廣東省深圳市南山區(qū)南山外國語學校（集團）濱海學校2021-2022學年九年級上學期期中數(shù)學試題（解析版）

2021-2022學年廣東省深圳市南山外國語學校（集團）九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（每題只有一個正確答案，請把正確答案填涂在答題卡上）1.把一元二次方程y2＋2（y﹣1）＝3y化成一般形式，正確的是（）A.y2﹣y﹣2＝0 B.y2＋5y﹣2＝0 C.y2﹣y﹣1＝0 D.y2﹣2y﹣1＝0【答案】A【解析】【分析】把一元二次方程去括號、移項、合并同類項得到一般式即可．【詳解】解：y2＋2（y﹣1）＝3y，去括號得，y2＋2y﹣2＝3y，移項得，y2＋2y﹣2-3y＝0，合并同類項得，y2-y﹣2＝0，故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，解題關鍵是熟練運用等式的性質和整式的運算法則進行計算．2.若，則的值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】∵，∴==，故選：D3.下列說法正確的有（）個．①菱形的對角線相等；②對角線互相垂直的四邊形是菱形；③有兩個角是直角的四邊形是矩形；④正方形既是菱形又是矩形；⑤矩形的對角線相等且互相垂直平分．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)菱形的判定與性質、矩形的判定與性質進行解答．【詳解】解：①菱形的對角線不一定相等，故錯誤；②對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故錯誤；③有三個角是直角的四邊形是矩形，故錯誤；④正方形既是菱形又是矩形，故正確；⑤矩形的對角線相等，但不一定互相垂直平分，故錯誤；∴正確的有1個，故選：A．【點睛】本題考查了菱形和矩形的判定與性質．注意：正方形是一特殊的矩形，也是一特殊的菱形．4.如圖，在ABC中，∠ACB＝90°，D是AB邊中點，CE⊥AB于點E．若CE＝5，CD＝6，則ABC的面積是（）A.60 B.50 C.40 D.30【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直角三角形的性質得到AB＝2CD，求得AB＝12，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結論．【詳解】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB邊的中點，∴AB＝2CD，∵CD＝6，∴AB＝12，∵CE⊥AB于點E，CE＝5，∴△ABC的面積＝AB?CE＝×12×5＝30，故選D．【點睛】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形的面積，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.5.把方程x2﹣4x﹣1＝0轉化成（x+m）2＝n的形式，則m，n的值是（）A.2，3 B.2，5 C.﹣2，3 D.﹣2，5【答案】D【解析】【分析】將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【詳解】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，則x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，∴m＝﹣2，n＝5，故選：D．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的集中常用方法：直接開方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程特點選擇合適、簡便的方法是解題關鍵．6.如圖，是邊上一點，添加一個條件后，仍不能使是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定方法分別分析得出答案．【詳解】解：A、當時，再由，可得出，故此選項不合題意；B、當時，再由，可得出，故此選項不合題意；C、當時，即，再由，可得出，故此選項不合題意；D、當時，無法得出，故此選項符合題意．故選：D．【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關鍵．7.如圖，已知點D為ABC邊AB上一點，AD：AB＝2：3，過點D作BC的平行線交AC于點E，若AE＝6，則EC的長度是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由在△ABC中，DE∥BC，即可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得AC的長，然后AC-AE即可求得答案．【詳解】解：∵在△ABC中，DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴，∵AD：AB=2：3，AE=6，∴AC=AE=9,∴EC=AC-AE=9-6=3．故選C．【點睛】本題考查平行截三角形相似三角形的判定與性質，掌握三角形相似三角形的判定與性質是解題關鍵．8.如圖，要設計一幅寬20cm，長30cm的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，各彩條的寬度相等，如果要使彩條所占面積是圖案面積的六分之一.設彩條的寬為cm，根據(jù)題意可列方程（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設彩條的寬為xcm，根據(jù)要設計一幅寬20cm、長30cm的圖案，如果要使彩條所占面積是圖案面積的六分之一，可列方程．【詳解】解：設彩條的寬度是xcm，則，故選：B．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程的知識，解題的關鍵是理解題意，學會正確尋找等量關系，構建方程解決問題．9.如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，圖中所有三角形均相似，其中最小的三角形面積為1，ABC的面積為44，則四邊形DBCE的面積是（）

A.22 B.24 C.26 D.28【答案】D【解析】【分析】利用得到，所以則，解得，從而得到，然后計算兩個三角形的面積差得到四邊形DBCE的面積．【詳解】解：如圖，設最小的三角形底邊長為m,FH=3m，DE=4m,則FH：DE=3:4,

圖中所有三角形均相似，∴，∴設，則，∴，解得，∴，∴四邊形DBCE的面積．故選D．【點睛】本題考查了相似三角形的性質，掌握相似三角形的性質，關鍵是得出FH：DE=3:4．10.如圖，已知，分別為正方形的邊，的中點，與交于點，為的中點，則下列結論：①，②，③，④．其中正確結論的有（）A.個 B.個 C.個 D.個【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質可得，然后利用SAS即可證出，根據(jù)全等三角形的性質可得：，根據(jù)直角三角形的性質和三角形的內角和，即可判斷①；根據(jù)中線的定義即可判斷②；設正方形的邊長為，根據(jù)相似三角形的判定證出，列出比例式，即可判斷③；過點作于，易證△AMN∽△AFB，列出比例式，利用勾股定理求出ME、MF和MB即可判斷④．【詳解】解：在正方形中，，，、分別為邊，的中點，，在和中，，，，，，故①正確;是的中線，，，故②錯誤;設正方形的邊長為，則，在中，，，，，，即，解得：，，，故③正確；如圖，過點作于，∴∴△AMN∽△AFB∴，即，解得，，根據(jù)勾股定理，，，，故④正確.綜上所述，正確的結論有①③④共3個故選：B．【點睛】此題考查的是正方形的性質、全等三角形的判定及性質、相似三角形的判定及性質和勾股定理，掌握正方形的性質、全等三角形的判定及性質、相似三角形的判定及性質和勾股定理是解決此題的關鍵．二、填空題（請把正確答案填寫在答題卡上）11.在一個不透明的袋子里裝有紅球和白球共30個，這些球除顏色外都相同，小明通過多次試驗發(fā)現(xiàn)，摸出白球的頻率穩(wěn)定在0.3左右，則袋子里白球可能是______個．【答案】9【解析】【分析】用球的總數(shù)乘以白球的概率，即可求得白球數(shù)量．【詳解】解：袋子中的白球數(shù)為：（個）．故答案為：9【點睛】本題考查了概率的知識點，熟知概率的公式是解題的關鍵．12.已知線段AB的長為10cm，點C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，則AC＝_____cm．（結果保留根號）【答案】5﹣5【解析】【分析】根據(jù)黃金比值是列式計算即可．【詳解】解：∵點C是線段AB的黃金分割點，AC＞BC，∴AC＝AB＝（5﹣5）cm，故答案為：5﹣5．【點睛】本題考查的是黃金分割的概念，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，它們的比值叫做黃金比．13.若≠0，則＝__．【答案】【解析】【分析】設＝k，可得a＝2k，b＝3k，c＝4k，再代入求值即可得到答案．【詳解】設＝k，則a＝2k，b＝3k，c＝4k，∴＝＝＝．故答案為：【點睛】本題考查了比例的性質、代數(shù)式求值，熟練掌握比例的性質，巧妙設參是解題關鍵．14.如圖，點O是菱形ABCD對角線的交點，DEAC，CEBD，連接OE，設AC＝12，BD＝16，則OE的長為_____．【答案】10【解析】【分析】由菱形的性質和勾股定理求出CD＝20，證出平行四邊形OCED為矩形，得OE＝CD＝10即可．【詳解】解：∵DEAC，CEBD，∴四邊形OCED為平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，∴∠DOC＝90，CD＝＝＝10，∴平行四邊形OCED為矩形，∴OE＝CD＝10，故答案為：10．【點睛】本題考查了菱形的性質、矩形的判定與性質以及平行四邊形判定與性質等知識；熟練掌握特殊四邊形的判定與性質是解題的關鍵．15.如圖，在等腰中，，點在的延長線上，，點在邊上，，則的值是_____．【答案】【解析】【分析】過點P作交DC延長線于點E，根據(jù)等腰三角形判定與性質，平行線的性質可證，再證，可得，再利用平行線分線段成比例得，結合線段的等量關系及比例的性質即可得到結論．【詳解】如圖：過點P作交DC延長線于點E，在和中故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質，平行線分線段成比例，以及全等三角形的判定，解題關鍵是正確作出輔助線，列出比例式．三、解答題16.用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋海?）（x﹣2）2＝9；（2）x2﹣6x﹣9＝0；（3）2x2+3x﹣1＝0；（4）（2x+3）2＝4（2x+3）．【答案】（1）x1=5，x2=﹣1；（2）x1=3+，x2=3-；（3），；（4）x1=，x2=．【解析】【分析】（1）利用直接開平方法得出x﹣2=±3，然后解一元一次方程即可；

（2）利用配方法得出x2﹣6x+9=9+9，然后化為直接開平方法求解即可；

（3）利用公式解法得出，計算＞0，然后代入公式計算即可；

（4）利用因式分解法得出（2x+3）（2x+3-4）=0，然后轉化為2x+3=0或2x﹣1=0，再解一元一次方程即可．【詳解】解：（1）（x﹣2）2＝9，解：兩邊開方得：x﹣2=±3，解得：x1=5，x2=﹣1；（2）x2﹣6x﹣9＝0，解：移項得：x2﹣6x=9，配方得：x2﹣6x+9=9+9，即（x﹣3）2=18，開方得：x﹣3=±，∴原方程的解是：x1=3+，x2=3-；（3）2x2+3x﹣1＝0，解：，＞0代入公式得∴，；（4）（2x+3）2＝4（2x+3），解：（2x+3）（2x+3-4）=0，（2x+3）（2x-1）=0，∴2x+3=0或2x﹣1=0，∴x1=，x2=．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．17.如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，已知ABC三個頂點分別為A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)．（1）畫出ABC關于x軸對稱的A1B1C1；（2）以原點O為位似中心，在x軸的下方畫出A2B2C2，使A2B2C2與ABC位似，且位似比為2，并寫出A2，B2，C2的坐標．【答案】（1）△A1B1C1為所求作，畫圖見詳解；（2）A2（4，-2），B2（-2，-4），C2（8，-8），△A2B2C2為所求作，畫圖見詳解．【解析】【分析】（1）利用關于x軸對稱的點的坐標的特征，分別寫出A、B、C三點關于x軸的對稱點A1、B1、C1的坐標，然后分別描點，依次連接這三點即得符合要求的三角形；（2）根據(jù)位似圖形在x軸下方，結合位似比2，把A、B、C的橫縱坐標分別乘-2，即得到A2、B2、C2的坐標，描點得到△A2B2C2．【詳解】解（1）∵ABC三個頂點分別為A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)．ABC關于x軸對稱的A1B1C1，∴A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)關于x軸對稱軸坐標為A1（-2，-1），B1（1，-2），C1（-4,-4），在平面直角坐標系中描出A1（-2，-1），B1（1，-2），C1（-4,-4），順次連結A1B1，B1C1，C1A1，如下圖，△A1B1C1所求作；（2）A2B2C2與ABC位似，且位似比為2，ABC三個頂點分別為A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)．A(﹣2，1)、B(1，2)，C(﹣4，4)的位似點坐標為A2（-2×（-2）,1×（-2））即（4，-2），B2（1×（-2），2×（-2））即（-2，-4），C2（-4×（-2），4×（-2））即（8，-8）在平面直角坐標系中描點A2（4，-2），B2（-2，-4），C2（8，-8），順次連結A2B2，B2C2，C2A2，如下圖，△A2B2C2為所求作

【點睛】本題考查了利用軸對稱變換和位似變換作圖；在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比為k或為-k．18.某校開設了書畫、器樂、戲曲、棋類四類興趣課程，為了解全校學生對每類課程的選擇情況，隨機抽取了若干名學生進行調查（每人必選且只能選一類）．現(xiàn)將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：（1）本次隨機調查抽取了多少名學生？（2）補全條形統(tǒng)計圖中“書畫”“戲曲”的空缺部分；（3）若該校共有1600名學生，請估計全校選擇“戲曲”課程的學生有多少名；（4）學校從這四類課程中隨機抽取兩類參加“全市青少年才藝展示活動”，用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好抽到“器樂”和“戲曲”課程的概率．（書畫、器樂、戲曲、棋類可分別用字母，，，表示）【答案】（1）200名；（2）見解析；（3）320名；（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計圖及題意可由棋類的人數(shù)和百分比進行求解即可；（2）由（1）及題意可得“書畫”和“戲曲”的人數(shù)，進而問題可求解；（3）根據(jù)題意可直接進行求解；（4）由題意可得出樹狀圖，然后問題可求解．【詳解】解：（1）由圖可得：（名）；答：本次隨機調查抽取了200名學生．（2）由題意得：選擇“書畫”課程的學生有（名），選擇“戲曲”課程的學生有（名），∴補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：（3）由題意及統(tǒng)計圖可得：（名）；答：全校選擇“戲曲”課程的學生有320名．（4）畫樹狀圖如下：由樹狀圖，知共有12種等可能出現(xiàn)的結果，其中恰好抽到“器樂”和“戲曲”課程的結果有2種，所以（恰好抽到“器樂”和“戲曲”課程）．【點睛】本題主要考查概率及扇形統(tǒng)計圖，熟練掌握概率的求法及扇形統(tǒng)計圖是解題的關鍵．19.如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，AB＝BC，對角線AC，BD交于點O，BD平分∠ABC，過點D作DE⊥BC交BC的延長線于點E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若BE＝5，OE＝3，求線段DE的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）由平行線的性質和角平分線得出∠ADB＝∠ABD，證出AD＝AB，由AB＝BC得出AD＝BC，即可得出結論；（2）根據(jù)直角三角形的性質求出BD，在Rt△BDE中，由勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：∵ADBC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵ADBC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形；（2）解：∵DE⊥BC∴△BDE是直角三角形，∵四邊形ABCD是菱形∴O點是BD中點∴BD=2OE=6∴DE=．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的判定、等腰三角形的判定、平行線的性質、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線性質；熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵．20.已知關于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0．（1）求證：無論k為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）等腰三角形ABC中，AB=3，若AC、BC為方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的兩個實數(shù)根，求k的值．【答案】（1）見解析；（2）k=3【解析】【分析】（1）先根據(jù)題意求出△的值，再根據(jù)一元二次方程根的情況與判別式△的關系即可得出答案；（2）根據(jù)△ABC的兩邊AC、BC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，則3是方程的一個根，代入方程即可求出k的值．【詳解】解：（1）∵△=[﹣(k+1)]2﹣4×1×(2k﹣3)=k2+2k+1﹣8k+12=(k-3)2+4，∵無論k為何實數(shù)，(k-3)2≥0，∴(k-3)2+4＞0，∴無論k為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）∵AC、BC為方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3=0的兩個實數(shù)根，由（1）可得，AC≠BC，∵△ABC為等腰三角形，∴AC=AB=3或BC=AB=3，∴方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3＝0必有一根為x=3，∴32﹣3(k+1)+2k﹣3=0，解得k=3．【點睛】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．21.今年是我國脫貧勝利年，我國在扶貧方面取得了巨大的成就，技術扶貧也使得我省某縣的一個電子器件廠脫貧扭虧為盈．該電子器件廠生產一種電腦顯卡，2019年該類電腦顯卡的出廠價是200元/個，2020年，2021年連續(xù)兩年在技術扶貧的幫助下改進技術，降低成本，2021年該電腦顯卡的出廠價調整為162元/件．（1）這兩年此類電腦顯卡出廠價下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率．（2）2021年某賽格電腦城以出廠價購進若干個此類電腦顯卡，以200元/個銷售時，平均每天可銷售20個．為了減少庫存，商場決定降價銷售．經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，單價每降低5元，每天可多售出10個，如果每天盈利1150元，單價應降低多少元？【答案】（1）；（2）單價應降低15元【解析】【分析】（1）設平均每年下降的百分率為，由題意，列式計算即可．（2）單價應降低元，，計算即可，注意為了減少庫存，方程的解要舍去其中一個．【詳解】（1）解：設平均每年下降的百分率為根據(jù)題意有：即或解得：，（舍）答：平均每年下降的百分率為．（2）設單價應降低元據(jù)題意有：即或解得：∵為了減少庫存∴（