第22章 相似形 單元測試 滬科版九年級數(shù)學上冊

第22章學情評估一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分)1．已知2x＝3y(y≠0)，則下面結(jié)論成立的是()A.eq\f(x,y)＝eq\f(3,2) B.eq\f(x,3)＝eq\f(2,y) C.eq\f(x,y)＝eq\f(2,3) D.eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)2．下列四組線段中，成比例的是()A．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3，d＝4 B．a(chǎn)＝3，b＝6，c＝9，d＝18C．a(chǎn)＝1，b＝3，c＝2，d＝8 D．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝4，d＝63．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，則AE的長為()A．3 B．4 C．5 D．6(第3題)(第5題)(第6題)4．已知線段AB＝2，點P是線段AB的黃金分割點(AP＞BP)，則線段AP的長為()A.eq\r(5)＋1 B.eq\r(5)－1 C.eq\f(\r(5)＋1,2) D.eq\f(\r(5)－1,2)5．如圖，下列條件中不能判定△ACD∽△ABC的是()A．∠ADC＝∠ACB B.eq\f(AB,BC)＝eq\f(AC,CD)C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD·AB6．如圖，在△ABC中，AB∥DE，若eq\f(AE,CE)＝eq\f(2,3)，則△ECD與△ACB的面積之比為()A.eq\f(3,5) B.eq\f(9,25) C.eq\f(4,5) D.eq\f(16,25)7．如圖，小明在A時測得某樹的影長為3m，B時又測得該樹的影長為2m，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為()A．±eq\r(6)m B.eq\r(6)m C．6m D.eq\r(5)m(第7題)(第9題)(第10題)8．若一個三角形能夠分成兩個與原三角形都相似的三角形，就把這樣的三角形稱為和諧三角形，則下列選項中屬于和諧三角形的是()A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形9．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC,E為AB邊上一點，∠BCE＝15°，且AE＝AD，連接DE交對角線AC于點H，連接BH.下列結(jié)論錯誤的是()A．HE＝2BE B．AC⊥DEC．∠CED＝60° D．S△ADE＝2S△BCE10．如圖，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB(AB＋BC)，且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，Q是線段AB上的動點，則PQ的最小值是()A.eq\f(\r(7),2) B.eq\f(\r(6),2) C.eq\f(\r(5),2) D.eq\f(8,5)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)11．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它們的對應(yīng)中線，若AD＝8，A′D′＝6，則△ABC與△A′B′C′的周長比是________．12．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點坐標分別是O(0，0)，C(6，0)，B(6，4)，A(0，4)，已知矩形OA′B′C′與矩形OABC位似，位似中心是原點O，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的eq\f(1,4)，則點B′的坐標是________________．(第12題)(第13題)13．如圖，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，點D，E分別在AB，BC上，將△BDE沿ED折疊，點B的對應(yīng)點F剛好落在AC上．當△CEF與△ABC相似時，BE的長為______．14.四邊形ABCD是一張矩形紙片，點E在AD上，將△ABE沿BE折疊，使點A落在矩形的對角線BD上，連接CF，若DE＝1，請?zhí)骄肯铝袉栴}：(第14題)(1)如圖①，當F恰好為BD的中點時，AE＝________；(2)如圖②，當點C，E，F(xiàn)在同一條直線上時，AE＝________．三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)15．已知eq\f(x＋y,x)＝eq\f(3,2).(1)求eq\f(y,x)的值；(2)求eq\f(x－y,x＋y)的值．16．如圖，直線l1∥l2∥l3，AC分別交l1，l2，l3于點A，B，C，DF分別交l1，l2，l3于點D、E、F，AC與DF交于點O.已知DE＝3，EF＝6，AB＝4.(第16題)(1)求AC的長；(2)若OE：OF＝1：3，求OBAB.四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)17．如圖，在平面直角坐標系中，每個小正方形的邊長都是1個單位，△ABC的頂點都在格點上．(第17題)(1)以原點O為位似中心，在第三象限內(nèi)畫出將△ABC放大為原來的2倍后的位似圖形△A1B1C1；(2)已知△ABC的面積為eq\f(7,2)，則△A1B1C1的面積為______．

18.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD為∠ABC的平分線．求證：AD2＝AC·DC.(第18題)五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)19．如圖，在矩形ABCD中，E為DC上的一點，把△ADE沿AE翻折，使點D恰好落在BC邊上的點F處．(1)求證：△ABF∽△FCE；(2)若AB＝2eq\r(3)，AD＝4，求CE的長．(第19題)20．如圖，AB∥CD，AC與BD交于點E，且∠ACB＝90°，AB＝6eq\r(5)，BC＝6，CE＝3.(1)求CD的長；(2)求證：△CDE∽△BDC.(第20題)六、(本題滿分12分)21．如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，連接AD，DE，且∠B＝∠ADE＝∠C.(1)求證：△BDA∽△CED；(2)若∠B＝45°，BC＝6，當點D在BC上運動(點D不與B，C重合)，且當△ADE是等腰三角形時，求BD的長．(第21題)七、(本題滿分12分)22．如圖為幸福小區(qū)入口處安裝的汽車出入道閘示意圖，如圖①，道閘關(guān)閉時，四邊形ABCD是矩形，如圖②，在道閘打開的過程中，邊AD固定，AD⊥直線l，連桿AB，CD分別繞點A，D轉(zhuǎn)動，且邊BC始終與邊AD平行，P為CD上的一點(不與點C，D重臺)，過點P作PE⊥直線l，PF⊥MN，垂足分別為E，F(xiàn)，即四邊形PENF是矩形，過點D作DQ⊥PE，垂足為Q，延長BC與PF相交于點R.(1)△PDQ與△CPR相似嗎？請判斷并說明理由；(2)如圖②，若道閘長AB＝4米，寬AD＝1米，點D距地面0.2米，PE＝1.16米，RF＝0.8米，CR＝1.44米．①求點B到地面l的距離；②直接寫出PF的長．(第22題)八、(本題滿分14分)23．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點，F(xiàn)，E是AC上兩點，連接BE，DF交于△ABC內(nèi)一點G，且∠EGF＝45°.(1)求證：∠FDC＝∠AEB；(2)如圖①，若AE＝3CE＝6，求BG的長；(3)如圖②，若F為AC上任意一點，連接AG，求證：∠EAG＝∠ABE.(第23題)

答案一、1.A2.B3.B4.B5.B6.B7.B8.C9．A10．A【點撥】∵△DAB∽△DCA，∴eq\f(AD,BD)＝eq\f(CD,AD)，∴eq\f(6,BD)＝eq\f(5＋BD,6).解得BD＝4(負值舍去)．∴eq\f(AC,BA)＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(9,6)＝eq\f(3,2)，∴AC＝eq\f(3,2)AB.∵AC2＝AB(AB＋BC)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)AB))eq\s\up12(2)＝AB(AB＋BC)，解得AB＝4，AB＝0(舍去)，∴AB＝BD＝4.過點B作BH⊥AD于點H.∴AH＝eq\f(1,2)AD＝3，∴BH＝eq\r(AB2－AH2)＝eq\r(7).∵AD＝3AP，AD＝6，∴AP＝2.當PQ⊥AB時，PQ的值最小，∵∠AQP＝∠AHB＝90°，∠PAQ＝∠BAH，∴△APQ∽△ABH，∴eq\f(AP,AB)＝eq\f(PQ,BH)，∴eq\f(2,4)＝eq\f(PQ,\r(7))，∴PQ＝eq\f(\r(7),2).二、11.4312．(3，2)或(－3，－2)13.eq\f(24,7)或eq\f(48,13)【點撥】∵將△BDE沿DE翻折得到△FDE，∴BE＝FE.∵BC＝8，∴CE＝8－BE.當△CEF與△ABC相似時，eq\f(CE,CB)＝eq\f(EF,BA)或eq\f(CE,CA)＝eq\f(EF,AB)，即eq\f(8－BE,8)＝eq\f(BE,6)或eq\f(8－BE,7)＝eq\f(BE,6)，解得BE＝eq\f(24,7)或eq\f(48,13).14．(1)eq\f(1,2)(2)eq\f(\r(5)－1,2)【點撥】(1)當F恰好為BD的中點時，由折疊的性質(zhì)得EF⊥BD，∴EB＝ED＝1，∴∠EBD＝∠EDB.由折疊的性質(zhì)得∠ABE＝∠EBD.∴∠ABE＝∠EBD＝∠ADB.又∵∠ABE＋∠DBE＋∠ADB＝90°，∴∠ABE＝∠DBE＝∠ADB＝30°，∴AE＝eq\f(1,2)BE＝eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,2).(2)當點C，E，F(xiàn)在同一直線上時，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知BF＝BA＝CD，∠A＝∠BFC＝∠CDE＝90°.∵BC∥AD，∴∠BCF＝∠CED，∴△BFC≌△CDE，∴FC＝DE＝1.設(shè)AE＝x，可得EF＝x.∵∠DEF＝∠CED，∠EFD＝∠EDC，∴△DEF∽△CED，∴eq\f(DE,EF)＝eq\f(CE,ED)，∴DE2＝EF·EC，∴12＝x(x＋1)，解得x1＝eq\f(－1＋\r(5),2)，x2＝eq\f(－1－\r(5),2)(舍去負值)，∴AE＝eq\f(－1＋\r(5),2).三、15.解：∵eq\f(x＋y,x)＝eq\f(3,2)，∴x＝2y.(1)eq\f(y,x)＝eq\f(y,2y)＝eq\f(1,2).(2)eq\f(x－y,x＋y)＝eq\f(2y－y,2y＋y)＝eq\f(1,3).16．解：(1)∵l1∥l2∥l3，∴DE：DF＝AB：AC，即3：(3＋6)＝4：AC，解得AC＝12.(2)∵l2∥l3，∴△OBE∽△OCF，∴BE：CF＝OB：OC＝OE：OF＝1：3，∴OC＝3OB.∵AB＝4，AC＝12，∴BC＝8，即OC＋OB＝8，∴4OB＝8，∴OB＝2，∴OB：AB＝2：4＝1：2.四、17.解：(1)略(2)1418．證明：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°.∵BD為∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠ABD＝∠A，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，∴BD＝AD，∠C＝∠BDC，∴∠ABC＝∠BDC，BC＝BD＝AD，∴△BCD∽△ACB.∴eq\f(BC,CD)＝eq\f(AC,CB)，∴eq\f(AD,CD)＝eq\f(AC,AD)，∴AD2＝AC·DC.五、19.(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠BAF＋∠AFB＝90°.由折疊易得∠AFE＝90°，∴∠EFC＋∠AFB＝90°，∴∠BAF＝∠CFE，∴△ABF∽△FCE.(2)解：在矩形ABCD中，易得BC＝AD＝AF＝4.在Rt△ABF中，BF＝eq\r(AF2－AB2)＝2，∴CF＝BC－BF＝2.∵△ABF∽△FCE，∴eq\f(AB,FC)＝eq\f(BF,CE)，即eq\f(2\r(3),2)＝eq\f(2,CE).解得CE＝eq\f(2\r(3),3).20．(1)解：∵∠ACB＝90°，AB＝6eq\r(5)，BC＝6，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝12.∴AE＝AC－CE＝9.∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE.∴eq\f(CD,AB)＝eq\f(CE,AE)，∴CD＝eq\f(AB·CE,AE)＝eq\f(6\r(5)×3,9)＝2eq\r(5).(2)證明：∵∠ACB＝90°，CE＝3，BC＝6，∴BE＝eq\r(CE2＋BC2)＝3eq\r(5).∵△CDE∽△ABE，∴eq\f(DE,BE)＝eq\f(CE,AE)＝eq\f(1,3)，∴DE＝eq\r(5)，∴BD＝4eq\r(5).∵eq\f(DE,CD)＝eq\f(CD,BD)＝eq\f(1,2)，∠D＝∠D，∴△CDE∽△BDC.六、21.(1)證明：∵∠B＝∠ADE＝∠C，∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠B＝180°－∠ADB－∠ADE.∵∠CDE＝180°－∠ADB－∠ADE，∴∠BAD＝∠CDE，∴△BDA∽△CED.(2)解：由題易知∠BAC＝90°.當AD＝AE時，∠ADE＝∠AED.∵∠ADE＝∠B＝45°，∴∠AED＝45°.∴∠DAE＝90°.∴點D與點B重合，不合題意，舍去．當EA＝ED時，∠EAD＝∠EDA＝∠B＝45°.∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAD＝45°，∴AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC，∴BD＝3.當DA＝DE時，∵∠EDA＝∠C，∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD，∴DA：CA＝DE：CD，∴AC＝DC.∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，BC＝6，∴AC＝3eq\r(2).∴DC＝3eq\r(2).∴BD＝BC－DC＝6－3eq\r(2).綜上所述，當△ADE是等腰三角形時，BD的長為3或6－3eq\r(2).七、22.解：(1)相似．理由：∵四邊形PENF是矩形，∴PF∥l，PE∥MN.∵DQ⊥PQ，∴DQ∥PF，∴∠CPR＝∠PDQ.∵AD⊥l，AD∥BC，PF∥l，∴BR⊥PF，∴∠CRP＝∠PQD＝90°，∴△PDQ∽△CPR.(2)①延長CR交直線l于點G，則點B到地面l的距離即為線段BC＋CR＋RG的長，如圖．∵四邊形PENF是矩形，∴PE⊥l，PF∥l，PE⊥PF.∵AD∥BC，AD⊥l，∴BC⊥l，∴BG⊥l，∴四邊形PEGR是矩形，∴RG＝PE.∵PE＝1.16米，CR＝1.44米，BC＝AD＝1米，∴BG＝BC＋CR＋RG＝BC＋CR＋PE＝1＋1.44＋1.16＝3.6(米)．故點B到地面l的距離為3.6米．②PF的長為2.72米．【點撥】∵道閘長AB＝4米，設(shè)PC＝x米，則DP＝(4－x)米，由(1)知△PDQ∽△CPR，∴eq\f(CR,PQ)＝eq\f(PC,DP).∵點D距地面0.2米，PE＝1.16米，CR＝1.44米，∴PQ＝PE－QE＝1.16－0.2＝0.96(米)，∴eq\f(1.44,0.96)＝eq\f(x,4－x)，解得x＝2.4，在Rt△CPR中，CR＝1.44米，P