陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學(xué)2025屆高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析

陜西省西安市碑林區(qū)鐵一中學(xué)2025屆高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)直線的方程為，圓的方程為，若直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則實(shí)數(shù)的取值為A．或11 B．或11 C． D．2．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，則滿足A∪C＝B的集合C的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．13．設(shè)函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，令．有以下6個(gè)論斷：①是奇函數(shù)時(shí)，是奇函數(shù)；②是偶函數(shù)時(shí)，是奇函數(shù)；③是偶函數(shù)時(shí)，是偶函數(shù)；④是奇函數(shù)時(shí)，是偶函數(shù)⑤是偶函數(shù)；⑥對(duì)任意的實(shí)數(shù)，．那么正確論斷的編號(hào)是（）A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤4．設(shè)為非零向量，則“”是“與共線”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知排球發(fā)球考試規(guī)則：每位考生最多可發(fā)球三次，若發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到次結(jié)束為止．某考生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為，若的數(shù)學(xué)期望，則的取值范圍為()A． B． C． D．6．以下關(guān)于的命題，正確的是A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B．直線需是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸C．點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D．將函數(shù)圖象向左平移需個(gè)單位，可得到的圖象7．已知向量，，若，則（）A． B． C．-8 D．88．下列判斷錯(cuò)誤的是()A．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則B．已知直線平面，直線平面，則“”是“”的充分不必要條件C．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則D．是的充分不必要條件9．已知定義在上的函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，不等式對(duì)于恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．10．已知實(shí)數(shù)，則的大小關(guān)系是()A． B． C． D．11．若雙曲線的一條漸近線與圓至多有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得，則的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為_____．14．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，且，則公比的值為_____.15．設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則_________.16．某中學(xué)舉行了一次消防知識(shí)競(jìng)賽，將參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分為5組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，記圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五組，已知第二組的頻數(shù)是80，則成績(jī)?cè)趨^(qū)間的學(xué)生人數(shù)是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求的值.18．（12分）已知，，，，證明：（1）；（2）.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為：（其中為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)）（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）若曲線與直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值.20．（12分）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線與曲線，的交點(diǎn)分別為、（、異于原點(diǎn)），當(dāng)斜率時(shí)，求的最小值.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）和曲線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求直線和曲線的極坐標(biāo)方程；（2）在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是射線與直線的公共點(diǎn)，點(diǎn)是與曲線的公共點(diǎn)，求的最大值．22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線與曲線的交點(diǎn)為，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

圓的圓心坐標(biāo)為（1，1），該圓心到直線的距離，結(jié)合弦長(zhǎng)公式得，解得或，故選A．2、A【解析】

由可確定集合中元素一定有的元素，然后列出滿足題意的情況，得到答案.【詳解】由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4種情況，所以選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】考查集合并集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.3、A【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【詳解】當(dāng)是偶函數(shù)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)為非奇非偶函數(shù)時(shí)，例如：，則，，此時(shí)，故⑥錯(cuò)誤；故③④正確.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性定義，掌握奇偶性定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

根據(jù)向量共線的性質(zhì)依次判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】若，則與共線，且方向相同，充分性；當(dāng)與共線，方向相反時(shí)，，故不必要.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線，充分不必要條件，意在考查學(xué)生的推斷能力.5、A【解析】

根據(jù)題意，分別求出再根據(jù)離散型隨機(jī)變量期望公式進(jìn)行求解即可【詳解】由題可知，，，則解得，由可得，答案選A【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量期望的求解，易錯(cuò)點(diǎn)為第三次發(fā)球分為兩種情況：三次都不成功、第三次成功6、D【解析】

利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)得到，再逐項(xiàng)判斷正誤得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，函數(shù)先增后減，錯(cuò)誤B選項(xiàng)，不是函數(shù)對(duì)稱軸，錯(cuò)誤C選項(xiàng)，，不是對(duì)稱中心，錯(cuò)誤D選項(xiàng)，圖象向左平移需個(gè)單位得到，正確故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱軸，對(duì)稱中心，平移，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中化簡(jiǎn)三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.7、B【解析】

先求出向量,的坐標(biāo)，然后由可求出參數(shù)的值.【詳解】由向量，，則，，又，則，解得.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模長(zhǎng)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

根據(jù)正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識(shí)，依次對(duì)四個(gè)選項(xiàng)加以分析判斷，進(jìn)而可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，有，故選項(xiàng)正確，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)，已知直線平面，直線平面，則當(dāng)時(shí)一定有，充分性成立，而當(dāng)時(shí)，不一定有，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故選項(xiàng)正確，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)，若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則，故選項(xiàng)正確，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)，，僅當(dāng)時(shí)有，當(dāng)時(shí)，不成立，故充分性不成立；若，僅當(dāng)時(shí)有，當(dāng)時(shí)，不成立，故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要條件,故選項(xiàng)不正確，符合題意.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、充分條件與必要條件的判斷、二項(xiàng)分布及不等式的性質(zhì)等知識(shí)，考查理解辨析能力與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

根據(jù)奇偶性定義和性質(zhì)可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，由此可將不等式化為；利用分離變量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到結(jié)果.【詳解】為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱又在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)，即對(duì)于恒成立在上恒成立，即的取值范圍為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問題，涉及到恒成立問題的求解；解題關(guān)鍵是能夠利用函數(shù)單調(diào)性將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，從而利用分離變量法來處理恒成立問題.10、B【解析】

根據(jù)，利用指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【詳解】解：∵，∴，，．∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解析】

求得雙曲線的漸近線方程，可得圓心到漸近線的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式可得的范圍，再由離心率公式計(jì)算即可得到所求范圍．【詳解】雙曲線的一條漸近線為，即，由題意知，直線與圓相切或相離，則，解得，因此，雙曲線的離心率.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運(yùn)用圓心到漸近線的距離不小于半徑，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．12、A【解析】

畫出分段函數(shù)圖像，可得，由于，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，分析最值，即得解.【詳解】由于，,由于，令，，在↗，↘故.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)探究中的應(yīng)用，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化劃歸，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、．【解析】

畫出可行域，解出可行域的頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，比較大小得到目標(biāo)函數(shù)最值.【詳解】解：作出可行域，如圖所示，則當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)直線的截距最大，z取最大值．由同理，，取最大值．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問題.線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處取得，所以對(duì)于一般的線性規(guī)劃問題，若可行域是一個(gè)封閉的圖形，我們可以直接解出可行域的頂點(diǎn)，然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值；若可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來求最值.14、【解析】

將已知由前n項(xiàng)和定義整理為，再由等比數(shù)列性質(zhì)求得公比，最后由數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，舍根得解.【詳解】因?yàn)榧从值缺葦?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，故故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查在等比數(shù)列中由前n項(xiàng)和關(guān)系求公比，屬于基礎(chǔ)題.15、.【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則首先可得出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】∵復(fù)數(shù)滿足，∴，∴，故而可得，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．16、30【解析】

根據(jù)頻率直方圖中數(shù)據(jù)先計(jì)算樣本容量，再計(jì)算成績(jī)?cè)?0～100分的頻率，繼而得解.【詳解】根據(jù)直方圖知第二組的頻率是，則樣本容量是，又成績(jī)?cè)?0～100分的頻率是，則成績(jī)?cè)趨^(qū)間的學(xué)生人數(shù)是．故答案為：30【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)據(jù)處理，數(shù)形運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）消去參數(shù)方程中的參數(shù)，求得的普通方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式，求得的直角坐標(biāo)方程.（2）求得曲線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，代入的直角坐標(biāo)方程，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)直線參數(shù)中參數(shù)的幾何意義，求得的值.【詳解】（1）由的參數(shù)方程（為參數(shù)），消去參數(shù)可得，由曲線的極坐標(biāo)方程為，得，所以的直角坐方程為，即.（2）因?yàn)樵谇€上，故可設(shè)曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入化簡(jiǎn)可得.設(shè)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，考查極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查利用利用和直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義進(jìn)行計(jì)算，屬于中檔題.18、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）先由基本不等式可得，而，即得證；（2）首先推導(dǎo)出，再利用，展開即可得證.【詳解】證明：（1），，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.（2），，，，，，，.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．19、（1）（2）5【解析】

（1）首先消去參數(shù)得到曲線的普通方程，再根據(jù)，，得到曲線的極坐標(biāo)方程；（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義得解；【詳解】解：（1）曲線：消去參數(shù)得到：，由，，得所以（2）代入，設(shè)，，由直線的參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義得：【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程的互化，以及直線參數(shù)方程的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題．20、（1）的極坐標(biāo)方程為；曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）【解析】

(1)消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標(biāo)方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，即可求解.(2)解法1：設(shè)直線的傾斜角為，把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程，求得，再把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解；解法2：設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為，分別代入曲線，的極坐標(biāo)方程，得，，得出，即可基本不等式，即可求解.【詳解】(1)由題曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標(biāo)方程為，即，則曲線的極坐標(biāo)方程為，即，又因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為，即，根據(jù)，代入即可求解曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)解法1：設(shè)直線的傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程得：，解得，，，把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程得：，解得，，，，，即，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的