江西省南昌十中2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

江西省南昌十中2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，其中表示不超過的最大正整數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．的值域是 B．是奇函數(shù)C．是周期函數(shù) D．是增函數(shù)2．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn),則A． B．C． D．3．已知命題p:直線a∥b，且b?平面α，則a∥α；命題q:直線l⊥平面α，任意直線m?α，則l⊥m.下列命題為真命題的是（）A．p∧q B．p∨（非q） C．（非p）∧q D．p∧（非q）4．為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測驗(yàn)（指標(biāo)值滿分為100分，分值高者為優(yōu)），根據(jù)測驗(yàn)情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖，則下面敘述不正確的是（）A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙 B．乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)C．甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D．甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算最強(qiáng)5．設(shè)、，數(shù)列滿足，，，則（）A．對(duì)于任意，都存在實(shí)數(shù)，使得恒成立B．對(duì)于任意，都存在實(shí)數(shù)，使得恒成立C．對(duì)于任意，都存在實(shí)數(shù)，使得恒成立D．對(duì)于任意，都存在實(shí)數(shù)，使得恒成立6．已知，，，，則（）A． B． C． D．7．若數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)（，，），將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的部分圖象如圖所示，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長度，則所得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（）A． B． C． D．10．已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，分別為拋物線與圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．11．?dāng)?shù)列滿足：，則數(shù)列前項(xiàng)的和為A． B． C． D．12．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．三個(gè)小朋友之間送禮物，約定每人送出一份禮物給另外兩人中的一人（送給兩個(gè)人的可能性相同），則三人都收到禮物的概率為______.14．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，若，，則________.15．已知函數(shù)，且，，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.16．已知函數(shù).若在區(qū)間上恒成立.則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin（θ+）.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求△MON的面積.18．（12分）分別為的內(nèi)角的對(duì)邊.已知.（1）若，求；（2）已知，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求的周長.19．（12分）如圖，四棱錐中，平面平面，若，四邊形是平行四邊形，且.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若點(diǎn)在線段上，且平面，，，求二面角的余弦值.20．（12分）某企業(yè)對(duì)設(shè)備進(jìn)行升級(jí)改造，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則視為不合格品，如圖是設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖，下表是設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表.圖：設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖表：設(shè)備改造后樣本的頻率分布表質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)2184814162（1）求圖中實(shí)數(shù)的值；（2）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，對(duì)合格品進(jìn)行等級(jí)細(xì)分，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的定為一等品，每件售價(jià)240元；質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間或內(nèi)的定為二等品，每件售價(jià)180元；其他的合格品定為三等品，每件售價(jià)120元，根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級(jí)產(chǎn)品的概率.若有一名顧客隨機(jī)購買兩件產(chǎn)品支付的費(fèi)用為(單位：元)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為：（其中為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)）（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）若曲線與直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值.22．（10分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（2）記函數(shù)的圖象為曲線，設(shè)點(diǎn)是曲線上不同兩點(diǎn)，如果在曲線上存在點(diǎn)，使得①；②曲線在點(diǎn)M處的切線平行于直線AB，則稱函數(shù)存在“中值和諧切線”，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是否存在“中值和諧切線”請(qǐng)說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)表示不超過的最大正整數(shù)，可構(gòu)建函數(shù)圖象，即可分別判斷值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性，進(jìn)而下結(jié)論.【詳解】由表示不超過的最大正整數(shù)，其函數(shù)圖象為選項(xiàng)A，函數(shù)，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，函數(shù)是以1為周期的周期函數(shù)，故正確；選項(xiàng)D，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，但在整個(gè)定義域范圍上不具備單調(diào)性，故錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)題干的理解，屬于函數(shù)新定義問題，可作出圖象分析性質(zhì)，屬于較難題.2、D【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn),所以,則,即.故選D．3、C【解析】

首先判斷出為假命題、為真命題，然后結(jié)合含有簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性，判斷出正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)線面平行的判定，我們易得命題若直線，直線平面，則直線平面或直線在平面內(nèi)，命題為假命題；根據(jù)線面垂直的定義，我們易得命題若直線平面，則若直線與平面內(nèi)的任意直線都垂直，命題為真命題.故:A命題“”為假命題；B命題“”為假命題；C命題“”為真命題；D命題“”為假命題.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行與垂直有關(guān)命題真假性的判斷，考查含有簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假性判斷，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

根據(jù)所給的雷達(dá)圖逐個(gè)選項(xiàng)分析即可.【詳解】對(duì)于A，甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙，故A正確；對(duì)于B，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為60分，故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，故B正確；對(duì)于C，甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為，乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為，故C正確；對(duì)于D，甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算為80分，不是最強(qiáng)的，故D錯(cuò)誤；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計(jì)算，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

取，可排除AB；由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列的單調(diào)情況，進(jìn)而得到要使，只需，由此可得到答案.【詳解】取，，數(shù)列恒單調(diào)遞增，且不存在最大值，故排除AB選項(xiàng)；由蛛網(wǎng)圖可知，存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，且，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，則；所以要使，只需要，故，化簡得且.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查遞推數(shù)列的綜合運(yùn)用，考查邏輯推理能力，屬于難題．6、D【解析】

令，求，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增，從而可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)證出為單調(diào)遞減函數(shù)，從而證出，即可得到答案.【詳解】時(shí)，令，求導(dǎo)，，故單調(diào)遞增：∴，當(dāng)，設(shè)，，又，，即，故.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了作差法比較大小，考查了構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)判斷式子的大小，屬于中檔題.7、B【解析】

利用等差數(shù)列性質(zhì)，若，則求出，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得【詳解】解：因?yàn)?，由等差?shù)列性質(zhì)，若，則得，．為數(shù)列的前項(xiàng)和，則．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列前項(xiàng)和.(1)如果為等差數(shù)列，若，則．(2)要注意等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用，如.8、B【解析】

先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式,再由平移知識(shí)得到的解析式,然后分別找出和的等價(jià)條件,即可根據(jù)充分條件,必要條件的定義求出.【詳解】設(shè),根據(jù)圖象可知,,再由,取,∴.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)的圖象,∴.,,令,則,顯然,∴是的必要不充分條件.故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用圖象求正(余)弦型函數(shù)的解析式,三角函數(shù)的圖形變換,二倍角公式的應(yīng)用,充分條件,必要條件的定義的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.9、D【解析】

先化簡函數(shù)解析式,再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律,可得所求函數(shù)的解析式為,再由正弦函數(shù)的對(duì)稱性得解.【詳解】,

將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍,所得函數(shù)的解析式為,

再向右平移個(gè)單位長度,所得函數(shù)的解析式為,，可得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，故選D.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的熱點(diǎn)之一，經(jīng)?？疾槎x域、值域、周期性、對(duì)稱性、奇偶性、單調(diào)性、最值等，其中公式運(yùn)用及其變形能力、運(yùn)算能力、方程思想等可以在這些問題中進(jìn)行體現(xiàn)，在復(fù)習(xí)時(shí)要注意基礎(chǔ)知識(shí)的理解與落實(shí)．三角函數(shù)的性質(zhì)由函數(shù)的解析式確定，在解答三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時(shí)要抓住函數(shù)解析式這個(gè)關(guān)鍵，在函數(shù)解析式較為復(fù)雜時(shí)要注意使用三角恒等變換公式把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后利用正弦（余弦）函數(shù)的性質(zhì)求解．10、D【解析】

利用拋物線的定義，求得p的值，由利用兩點(diǎn)間距離公式求得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，由取得最小值為，求得結(jié)果.【詳解】由拋物線焦點(diǎn)在軸上，準(zhǔn)線方程，則點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則，所以拋物線方程：，設(shè)，圓，圓心為，半徑為1，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，故選D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)距離的最小值問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的定義，點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑，二次函數(shù)的最小值，屬于中檔題目.11、A【解析】分析：通過對(duì)an﹣an+1=2anan+1變形可知，進(jìn)而可知，利用裂項(xiàng)相消法求和即可．詳解：∵，∴，又∵=5，∴，即，∴，∴數(shù)列前項(xiàng)的和為，故選A．點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.12、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

基本事件總數(shù)，三人都收到禮物包含的基本事件個(gè)數(shù)．由此能求出三人都收到禮物的概率．【詳解】三個(gè)小朋友之間準(zhǔn)備送禮物，約定每人只能送出一份禮物給另外兩人中的一人（送給兩個(gè)人的可能性相同），基本事件總數(shù)，三人都收到禮物包含的基本事件個(gè)數(shù)．則三人都收到禮物的概率．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14、127【解析】

已知條件化簡可化為,等式兩邊同時(shí)除以，則有，通過求解方程可解得,即證得數(shù)列為等比數(shù)列,根據(jù)已知即可解得所求.【詳解】由..故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查通過遞推公式證明數(shù)列為等比數(shù)列,考查了等比的求和公式,考查學(xué)生分析問題的能力,難度較易.15、【解析】

根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的值域是函數(shù)在上的值域的子集；分別求值域即可得到結(jié)論.【詳解】解：依題意，，即函數(shù)在上的值域是函數(shù)在上的值域的子集.因?yàn)樵谏系闹涤驗(yàn)椋ǎ┗颍ǎ?，在上的值域?yàn)?，故或，解得故答案為?【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的值域求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.16、【解析】

首先解不等式，再由在區(qū)間上恒成立，即得到不等組，解得即可.【詳解】解：且，即解得，即因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立，解得即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式及函數(shù)的綜合問題，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)直線l的普通方程為x＋y－4＝0.曲線C的直角坐標(biāo)方程是圓：(x－)2＋(y－1)2＝4.(2)4【解析】

（1）將直線l參數(shù)方程中的消去，即可得直線l的普通方程，對(duì)曲線C的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以，利用可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）求出點(diǎn)到直線的距離，再求出的弦長，從而得出△MON的面積．【詳解】解：(1)由題意有，得，x＋y＝4，直線l的普通方程為x＋y－4＝0.因?yàn)棣眩?sin所以ρ＝2sinθ＋2cosθ，兩邊同時(shí)乘以得，ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ，因?yàn)椋詘2＋y2＝2y＋2x，即(x－)2＋(y－1)2＝4，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程是圓：(x－)2＋(y－1)2＝4.(2)∵原點(diǎn)O到直線l的距離直線l過圓C的圓心(，1)，∴|MN|＝2r＝4，所以△MON的面積S＝|MN|×d＝4.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的極坐標(biāo)方程與普通方程、參數(shù)方程與普通方程的互化知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確使用這一轉(zhuǎn)化公式，還考查了直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí).18、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)正弦定理，將，化角為邊，即可求出，再利用正弦定理即可求出；（2）根據(jù)，選擇，所以當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，最大，結(jié)合（1）中條件，即可求出最大時(shí)，對(duì)應(yīng)的的值，再根據(jù)余弦定理求出邊，進(jìn)而得到的周長．【詳解】（1）由，得，即.因?yàn)椋?由，得.（2）因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因?yàn)榈拿娣e.所以當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，此時(shí)，則，所以的周長為.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．19、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）推導(dǎo)出BC⊥CE,從而EC⊥平面ABCD,進(jìn)而EC⊥BD，再由BD⊥AE，得BD⊥平面AEC,從而BD⊥AC,進(jìn)而四邊形ABCD是菱形，由此能證明AB=AD.（Ⅱ）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為G,推導(dǎo)出EC//FG,取BC的中點(diǎn)為O,連結(jié)OD,則OD⊥BC,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)O且與CE平行的直線為x軸，以BC為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.【詳解】（Ⅰ）證明：，即，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，所以，因?yàn)椋云矫?，所以，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以四邊形是菱形，故；解法一：（Ⅱ）設(shè)與的交點(diǎn)為，因?yàn)槠矫?，平面平面于，所以，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，因?yàn)椋〉闹悬c(diǎn)為，連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)且與平行的直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，同理可得平面的法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，因?yàn)椋远娼堑挠嘞抑禐?解法二：（Ⅱ）設(shè)與的交點(diǎn)為，因?yàn)槠矫妫矫嫫矫嬗?，所以，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，因?yàn)?，，所以平面，所以，取中點(diǎn)，連接、，因?yàn)椋?，故平面，所以，即是二面角的平面角，不妨設(shè)，因?yàn)?，，在中，，所以，所以二面角的余弦值?【點(diǎn)睛】本題考查求空間角中的二面角的余弦值，還考查由空間中線面關(guān)系進(jìn)而證明線線相等，屬于中檔題.20、（1）（2）詳見解析【解析】

（1）由頻率分布直方圖中所有頻率（小矩形面積）之和為1可計(jì)算出值；（2）由頻數(shù)分布表知一等品、二等品、三等品的概率分別為.，選2件產(chǎn)品，支付的費(fèi)用的所有取值為240，300，360，420，480，由相互獨(dú)立事件的概率公式分別計(jì)算出概率，得概率分布列，由公式計(jì)算出期望．