2023年考研數(shù)學（二）試題及解析

1A.y=x+e4.若微分方程y"+ay'+by=0的解在(-0,+α)上有界，則()A.a<0.b>0B.a>0,b>0C.a=0.b>0D.a=0,b<07.設函數(shù)f(x)=(x2+a)e*,若f(x)沒有極值點，但曲線y=f(x)A.(0.1)B.[1,+0]C.(1,2)2A.y2+y2B.y2-y?C.y2+y?-4y3D.y2+y2-y2**,二、填空題，11～16題，每題5分，共30分.三、解答題，17～22題，共70分。3的極值.20.(本題滿分12分)21.(木題滿分12分)設函數(shù)f(x)在[-a.a]上具有2階連續(xù)導數(shù).證明：(1)若?(0)=0,則存在ξ∈(-a,a),使得22.(木題滿分12分)(2)求可逆矩陣P與對角矩陣A,使得P-1AP=A.2023年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(二)參考答案【解析】(方法一)其中,則所求斜漸近線方程為(D)為正確答案.【解析】微分方程的特征方程為λ2+aλ+b=0,特征根為若a2-4b>0,則特征方程有兩個實根且λ1≠λ2.微分方程的解為y=C?eA1+C?e^22在(一～,+心)上無界.若a2-4b=0,則微分方程的解為y=(C?+C?x)e-t在(-~,+○)上無界.如果此解在(一0,+一)上有界，則a=0,進而b>0.【評注】本題還可從選項出發(fā)，驗證只有(C)符合條件.則由,得y'(0)=0.=可知y"(0)不存在.【評注】泰勒公式判斷導數(shù)存在性.【解析】廣義積：當α>0時收斂，所以f(a)的定義域為α>0.f"(x)=(x2+4x+a+2)e,要使得f(x)有拐點，二次多項式x2+4x+(a+2)的判別式△=16-4(a+2)>0,a<2.【解析】(方法一)分別令(A)(B)(C)(D)選項中的矩陣為I?,I?,I?,I?.不正確.選項(D)是正確的.(方法二)【評注】本題用到分塊矩陣的逆或伴隨，設A,Bm【解析】(方法一)配方法=x2+2x?x?+x2+x2+2x?xs+x2-4x2+=2x2-3x2-3x2+2x?xz+2x?正確答案為(B).(方法二)合同變換法二次型對應的對稱矩陣(方法三)特征值二次型對應的對稱矩陣故正慣性指數(shù)為1,負慣性指數(shù)為1,故選(B).(方法四)可逆線性變換再由配方法、合同變化法或特征值.二次型對應的矩陣A的特征值為1,-7,0,正慣性指數(shù)為1,負慣性指數(shù)為1,故選(B).x?a?+x?az-xsβ-xβ?=0.下面求解該方程組：方程組(*)與同解.雙正確答案為(D).(11)【答案】-2.【解析】由題設知兩邊對x求偏導，有①式兩端再對x求偏導數(shù)，有再將x=y=1,z=0代再將x=y=1,z=0代代入②y(x)=x(C-Inx).(Ⅱ)設曲線y=x(2-Inx)在點(x,y)處的切線方程為Y-y=y'(X-x),令X=0得(18)【解】由得駐點為(-e(-1)*,kπ)(k=0,±1,…).當k為偶數(shù)時，△=-e2<0,且A=1>0,,(k為偶數(shù)).【評注】第I問的積分計算還有其他方法.(20)【解】曲線x2+y2-xy=1,x2+y2-xy=2的極坐標方程為三①+②得求得A的特征值為λ1=-1,Az=-2,λ?=2.先求解方程組(A+E)x=0(A+E)x=0的通解為x=k?(-1,0,2)T,k?∈R.取A的屬于λ?=-1的特征向量為ξ1=(-1,0,2)T.行變換(A+2E)x=0