Acm競(jìng)賽常用算法與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

Acm競(jìng)賽常用算法與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

主講人：目錄基礎(chǔ)算法01圖論算法03高級(jí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)05高級(jí)算法02數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)04算法優(yōu)化技巧06基礎(chǔ)算法01排序算法冒泡排序通過(guò)重復(fù)交換相鄰的逆序元素，使得較小的元素逐漸“浮”到數(shù)組的頂端。冒泡排序歸并排序?qū)?shù)組分成兩半，分別排序后，再將結(jié)果合并成一個(gè)有序數(shù)組，適用于鏈表和數(shù)組。歸并排序快速排序通過(guò)選擇一個(gè)“基準(zhǔn)”元素，將數(shù)組分為兩部分，一部分都比基準(zhǔn)小，另一部分都比基準(zhǔn)大?？焖倥判?10203排序算法插入排序插入排序通過(guò)構(gòu)建有序序列，對(duì)于未排序數(shù)據(jù)，在已排序序列中從后向前掃描，找到相應(yīng)位置并插入。選擇排序選擇排序每次從未排序序列中選出最?。ɑ蜃畲螅┰兀娣诺脚判蛐蛄械钠鹗嘉恢茫钡饺看判虻臄?shù)據(jù)元素排完。搜索算法DFS通過(guò)遞歸或棧實(shí)現(xiàn)，常用于解決迷宮問(wèn)題、圖的遍歷等，如在解決八皇后問(wèn)題中的應(yīng)用。BFS使用隊(duì)列實(shí)現(xiàn)，適用于最短路徑問(wèn)題，例如在社交網(wǎng)絡(luò)中尋找兩個(gè)人之間的最短聯(lián)系路徑。深度優(yōu)先搜索（DFS）廣度優(yōu)先搜索（BFS）數(shù)學(xué)算法快速冪算法歐幾里得算法用于計(jì)算兩個(gè)正整數(shù)a和b的最大公約數(shù)，是數(shù)論中非?；A(chǔ)且重要的算法。通過(guò)二分冪的方式高效計(jì)算a的n次冪對(duì)m取模的結(jié)果，常用于解決大數(shù)冪運(yùn)算問(wèn)題。線(xiàn)性同余生成器一種基于線(xiàn)性同余方程的偽隨機(jī)數(shù)生成算法，廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)模擬和算法測(cè)試中。高級(jí)算法02動(dòng)態(tài)規(guī)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃是解決多階段決策問(wèn)題的一種方法，通過(guò)將問(wèn)題分解為相互關(guān)聯(lián)的子問(wèn)題來(lái)求解。動(dòng)態(tài)規(guī)劃基礎(chǔ)背包問(wèn)題是最經(jīng)典的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題之一，要求在限定的總重量?jī)?nèi)，選擇物品裝入背包以達(dá)到最大價(jià)值。典型問(wèn)題：背包問(wèn)題動(dòng)態(tài)規(guī)劃狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的核心，它描述了問(wèn)題的最優(yōu)解是如何從子問(wèn)題的最優(yōu)解中構(gòu)建出來(lái)的。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程1記憶化搜索是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的一種實(shí)現(xiàn)方式，通過(guò)存儲(chǔ)已解決的子問(wèn)題答案來(lái)避免重復(fù)計(jì)算，提高效率。記憶化搜索2貪心算法貪心算法是一種在每一步選擇中都采取在當(dāng)前狀態(tài)下最好或最優(yōu)（即最有利）的選擇，從而希望導(dǎo)致結(jié)果是全局最好或最優(yōu)的算法。貪心算法的基本概念例如，找零錢(qián)問(wèn)題中，使用貪心算法選擇最大面額的硬幣，可以快速得到最少硬幣數(shù)量的解。貪心算法的應(yīng)用實(shí)例貪心算法并不總是能得到全局最優(yōu)解，例如在旅行商問(wèn)題中，貪心選擇可能會(huì)導(dǎo)致無(wú)法找到最短路徑。貪心算法的局限性與動(dòng)態(tài)規(guī)劃相比，貪心算法通常更簡(jiǎn)單、效率更高，但其正確性需要更嚴(yán)格的證明。貪心算法與其他算法的比較分治算法分治算法將大問(wèn)題分解為小問(wèn)題，獨(dú)立解決后再合并結(jié)果，如快速排序和歸并排序。分治算法的基本概念01快速排序通過(guò)選擇一個(gè)基準(zhǔn)元素，將數(shù)組分為兩部分，遞歸排序，是分治法的經(jīng)典應(yīng)用?？焖倥判蛩惴?2歸并排序?qū)?shù)組分成更小的數(shù)組，排序后合并，體現(xiàn)了分而治之的思想，適用于鏈表排序。歸并排序算法03二分搜索通過(guò)分治策略，在有序數(shù)組中快速定位元素，是高效查找算法的代表。二分搜索算法04圖論算法03圖的遍歷01DFS通過(guò)遞歸或棧實(shí)現(xiàn)，用于遍歷或搜索樹(shù)或圖的結(jié)構(gòu)，常用于解決路徑問(wèn)題。深度優(yōu)先搜索(DFS)02BFS使用隊(duì)列實(shí)現(xiàn)，逐層遍歷圖的節(jié)點(diǎn)，適用于最短路徑和連通性問(wèn)題。廣度優(yōu)先搜索(BFS)03在有向無(wú)環(huán)圖(DAG)中，拓?fù)渑判驅(qū)⒐?jié)點(diǎn)線(xiàn)性排序，常用于任務(wù)調(diào)度和課程安排。拓?fù)渑判蜃疃搪窂紻ijkstra算法用于計(jì)算單源最短路徑，適用于帶權(quán)重的有向圖，不能處理負(fù)權(quán)重邊。Dijkstra算法01Bellman-Ford算法可以處理帶有負(fù)權(quán)重邊的圖，但不能有負(fù)權(quán)重循環(huán)。Bellman-Ford算法02Floyd-Warshall算法用于計(jì)算所有頂點(diǎn)對(duì)之間的最短路徑，適用于稠密圖。Floyd-Warshall算法03A*算法結(jié)合了最佳優(yōu)先搜索和Dijkstra算法，常用于路徑規(guī)劃和游戲開(kāi)發(fā)中。A*搜索算法04最小生成樹(shù)Kruskal算法通過(guò)邊的權(quán)重來(lái)構(gòu)造最小生成樹(shù)，它將邊按權(quán)重排序，逐步添加到生成樹(shù)中。Kruskal算法Prim算法從一個(gè)頂點(diǎn)開(kāi)始，逐步增加邊和頂點(diǎn)，直到生成樹(shù)包含所有頂點(diǎn)，構(gòu)建最小生成樹(shù)。Prim算法在電路設(shè)計(jì)、網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建等領(lǐng)域，最小生成樹(shù)算法能有效減少成本，如Google地圖的路徑規(guī)劃。最小生成樹(shù)的應(yīng)用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)04數(shù)組與鏈表數(shù)組是一種線(xiàn)性數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，通過(guò)連續(xù)的內(nèi)存空間存儲(chǔ)相同類(lèi)型的數(shù)據(jù)，具有固定大小。01數(shù)組的定義與特性鏈表由一系列節(jié)點(diǎn)組成，每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含數(shù)據(jù)和指向下一個(gè)節(jié)點(diǎn)的指針，具有動(dòng)態(tài)大小。02鏈表的定義與特性數(shù)組訪(fǎng)問(wèn)速度快，但插入和刪除操作效率低；鏈表插入和刪除快，但訪(fǎng)問(wèn)速度慢。03數(shù)組與鏈表的性能比較在ACM競(jìng)賽中，數(shù)組常用于實(shí)現(xiàn)快速查找和排序算法，如二分查找、快速排序。04數(shù)組在ACM中的應(yīng)用鏈表在ACM競(jìng)賽中用于解決需要頻繁插入和刪除的場(chǎng)景，如實(shí)現(xiàn)隊(duì)列和棧。05鏈表在ACM中的應(yīng)用棧與隊(duì)列棧是一種后進(jìn)先出（LIFO）的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，常用于實(shí)現(xiàn)函數(shù)調(diào)用、撤銷(xiāo)操作等。棧的基本概念在瀏覽器的后退功能中，使用棧來(lái)存儲(chǔ)訪(fǎng)問(wèn)過(guò)的頁(yè)面，實(shí)現(xiàn)后退到上一個(gè)頁(yè)面的操作。棧的應(yīng)用實(shí)例隊(duì)列是一種先進(jìn)先出（FIFO）的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，廣泛應(yīng)用于任務(wù)調(diào)度、緩沖處理等場(chǎng)景。隊(duì)列的基本概念在打印任務(wù)管理中，使用隊(duì)列來(lái)控制文檔的打印順序，確保先到的文檔先被打印。隊(duì)列的應(yīng)用實(shí)例樹(shù)與圖樹(shù)是一種非線(xiàn)性數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，具有根節(jié)點(diǎn)、子節(jié)點(diǎn)和無(wú)環(huán)的特性，常用于表示層次關(guān)系。樹(shù)的定義與特性二叉樹(shù)遍歷包括前序、中序、后序和層次遍歷，是解決樹(shù)形結(jié)構(gòu)問(wèn)題的基礎(chǔ)算法。二叉樹(shù)遍歷算法圖由頂點(diǎn)和邊組成，分為有向圖和無(wú)向圖，廣泛應(yīng)用于社交網(wǎng)絡(luò)、地圖導(dǎo)航等領(lǐng)域。圖的分類(lèi)與應(yīng)用樹(shù)與圖圖的搜索算法如深度優(yōu)先搜索(DFS)和廣度優(yōu)先搜索(BFS)，用于遍歷圖中的所有頂點(diǎn)。圖的搜索算法最小生成樹(shù)算法如普里姆(Prim)和克魯斯卡爾(Kruskal)算法，用于在加權(quán)無(wú)向圖中找到最小權(quán)重的連通子圖。最小生成樹(shù)算法高級(jí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)05哈希表哈希沖突解決方法哈希表的基本概念哈希表是一種通過(guò)哈希函數(shù)將鍵映射到存儲(chǔ)位置的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)快速查找。常見(jiàn)的哈希沖突解決方法包括開(kāi)放尋址法和鏈表法，各有優(yōu)缺點(diǎn)。哈希表的應(yīng)用實(shí)例例如，編程語(yǔ)言中的字典和集合通?；诠１韺?shí)現(xiàn)，以支持快速的鍵值對(duì)操作。平衡樹(shù)AVL樹(shù)是一種自平衡二叉搜索樹(shù)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)操作保持樹(shù)的平衡，適用于頻繁查找的場(chǎng)景。紅黑樹(shù)是一種自平衡的二叉搜索樹(shù)，通過(guò)顏色標(biāo)記和旋轉(zhuǎn)操作維護(hù)樹(shù)的平衡，廣泛應(yīng)用于C++STL中。AVL樹(shù)紅黑樹(shù)平衡樹(shù)Treap樹(shù)Splay樹(shù)01Treap樹(shù)結(jié)合了二叉搜索樹(shù)和堆的特性，通過(guò)隨機(jī)優(yōu)先級(jí)來(lái)平衡樹(shù)，常用于解決區(qū)間查詢(xún)問(wèn)題。02Splay樹(shù)是一種自適應(yīng)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)操作將訪(fǎng)問(wèn)過(guò)的節(jié)點(diǎn)移動(dòng)到樹(shù)根，適用于實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)優(yōu)先隊(duì)列。線(xiàn)段樹(shù)與樹(shù)狀數(shù)組線(xiàn)段樹(shù)是一種二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)，用于存儲(chǔ)區(qū)間或線(xiàn)段的集合，支持快速查詢(xún)和修改。線(xiàn)段樹(shù)基礎(chǔ)在ACM競(jìng)賽中，線(xiàn)段樹(shù)常用于解決區(qū)間查詢(xún)和更新問(wèn)題，如動(dòng)態(tài)區(qū)間求和、最小值查詢(xún)等。線(xiàn)段樹(shù)的應(yīng)用實(shí)例樹(shù)狀數(shù)組（BinaryIndexedTree）是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，用于高效處理前綴和問(wèn)題，支持區(qū)間更新。樹(shù)狀數(shù)組原理樹(shù)狀數(shù)組在處理動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)的前綴和問(wèn)題時(shí)非常高效，例如在解決連續(xù)子數(shù)組的最大和問(wèn)題中表現(xiàn)突出。樹(shù)狀數(shù)組的應(yīng)用實(shí)例01020304算法優(yōu)化技巧06時(shí)間復(fù)雜度優(yōu)化通過(guò)記憶化搜索或表格填充，避免重復(fù)計(jì)算，將某些遞歸算法的時(shí)間復(fù)雜度從指數(shù)級(jí)降低到多項(xiàng)式級(jí)。動(dòng)態(tài)規(guī)劃優(yōu)化01在有序數(shù)據(jù)集中使用二分查找，將查找時(shí)間復(fù)雜度從O(n)降低到O(logn)。二分查找應(yīng)用02將大問(wèn)題分解為小問(wèn)題，遞歸求解后合并結(jié)果，如快速排序和歸并排序，優(yōu)化算法效率。分治法改進(jìn)03在滿(mǎn)足局部最優(yōu)解的情況下，選擇當(dāng)前最優(yōu)解，以期望達(dá)到全局最優(yōu)，如最小生成樹(shù)的Kruskal算法。貪心算法策略04空間復(fù)雜度優(yōu)化01位運(yùn)算可以減少存儲(chǔ)空間，例如使用位數(shù)組代替布爾數(shù)組，有效降低空間復(fù)雜度。使用位運(yùn)算02通過(guò)增加額外空間來(lái)存儲(chǔ)中間結(jié)果，如動(dòng)態(tài)規(guī)劃中的表格法，可以顯著減少重復(fù)計(jì)算?？臻g換時(shí)間策略03選擇合適的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，例如使用哈希表代替數(shù)組來(lái)存儲(chǔ)數(shù)據(jù)，可以?xún)?yōu)化空間使用。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化04通過(guò)循環(huán)使用內(nèi)存塊或重用已釋放的內(nèi)存，可以減少程序運(yùn)行時(shí)的內(nèi)存占用。內(nèi)存復(fù)用技術(shù)特殊問(wèn)題的優(yōu)化方法記憶化搜索在解決具有重疊子問(wèn)題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，記憶化搜索可以避免重復(fù)計(jì)算，提高效率。雙向搜索對(duì)于某些路徑搜索問(wèn)題，從起點(diǎn)和終點(diǎn)同時(shí)進(jìn)行搜索可以顯著減少搜索空間，加快找到解的速度。啟發(fā)式搜索在圖搜索問(wèn)題中，使用啟發(fā)式函數(shù)可以引導(dǎo)搜索過(guò)程，優(yōu)先探索更有可能接近目標(biāo)的路徑。Acm競(jìng)賽常用算法與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(1)

常用算法01常用算法1.排序算法冒泡排序：通過(guò)相鄰元素的比較和交換，將較大的元素逐漸“浮”到數(shù)組的末尾。選擇排序：每次從未排序的部分選擇最小的元素，放到已排序部分的末尾。插入排序：將未排序的元素逐個(gè)插入到已排序部分的合適位置?？焖倥判颍翰捎梅种畏ǖ乃枷?，通過(guò)選擇一個(gè)基準(zhǔn)元素，將數(shù)組分為兩部分，然后遞歸地對(duì)這兩部分進(jìn)行排序。歸并排序：采用分治法的思想，將數(shù)組分為兩部分，分別對(duì)這兩部分進(jìn)行排序，然后將排序后的兩部分合并成一個(gè)有序數(shù)組。常用算法2.查找算法線(xiàn)性查找：從數(shù)組的第一個(gè)元素開(kāi)始，逐個(gè)檢查每個(gè)元素，直到找到目標(biāo)元素或遍歷完整個(gè)數(shù)組。二分查找：在有序數(shù)組中，每次取中間元素與目標(biāo)元素進(jìn)行比較，根據(jù)比較結(jié)果縮小查找范圍，直到找到目標(biāo)元素或范圍為空。哈希查找：通過(guò)哈希函數(shù)將目標(biāo)元素映射到一個(gè)數(shù)組索引，從而實(shí)現(xiàn)快速查找。常用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)02常用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)1.數(shù)組數(shù)組是一種連續(xù)存儲(chǔ)固定數(shù)量相同類(lèi)型元素的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。它具有訪(fǎng)問(wèn)速度快、插入和刪除操作相對(duì)較慢的特點(diǎn)。2.鏈表鏈表是一種由節(jié)點(diǎn)組成的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含一個(gè)元素和一個(gè)指向下一個(gè)節(jié)點(diǎn)的指針。鏈表具有插入和刪除操作靈活、訪(fǎng)問(wèn)速度相對(duì)較慢的特點(diǎn)。3.棧棧是一種后進(jìn)先出（LIFO）的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，只允許在棧頂進(jìn)行插入和刪除操作。棧常用于解決遞歸問(wèn)題、括號(hào)匹配等問(wèn)題。常用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)4.隊(duì)列隊(duì)列是一種先進(jìn)先出（FIFO）的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，只允許在隊(duì)尾插入元素，隊(duì)頭刪除元素。隊(duì)列常用于解決排隊(duì)問(wèn)題、廣度優(yōu)先搜索等問(wèn)題。5.樹(shù)樹(shù)是一種分層的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，由節(jié)點(diǎn)組成，每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含一個(gè)元素和一個(gè)指向子節(jié)點(diǎn)的指針集合。樹(shù)常用于解決文件系統(tǒng)、搜索引擎等問(wèn)題。6.圖圖是一種由節(jié)點(diǎn)和邊組成的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，表示實(shí)體之間的連接關(guān)系。圖常用于解決網(wǎng)絡(luò)爬蟲(chóng)、社交網(wǎng)絡(luò)分析等問(wèn)題。應(yīng)用實(shí)例03應(yīng)用實(shí)例在Acm競(jìng)賽中，熟練掌握上述算法和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的應(yīng)用是取得好成績(jī)的關(guān)鍵。例如，在解決一道涉及數(shù)組排序的問(wèn)題時(shí)，可以選擇快速排序或歸并排序以提高排序效率；在解決一道涉及查找的問(wèn)題時(shí)，可以選擇二分查找或哈希查找以加快查找速度?？傊惴ê蛿?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是Acm競(jìng)賽的核心內(nèi)容。通過(guò)熟練掌握這些基本概念和技巧，可以在競(jìng)賽中更好地解決問(wèn)題，提高自己的競(jìng)技水平。Acm競(jìng)賽常用算法與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(3)

圖論基礎(chǔ)01圖論基礎(chǔ)在ACM競(jìng)賽中，圖論是一個(gè)常見(jiàn)的主題，特別是在網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)、路由算法和社交網(wǎng)絡(luò)分析等領(lǐng)域。了解圖的基本概念如頂點(diǎn)、邊以及它們的屬性是解決問(wèn)題的第一步。例如，在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，可以使用或算法來(lái)尋找圖中所有頂點(diǎn)對(duì)之間的最短路徑。這類(lèi)算法的核心在于高效的遍歷和更新圖的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，以確保每一步的計(jì)算都是有效的。動(dòng)態(tài)規(guī)劃02動(dòng)態(tài)規(guī)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種通過(guò)分解問(wèn)題為更小的子問(wèn)題來(lái)解決復(fù)雜問(wèn)題的方法。在ACM競(jìng)賽中，動(dòng)態(tài)規(guī)劃被廣泛應(yīng)用于優(yōu)化問(wèn)題、背包問(wèn)題和整數(shù)規(guī)劃等問(wèn)題。以背包問(wèn)題為例，該問(wèn)題要求在不超過(guò)背包容量的情況下，選擇物品使得總價(jià)值最大。解決這個(gè)問(wèn)題的算法通常涉及構(gòu)建一個(gè)二維數(shù)組來(lái)存儲(chǔ)中間結(jié)果，從而避免重復(fù)計(jì)算。貪心算法03貪心算法貪心算法是一種在每一步都做出當(dāng)前最優(yōu)決策的算法策略，在ACM競(jìng)賽中，貪心算法經(jīng)常用于解決那些可以通過(guò)局部最優(yōu)解得到全局最優(yōu)解的問(wèn)題。例如，在排序問(wèn)題中，可以使用冒泡排序或插入排序等貪心算法來(lái)快速找到正確的排序順序。這些算法的優(yōu)勢(shì)在于它們能夠在不犧牲解的質(zhì)量的前提下，減少搜索空間的大小。堆排序04堆排序堆排序是一種基于優(yōu)先隊(duì)列的排序算法，它使用大頂堆或小頂堆來(lái)維護(hù)一組有序的元素。在ACM競(jìng)賽中的許多問(wèn)題中，堆排序因其時(shí)間復(fù)雜度較低而受到青睞，尤其是在處理大規(guī)模數(shù)據(jù)時(shí)。例如，在最小堆中，可以通過(guò)不斷移除最小的元素來(lái)保持堆的性質(zhì)；而在最大堆中，可以通過(guò)不斷添加最大的元素來(lái)維持堆的性質(zhì)。哈希表05哈希表哈希表是一種基于散列技術(shù)的快速查找數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，在ACM競(jìng)賽中，哈希表常用于實(shí)現(xiàn)一些具有高查詢(xún)率的算法，如字符串匹配、計(jì)數(shù)問(wèn)題等。哈希表的優(yōu)點(diǎn)是能夠提供常數(shù)時(shí)間復(fù)雜度的查找速度，這對(duì)于解決實(shí)時(shí)性要求較高的問(wèn)題非常有用。然而，哈希沖突的處理也是一個(gè)重要的挑戰(zhàn)，需要精心設(shè)計(jì)哈希函數(shù)和沖突解決策略。線(xiàn)段樹(shù)06線(xiàn)段樹(shù)線(xiàn)段樹(shù)是一種用于處理區(qū)間查詢(xún)問(wèn)題的平衡二叉樹(shù)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，在ACM競(jìng)賽中，線(xiàn)段樹(shù)經(jīng)常被用于解決多區(qū)間查詢(xún)、區(qū)間合并和區(qū)間劃分等問(wèn)題。線(xiàn)段樹(shù)的主要優(yōu)勢(shì)在于它的自底向上的構(gòu)建方式，可以有效地減少樹(shù)的高度