湖北省隨州市部分高中聯(lián)考協(xié)作體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題答案

高三數(shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、解析當0<m<1時,m<1m,所以不等式的解集為xm<2、解析因為sin105°=sin(90°+15°)=cos15°,sin135°=sin(180°-45°)=sin45°,所以sin15°cos45°+sin105°sin135°=sin15°cos45°+cos15°sin45°=sin(15°+45°)=sin60°=32。故選C3、解析因為cosα=55,sin(β-α)=-1010<0,α,β均為銳角,所以sinα=1?cos2α=255,β-α∈?π2,0,可得cos(β-α)=1?sin2(β?α)=31010,sinβ=sin[(β-α)+α]=sin(4、解析因為OA=32,12,所以O(shè)A與x軸的夾角為30°,依題意,向量OB與x軸的夾角為90°,則點B在y軸正半軸上,且|OB|=|OA|=1,所以點5、解析(圖略)連接AB1,設(shè)AB1與A1B交于點F,易知AF⊥A1B,AF⊥BC,且A1B∩BC=B,A1B,BC?平面A1BCD1,所以AF⊥平面A1BCD1。連接EF,則∠AEF是直線AE與平面A1BCD1所成的角,tan∠AEF=AFEF=26、解析把橢圓方程16x2+4y2=1化為標準方程可得x2116+y214=1,所以a=12,b=14,c=34,則長軸長2a=1,焦距2c=32,短軸長7、解析從小到大排列此數(shù)據(jù)為:10,12,14,14,15,15,16,17,17,17。平均數(shù)為110×(10+12+14×2+15×2+16+17×3)=14.7;數(shù)據(jù)17出現(xiàn)了三次,17為眾數(shù);第5位、第6位均是15,故15為中位數(shù)。所以a=14.7,b=15,c=17,即a<b<c。故選B8、解析假設(shè)事件A=“甲取勝”,設(shè)每場比賽甲勝的概率為p,由題意得,事件A發(fā)生的次數(shù)X~B(3,p),則有1-(1-p)3=6364,得p=34,則事件A恰好發(fā)生一次的概率為C3二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9、解析由f(x)=ex-ax知f'(x)=ex-a。f(x)有極小值點x=lna,而極小值f(lna)=a-alna<0,所以a>e,A正確。f(x)有兩個零點x1,x2,則ex1-ax1=0,ex2-ax2=0,即x1=lna+lnx1①,x2=lna+lnx2②。①-②,得x1-x2=lnx1-lnx2,根據(jù)對數(shù)均值不等式,x1+x22>x1?x2lnx1?lnx2=1>x1x2,得x1+x2>2,而1>x1x2,因此x1x2<1,B正確,C錯誤。由①+②,得x110、解析因為a·b=1,|b|=1,且|a+b|=7,所以a2+2a·b+b2=7,則|a|2+2+1=7,則|a|=2,故A正確;因為a·(a-b)=a2-a·b=3≠0,所以a與a-b不垂直,故B錯誤;cos<a,b>=a·b|a||b|=12,又<a,b>∈[0,π],所以a與b的夾角為π3,故C11、解析對于A,根據(jù)經(jīng)驗回歸方程,當解釋變量x每增加1個單位時,響應(yīng)變量y平均減少0.85個單位,故A錯誤;對于B,當解釋變量x=1時,響應(yīng)變量y=1.45,則樣本點(1,1.2)的殘差為-0.25,故B正確;對于C,在殘差圖中,殘差分布的水平帶狀區(qū)域的寬度越窄,說明擬合精度越高,即擬合效果越好,故C正確;對于D,由決定系數(shù)R2的意義可知,R2越大,表示殘差平方和越小,即模型的擬合效果越好,故D正確。故選BCD。三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分12、解析因為y=1?x1+x=-1+21+13、解析因為an+1=3an-2n+1,所以an+1-(n+1)=3(an-n),所以an+1?(n+1)an?n=3,又因為a1-1=2-1=1≠0,所以{an-n}是首項為1,公比為3的等比數(shù)列,所以an-n=3n-1,14、解析因為P是直線l:2x+y+9=0上的任一點,所以設(shè)P(m,-2m-9),由于圓x2+y2=9的兩條切線PA,PB,切點分別為A,B,所以O(shè)A⊥PA,OB⊥PB,則點A,B在以線段OP為直徑的圓上,即線段AB是圓O和圓C的公共弦,則圓心C的坐標是m2,?2m+92,且半徑的平方是r2=m2+(2m+9)24,所以圓C的方程是x?m22+y+2m+922=m2+(2m+9)24①,又x2+y2=9②,②四、解答題：本題共5小題，共77分15、（本小題滿分15分）【證明】(1)不妨設(shè)x0∈A,則由題知f(x0)=x0,則f(f(x0))=f(x0)=x0,故x0∈B,所以A?B。(2)設(shè)t∈B,則f(f(t))=t,因為函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,所以存在唯一a,使f(t)=a,f(a)=t,若a<t,則f(a)<f(t),得到t<a,與a<t矛盾;若a>t,則f(a)>f(t),得到t>a,與a>t矛盾,故必有a=t,所以f(t)=t,即t∈A,又由(1)知A?B,所以,當函數(shù)f(x)單調(diào)遞增時,A=B。16、（本小題滿分15分）解(1)因為f(x)=ax-sinx,所以f'(x)=a-cosx,由函數(shù)f(x)為增函數(shù),則f'(x)=a-cosx≥0恒成立,即a≥cosx在R上恒成立,因為y=cosx∈[-1,1],所以a≥1,即實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞)。(2)證明:由(1)知,當a=1時,f(x)=x-sinx為增函數(shù),當x>0時,f(x)>f(0)=0?x>sinx,要證當x>0時,ex>2sinx,只需證當x>0時,ex>2x,即證ex-2x>0在(0,+∞)上恒成立,設(shè)g(x)=ex-2x(x>0),則g'(x)=ex-2,令g'(x)=0,解得x=ln2,所以g(x)在(0,ln2)上單調(diào)遞減,在(ln2,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)min=g(ln2)=eln2-2ln2=2(1-ln2)>0,所以g(x)≥g(ln2)>0,所以ex>2x成立,故當x>0時,ex>2sinx。17、（本小題滿分15分）解(ⅰ)證明:由an(2Sn-an)=1,得(Sn-Sn-1)(Sn+Sn-1)=1(n∈N*,n≥2),所以Sn2?Sn?12=1(n≥2,n∈N*)。又a1(2S1-a1)=a12=1,an>0,所以a1=1,S12=1。所以{Sn2}是以S12=1為首項,公差為1的等差數(shù)列,所以(ⅱ)數(shù)列{an}中不存在連續(xù)三項ak,ak+1,ak+2,使得1ak,1ak當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n?n?1,因為當n=1時,a1=1,符合上式,所以an=n?n?1(n∈N*),所以1an=1n?n?1=n+n?1。假設(shè)數(shù)列{an}中存在連續(xù)三項ak,ak+1,ak+2,使得1ak,1ak+1,1ak+2構(gòu)成等差數(shù)列,則2(k+1+k)=k+k?1+k+2+k+1,即k+1+k=k?1+k+2,兩邊同時平方,得k+1+k+2k+1·k=k?1+k+2+218、（本小題滿分16分）解(1)證明:以A為原點,AB,AD,AA1的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系。設(shè)AB=a,則A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),Ea2,1,0,B1(a,0,1)。故AD1=(0,1,1),B1E=?a2,1,?1。因為(2)存在滿足要求的點P,假設(shè)在棱AA1上存在一點P(0,0,z0),0≤z0≤1,使得DP∥平面B1AE,此時DP=(0,-1,z0)。設(shè)平面B1AE的法向量為n=(x,y,z)。AB1=(a,0,1),AE=a2,1,0。因為n⊥平面B1AE,所以n⊥AB1,n⊥AE,得ax+z=0,ax2+y=0,取x=1,則y=?a2,z=?a,故n=1,?a2,?a是平面B1AE的一個法向量。要使DP∥平面B1AE,只需n⊥DP19、（本小題滿分16分）解(1)設(shè)事件B=“甲乙兩隊比賽4局,甲隊獲得最終勝利”,事件Aj=“甲隊第j局獲勝”,其中j=1,2,3,4,A1,A2,A3,A4相互獨立。因為甲隊明星隊員M前4局比賽中不上場,所以P(Aj)=12,j=1