6.3.1 二項(xiàng)式定理 教學(xué)設(shè)計(jì)【新教材 新思維高中數(shù)學(xué)】-2021-2022學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)同步教學(xué)（人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)）

倒賣拉黑，關(guān)注更新免費(fèi)領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑，關(guān)注更新免費(fèi)領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育6.3.1二項(xiàng)式定理一、教材分析本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)》，第六章《計(jì)數(shù)原理》，本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理的形成過程是組合知識(shí)的應(yīng)用，同時(shí)也為隨后學(xué)習(xí)的概率知識(shí)及概率與統(tǒng)計(jì)，作知識(shí)上的鋪墊。二項(xiàng)展開式與多項(xiàng)式乘法有密切的聯(lián)系，本節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)，必然從更廣的視角和更高的層次來審視初中學(xué)習(xí)的關(guān)于多項(xiàng)式變形的知識(shí)。運(yùn)用二項(xiàng)式定理可以解決一些比較典型的數(shù)學(xué)問題，例如近似計(jì)算、整除問題、不等式的證明等。本課數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)：多項(xiàng)式乘法的深化與再認(rèn)識(shí)。二、教學(xué)目標(biāo)課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.利用計(jì)數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開過程，歸納、猜想出二項(xiàng)式定理，并用計(jì)數(shù)原理加以證明；B.會(huì)應(yīng)用二項(xiàng)式定理求解二項(xiàng)展開式；C.通過經(jīng)歷二項(xiàng)式定理的探究過程，體驗(yàn)“歸納、猜想、證明”的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，提高自己觀察、分析、概括的能力，以及“從特殊到一般”、“從一般到特殊”等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用能力.1.數(shù)學(xué)抽象：二項(xiàng)式定理2.邏輯推理：運(yùn)用組合推導(dǎo)二項(xiàng)式定理3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用二項(xiàng)式定理解決問題4.數(shù)學(xué)建模：在具體情境中運(yùn)用二項(xiàng)式定理三、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：應(yīng)用二項(xiàng)式定理求解二項(xiàng)展開式難點(diǎn)：利用計(jì)數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開式四、教學(xué)過程教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)問題探究上一節(jié)學(xué)習(xí)了排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，本節(jié)我們用它們解決一個(gè)在數(shù)學(xué)上有著廣泛應(yīng)用的a+bn問題1：我們知道a+b2=a2+2ab+b2a+b（1）觀察以上展開式，分析其運(yùn)算過程，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能寫出a+b4（3）進(jìn)一步地，你能寫出a+bn我們先來分析的展開過程，根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，a+b==可以看到，a+b2是2個(gè)a+b相乘，只要從一個(gè)a+b中選一項(xiàng)（選a或b

），再?gòu)牧硪粋€(gè)a+b中選一項(xiàng)（選a或b

），就得到展開式的一項(xiàng)，于是，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，在合并同類項(xiàng)之前，a+b2的展開式共有C21×C21=我們來分析一下形如a2-kb當(dāng)k

=0時(shí)，a2-kbk=a2，這是由2個(gè)a+b當(dāng)于從2個(gè)a+b中取0個(gè)b

（即都取a

）的組合數(shù)C20，即當(dāng)k

=1時(shí)，a2-kbk=ab

，這是由1個(gè)a+b中選a，另一個(gè)a+b中選b得到的，由于b選定后，a的選法也隨之確定，因此，ab出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個(gè)a+b中取1個(gè)b

當(dāng)k

=2時(shí)，a2-kbk=b2，這是由2個(gè)a+b中選b

得到的，因此，b2出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個(gè)a+b中取2個(gè)b由上述分析可以得到a+b問題2：仿照上述過程，你能利用計(jì)數(shù)原理，寫出a+b3，a+b類似地，用同樣的方法可知a+ba+b1．二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝_________________________(n∈N*)．(1)這個(gè)公式所表示的規(guī)律叫做二項(xiàng)式定理．(2)展開式：等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，展開式中一共有______項(xiàng)．(3)二項(xiàng)式系數(shù)：各項(xiàng)的系數(shù)____(k∈{0,1,2，…，n})叫做二項(xiàng)式系數(shù)．Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bnn＋1；Ceq\o\al(k,n)2．二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式(a＋b)n展開式的第______項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，記作Tk＋1＝______.k＋1；Ceq\o\al(k,n)an－kbk二項(xiàng)式定理形式上的特點(diǎn)(1)二項(xiàng)展開式有n+1項(xiàng),而不是n項(xiàng).(2)二項(xiàng)式系數(shù)都是Cnk(k=0,1,2,…,n),(3)二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n,即Cn0+Cn1+C(4)在排列方式上,按照字母a的降冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由n次逐項(xiàng)減少1次直到0次,同時(shí)字母b按升冪排列,次數(shù)由0次逐項(xiàng)增加1次直到n次.1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)(a＋b)n展開式中共有n項(xiàng)．()(2)在公式中，交換a，b的順序?qū)Ω黜?xiàng)沒有影響．()(3)Ceq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展開式中的第k項(xiàng)．()(4)(a－b)n與(a＋b)n的二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)相同．()[解析](1)×因?yàn)?a＋b)n展開式中共有n＋1項(xiàng)．(2)×因?yàn)槎?xiàng)式的第k＋1項(xiàng)Ceq\o\al(k,n)an－kbk和(b＋a)n的展開式的第k＋1項(xiàng)Ceq\o\al(k,n)bn－kak是不同的，其中的a，b是不能隨便交換的．(3)×因?yàn)镃eq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展開式中的第k＋1項(xiàng)．(4)√因?yàn)?a－b)n與(a＋b)n的二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)都是Ceq\o\al(r,n).[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、典例解析例1.求x+1x解：根據(jù)二項(xiàng)式定理x+=C6=1.(a+b)n的二項(xiàng)展開式有n+1項(xiàng),是和的形式,各項(xiàng)的冪指數(shù)規(guī)律是:(1)各項(xiàng)的次數(shù)和等于n.(2)字母a按降冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0;字母b按升冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到n.2.逆用二項(xiàng)式定理可以化簡(jiǎn)多項(xiàng)式,體現(xiàn)的是整體思想.注意分析已知多項(xiàng)式的特點(diǎn),向二項(xiàng)展開式的形式靠攏.跟蹤訓(xùn)練1(1)求3x+1x4的展開式(2)化簡(jiǎn):(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).解:(1)方法一3x+1x4=C40(3x)4+C41(3x)3·1x+C4+C43·3x1x3+C44·1x4=81x2+108x+方法二3x+1x4==1x2(81x4+108x3+54x2+12=81x2+108x+54+12x(2)原式=C50(x-1)5+C51(x-1)4+C52(x-1)3+C53(x-1)2+C54(x-1)+C55例2.（1）求1+2x7的展開式的第4（2）求2x-1x解：1+2x7的展開式的第4T3+1==C73×23因此,展開式第4項(xiàng)的系數(shù)是280.（2）2x-C根據(jù)題意，得3-k=2，因此，x（二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的求解策略(1)二項(xiàng)式系數(shù)都是組合數(shù)Cnk(k∈{0,1,2,…,n}),它與二項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)不一定相等,要注意區(qū)分“二項(xiàng)式系數(shù)”與二項(xiàng)展開式中“項(xiàng)的系數(shù)”(2)第k+1項(xiàng)的系數(shù)是此項(xiàng)字母前的數(shù)連同符號(hào),而此項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Cnk.例如,在(1+2x)7的展開式中,第4項(xiàng)是T4=C7317-3(2x)3,其二項(xiàng)式系數(shù)是C73=35,而第4項(xiàng)的系數(shù)是跟蹤訓(xùn)練2.(1)求二項(xiàng)式2x-1x6的展開式中第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和第6項(xiàng)的系數(shù)(2)求x-1x9的展開式中x3的系數(shù).解:(1)由已知得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tk+1=C6k(2x)6-k·-1xk=26-kC6k·(-1)k∴T6=-12x-∴第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C65第6項(xiàng)的系數(shù)為C65·(-1)5·2=-(2)設(shè)展開式中的第k+1項(xiàng)為含x3的項(xiàng),則Tk+1=C9kx9-k-1xk=(-1)kC9kx9-令9-2k=3,得k=3,即展開式中第4項(xiàng)含x3,其系數(shù)為(-1)3·C93=-學(xué)生帶著問題去觀察展開式，引發(fā)思考積極參與互動(dòng)，說出自己見解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。這個(gè)過程讓學(xué)生親身經(jīng)歷了從“繁雜計(jì)算之苦”到領(lǐng)悟“分步乘法原理與組合數(shù)的簡(jiǎn)潔美”，這也是一個(gè)內(nèi)化的過程，鞏固已有思想方法，建立猜想二項(xiàng)式定理的認(rèn)知基礎(chǔ)。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素