以---+71=-------

2020

故答案為：槳

20

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了任意角的三角函數(shù)的定義，考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2022?寧德模擬）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，圓。與x軸的正半軸交于點(diǎn)/，點(diǎn)8,。在圓。上，若

射線04平分乙40。，8（士1，-4）,則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為―—7一_

5525

【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義以及二倍角的余弦公式即可求解.

【解答】解：由題意，如圖所示，可得sin4O4=14,cosZBOJ=4|

37

因?yàn)閏osZCOA=cos2N8CM=2cos2/BOA-l=2x(-)2-1=——，

525

所以點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為《

故答案為：-工

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了任意角的三角函數(shù)的定義以及二倍角的余弦公式的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于

基礎(chǔ)題.

三.運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值（共3小題）

6.(2022?三元區(qū)校級(jí)模擬)已知tana=-3,則sin(衛(wèi)+a)?sina=()

2

AYD-看

【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)所求即可求解.

第15頁共111頁

【解答】解：因?yàn)閠ana=—3

sinacosatana3

所以sin(—+a)?sina=cosa?sina=

sin2a+cos2atan2a+1(-3)2+110

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.(2022?漳州模擬)已知sin(■三一》)=，,貝ijcos(x+巳)=()

【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式化筒所求即可得解.

【解答】解：因?yàn)閟ing-x)=L

63

所以cos(x+y)=cos[y+(x一令]=-sin(x一令=sin(-^--x)=-

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

8.(2020?泉州一模)已知角。的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與X軸的非負(fù)半軸重合，若點(diǎn)門：2,-1)在角a

的終邊上，則sin(/-2a)=()

A.--B.-C.--D.-

5555

【分析】由已知利用三角函數(shù)定義可得cosa的值，進(jìn)而根據(jù)誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式即可求解.

【解答】解：由已知利用三角函數(shù)定義可得cosa=,2=拽,

"”+(-1)25

故sin(y-2a)=cos2a=2cos2tz-1=-.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)定義，誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用,

考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

第16頁共111頁

命題點(diǎn)二：三角恒等變換

1.1母題精析（三年高考真題）

同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系（共6小題）

1.（2021?新高考I）若tan6=-2,則網(wǎng)強(qiáng)上泌迎=（）

sin。+cos。

A.--B.--C.-D.-

5555

【分析】由題意化簡(jiǎn)所給的三角函數(shù)式，然后利用齊次式的特征即可求得三角函數(shù)式的值.

sin。。+sin2。）_sin/sin?0+cos，8+2sin0cos。）

【解答】解：由題意可得:

sin+cos<9sin0+cos0

。22

=-----s-i-n---------s--in---0--+---c-o-s---0-+---2--s-\-r-\-0---c-o--s-O-

sin0+cos0sin20+cos'O

tan0tanO1+2tan0+1

=-------------------------------

tanO+1tan~0+\

2

5

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同角三角球數(shù)基本關(guān)系，三角函數(shù)式的求值等知識(shí),sin2J+cos2^=lf

屬于中等題.

2.（2021?全國(guó)）已知tanx=2,則2sinx+cosx=（）

2sinx-cos.r

531

A.3B.-C.-D.-

353

【分析】由已知把要求值的式子化弦為切求解..

【解?答】解：由tanx=2,得cosx/0,

2sinx+cosx2tanx+12x2+15

-----------=--------=-------=—.

2sinx-cosx2tanx-12x2-13

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

3.（2020?新課標(biāo)I）已知ae（0,;r）,且3cos2a-8cosa=5,則sina=（）

【分析】利用二倍角的余弦把已婦等式變形，化為關(guān)于cosa的?元二次方程，求解后再由同角三角函數(shù)基

本關(guān)系式求得sin。的值.

【解?答】解：由3cos2a-8cosa=5,得3（2cos2a-1）-8cosa-5=0,

第”頁共ill頁

即3cos2a_4cosa-4=0,解得cosa=2（舍去），或cosa=--.

vaG（0,^,）,/.?G（y,乃）,

一五

則sina=J1-cos2a-

"3,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與二倍角公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

4.(2018?全國(guó))已知a為第二象限的角，且tana=-一，則sina+cosa=()

4

A.--B.--C.--D.-

5455

【分析】由tan。=包巴=-3,①，sin?a+cos2a=1,②，聯(lián)立①②，再結(jié)合已知條件即可求出sina,cosa

cosa4

的值，則答案可求.

【解答】解：tana=7n"=-3,①,sin2a+cos*a=\,②，

cosa4

又a為第二象限的角，

/.sina>0,cosa<0，

聯(lián)立①②，解得sina=1,cosa=-y?

則sina+cosa=--.

5

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

5.(2023?乙卷)若06(0,三)，tan^=-,則sinO-cos。=_一四

23—5-

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的坐標(biāo)定義，利用坐標(biāo)法進(jìn)行求解即可.

【解答】解：v6>e(0,-),tan6>=-=^,

23x

二令x=3,y=l,設(shè)。終邊_L一點(diǎn)的坐標(biāo)?(3,1),

則『=|。尸|=疔仔=而，

132

則sin。-cos。=-（=一一f=-一一7=

VWV10x/10

故答案為：一辿.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題上要考查三角函數(shù)值的計(jì)算，利用坐標(biāo)法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)感.

第18頁共111頁

6.(2023,全國(guó))已知sin2<9=-L,則tan6=-3-2夜.