第三章 圓習(xí)題

第三章圓

1圓

01基礎(chǔ)題

知識點1圓的有關(guān)概念

1.下列說法正確的是(￡>)

A.半圓是弧，弧也是半圓

B.過圓上任意一點只能作一條弦，且這條弦是直徑

C.弦是直徑

D.直徑是圓中最長的弦

2.下列條件中，能畫唯一圓的是(B)

A.以已知點O為圓心

B.以點O為圓心，2cM長為半徑

C.以1C777長為半徑

D.經(jīng)過已知點A,且半徑為2?！?/p>

3.已知。O的直徑AB=6c"3則圓上任意一點到圓心的距離等于(C)

A.2cmB.2.5cm

C.3cmD.無法確定

4.如圖，在。O中，AD是直徑,AC,AD是弦,劣弧是京，&).

5.(2019?陜西師大附中月考)如圖所示，MN為。O的弦，NN=50。，則/MON的度數(shù)為眥.

6.孫老師上數(shù)學(xué)課時忘記了帶圓規(guī)，但他手里有一根小細(xì)繩，你能幫他在黑板上畫一個圓嗎？并說明理由.

解：能.將小細(xì)繩繞著它的一個端點旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點走過的路線即為一個圓，理由：圓可以看成是到定

點的距離等于定長的所有點組成的圖形.

知識點2點與圓的位置關(guān)系

7.已知。0的半徑為5。加，點人到圓心0的距離0人=3”?,則點A與。O的位置關(guān)系為(B)

A.點A在圓上8.點A在圓內(nèi)

C.點A在圓外D.無法確定

8.已知點A在直徑為的。O外，則OA的長可能是(￡>)

A.2cmB.3cm

C.4cmD,5cm

9.已知。。的半徑為5,圓心O的坐標(biāo)為(0,0),點P的坐標(biāo)為(4,2),則點P與。O的位置關(guān)系是(A)

4.點P在。O內(nèi)

B.點P的。O上

C.點P在。O外

。.點P在。O上或。O外

1().已知。O的半徑為3cm。。所在的平面內(nèi)有一點P,當(dāng)PO=35Z時,點P在。O上；當(dāng)PO<3cm

時，點P在。O內(nèi)；當(dāng)PO>3的時,點P在OO外.

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11.如圖，在△ABC中，NC=90。，AC=4,AB=5,以點C為圓心，r=3為半徑作圓，判斷A,B兩點和。C

的位置關(guān)系.

CB

解：VZC=90°,AC=4,AB=5,

；.BC=3.

VAC=4>r,...點A在。C外.

：BC=3=r,.?.點B在。C上.

易錯點點的位置考慮不全導(dǎo)致漏解

12.若點P到。O上各點的最大距離為10era,最小距離為8cm,則。。的半徑為1或9cm.

02中檔題

13.（2019?聊城）如圖，BC是半圓O的直徑，D,E是R上兩點，連接BD,CE并延長交于點A,連接OD,

OE.如果NA=70。，那么/DOE的度數(shù)為（0

4.35°B.38°C.40°D.42°

14.如圖，在網(wǎng)格（每個小正方形的邊長均為1）中選取9個格點（格線的交點稱為格點）.若以A為圓心，r為半

徑畫圓，選取的格點中除點A外恰好有3個在圓內(nèi)，則r的取值范圍為（B）

A.2V2<r<V17B而CW3巾

C.y[77<r<5D.5<r<^/29

-V

-4

15.在RfZ\ABC中，NC=90。，NA=30。，以點C為圓心,CB為半徑畫圓，則斜邊AB的中點D與。C的

位置關(guān)系是點D在OC上.

16.如圖，BD,CE是AABC的高，M為BC的中點.求證點:B,C,D,E在以點M為圓心的同一個圓上.

1

BMC

證明：連接ME,MD.

VBD,CE是aABC的高，M為BC的中點，

；.ME=MD=MC=MB=gBC.

...點B,C,D,E在以點M為圓心的同一圓上.

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17.(教材P68習(xí)題T1變式)如圖，小虎牽著小狗上街，小虎的手臂與繩共2.5%(手臂與拉直的繩子在一條直線

上)，手臂肩部距地面1.5〃?.當(dāng)小虎站立不動時，小狗在平整的地面上活動的最大區(qū)域是多少？并畫出平面圖.

解：小狗在地面上環(huán)繞的圓的半徑為

、2.52-1.52=2.0(m),

S=CT2=4^(/M2),

故小狗在平整的地面上活動的最大區(qū)域是以2.0,“為半徑的圓，其面積為47r毋.

如圖:

18.如圖，CD是。O的直徑，點A在DC的延長線上，ZA=20°,AE交。。于點B,且AB=OC.

(1)求/AOB的度數(shù)；

(2)求NDOE的度數(shù).

解：⑴連接OB.

VAB=OC,OB=OC,

AAB=OB.

.,.ZAOB=ZA=20°.

(2)VNOBE=ZA+ZAOB,

ZOBE=2ZA.

VOB=OE,

AZOBE=ZE.

.,.ZE=2ZA.

ZDOE=ZA+ZE=3ZA=60°.

圓中的半徑相等，所以在圓中常會“連半徑，構(gòu)造等腰三角形”.

03綜合題

19.如圖，兩條公路OM,ON相交所成的銳角為30。，沿公路OM方向距離兩條公路的交叉處O點80機的A

處有一所學(xué)校，當(dāng)拖拉機沿ON方向行駛時，路兩旁50機內(nèi)的范圍會受到噪聲影響，已知一臺拖拉機從點O出發(fā),

沿射線ON方向行駛，它的速度為5mis,則該拖拉機行駛時給該學(xué)校帶來噪聲影響的時間是多少？

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解：過點A作ACJ_ON于點C,

VZMON=30°,OA=80m,AAC=40m.

以點A為圓心，50根為半徑作圓，交ON于B,D兩點，連接AB,AD,貝ijAB=AD=50m.

由點與圓的位置關(guān)系知,當(dāng)拖拉機在BD上行駛時，會給學(xué)校帶來噪聲影響.

在Rt/XABC中，BC=NAB2-AC2=30m,

在R/Z\ADC中，CD=A/AD2-AC2=30m,

.,.BD=BC+CD=60,加

又???拖拉機的行駛速度為5m/s,

??,影響時間為弓=12(5).

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2圓的對稱性

01基礎(chǔ)題

知識點1圓的對稱性

1.下列語句中，不正確的是(C)

A.圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸

B.圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

C.當(dāng)圓繞它的圓心旋轉(zhuǎn)89。57,時，不會與原來的圓重合

D.圓的對稱軸有無數(shù)條，對稱中心只有一個

2.如圖是兩個同心圓，其中兩條直徑互相垂直，大圓的半徑是2,則其陰影部分的面積之和為區(qū)(結(jié)果保留兀).

知識點2圓心角'弧、弦之間的關(guān)系

3.在同圓或等圓中，如果第=65,那么AB和CD的關(guān)系是(8)

A.AB>CDB.AB=CD

C.AB<CDD.AB=2CD

4.如圖，在。O中，若點C是a的中點,ZA=50°,則/BOC=(4)

4.40°B.45°

C.50°D.60°

5.如圖，AB是。O的直徑，BC=CD=DE,ZCOD=34°,則/AOE的度數(shù)是(D)

A.51°B.56°

C.68°D.78°

B

6.如圖，已知A,B,C,D是(DO上的點，Z1=Z2,則下列結(jié)論中正確的有(Z))

@AB=CD；?BD=AC：③AC=BD；④NBOD=/AOC.

A.1個8.2個

C.3個O.4個

7.如圖所示，在。O中，AC,BC是弦，根據(jù)條件填空:

⑴若AC=BC,則應(yīng)，NAOC=NBOC；

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(2)若R=前，則AC=BC,ZAOC=ZBOC；

(3)若NAOC=NBOC,則尬=匠，AC=BC.

8.如圖，AB,DE是。0的直徑，C是。O上的一點，且BE=CE.⑥與母的大小有什么關(guān)系？為什么？

解：6=日.理由如下：

TAB,DE是。。的直徑,

.?.ZAOD=ZBOE.

AAD=BE.

VBE=CE,.,.BE=CE.

.?.>W=CE.

9.如圖，在。O中，AC=CB,CD_LOA于點D,CEJ_OB于點E,求證：AD=BE.

證明：連接oc.

VAC=CB,.,.ZAOC=ZBOC.

VCD±OA,CE1OB,

；./CDO=/CEO=90。.

在aCOD和△COE中，

/DOC=NEOC,

<ZCDO=ZCEO,

_co=co,

.,.△COD絲△COE(A4S)./.OD=OE.

VAO=BO,，AD=BE.

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02中檔題

10.如圖，AB是。。的直徑，BC,CD,DA是。O的弦，且BC=CD=DA,則/BCD的度數(shù)為(。

A.100°B.110°

C.120°D,135°

I匕--《

\01

11.如圖，扇形OAB的圓心角為90。，點C,?是@的三等分點，半徑OC,OD分別與弦AB交于點E,F,

下列說法錯誤的是(A)

A.AE=EF=FBB.AC=CD=DB

C.EC=FDD.ZDFB=75°

o

CD

12.如圖，在。O中，AB=2CD,則下列結(jié)論正確的是(C)

A.AB>2CD

B.AB=2CD

C.AB<2CD

D,以上都不正確

0

13.如圖，AB是半圓0的直徑，E是OA的中點，F(xiàn)是OB的中點,.MELAB于點E,NFJ_AB于點F.下列結(jié)

論：?AM=MN=BN；②ME=NF；③AE=BF；④ME=2AE.其中正確的有①②③.

O

AEOFB

14.如圖，A,B,C為。。上的三等分點.

(1)求/BOC的度數(shù)：

(2)若AB=3,求。O的半徑長及SAABC.

A

解：(1)；A,B,C為。O上的三等分點，

AAB=BC=AC.

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.,.ZBOC=1x360°=120°,

⑵過點O作ODJ_AB于點D,

VA,B,C為。O上的三等分點，

，AB=AC=BC=3.

VOA=OB,ZAOB=120°,OD±AB,

3

AZBAO=ZOBA=30°,AD=/

???DO=坐，OA=小，即。O的半徑長為，1

SC,ABO=/DC).AB=3$.

3、Q

同理可得SaACO=Sz\BCO=4?

.0,V3A/39A/3

.?、^ABC-3入4-4.

15.如圖，正方形ABCD內(nèi)接于。O,M為俞的中點，連接BM,CM.

⑴求證：BM=CM；

(2)求/BOM的度數(shù).

解：(1)證明：?.?四邊形ABCD是正方形,

；.AB=CD,

.,.AB=CD.

為俞的中點，

.\AM=DM.

.,.AB+AM=CD+DM,B|JBM=CM.

，BM=CM.

(2)連接OA,OB,OM.

???四邊形ABCD是正方形，

.?.NAOB=90°.

VM為俞的中點，

AZAOM=45°.

/BOM=ZAOB+ZAOM=90°+45°=135°.

03綜合題

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16.如圖，A點是。0上直徑MN所分的半圓的一個三等分點，B點是AN的中點，P點是MN上一動點，OO

的半徑為3,則AP+BP的最小值為3也.

—o-p\N

*3垂徑定理

01基礎(chǔ)題

知識點1垂徑定理

1.如圖所示，。。的半徑為13,弦AB的長度是24,ON1AB,垂足為N,則ON=(A)

A.5B.7C.9D.11

如圖，在。。中，弦AB為8,圓心0到AB的距離0D為3,則。0的半徑等于(。

3.如圖，AB是。O的弦，當(dāng)半徑OA=4,NAOB=120。時,弦AB的長為(￡))

A.2B.4C.2小D.4小

4.如圖，己知。0的直徑AB_LCD于點E,則下列結(jié)論錯誤的是(B)

A?CE=DEB.AE=OE

CBC=BDD.AOCE^AODE

5.如圖，。。的直徑為10,弦AB=8,P是AB上一個動點，則OP的最小值為工

Q

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6.如圖，AB為。0的直徑，弦CDJ_AB于點E,已知CD=6,EB=1,則。O的半徑為，

知識點2垂徑定理的推論

7.如圖，。。的半徑為10,M是弦AB的中點，且OM=6,則。O的弦AB等于（0

A.8

B.10

C.12

D.16

知識點3垂徑定理的應(yīng)用

8.如圖，在半徑為13cm的圓形鐵片上切下一塊高為8的弓形鐵片，則弓形弦AB的長為（C）

A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm

9.如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面直徑是1m其中水面的寬AB為0.8如則排水管內(nèi)水的深度為

0.8

10.（教材P76隨堂練習(xí)71變式）如圖所示，某窗戶由矩形和弓形組成，已知弓形的跨度AB=3根，弓形的高

EF=1m,現(xiàn)計劃安裝玻璃，請幫工程師求出定B所在。O的半徑r.

解：二,弓形的跨度AB=3加，EF為弓形的高,

AOE1AB.

，AF=/AB=/m.

???晶所在。O的半徑為r,弓形的高EF=lm,

AAO=r,OF=r-l.

在對△AOF中，AO2=AF2+OF2,

3

-13

28-

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故「=號m.

易錯點忽略垂徑定理的推論中的條件“不是直徑”

11.下列說法正確的是(￡>)

4.過弦的中點的直徑平分弦所對的兩條弧

B.弦的垂直平分線平分它所對的兩條弧，但不一定過圓心

C.,過弦的中點的直徑垂直于弦

D..平分弦所對的兩條弧的直徑平分弦

02中檔題

12.如圖，CD為。O的直徑，弦AB_LCD,垂足為M.若AB=12,OM：MD=5：8,則。O的周長為(3)

A.26萬B.13乃

駒39vl加

5D5

13.如圖，在。O中，相等的弦AB,AC互相垂直，OE_LAC于點E,ODLAB于點D,則四邊形OEAD為(A)

4.正方形B.菱形

C.矩形D.平行四邊形

14.(2018?孝感)已知。。的半徑為10。〃?，AB,CD是。O的兩條弦，AB〃CD,AB=16cm,CD=12cm,

則弦AB和CD之間的距離是2或14cm.

15.(2019?嘉興)如圖，在。O中，弦AB=1,點C在AB上移動，連接OC,過點C作CDLOC交。O于點D,

則CD的最大值為右

A

16.(2019?德州)如圖，CD為。。的直徑，弦ABJ_CD,垂足為E,AB=BF,CE=1,AB=6,則弦AF的長

度釁

17.(教材產(chǎn)77習(xí)題73變式)已知在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C,D(如圖).

(1)求證：AC=BD；

(2)若大圓的半徑R=10,小圓的半徑r=8,且圓心O到直線AB的距離為6,求AC的長.

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解：(1)證明：過點0作OELAB,垂足為E,

則AE=BE,CE=DE,

；.AE-CE=BE-DE,

即AC=BD.

(2)由(1)可知，OE±AB,0E1CD,

連接OC,OA.

VOE=6,

CE=^OC2-OE2-^/82-62=2干，

，AC=AE-CE=8-2"

03綜合題

18.如圖，某地有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度AB為7.2小，拱高CD為2.4機

(1)求拱橋的半徑；

(2)現(xiàn)有一艘寬3m,船艙頂部為長方體形并高出水面2m的貨船要經(jīng)過這里，問此貨船能順利通過拱橋嗎?

解：⑴連接0B.

VOC1AB,

；.D為AB的中點.

VAB=7.2w,

，BD=；AB=3.6m.

設(shè)OB=OC=r,則OD=(r-2.4>z.

在放Z\BOD中，根據(jù)勾股定理，得

r2=(r-2.4)2+3.62,解得r=3.9.

.,.拱橋的半徑為3.9m.

(2)令船艙頂部所在直線分別與圓弧交于點M,N(N在M的右邊)，連接ON,連接MN,交CO于點E.

：CD=2.4w,船艙頂部為長方體形并高出水面2根，...CE=2.4—2=0.4(,〃).

.??OE=r-CE=3.9-0.4=3.5(機).

在MZXOEN中，EN2=ON2-OE2=3,92-3.52=2.96(/n2),

；0=隹礪m,

MN=2EN=2X隹滅-3.44(〃?)>3m.

...此貨船能順利通過這座拱橋.

19.(2019?商洛商南縣一模)如圖，將半徑為的圓折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，則折痕的長為(B)

A.25cm

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B.4小cm

C.y[3cm

D.y/2cm

3.4圓周角和圓心角的關(guān)系

第1課時圓周角定理及其推論1

01基礎(chǔ)題

知識點1圓周角的概念

1.下列四個圖中，/X是圓周角的是（。

30

ABCD

知識點2圓周角定理

2.如圖，A,B,C是OO上的三點，BC是。。的直徑，/<B=30°,則NAOC的度數(shù)是(A)

A.60°B.55°

C.50°D.40°

3.（2018?衢州）如圖，點A,B,C在。0上，3ACB=35。,則NAOB的度數(shù)是(B)

4?75°B.70°

C「.OJUr\.”。

4.（2019?西安蓮湖區(qū)二模）如圖，NA是。0的圓周角,ZA=50°,則NOBC的度數(shù)為（3）

A.30°B.40°C.50°D.60°

￡

5.（2019湖州）已知一條弧所對的圓周角的度數(shù)是15°,則它所對的圓心角的度數(shù)是302.

6.如圖，4ABC內(nèi)接于。0,若NOAB=32。，!iliJZC=582.

S

（

知識點3圓周角定理的推論1

7.（教材尸80隨堂練習(xí)72變式）（2017?柳州）如圖,在。0中與N1一定相等的角是（4）

第13頁共81頁

A.Z2

B.Z3

C.Z4

D.Z5

8.如圖，在。O中，AB=BC,點D在。O上，NCDB=25。，則NAOB=(3)

9.如圖，。。的直徑AB過弦CD的中點E.若NC=25。，則ND=奐S

10.如圖，已知A,B,C,D是。O上的四個點，AB=BC,BD交AC于點E,連接CD,AD.求證：DB平

分NADC.

證明：?.?AB=BC,

AAB=BC.

，NADB=NBDC.

ADB平分NADC.

易錯點忽略弦所對的圓周角不唯一而致錯

11.在直徑為4的。O中，弦AB=2小，點C是圓上不同于A,B的點，那么NACB的度數(shù)為60。或120。.

02中檔題

12.如圖，點A,B,C是。。上的三點，且四邊形ABCO是平行四邊形，OFLOC交。。于點F,貝ijNBAF

等于(8)

A.12.5°

B.15°

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C.20°

D.22.5°

13.如圖，A,B,C,D是。O上的四個點，B是R的中點，M是半徑OD上任意一點.若NBDC=40。，則

ZAMB的度數(shù)不可能是(0

14.(2019?陜西二模)如圖，點D,E分別是。。的內(nèi)接正三角形ABC的AB,AC邊的中點.若DE=小,則

。。的半徑為

15.如圖，AB是。O的一條弦，OD_LAB,垂足為C,交。O于點D,點E在。O上.

(1)若NAOD=52。，求NDEB的度數(shù)；

(2)若OC=3,0A=6,求S〃/DEB的值.

解：⑴連接0B.

VOD±AB,.,.AD=BD.

AZBOD=ZAOD=52°.

.?.ZDEB=|ZBOD=26°.

(2)VOD1AB,0C=3,0A=6,

.*.OC=^OA,即/OAC=30°.

.?.ZAOC=60°.

ZDEB=|zBOD=|zAOC=30°.

J3

tanXDEB=■

03綜合題

16.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,點E在對角線AC上，EC=BC=DC.

⑴若NCBD=39。,求NBAD的度數(shù);

(2)求證：Z1=Z2.

第15頁共81頁

解：(1)VBC=DC,

ABC=DC.

JZBAC=NCAD=ZCBD.

VZCBD=39°,

，NBAC=NCAD=39。.

NBAD=NBAC+ZCAD=78°.

(2)證明：???EC=BC,

，NCBE=NCEB.

VZCBE=Z1+ZCBD,NCEB=N2+NBAC,

AZ1+NCBD=Z2+ZBAC.

又?.?NBAC=NCBD,AZ1=Z2.

17.（2019?陜西）如圖，AB是。O的直徑，EF,EB是。O的弦，且EF=EB,EF與AB交于點C,連接OF.若

ZAOF=40°,則/F的度數(shù)是⑻

A.20°

B.35°

C.40°

D.55°

o?oo構(gòu)造同弧或等弧所對的圓周角或圓心角解題

【模型展示】

1.（2019?連云港）如圖，點A,B,C在。0上，BC=6,ZBAC=30°,則OO的半徑為d

2.如圖，AB是。。的直徑，弦CD垂直平分OB,P是G上一點，則NAPD等于位.

第16頁共81頁

第2課時圓周角定理的推論2,3

01基礎(chǔ)題

知識點1圓周角定理的推論2

1.如圖，已知AB是AABC外接圓的直徑，ZA=35°,則NB的度數(shù)是（C）

A.35°

B.45°

C.55°

D.65°

2.（教材尸83隨堂練習(xí)72變式）從下列直角三角板與圓弧的位置關(guān)系中，可判斷圓弧為半圓的是（8）

3.（2018?南充）如圖，BC是。O的直徑，點A是。O上的一點,ZOAC=32°,則NB的度數(shù)是(A)

58°B.60°

C.64°D.68°

4.如圖，把直角三角板的直角頂點O放在破損玻璃鏡的圓周上,兩直角邊與圓弧分別交于點M,N,量得OM

=8cm,ON=6c、機，則該圓玻璃鏡的半徑是(8)

A.y[i0cmB.5cm

C.6cmD.10cm

5.如圖，AB是。0的直徑，點C是。O上的一點，過點C作CD_LAB于點D.若AB=10,BC=6,則CD的

長為（O

第17頁共81頁

4.1.2

B.2.4

C.4.8

D.5

6.如圖，在半徑為5cm的。O中，AB為直徑，ZACD=30°,求弦BD的長.

解：???AB為直徑，

???NADB=90。.

又；NABD=ZACD=30°,

A

???BD=ABcosNABD=10義苧=5小(cm).

知識點2圓周角定理的推論3

7.(2019?蘭州)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O.若NA=40。，則NC=(D)

D

A.110°

B.120°

C.135°

D.140°

8.如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，E是BC延長線上一點.若NBAD=105。，則NDCE的大小是(8)

9.(2018?邵陽)如圖所示，四邊形ABCD為。O的內(nèi)接四邊形，ZBCD=120°,則NBOD的大小是(3)

A.80°B.120°

C.100°D.90°

?

10.如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，m空NA,ZB,NC的度數(shù)之比為4：3：5,則ND的度數(shù)是120。.

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易錯點對圓內(nèi)接四邊形的概念理解不清導(dǎo)致錯誤

11.如圖，在。0中，點A,B,C在。0上，且/ACB=110。，則/a=140。.

02中檔題

12.（2019?荷澤）如圖，AB是。。的直徑，C,D是。O上的兩點，且BC平分NABD,AD分別與BC,OC相

交于點E,F,則下列結(jié)論不一定成立的是（O

A.OC//BDB.AD±OC

C.ACEF^ABEDD.AF=FD

13.（2019?寶雞模擬）如圖，AB是。。的直徑，NBOD=120。，點C為配）的中點，AC交OD于點E,OB=2,

則AE的長為（4）

A4B.讓C.2小D.2小

?

C

14.（2019?西安蓮湖區(qū)一模）如圖,直徑為10的。A經(jīng)過點C（0,5）和點0（0,0）,B是y軸右側(cè)。A優(yōu)弧上一

點，則NOBC的余弦值為（C）

41西力4

15.（2019?東營）如圖，AC是。O的弦，AC=5,點B是。。上的一個動點,且NABC=45。.若點M,N分別

是AC,BC的中點，則MN的最大值是乎.

&

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16.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,NB=50。，ZACD=25°,/BAD=65。.求證:

(1)AD=CD；

(2)AB是。O的直徑.

證明：（1）；四邊形ABCD內(nèi)接于

.?.ZD=180°-ZB=130°.

VZACD=25°,

ZDAC=180°—ND—ZACD=180°-130°-25°=25°.

AZDAC=ZACD.

AAD=CD.

（2）：NBAC=NBAD—/DAC=65°-25°=40°,NB=50°,

AZACB=180°-ZB-ZBAC=180°-50°-40°=90°.

AAB是。O的直徑.

17.（2018?宜昌）如圖，在4ABC中，AB=AC.以AB為直徑的半圓交AC于點D,交BC于點E.延長AE至點

,使EF=AE,連接FB,FC.

（1）求證：四邊形ABFC是菱形；

（2）若AD=7,BE=2,求半圓和菱形ABFC的面積.

解：（1）證明：：AB為半圓的直徑，

AZAEB=90°.

VAB=AC,

ACE=BE.

又：EF=AE,

...四邊形ABFC是平行四邊形.

又；AB=AC（或/AEB=90。），

...四邊形ABFC是菱形.

⑵連接BD.

VAD=7,BE=CE=2,

.,.設(shè)CD=x,則AB=AC=7+x.

：AB為半圓的直徑，...NADB=90。.

/.AB2-AD2=CB2-CD2,

即（7+X）2-72=42-X2.

解得X|=l,X2=—8（舍去）.

；.AB=8,BD=VB.

1,

??S華圓=/X4~=8TT,

S芟形ABFC=8X=SyfTs.

03綜合題

18.如圖，在aABC中，ZC=60°,以AB為直徑的半圓O分別交AC,BC于點D,E,已知。。的半徑為

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2^3.

(1)求證：ACDE^ACBA；

(2)求DE的長.

解：(1)證明：?.?四邊形ABED為。O的內(nèi)接四邊形,

.,.ZA+ZBED=180°.

又：NBED+NCED=180°,；.NCED=NA.

又,:ZC=ZC,

/.△CDE^ACBA.

⑵連接AE.

DECE

由(1)得BA=CA'

VAB為。0的直徑，OO的半徑為2小，

AZAEB=ZAEC=90°,AB=4小.

在RfZXAEC中，?；NC=60。，，NCAE=30。.

.DE_-CE_-l-.DnFh--29^

,?4^3CA2--v3.

19.(2019?陜西模擬)如圖，四邊形ABCD為。。的內(nèi)接四邊形，AO1BC,垂足為E.若NADC=130。，則NBDC

的度數(shù)為(8)

A.70°

B.80°

C.75°

D.60°

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小專題（七）一道中考題的變式與應(yīng)用

中考真題展示

（2019?宜賓）如圖，。0的兩條相交弦AC,BD,/ACB=/CDB=60。，AC=2小，則。O的面積是犯.

中考真題變式

如圖，A,P,B,C是。O上的四個點，NAPC=NCPB=60。.判斷aABC的形狀，并證明你的結(jié)論.

解：AABC為等邊三角形.

證明：\'ZAPC=ZABC,ZCPB=ZBAC,且NAPC=NCPB=60。,

，NABC=NBAC=60。.

AZACB=60°.

?二△ABC為等邊三角形.

【問題延伸1】求證：PA+PB=PC.

A

—7c

證明：在PC上截取PD=AP,連接AD,如圖.

VZAPC=60°,

???△APD是等邊三角形.

，AD=AP=PD,ZADP=60°.

.?.ZADC=120°,

YNAPB=NAPC+ZBPC=120°,

，NADC=NAPB.

（ZABP=ZACD,

在AAPB和AADC中，，NAPB=NADC,

[AP=AD,

???△APBgZ\ADC（A4S）.

???BP=CD.

又?.?PD=AP,???PA+PB=PC.

【問題延伸2】若。。的半徑為8,則圓心O到BC的距離為4.

證明線段的和、差、倍、分問題的常見做法是“截長補短”法，具體做法是：在某一條線段上截取一條線段與

特定線段相等，或?qū)⒛硹l線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明.

【問題延伸3】若BC=2小，點P是&上一動點（異于點A,B）,求PA+PB的最大值.

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解：由“問題延伸1"知PA+PB=PC,要使PA+PB最大，則PC為直徑，作直徑BG,連接CG.ZG-ZBAC

=60°,ZBCG=90°.VBC=2V3>BG=4.PA+PB的最大值為4.

直徑是圓中最長的一條弦，在求最值的問題中經(jīng)常用到這一結(jié)論.

變式訓(xùn)練

1.如圖，四邊形APBC是圓內(nèi)接四邊形，延長BP至E,若/EPA=/CPA,判斷AABC的形狀，并證明你的

結(jié)論.

解：4ABC是等腰三角形.證明：

?.?四邊形APBC是圓內(nèi)接四邊形，

.,.ZEPA=ZACB.

：/EPA=NCPA,/CPA=NABC,

AZACB=ZABC.

AAB=AC.

...△ABC是等腰三角形.

2.如圖，點A,B,C,D在同一個圓上，且C點為一動點(點C不在BAD上，且不與點B,D重合)，ZACB

=NABD=45°.

(1)求證：BD是該圓的直徑；

(2)連接CD,求證：巾AC=BC+CD.

證明：(1)；/ACB=NADB=45°,/ABD=45°,

AZBAD=90°.

ABD是該圓的直徑.

(2)在CD的延長線上截取DE=BC,連接EA.

VZABD=ZADB,；.AB=AD.

VZADE+ZADC=180°,ZABC+ZADC=180°,AZABC=ZADE.

在aABC和AADE中，

AB=AD,

<ZABC=ZADE,

BC=DE,

.,.△ABCg^ADE(SAS).

；./BAC=NDAE,BC=DE.

ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

即/BAD=/CAE=90°.

VZACD=ZABD=45°,

.,.△CAE是等腰直角三角形.

.AC=CE=DE+CD=BC+CD.

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在圓中，若出現(xiàn)角平分線或等弦問題一般可以嘗試旋轉(zhuǎn)法.如圖，AD平分/BAC交。O于點D（或BD=CD）,

可以將4ABD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)NBDC的度數(shù)，得4ECD.

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小專題（八）與圓的基本性質(zhì)有關(guān)的計算

類型1求角度

L（2019?陜西一模）如圖所示，點A,B,C,D在。O上，CD是直徑，ZABD=75°,則NAOC的度數(shù)為（。

2.（2019?寶雞岐山縣二模）如圖，點A,B,C,D在OO上，CB=CD,ZCAD=30°,NACD=50。，則NADB

的度數(shù)為（。

A.30°B.50°C.70°D.80°

3.（2019?天水）如圖，四邊形ABCD是菱形，。。經(jīng)過點A,C,D,與BC相交于點E,連接AC,AE.若ND

=80°,則NEAC的度數(shù)為（O

A.20°B.25°C.30°D.35°

。3

B￡----

4.（2018?陜西）如圖，Z\ABC是。。的內(nèi)接三角形，AB=AC,ZBCA=65°,作CD〃AB,并與。。相交于點

D,連接BD,則NDBC的大小為（A）

A.15°B.35°C.25。D.45°

A

5.（201a陜西二樓）如圖，AB是00的直任，點DC,在OO上.若NDCB=110。，則NAED的度數(shù)為（8）

A

■

A.15°

B.20°

C.25°

D.30°

6.如圖，AB是。O的直徑，CD是。O的弦，BA,DC的延長線交于點E,AB=2CE,NE=25。，則NBOD

=75。.

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I)

七

7.如圖，在。0中，/OAB=22.5。,則/C的度數(shù)為112.5。

C

類型2求長度

8.（2019?西安工大附中一模）如圖,,已知