廣東省深圳市龍崗區(qū)宏揚(yáng)學(xué)校2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年廣東省深圳市龍崗區(qū)宏揚(yáng)學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）1.某魚塘里養(yǎng)了100條鯉魚、若干條草魚和50條羅非魚，通過多次捕撈實(shí)驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，捕撈到草魚的頻率穩(wěn)定在0.5左右，可估計(jì)該魚塘中草魚的數(shù)量為（）A.150 B.100 C.50 D.200【答案】A【解析】【分析】根據(jù)大量重復(fù)試驗(yàn)中的頻率估計(jì)出概率，利用概率公式求得草魚的數(shù)量即可．【詳解】∵通過多次捕撈實(shí)驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，捕撈到草魚的頻率穩(wěn)定在0.5左右，∴捕撈到草魚的概率約為0.5，設(shè)有草魚x條，根據(jù)題意得：＝0.5，解得：x＝150，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查用樣本估計(jì)總體，解題的關(guān)鍵是明確題意，由草魚出現(xiàn)的頻率可以計(jì)算出魚的數(shù)量．2.書架上放著三本小說和兩本散文，小明從中隨機(jī)抽取兩本，兩本都是小說的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】畫樹狀圖（用A、B、C表示三本小說，a、b表示兩本散文）展示所有20種等可能的結(jié)果數(shù)，找出從中隨機(jī)抽取2本都是小說的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】畫樹狀圖為：（用A、B、C表示三本小說，a、b表示兩本散文）共有20種等可能的結(jié)果數(shù)，其中從中隨機(jī)抽取2本都是小說的結(jié)果數(shù)為6，∴從中隨機(jī)抽取2本都是小說的概率＝＝．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查等可能事件的概率，掌握畫樹狀圖以及概率公式，是解題的關(guān)鍵．3.下列說法錯(cuò)誤的是（）A.對角線互相垂直的平行四邊形是矩形 B.矩形的對角線相等C.對角線相等的菱形是正方形 D.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形【答案】A【解析】【分析】根據(jù)特殊平行四邊形的性質(zhì)判斷即可；【詳解】經(jīng)過判斷，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故A錯(cuò)誤；B、C、D均正確；故答案選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊平行四邊形的判定，準(zhǔn)確判斷是解題的關(guān)鍵．4.如圖，延長矩形ABCD的邊BC至點(diǎn)E，使CE＝CA，連接AE，如果∠ACB＝38°，則∠E的值是（）A.18° B.19° C.20° D.40°【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5.如圖，平行四邊形中，對角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，下列條件中，不能判斷四邊形是菱形的是（）A. B. C.平分 D.【答案】B【解析】【分析】由點(diǎn)E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)得出OF=OE，證出四邊形EBFD是平行四邊形，添加AC⊥BD時(shí)，得出四邊形BEDF是菱形，A正確；添加AC平分∠BAD，得出∠DAC=∠BAC，證出BE=DE，因此四邊形EBDF是菱形，選項(xiàng)C正確；添加AB=AC，可證得BE=BF，則四邊形EBDF是菱形，選項(xiàng)D正確；只有添加選項(xiàng)B不能判定四邊形EBFD是菱形；即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)，∴OE=OF=OA=OC，∴四邊形EBDF是平行四邊形，添加AC⊥BD時(shí)，∴四邊形EBFD是菱形，選項(xiàng)A正確；添加AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=AB=BC，在和中，，∴（SAS），∴BE=DE，∴四邊形EBFD是菱形，選項(xiàng)C正確；添加AB=BC時(shí)，∴∠BAE=∠BCF，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形，在和中,，（SAS），∴BE=BF，∴四邊形EBFD是菱形，選項(xiàng)D正確；只有添加選項(xiàng)B不能判定四邊形EBFD是菱形；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握菱形的判定是關(guān)鍵．6.矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，點(diǎn)M在邊CD上，若AM平分∠DMB，則DM的長是（）A. B. C.﹣ D.2﹣【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意由矩形的性質(zhì)得出CD=AB=2，AB∥CD，BC=AD=1，∠C=90°，由平行線的性質(zhì)得出∠BAM=∠AMD，再由角平分線證出∠BAM=∠AMB，得出MB=AB=2，由勾股定理求出CM，即可得出DM的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD=AB=2，AB∥CD，BC=AD=1，∠C=90°，

∴∠BAM=∠AMD，

∵AM平分∠DMB，

∴∠AMD=∠AMB，

∴∠BAM=∠AMB，

∴BM=AB=2，

∴CM=，

∴DM=CD-CM=2-.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)和等腰三角形的判定以及平行線的性質(zhì)和勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明MB=AB是解決問題的關(guān)鍵．7.已知m是有理數(shù)，則m2﹣2m+4的最小值是（）A.3 B.5 C.6 D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)配方法對式子進(jìn)行配方，利用非負(fù)性求解最小值即可．【詳解】解：∵，當(dāng)時(shí)，∴，當(dāng)時(shí)，，為有理數(shù)，的最小值為故選A【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，然后根據(jù)非負(fù)性求出最小值，解題的關(guān)鍵是掌握配方法．8.用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（）A.y＝ B.y＝ C.y＝ D.y＝【答案】C【解析】【分析】按照公式法求解一元二次方程的步驟，求解即可．【詳解】解：判別式故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了公式法求解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握公式法求解一元二次方程的步驟．9.方程x2﹣5x﹣6＝0左邊化為兩個(gè)一次因式的乘積為（）A.（x﹣5x）（x﹣3）＝0 B.（x﹣2）（x+3）＝0C.（x﹣1）（x+6）＝0 D.（x+1）（x﹣6）＝0【答案】D【解析】【分析】使用因式分解法對方程的左邊進(jìn)行等價(jià)變形即可．詳解】解：∵，，∴．∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，熟練掌握該知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．10.某農(nóng)產(chǎn)品市場經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場分析，若按每千克50元銷售，一個(gè)月能售出500千克，銷售單價(jià)每漲1元，月銷售量就減少10千克，設(shè)銷售單價(jià)為每千克x元，月銷售利潤可以表示為（）A.（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]元 B.（x﹣40）（10x﹣500）元C.（x﹣40）（500﹣10x）元 D.（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]元【答案】D【解析】【分析】由題意直接利用每千克利潤×銷量=總利潤，進(jìn)而即可得出代數(shù)式．【詳解】解：設(shè)銷售單價(jià)為每千克x元，則月銷售利潤=（x-40）[500-10（x-50）]．

故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)實(shí)際問題抽象出二次函數(shù)，理解題意并正確表示出銷量是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題有5小題，每小題3分，共15分）11.把方程配方，化為的形式為________．【答案】【解析】【分析】先把常數(shù)項(xiàng)－6移到等號的右邊，再把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，最后在等式的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，然后配方即可．【詳解】解：，，，，，∴一元二次方程2x2－x－6＝0化為的形式是：．答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．12.已知x=2是關(guān)于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一個(gè)根，則k的值為_____．【答案】﹣3【解析】【詳解】【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解關(guān)于k的方程，然后根據(jù)一元二次方程的定義確定k的值即可．【詳解】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，因?yàn)閗≠0，所以k的值為﹣3．故答案為﹣3．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義以及一元二次方程的解，能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．13.有兩雙完全相同的鞋，從中任取兩只，恰好成為一雙的概率為_____．【答案】【解析】【分析】設(shè)其中一雙鞋分別為a，a′；畫出樹狀圖，可知共有12種情況，能配成一雙的有8種情況，根據(jù)概率公式計(jì)算即可；【詳解】設(shè)其中一雙鞋分別為a，a′．畫樹狀圖得：∵共有12種情況，能配成一雙的有8種情況，∴取出兩只剛好配一雙鞋的概率是：．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．14.某種商品原價(jià)每件40元，經(jīng)兩次降價(jià)，現(xiàn)售價(jià)每件32.4元，則該種商品平均每次降價(jià)的百分率是______．【答案】10%【解析】【分析】設(shè)降價(jià)百分率為x，根據(jù)售價(jià)從原來每件40元經(jīng)兩次降價(jià)后降至每件32.4元，可列方程求解．【詳解】解：設(shè)降價(jià)百分率為x，列方程：40（1﹣x）2＝32.4．解得x1＝0.1，x2＝1.9（不合題意舍去）．故答案為：10%．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．15.圖，在菱形ABCD中，AC＝6，AB＝5，點(diǎn)E是直線AB、CD之間任意一點(diǎn)，連接AE、BE、DE、CE，則△EAB和△ECD面積和等于_____．

【答案】12【解析】【分析】過點(diǎn)A作交CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作交AC于點(diǎn)G．根據(jù)菱形的性質(zhì)確定AD和CD的長度，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)確定AG的長度，再結(jié)合勾股定理確定DG的長度，再根據(jù)三角形面積公式確定AF的長度，即直線AB與直線CD之間的距離．再根據(jù)三角形面積公式和乘法分配律即可求出陰影部分的面積．【詳解】：如下圖所示，過點(diǎn)A作交CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作交AC于點(diǎn)G．

∵四邊形ABCD為菱形，AB=5，∴AD=CD=AB=5．∵，AC=6，∴AG=CG=3．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴直線AB與直線CD之間的距離為．∵點(diǎn)E是直線AB、CD之間一點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)E到直線AB的距離為，點(diǎn)E到直線CD的距離為．∴．∴S陰．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，綜合應(yīng)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．三、解答題（本題有7小題，共55分）16.按要求解方程：（1）x2﹣1＝4x（公式法）；（2）x2﹣1＝2x+2（因式分解法）．【答案】（1），；（2），【解析】【分析】（1）先化一般式，再根據(jù)公式法即可求解；（2）根據(jù)因式分解法即可求解．【詳解】解：（1）整理得∴∴，（2）整理得∴∴或∴，．【點(diǎn)睛】此題主要考查解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟知公式法與因式分解法的運(yùn)用．17.如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F，且AE＝CF，求證：?ABCD是菱形．【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)AAS證明△ABE≌△CBF，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)得出BC＝BA，進(jìn)而利用菱形的判定證明即可．【詳解】證明：∵AE⊥BC于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F，∴∠CFB＝∠AEB＝90°，在△ABE與△CBF中，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴BC＝BA∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴?ABCD是菱形．【點(diǎn)睛】此題考查菱形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)AAS證明△ABE≌△CBF，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)得出BC＝BA．18.在甲乙兩個(gè)不透明的口袋中，分別有大小、材質(zhì)完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分別標(biāo)有數(shù)字,,，乙口袋中的小球上分別標(biāo)有數(shù)字,,，從兩口袋中分別各摸一個(gè)小球.求摸出小球數(shù)字之和為的概率【答案】【解析】【分析】畫樹狀圖展示所有等可能的結(jié)果，再根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：利用樹狀圖表示為：由樹狀圖可知，共有種情況，每種情況的可能性相等.摸出的兩個(gè)小球數(shù)字之和為有種情況.（數(shù)字之和為）.【點(diǎn)睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計(jì)算事件A或事件B的概率．19.平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在CD上，DF=BE，連接：BF，AF．（1）求證：四邊形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DF=5，求矩形BFDE的面積．【答案】（1）詳見解析；（2）20【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AB與CD的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的判定，可得BFDE是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定，可得答案；

（2）由平行線和角平分線定義得出∠DFA=∠DAF，證出AD=DF=5，由勾股定理求出DE==4，即可得出矩形BFDE的面積．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD∵BE∥DF，BE=DF，∴四邊形BFDE是平行四邊形∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四邊形BFDE是矩形（2）解：∵AB∥CD，∴∠BAF=∠DFA，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，∴∠DFA=∠DAF，∴AD=DF=5，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，由勾股定理得：DE==4，∴矩形BFDE的面積=DF×DE=5×4=20【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，利用了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得出∠DAF=∠DFA是解題關(guān)鍵．20.已知關(guān)于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a，b，c分別為△ABC三邊的長．（1）如果x＝﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．【答案】（1）等腰三角形，理由見解析；（2）直角三角形，理由見解析【解析】【分析】（1）將x＝﹣1代入原方程，即可得出答案；（2）根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，利用一元二次方程根的判別式進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由：把x=﹣1代入方程得，(a+b)－2c+(b－a)=0，∴b=c，∴△ABC是等腰三角形；（2）△ABC是直角三角形，理由：∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ=（2c）2－4（a+b）(b－a)，∴a2+c2=b2，∴△ABC是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根以及一元二次方程根的判別式，勾股定理逆定理等知識點(diǎn)，熟練掌握一元二次方程的相關(guān)概念，熟知一元二次方程根的判別式對應(yīng)的根的情況是解本題的關(guān)鍵．21.用長12m的一根鐵絲圍成長方形．（1）如果長方形的面積為5m2，那么此時(shí)長方形的長是多少？寬是多少？（2）能否圍成面積是10m2的長方形？為什么？【答案】（1）長方形的長為5m，寬為1m；（2）不能，理由見解析【解析】【分析】（1）設(shè)長方形的寬為xm，而長方形的周長為12，由此得到長為（12-2x）=（6-x）m，由于長方形的面積為5m2，由此列出方程x（6-x）=5，根據(jù)x≤6－x，即可求解；（2）由于長方形的面積為10m2，由此列出方程x（6-x）=10，判斷方程的根的情況即可求解；．【詳解】解：(1)設(shè)長方形的寬為xm，則長為（12-2x）=(6－x)m，根據(jù)題意得x(6