全國小學數(shù)學教師教學設計比賽一等獎數(shù)學七年級上冊（人教2024年新編）《解一元一次方程實際問題與一元一次方程（第2課時銷售中的盈虧問題）》教學設計

5.3實際問題與一元一次方程（第2課時銷售中的盈虧問題）教學設計一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教2024版《義務教育教科書?數(shù)學》七年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第五章“一元一次方程”5.3實際問題與一元一次方程第2課時，內(nèi)容包括利用一元一次方程分析與解決“銷售中的盈虧”問題.2.內(nèi)容解析“銷售中的盈虧”問題是實際生活中的常見問題，也是可借助方程模型解決的典型問題之一，并具有一定的代表性.“增長率問題”“溶液配比問題”等相關(guān)問題均與其具有類似的數(shù)量特征．這類問題的背景和表達都更貼近實際，其中的有些數(shù)量關(guān)系也比較隱蔽．對這一問題的探究可以使學生進一步體驗一元一次方程與實際的密切聯(lián)系，體會數(shù)學建模思想，培養(yǎng)運用一元一次方程分析和解決實際問題的能力.在“銷售中的盈虧”的探究中，解決問題的關(guān)鍵有以下兩點:（1）理解和生活緊密相關(guān)的“成本”“售價”“盈利”“虧損”“利潤率”等相關(guān)概念；（2）“利潤率”“虧損率”都是比值，要找準這一比值所對應的參照量.基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學重點為：“銷售中的盈虧”問題的探究過程．二、目標和目標解析1.目標（1）理解“銷售中的盈虧”問題中的相關(guān)概念及它們之間的數(shù)量關(guān)系．（2）能適時地利用“一元一次方程”這一工具解決問題（3）經(jīng)歷探究解題的過程，增強探究解決綜合性問題的能力．2.目標解析（1）理解問題相關(guān)的“成本”“售價”“盈利”“虧損”“利潤率”等相關(guān)概念；理解“利潤＝售價－成本”“利潤率＝”等數(shù)量關(guān)系．（2）能找解決問題所需的關(guān)鍵量，如“盈利衣服的盈利額”“虧損衣服的虧損額”，并利用一元一次方程將之求出．（3）經(jīng)歷“估算猜想—探究驗證”的問題探究過程，積累探究綜合性問題的經(jīng)驗，增強探究解決綜合性問題的能力．三、教學問題診斷分析學生通過之前的學習，對應用一元一次方程解決簡單實際問題具備了一定的基礎，對建立方程模型解決問題的基本過程也有基本的認識．但在這些問題中建立方程的目的就是為求得問題中某一變量的值，所以設未知數(shù)和列方程的指向性比較明顯．而本課中，以探究問題為代表的系列問題均以“判斷決策”為最終目標，沒有明確要求建立方程以及為何建立方程，這一過程中就需要學生自行分析并發(fā)現(xiàn)影響決策的關(guān)鍵變量，并自覺建立方程來求得．學生在這種自行選擇探究方向和探究方法的問題中缺乏經(jīng)驗，為幫助學生克服這一困難，教學過程中教師應加強引領和示范，突出將“判斷決策”的實際問題轉(zhuǎn)化為“比較數(shù)字大小”的數(shù)學問題的過程，及一元一次方程的工具性.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點為：在探究過程中適時建立一元一次方程解決問題．四、教學過程設計（一）回顧舊知1.商品原價200元，九折出售，售價是180元.2.商品進價是150元，售價是180元，則利潤是30元，利潤率是20%.3.某商品原來每件零售價是a元，現(xiàn)在每件降價10%，降價后每件零售價是0.9a元.4.某種品牌的彩電降價20%以后，每臺售價為a元，則該品牌彩電每臺原價應為1.25a元.5.某商品按定價的八折出售，售價是12.8元，則原定售價是16元.師生活動：學生回顧，組內(nèi)完成后，教師提出思考：（1）以上問題中有哪些量？（2）這些量有何關(guān)系？（二）問題的初探一商店以每件60元的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？問題1：你估計盈虧情況是怎樣的？（A）盈利．（B）虧損．（C）不盈不虧．師生活動：教師提出問題，學生通過估算猜想結(jié)論，簡單闡述理由；教師通過學生回答情況了解學生對問題的認識情況．【設計意圖】估算能力是數(shù)學應用過程中的重要能力之一，設置對結(jié)論的估算環(huán)節(jié)可以培養(yǎng)學生的估算能力，并通過學生的估算了解學生對銷售問題的認識水平．問題2：銷售的盈虧決定于什么？師生活動：教師提出問題，學生思考并回答，得到“總的盈虧決定于總成本和總售價的比較”這一結(jié)論，引導學生關(guān)注“兩件衣服的總成本”，學生回答過程中，教師適時提問“成本”“售價”等相關(guān)概念，引領學生熟悉問題情境．【設計意圖】借助問題引導學生熟悉并理解問題情境及相關(guān)概念，并引領學生將“總的是盈利還是虧損”的實際問題轉(zhuǎn)化為“比較總成本與總銷售額大小”的數(shù)學問題，滲透轉(zhuǎn)化思想．（三）問題的進一步探究問題3：兩件衣服的成本各是多少元？這個結(jié)論與你的猜想一致嗎？解：（1）設盈利25%的衣服進價是x元，依題意得x＋0.25x＝60.解得x＝48.（2）設虧損25%的衣服進價是y元，依題意得y－0.25y＝60.解得y＝80.兩件衣服總成本：x+y=48＋80＝128（元）.因為120－128＝－8（元）所以賣這兩件衣服共虧損了8元．師生活動：教師提出問題，學生自行演算，教師巡視指導．在指導過程中，教師應關(guān)注：（1）學生對“利潤率”和“虧損率”這兩個概念能否正確理解；（2）學生是否注意在同一問題中出現(xiàn)兩個未知量，應設不同的未知數(shù)表示．學生演算完成后提示學生將演算結(jié)論和之前估算的結(jié)論進行比較，并分析原因．在學生完成之后，選同學表述解題過程，教師板書并點評．【設計意圖】教師通過問題2幫助學生明確了探究方向之后，讓學生自主探究這一問題，使學生經(jīng)歷探究過程，尤其是讓學生體驗“估算猜想—探究驗證”的過程，有助于提高學生的探究能力．（四）針對訓練1.某琴行同時賣出兩臺鋼琴，每臺售價為960元．其中一臺盈利20%，另一臺虧損20%.這次琴行是盈利還是虧損，或是不盈不虧？答案：這次琴行虧本80元．2.某文具店有兩個進價不同的計算器都賣64元，其中一個盈利60%，另一個虧本20%.這次交易中的盈虧情況？答案：這次交易盈利8元.3.某商品的零售價是900元，為適應競爭，商店按零售價打9折(即原價的90%)，并再讓利40元銷售，仍可獲利10%，求該商品的進價．解：設該商品的進價為每件x元，依題意，得900×0.9－40＝10%x＋x，解得x＝700.答：該商品的進價為700元．師生活動：教師依次給出練習，學生自主練習，教師巡視，選學生展示解答過程，學生點評．【設計意圖】在教師引領完成探究問題之后，依次給出練習，使學生在探究問題中獲得的解題經(jīng)驗得以鞏固，并通過應用練習轉(zhuǎn)化為能力．（五）當堂鞏固1.某種商品的進貨價為每件a元，零售價為每件90元，若商品按八五折出售，仍可獲利10%，則下列方程正確的是（D）A．85%a=10%×90B．90×85%×10%=aC．85%(90－a)=10%D．(1+10%)a=90×85%2.兩件商品都賣120元，其中一件盈利25%，另一件虧本20%，則兩件商品賣出后（D）A．盈利16元B．虧本16元C．贏利6元D．虧本6元3.某種商品因換季準備打折出售，如果按原定價的七五折出售，將賠25元，而按原定價的九折出售，將賺20元，則這種商品的原價是（C）A．500元B．400元C．300元D．200元4.某商場把進價為1980元的商品按標價的八折出售，仍獲利10%，則該商品的標價為2725元.5.我國政府為解決老百姓看病難的問題，決定下調(diào)藥品的價格，某種藥品在2019年漲價30%后，2021年又降價70%至a元，則這種藥品在2019年漲價前的價格為元.6.某商品的進價是1000元，售價是1500元，由于銷售情況不好，商店決定降價出售，但又要保證利潤率不低于5%，那么商店最多可打幾折出售此商品？解：設商店最多可以打x折出售此商品，根據(jù)題意，得．解得x=7.答：商店最多可以打7折出售此商品.【設計意圖】考查學生對銷售問題中“盈利率”等概念的理解情況，以及對建立方程模型解決此類問題的一般方法的掌握．（六）能力提升據(jù)了解個體商店銷售中售價只要高出進價的20%便可盈利，但老板們常以高出進價50%~100%標價，假若你準備買一雙標價為600元的運動鞋，應在什么范圍內(nèi)還價？解：如下圖：答：應在360元～480元內(nèi)還價.【設計意圖】進一步考查學生對建立方程模型解決此類問題的一般方法的掌握．（七）感受中考1.（2023?臨沂）大學生小敏參加暑期實習活動，與公司約定一個月（30天）的報酬是M型平板電腦一臺和1500元現(xiàn)金.當她工作滿20天后因故結(jié)束實習，結(jié)算工資時公司給了她一臺該型平板電腦和300元現(xiàn)金.（1）這臺M型平板電腦價值多少元？（2）小敏若工作m天，將上述工資支付標準折算為現(xiàn)金，她應獲得多少報酬（用含m的代數(shù)式表示）？【解答】解：（1）設這臺M型平板電腦價值x元，根據(jù)題意得：，解得：x=2100，∴這臺M型平板電腦價值2100元；（2）由（1）知，一臺M型平板電腦價值2100元，∴工作一個月，她應獲得的報酬為2100+1500=3600（元），∴若工作m天，她應獲得的報酬為（元）.2.（2023?陜西）小紅在一家文具店買了一種大筆記本4個和一種小筆記本6個，共用了62元.已知她買的這種大筆記本的單價比這種小筆記本的單價多3元，求該文具店中這種大筆記本的單價.【解答】解：設該文具店中這種大筆記本的單價是x元，則小筆記本的單價是（x-3）元.∵買了一種大筆記本4個和一種小筆記本6個，共用了62元，∴4x＋6(x-3)=62，解得：x=8；答：該文具店中這種大筆記本的單價為8元.【設計意圖】通過對最近幾年的中考真題的訓練，使學生提前感受中考考什么，進一步了解考點．（八）課堂小結(jié)教師和學生共同回顧本節(jié)內(nèi)容，并回答以下問題：1.這節(jié)課你學習了哪些內(nèi)容？2.通過學習你有哪些收獲？【設計意圖】通過問題引領學生梳理探究過程，歸納探究方法．（九）布置作業(yè)P136：練習：第1題.P141：習題5.3：第10題.五、教學反思本節(jié)內(nèi)容是學生進入中學后代數(shù)知識學習的又一次重要跨越．在前面，學生已經(jīng)學習了有理數(shù)、整式的加減和一元一次方程的解法，對數(shù)的認識已經(jīng)由非負數(shù)有理數(shù)擴展到有理數(shù)，知道了用字母可以表示具有一般意義的數(shù)量關(guān)系，掌握了解一元一次方程的一般步驟和基本方法，學生對代數(shù)知識的學習正逐步深入，他們的代數(shù)變形能力正逐步提高．本節(jié)是第三章一元一次方程的最后一節(jié)，是對前面所學內(nèi)容的綜合運用，也是七上教材“數(shù)與代數(shù)”領域的壓軸內(nèi)容．列方程解決實際問題是本節(jié)教學的重點，也是難點，更是貫穿本章前后的一條主線．在前面討論一元一次方程解法時，也是先給出實際問題，然后通過設未知數(shù)列方程再逐步研究和完善解一元一次方程一般步驟的．本節(jié)是直接運用解一元一次方程的一般步驟與方法解決實際問題．這樣設計教材，既揭示了學習解一元一次方程的必要性，體現(xiàn)了一元一次方程在實際生活中廣泛的應用價值，也有利于學生帶著問題（如何解一元一次方程）來學習和探究，使得他們的學習方向更明確，階段目標更具體，也利于分散難點，便于學生有層次、有梯度地學習．列方程就是通過讀題審題理清和尋找題目中相等的數(shù)量關(guān)系，通過設未知數(shù)將這些相等的數(shù)量關(guān)系表示出來．解一元一次方程就是，通過去分母、去括號、移項、合并同類項等步驟，將方程向ax=b（a≠0）的方向轉(zhuǎn)化，其中體現(xiàn)了化歸和程序化思想．解方程得到的未知數(shù)的值，是否符合具體問題的實際意義，是我們學習列方程解應用題需要關(guān)注的．這既是實際問題與數(shù)學問題相互轉(zhuǎn)化過程中需要注意的問題，也有利于培養(yǎng)學生良好的思維習慣和品質(zhì)，讓他們能夠從中進一步體會方程的應用價值．學生在小學階段及前三小節(jié)對列方程解決實際問題雖然有所了解，但是本節(jié)教材所涉及的實際問題的背景和表達都更加貼近實際，數(shù)量關(guān)系有的比較隱蔽，有的比較抽象，有的則更為復雜，需要學生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗理清、理解，經(jīng)歷探究用一元一次方程解決實際問題的基本過程，進而逐步提升他們分析問題、解決問題的能力，有效積累探究、交流、反思等數(shù)學活動經(jīng)驗，體會轉(zhuǎn)化化歸和方程模型思想，增強數(shù)學應用意識和能力．第五章一元一次方程5.3實際問題與一元一次方程（2）【教學目標】1.經(jīng)歷解決銷售中的盈虧問題的過程，學習建立一元一次方程模型解決實際問題的步驟和基本思想，發(fā)展抽象能力；2.能建立一元一次方程模型解決實際問題，發(fā)展模型觀念；3.進一步體會一元一次方程的應用價值.【教學重點】建立一元一次方程模型解決實際問題的步驟和基本思想.【教學難點】建立一元一次方程模型解決實際問題基本思想.【教學過程】 一、情境導入前面我們學習了用一元一次方程的解決配套物品等問題，有些實際問題中的數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，需要仔細分析才能列出方程.下面進一步研究幾個問題.本節(jié)課的繼續(xù)學習5.3實際問題與一元一次方程（2）（板書課題）二、合作探究活動一：銷售中的盈虧問題探究：銷售中的盈虧問題：一商店以每件60元的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧?學生活動：先大體估計盈虧，再通過準確計算檢驗自己的判斷.教師活動：探究1.有同學可能認為，一件盈利25%，另一件虧損25%，合起來是不盈不虧，怎樣判斷是盈是虧？引導學生：判斷是盈是虧實際上要看這家商店買進這兩件衣服時共花了多少元.如果總售價大于總進價就盈利，總售價小于總進價就虧損，相等就不盈不虧.可以通過列方程解決問題.教師活動：探究2.假設一件商品的進價是40元，如果賣出后盈利25%，那么商品利潤是多少？如果賣出后虧損25%，那么商品利潤是多少？師生共同探究用列方程解決問題：設盈利的那件衣服的進價是元，它的商品利潤就是元.根據(jù)進價與利潤的和等于售價，列得方程.解得.類似地，可以設另一件衣服的進價為元，它的商品利潤是元，列得方程.解得.兩件衣服的總進價是(元)，而兩件衣服的總售價是(元)，總售價小于總進價，由此可知賣這兩件衣服共虧損8元.總結(jié)提高：列、解方程后得出的結(jié)論與你先前的估計一致嗎?通過對本題的探究，你對方程在實際問題中的應用有什么新的認識?活動二：進一步探究用一元一次方程解盈虧問題例1.某商店將某種型號的冰箱按成本加價作為標價后，又以標價的八五折出售，售價為10200元，問商店出售這種型號的冰箱每臺可以賺多少錢？師生共同按列方程解決實際問題的步驟探究解決問題.學生寫出解答過程，教師點評，規(guī)范.【示范】解：設這種型號的冰箱成本價為x元，根據(jù)題意，得，解得：，（元），答：商店出售這種型號的冰箱每臺可以賺200元．例2.一套家具按成本價提高六成標價出售，第一周沒有售出，第二周按照標價的降低價格售出，售價為6336元．這套家具售出后可以賺多少元？學生按列方程解決實際問題的步驟探究解決問題.教師點評，指導.【示范】解：設這套家具的成本為元，依題意得：，解得元，∴元．答：這套家具售出后可以賺元．三、強化鞏固1.練習1、2.部分學生板演，其余學生獨立完成，教師評價訂正.2.拓展訓練：華為專賣店為了提高銷售服務品質(zhì)，決定對華為A和華為B兩款手機開展銷售獎勵活動，獎勵辦法從2024年9月30日后執(zhí)行，已知華為專賣店在獎勵辦法出臺前一個月售出華為A和華為B兩款共部，獎勵辦法出臺后的第一個月售出這兩種手機共部，其中華為A和華為B兩款的銷售量分別比獎勵辦法出臺前一個月增長和．（1）在獎勵辦法出臺前一個月，該門店銷售的華為A和華為B兩款各有多少部？