6.3+二項(xiàng)式定理+講義-【新教材】2020-2021學(xué)年人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)

倒賣拉黑，關(guān)注更新免費(fèi)領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑，關(guān)注更新免費(fèi)領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育第六章計(jì)數(shù)原理第六章計(jì)數(shù)原理6.36.3二項(xiàng)式定理知識(shí)解讀知識(shí)解讀知識(shí)點(diǎn)一：二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)．這個(gè)公式為二項(xiàng)式定理．展開式：等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，展開式中一共有n＋1項(xiàng)．二項(xiàng)式系數(shù)：各項(xiàng)的系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n})叫二項(xiàng)式系數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)(a＋b)n展開式的第k＋1項(xiàng)叫二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，記作Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk.知識(shí)點(diǎn)三：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì)稱性在(a＋b)n的展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)增減性與最大值增減性：當(dāng)k<eq\f(n＋1,2)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的；當(dāng)k>eq\f(n＋1,2)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸減小的．最大值：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，相等，且同時(shí)取得最大值各二項(xiàng)式系數(shù)的和(1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n；(2)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1小小思考小小思考a＋b)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)相同嗎解：不一定．(a＋b)n的展開式的通項(xiàng)是Ceq\o\al(k,n)an－kbk，其二項(xiàng)式系數(shù)是Ceq\o\al(k,n)(k∈{0,1,2,3，…，n})，不一定是系數(shù)．題型探究題型探究例1．在二項(xiàng)式的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列．（1）求項(xiàng)數(shù)；（2）求展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（3）求展開式中所有系數(shù)的絕對(duì)值的和．【答案】（1）；（2）；（3）．【詳解】（1）二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，因?yàn)榍叭?xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值成等差數(shù)列，所以，化簡(jiǎn)得，解得，（，舍去）．（2）由（1）知，二項(xiàng)式的展開項(xiàng)共9項(xiàng)，故二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)，即（3）展開式中所有系數(shù)的絕對(duì)值的和為，例2．在的展開式中（1）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)?【答案】（1）；（2）第6項(xiàng)和第7項(xiàng).【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為（1）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，即為第5項(xiàng)，故.(2)設(shè)第項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，則，即，整理得，于是或.故系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)和第7項(xiàng).例3．已知二項(xiàng)式（）的二項(xiàng)展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為4096．（1）求（）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)的值；（2）在的展開式中，求項(xiàng)的系數(shù)的值．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）因?yàn)槎?xiàng)式（）的二項(xiàng)展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為4096，所以，可得，即的展開式的通項(xiàng)是：（），令得：，∴常數(shù)項(xiàng)是；（2）由（1）知，即，展開式中項(xiàng)的系數(shù)分別為：所以的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為：．例4．（1）六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有幾種？(最后結(jié)果需用數(shù)字作答)（2）把件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品與產(chǎn)品相鄰，且產(chǎn)品與產(chǎn)品不相鄰，則不同的擺法有幾種？(最后結(jié)果需用數(shù)字作答)（3）四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為，，，的四個(gè)盒子中，恰有一個(gè)空盒，共有多少種放法？(最后結(jié)果需用數(shù)字作答)（4）已知的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和比的展開式系數(shù)和大.求的展開式中求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).【答案】（1）216；（2）36；（3）144（4）-8064【詳解】（1）按照最左端分兩類，第一類排甲，其余的5人全排列，共有種，第二類，排乙，最右端不排甲有種，其余4人全排列，有種，共有種，由分類計(jì)數(shù)原理得共有120+96=216種.（2）分步完成，第一步將A，B捆在一起當(dāng)作一個(gè)元素與除C的兩個(gè)元素一起全排列，共有種，第二步將C插入已經(jīng)排好的排列中，讓A，C步相鄰，有種，由分步計(jì)數(shù)原理得：共有種.（3）四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為，，，的四個(gè)盒子中，恰有一個(gè)空盒，說明恰有一個(gè)盒子中有2個(gè)小球，從4個(gè)小球中選兩個(gè)作為一個(gè)元素，同另外兩個(gè)元素在三個(gè)位置全排列，有種不同的方法.（4）的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，令得的展開式系數(shù)和，所以，解得，所以，的展開式共有11項(xiàng)，其中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第六項(xiàng)，即.例5．已知，求【答案】16【詳解】令，得；令，得，故.課后小練課后小練1.已知(x+1（1）求證：前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列；（2）求出展開式中所有有理項(xiàng)（即x的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)）.2.已知二項(xiàng)式(2x-ax)n（1）求n的值；（2）若展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為70，求a的值.3.我們稱n(n∈N*)元有序?qū)崝?shù)組(x1,x2,?,xn)為n維向量，|x1|+|x2|+?+|xn|為該向量的范數(shù)，已知n維向量a=(x1（1）求A2和B2（2）求A2020的值；（3）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，證明：Bn4.在①只有第八項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，②奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為47，③各項(xiàng)系數(shù)之和為414，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的k存在，求k的值；若k設(shè)二項(xiàng)式(x+3x3)n，若其展開式中，

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，是否存在整數(shù)注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分.5.在下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件，補(bǔ)充在后面問題中的橫線上，并完成解答．條件①：“展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和與二項(xiàng)式系數(shù)之和的比為64”；條件②：“展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為22”．問題：已知二項(xiàng)式(1+3x)n（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求(1+3x)n(1-x)56.在(x+24x（1）求n的值及展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開式中的有理項(xiàng).7.已知(1+2x)n（1）若展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)；（2）若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于37，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．8.二項(xiàng)式(3x-（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和；（3）展開式中是否有有理項(xiàng)，若有，求系數(shù)；若沒有，說明理由.

答案解析部分1.【答案】（1）解：T3∵14C所以前三項(xiàng)分別為T1=C80(T3所以前三項(xiàng)系數(shù)分別為1，4，7，∵2×4=1+7∴前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列.

（2）解：Tr+1=∴r=0,4,8，展開式中x所以展開式中所有有理項(xiàng)為：T1=C80(x)8【解析】（1）先根據(jù)二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式得第三項(xiàng)的系數(shù)，再解方程得n=8，最后根據(jù)二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式寫出前三項(xiàng)系數(shù)，根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)即可判斷；（2）先根據(jù)二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式得x的指數(shù)，再根據(jù)x的指數(shù)為整數(shù)確定對(duì)應(yīng)項(xiàng)，即得結(jié)果【答案】（1）解：由題知，二項(xiàng)式系數(shù)和Cn0+Cn1+Cn2+?+Cnn=2n=256即為展開式中第5項(xiàng)，∴C84?24【解析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和列方程，解方程求得n的值.（2）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為70，結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式列方程，解方程求得a的值.3.【答案】（1）解：范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對(duì)有：(1,0)，(-1,0)，(0,1)，(0,-1)，它們的范數(shù)依次為1，1，1，1，∴A2=4，B2=4.

（2）解：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，在向量a要使得范數(shù)為奇數(shù)，則0的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)，∴可按照含0個(gè)數(shù)為1,3,???,n-a的n個(gè)坐標(biāo)中含1個(gè)0，其余坐標(biāo)為1或-1，共有Cn1?2n-1個(gè)，每個(gè)a的n個(gè)坐標(biāo)中含3個(gè)0，其余坐標(biāo)為1或-1，共有Cn3?2n-3個(gè)，每個(gè)a的n個(gè)坐標(biāo)中含n-1個(gè)0，其余坐標(biāo)為1或共有Cnn-1?2個(gè)，每個(gè)∴An∵(2+1)(2-1)n①-②2得：An∴A2020=32020-12.

（3）解：當(dāng)n要使得范數(shù)為奇數(shù)，則0的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)，∴可按照含0個(gè)數(shù)為0,2,4,???,n-a的n個(gè)坐標(biāo)中含0個(gè)0，其余坐標(biāo)為1或-1，共有Cn0?2n個(gè)，每個(gè)a的n個(gè)坐標(biāo)中含2個(gè)0，其余坐標(biāo)為1或-1，共有Cn2?2n-2個(gè)，每個(gè)a的n個(gè)坐標(biāo)中含n-1個(gè)0，其余坐標(biāo)為1或共有Cnn-1?2個(gè)，每個(gè)∴An∵(2+1)n(2-1)n=兩式相加除以2得：An=而Bn=∵(n-∴B=n=2n=2n【解析】（1）列出范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對(duì)，分別求其范數(shù)，則A2和B2可求；

（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，在向量a=(x1,x2,?,xn)的n個(gè)坐標(biāo)中，要使得范數(shù)為奇數(shù)，則0的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)，然后分含0個(gè)數(shù)為：1，3，…，n-1進(jìn)行討論，分別求得范數(shù)及范數(shù)的和，再由二項(xiàng)式定理及組合數(shù)公式化簡(jiǎn)即可．

（3）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，在a=(x1,x2,?x4.【答案】解：若選填條件①，即只有第八項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即Cn7最大，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得，n=14若選填條件③，即各項(xiàng)系數(shù)之和為414，則4n=414二項(xiàng)式(x+3x3由21-7k=0，得即存在整數(shù)k=3，使得Tk若選填條件②，即奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為47則2n-1=4二項(xiàng)式(x+3x3由22-7k=0，得即不存在整數(shù)k，使得Tk是展開式中的常數(shù)項(xiàng)【解析】由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可得選填條件①③時(shí)，n=14，寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，由x的指數(shù)為0求得k值，即可得到存在整數(shù)k=3，使得Tk是展開式中的常數(shù)項(xiàng)；

選填條件②時(shí)，n=15，寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，由x的指數(shù)為0求得k值，可知不存在整數(shù)k，使得Tk是展開式中的常數(shù)項(xiàng)．【答案】（1）解：若選填條件①，即展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和與二項(xiàng)式系數(shù)之和的比為64，則4n2n=2n若選填條件②，即展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為22，則Cn0+Cn1當(dāng)n=6時(shí)，展開式共7項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T4=C63·(3x)含x2項(xiàng)的系數(shù)為C【解析】（1）在下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件，補(bǔ)充在問題中的橫線上，若選填條件①，即展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和與二項(xiàng)式系數(shù)之和的比為64，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)結(jié)合二項(xiàng)式定理求展開式中的通項(xiàng)公式的方法，進(jìn)而求出n的值；若選填條件②，即展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為22，再利用二項(xiàng)式定理求出展開式中的通項(xiàng)公式，進(jìn)而結(jié)合組合數(shù)公式，進(jìn)而求出n的值，再利用n的值求出展開式的項(xiàng)數(shù)，進(jìn)而找出展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)。

（2）利用二項(xiàng)式定理求出展開式中的通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)公式求出含x26.【答案】（1）解：依題意得：Cn0+2Cn1+4Cn∴n=-6或∵n∴n=6∴展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第四項(xiàng)，即T4（2）解：展開式的通項(xiàng)公式為：Tr+1=展開式的通項(xiàng)公式為：Tk+1=C當(dāng)k=0時(shí)，3-3k4=3當(dāng)k=1時(shí)，3-3當(dāng)k=2時(shí)，3-3當(dāng)k=3時(shí)，3-3當(dāng)k=4時(shí)，3-3k4=0當(dāng)k=5時(shí)，3-3當(dāng)k=6時(shí)，3-3∴展開式中的有理項(xiàng)為x3和240【解析】(1)根據(jù)前3項(xiàng)系數(shù)和，建立方程求出n結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

(2)求出展開式的通項(xiàng)公式，結(jié)合x的次數(shù)進(jìn)行求解即可.7.【答案】（1）解：由展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為Cn可得n=8所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)第五項(xiàng)，其系數(shù)為C84×24=1120

（2化為n2+n-72=0，解得n=8設(shè)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第k+1則{C8所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第6或第7項(xiàng)，即T6【解析】由奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128求得n=8（2）由展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于37求得n=8，利用展開式中系數(shù)最大的