華師數(shù)學(xué)建?？荚囐Y料

數(shù)學(xué)建模名詞解釋：一階差分方程標(biāo)準(zhǔn)答案：定義蜀洌(kJ/=…)的一階差分為：% @=。上工…)一階差分方程就是形如?=〃/｝無=a14」 0)的方程，其中浮與上弒的f函敗(1河池就是數(shù)列叫關(guān)系加=尸(/人無=①匕2^- ⑵其中F(x)、+〃幻.Q咸也可以稱為一^差分方程2．第9題名詞解釋：數(shù)學(xué)模型標(biāo)準(zhǔn)答案：數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)是由數(shù)字、字母或者其他數(shù)學(xué)符號(hào)組成的，描述現(xiàn)實(shí)對象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)公式、圖形或算法.3．第10題名詞解釋：二階差分方程定義器洌（kJ?=…）的二階差分為：公工0二乩"1一“二飛三―2、+1t0r=0LZ…）二階差分方程就是形如(3)屋工工二/（%尸勺），1=0X2,■■(3)的方程，其中浮與E譙的二元函數(shù)（3腐即數(shù)列遞推關(guān)系凝+】=F（馬△+叫工★=Q.L，…其中二元函數(shù)產(chǎn)（馬刃=2x-y+r（*M.⑷式也可以稱為二階差分方程.4．第15題名詞解釋：（1）線性規(guī)劃模型；（2）線性規(guī)劃模型的可行域；（3）線性規(guī)劃模型的最優(yōu)解和最優(yōu)值；（4）不可行的線性規(guī)劃模型；（5）無界的線性規(guī)劃模型.標(biāo)準(zhǔn)答案：5．第4題5．第4題解答(1)線性規(guī)劃(linearpp吧antming,LP)就是對滿足有限多個(gè)線性的等式或不等式約束條件的決策變量的一個(gè)線性目標(biāo)函效求最大值或最小值的最優(yōu)化問題.線性規(guī)劃模型的一般表達(dá)式可寫成max(或血n)z=砧+?工溝H fc^st/昌+烏涇+…+4占M(或=5曲/聲+馬盧2 —(或=+冷&%陽+&產(chǎn)2+…+ =（或=*">?,>=1,4-未知數(shù)乙稱為決策變量目標(biāo)函數(shù)經(jīng)常記為z或w,稱為目標(biāo)變量.目標(biāo)函數(shù)的變量系數(shù)盯稱為價(jià)值系數(shù).約束條件的變量系數(shù)與稱為工藝系數(shù)約束條件右端的常數(shù)4稱為資源限量.約束條件前的記號(hào)“st”是"subjectto”的縮寫，意即興受約束于”.決策變量的上下界約束一般要單列.(2)滿足約束條件的決策變量就是可行解(feasiblesohiticn),可行解的集合稱為可行域(feasibleregiwi).(3)使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值(或最小值)的可行解稱為最優(yōu)解(optimalsolutiGn)r相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值就是最優(yōu)值(optimalvahie).(4)沒有可行解的線性規(guī)劃模型稱為不可行(inffeasible).不可行的線性規(guī)劃模型沒有最優(yōu)解.(5)如果最大(小)化線性規(guī)劃模型的目標(biāo)函數(shù)可以在可行域取得任意大(小)的值，則稱為無界(unboimded).無界的線性規(guī)劃模型也沒有最優(yōu)解.(1)(1)回答以下關(guān)于Tm性常系數(shù)齊次差分方程%i=Q+r)Rn4=0,L△??*的問題：(D當(dāng)Q再用作數(shù)學(xué)儂時(shí)，模型假設(shè)是什么?<2)被&值記作/，寫出(1區(qū)的解的通項(xiàng)公式.(3)當(dāng)小。時(shí)工求出Q成的平衡點(diǎn)<4)陰1點(diǎn)漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件是什么？標(biāo)準(zhǔn)答案:解答(D當(dāng)(1閑用作數(shù)學(xué)模型時(shí)，x上是實(shí)際對象在第Jt時(shí)段的狀態(tài)值，參數(shù)r是用前差公式訐算的增員率：到二至三七氏二o,l4???A由a成可見。試的■假設(shè)為.用前差公式計(jì)算的增長率為常數(shù)".(工)a減的解比^)xe=x0a丈=oj&….(3)令％]=9=*，則⑴式變?yōu)椤?Q+f)k，當(dāng)r,0.解得尸0,所以當(dāng)小口時(shí)。俄有唯一的平衡點(diǎn)A0.0)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)知:既斗=0當(dāng)且僅當(dāng)『5<1，即平衡點(diǎn)40是漸進(jìn)穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)-2B.6．第11題司機(jī)在駕駛過程中遇到突發(fā)事件會(huì)緊急剎車，從司機(jī)決定剎車到車完全停住汽車行駛的距離稱為剎車距離，車速越快，剎車距離越長.請問剎車距離與車速之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系表1符號(hào)說明單位名稱說明Vm/s車速dm剎車距離從司機(jī)決定剎車到車完全停住汽車行駛的距離由m反應(yīng)距離從司機(jī)決定剎車到踩下剎車踏板汽車行驗(yàn)的距離出m制動(dòng)距離從司機(jī)踩下剎車踏板到車完全停住汽車行駛的距離s反應(yīng)時(shí)間從司機(jī)決定剎車到踩下剎車踏板的時(shí)間am/s2減速度汽車制動(dòng)過程的減速度Fn制動(dòng)力汽車制動(dòng)過程的制動(dòng)力M尬汽車質(zhì)量電s2/m片=1/0)模型假設(shè)：（1）假設(shè)道路、天氣和駕駛員等條件相同,汽車沒有超載，也沒有故障；C2）假設(shè)汽車在平直道路上行駛，駕駛員緊急剎車，一腳把剎車踏板踩到底，汽車在剎車過程沒有轉(zhuǎn)方向；C3）假設(shè)駕駛員的反應(yīng)時(shí)間為常數(shù)，汽車在反應(yīng)時(shí)間做勻速直線運(yùn)動(dòng)；（4）假設(shè)汽車在制動(dòng)過程做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，減速度值是常數(shù),制動(dòng)力所做的功等于汽車動(dòng)能的損失；（5）假設(shè)剎車距離等于反應(yīng)距離加制動(dòng)距離.根據(jù)假設(shè)O）,立即得到&-號(hào)v根據(jù)牛頓第二定律和假設(shè)（4）,有F=maFd2=所以魅=總L其中后=1/（2般）.最后，根據(jù)假設(shè)⑸,有d=卜~+上上式就是汽車剎車距離的數(shù)學(xué)模型.#題回答以下關(guān)于常系數(shù)非齊次差分方程(E，o)的阿題<1)福值記作/，當(dāng)T=0時(shí)，寫出(1淺的解的通項(xiàng)公式(2)碉值記作當(dāng)r#0時(shí),寫出(1灑的解的通項(xiàng)公式(3)當(dāng)"。明求出0成的平衡點(diǎn)(4)平衡點(diǎn)漸進(jìn)穩(wěn)定的充分必要條件是什么？標(biāo)準(zhǔn)答案：喑(1)當(dāng)D時(shí)，。避的解即公差為力的的蝴9二/十地上二口工工…⑵當(dāng)邙)時(shí),Q閔的解為工LG+m(l+r)J5/=(),LZ?(3｝令%L=xt=￡,則Q)式^^￡=(l+F)r+8?當(dāng)F/0,解x=-b/r.所以當(dāng)丁.0時(shí)Q凌有所的平衡點(diǎn)a-加,(4)呼黃點(diǎn)上=-可廠是漸進(jìn)穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)-280.6．第9題B1B1蛛網(wǎng)模型示盒圖閱讀材料商品在市場上的上市量和價(jià)格出現(xiàn)反復(fù)的振蕩，是出費(fèi)者的需求關(guān)系和生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系決定的.一方面，這一時(shí)期的￥取決于上市量，上市量越彩價(jià)格越低；另一方面，下一時(shí)期的上市看取決于這一時(shí)期的價(jià)格，價(jià)格好上市量越少.把時(shí)間離散成時(shí)段，段相當(dāng)于一個(gè)生產(chǎn)周期，記商品福時(shí)段的上市量為毛，價(jià)格為義.一方面，價(jià)格居取決于上市量占，?時(shí)段的上市量為毛，價(jià)格為義.一方面，價(jià)格居取決于上市量占，?反映消費(fèi)者的需求關(guān)系，稱為需求函數(shù)，其函數(shù)圖像看條下降曲線，稱為需求曲線；另一方面，下一時(shí)段的上市量叫近由」時(shí)段的價(jià)格先決定，記作為=其%。，g反映生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系，用供應(yīng)函數(shù)，其函數(shù)圖像是T上升曲線，稱為供應(yīng)曲線.在直角坐標(biāo)系畫出需求曲線和供應(yīng)曲線，兩條曲線相交于平卷由于種種干擾，使得上市量和價(jià)格不可能保持在平衡點(diǎn)耳不妨設(shè)4偏離加利用需求曲線和供應(yīng)曲線分析&和乳的變化趨孰們形象的將此強(qiáng)稱為蛛網(wǎng)強(qiáng).平衡點(diǎn)片有穩(wěn)定或不穩(wěn)定兩種葡見圖L平衡點(diǎn)"是否穩(wěn)定由需求曲線T和供應(yīng)曲線g在用附近的例定.設(shè)。和珈分別為曲線手和X在與的切線斜率的絕對值.則當(dāng)皿時(shí)先穩(wěn)定，當(dāng)?shù)腁1時(shí)尤不穩(wěn)定.如果生產(chǎn)經(jīng)營者的管理水平較高，在決定上市量也工時(shí)，不僅挑價(jià)格以，而且考慮前一階段的價(jià)格入，則對經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定會(huì)更有利.問題4筒單地假設(shè)出.、由羥+1與久的平均值決定，建立差分方翼型，推導(dǎo)平衡點(diǎn)先穩(wěn)定的條件，說明為什么對經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定更有科均是穩(wěn)定平衡點(diǎn),（小九）趨向P口均是穩(wěn)定平衡點(diǎn),（小九）趨向P口P口是不穩(wěn)定平衡點(diǎn),（xkj值遠(yuǎn)離及1515標(biāo)準(zhǔn)答案:解答設(shè)飛工由^^與人的平均值決定，則建立差分方程組整K-%=七（舞—與）其中心0,Q0.消去羥川與取得工（%工-%）+?（'-%）+核（0-5）:&充。L&…引入城觸…得2zm =0,1=OXX"-3土《（哂2-前/---在厚方程組中，令/+[=,=工，K.1="=y,可求得平衡點(diǎn)0^0（飛，0）?如果3%則特征根千對共地復(fù)數(shù),根據(jù)韋達(dá)定理和特?程，有&4 所以中|=揚(yáng)兄■=Jw/z,于是當(dāng)于＜2時(shí)平f站穩(wěn)定:當(dāng)史2時(shí)平衡點(diǎn)先根定.與之前的穩(wěn)定條件應(yīng)上1相比,數(shù)的范圍放大了，對經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定更有利.7．第11題怎么根據(jù)魚的長度估計(jì)重量可以假設(shè)魚的重量W與長度L有如下關(guān)系：W=aL3+b。利用表1的數(shù)據(jù)驗(yàn)證這個(gè)模型.131313131314141515表1魚的數(shù)據(jù)，重量W單位為盎司，長度1單位為英寸W

W22222323232424242424L14141414W24252526262727282828L1713W28292930353640414144LW45464747484953566278L1718181820解答令自變量為變量為跖由表1數(shù)據(jù)』出（鼻嗎Xf=LZ…」00），用一元線性回歸模型次二?十瓦以下是回歸分析的MATLAB腳本工L=[-']kL用；X=[ones(sizeCO)XI;[b9binl^rint^tat]=r^ilabd^P),ylabd(11^tifleCW=aLA3+b9^itre(2)911cqpIot(i^in93F=i^ress0^計(jì)算結(jié)果整理成表2由結(jié)果得知；F統(tǒng)計(jì)量比較大，］遠(yuǎn)小于0.05,說明回歸模型是顯著的；決定系數(shù)較接近L明回歸模型的擬合精確程度較高工誤差的分布沒有明顯趨目只有少數(shù)（10個(gè)）數(shù)據(jù)的誤差均值置信區(qū)間不含零點(diǎn).以一些分析都驗(yàn)證了模型嚴(yán)=送+b的合理性和有效性口但是，回歸系數(shù)匕的置信區(qū)間包含零點(diǎn)，而且零點(diǎn)接i間中此說明模型/=證+〃的截距項(xiàng)對因變量的影響不顯可以去掉，改用正比例函數(shù)模型獷=矗，回歸計(jì)拿0=0.0082841.表2計(jì)算結(jié)果回歸系數(shù)回歸系數(shù)估計(jì)值回歸系數(shù)置信區(qū)口b6=0君5716[-2.1366,3.8509]ao=0.m(B64[0.0070912,0.00898W=0.00S0364L3+0.85716Rf743%氏284.69,2與233乂靖、$工=36.998繪得的圖形:1(NH> 2(HH)31HM44W 60WTWOWMnesadualCaseOnlerPintId20洲柳印硼70 80 901HlCaseNwidnr"■三￥8．第16題考慮彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)，收集彈簧伸長的長度與彈簧末端懸掛的質(zhì)量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，記錄在表1（單位省略）.請計(jì)算出伸長與質(zhì)量的函數(shù)關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式.表1彈簧伸長和質(zhì)量的測量數(shù)據(jù)質(zhì)量50100150200250300伸長質(zhì)量350400450500550伸長標(biāo)準(zhǔn)答案：解答記彈簧末端懸掛的質(zhì)量為自變量X,彈簧的伸1因變量六由表1的樣本數(shù)據(jù)a*XE=LZ繪制散點(diǎn)可以直觀的看出產(chǎn)與工龍酸呈線性關(guān)系,所以采用一元線1歸模型F歸模型F=戶口+戶戶+以下是回歸分析的MATLAB腳本:^<5fc50:550)f;y^[l;1^75^,75^25;4375;4,875^,675;6J;7.25;8;8,75];X=[ones(size^)Lhx];[h.tint,rjiiil^tat]=regress^^Q^nre(lXplotO^y.'kaQ^Islinelegeiri(需測數(shù)據(jù)？回歸直線;2)xl疝d（*質(zhì)量X/bcl（伸長力忖酗'彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)）計(jì)算結(jié)果整理成表2.由結(jié)果得知：F統(tǒng)計(jì)量很大,小于0.05,說明回歸模型是顯著的；回歸系數(shù)的置信區(qū)間彳含零點(diǎn)，說明回歸模型的自變量和截距兩項(xiàng)對因變量的影口顯著：決定系數(shù)很接近L說明回歸模型的擬合精確程度彳E雖然第5個(gè)數(shù)據(jù)的誤差均值置信區(qū)間［0.0427541037r79］不方點(diǎn)，但是置信區(qū)間偏離零點(diǎn)的程度不嚴(yán)重，不必剔除.表2計(jì)算結(jié)果回歸系數(shù)回歸系數(shù)估計(jì)值回歸系數(shù)置信區(qū)Ab0=0.32455[0.17445,0.47415A4=0.015373[0.01493,0.0158y=O32455TO.015373X胃=05985%產(chǎn)=6173,p-=4A365^1(T14r52=0.010528繪得的圖形工9．第7題物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述：物體溫度對時(shí)間的變化率與物體溫度和它周圍介質(zhì)溫度之差成正比.寫出牛頓冷卻定律的微分方程模型及滿足初始條件的特解.標(biāo)準(zhǔn)答案:解答記物體在時(shí)刻士的溫度為E/它周圍介質(zhì)的溫度為a金保持不變,則根據(jù)牛頓冷卻定律建立微分方程模型其中比例系數(shù) 滿足碉條件叫）=》的特解為Hr）=/+（。―/）4丑）10．第8題閱讀材料合金強(qiáng)度與合金中的碳含量有密切關(guān)系，表1是收集到的一批數(shù)據(jù).設(shè)自變量X為碳含量，因變量y為合金強(qiáng)度，用以下MATLAB腳本做一元線性回歸分析的計(jì)算：x=[;;;;;;;;;;;];y=[;;;;;;;;;;;];yX=[ones(size(x)),x];[b,bint,r,rint,stat]=regress(y,X)命令窗口顯示的計(jì)算結(jié)果：bint=rint=stat=問題請將計(jì)算結(jié)果整理成表格，并進(jìn)行分析.標(biāo)準(zhǔn)答案:標(biāo)準(zhǔn)答案:標(biāo)準(zhǔn)答案:標(biāo)準(zhǔn)答案:解答表2計(jì)算結(jié)果回歸率數(shù)回歸案數(shù)估計(jì)值回歸率泉置信區(qū)間A4=27917[25,721,30.174]A4二13LM[115.38,1453],=27.9474T31￡4x3rJM76.25,jf=9.1322x^)10T『=0.77374由計(jì)算結(jié)果得知二F統(tǒng)計(jì)量較大，p值遠(yuǎn)小于0.05,比是顯著的；回歸系數(shù)的置信區(qū)間都不含零點(diǎn).說明回歸模用截矩兩項(xiàng)對因變量的影響都顯著.決定系數(shù)接近L說明恒合精確程度隹較高;雖然笫九個(gè)數(shù)據(jù)的誤差均值置信區(qū)TK16919］不含零點(diǎn)，但是置信區(qū)間偏離零點(diǎn)的程度不嚴(yán)重,11．第12題根據(jù)按揭貸款的等額本息還款法的算法：每月利息二本月剩余本金又貸款月利率每月本金=本月剩余本金-下月剩余本金每月月供額=每月本金+每月利息建立數(shù)學(xué)模型，并推出已知本金總額和按揭年數(shù)時(shí)月供額的計(jì)算公式.

解答記例率為r,設(shè)r為已知并弼不變，則月利率為加工本金總額為％元，做"銬揭，月供出元，辦理搦S之后第七月始金為5元.則根據(jù)事林息還款法的算法列式得：12．第13題設(shè)某城市1992—1998年電視機(jī)實(shí)際銷售量和年增長率如表1和圖所示（年增長率是根據(jù)數(shù)值微分三點(diǎn)公式計(jì)算所得），請回答以下問題：（1）描述銷售量的變化過程，并初步分析其原因；（2）引入合理的簡化假設(shè)，建立數(shù)學(xué)建模，描述銷售量的變化過程;(3)你建立的模型包含有哪些參數(shù)這些參數(shù)的實(shí)際意義是什么如何估計(jì)模型中的參數(shù)年份1992199319941995199619971998售量(千臺(tái))年增長率(%)年份(乖+)明鐘翡宗寡衽年份(乖+)明鐘翡宗寡衽軟)協(xié)率觸出明鐘翡解答Cl)銷售量的年增長率隨著銷售量的增加而近似性下障，原因是該城市對電視機(jī)這種耐用消費(fèi)品的保有量存上限，相當(dāng)于阻滯增長作用.(2)假設(shè)銷售量的年增長率隨著銷售量的增加而線性降，建立阻滯增長模型如二n八-三用其解函N)At{N)0N)x(0=一，”…描述銷售量的變化過程;x0M”_/尸聞(3)阻滯增長模型包含有三個(gè)舂數(shù)：固有增長率八最容量N和初始值沏，可根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)，取定初始時(shí)刻51%對阻滯增長模型的解函數(shù)作非線性擬合，估計(jì)這三個(gè)參數(shù).MATLABU1W2二3鴦x=[9.5,l工25254a33后5369n8石53梵7]；目卯助⑴①何⑵產(chǎn)叼代(3**19%)工皿csdjTilinfit(ta￡[40鼻0,別)N倒1%xO^(l)J