2025屆高考數(shù)學(xué)一輪知能訓(xùn)練第九章概率與統(tǒng)計(jì)第9講離散型隨機(jī)變量及其分布列含解析

PAGE1-第9講離散型隨機(jī)變量及其分布列1.(2024年陜西西安高三檢測(cè))已知隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝eq\f(1,2k)，k＝1,2，…，則P(2<ξ≤4)等于()A.eq\f(3,16)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,16)D.eq\f(1,5)2.設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為X123Pq21－qeq\f(5q,2)－1則q＝________；P(X≤2)＝________.3.(2024年福建廈門(mén)模擬)甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球競(jìng)賽，競(jìng)賽實(shí)行五局三勝制，無(wú)論哪一方先勝三局則競(jìng)賽結(jié)束，假定甲每局競(jìng)賽獲勝的概率均為eq\f(2,3)，則甲以3∶1的比分獲勝的概率為()A.eq\f(8,27)B.eq\f(64,81)C.eq\f(4,9)D.eq\f(8,9)4.一袋中裝有大小相同，編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6,7,8的8個(gè)球，從中有放回地每次取1個(gè)球，共取2次，則取得2個(gè)球的編號(hào)之和不小于15的概率為()A.eq\f(1,32)B.eq\f(1,64)C.eq\f(3,32)D.eq\f(3,64)5.小明打算參與電工資格考試，先后進(jìn)行理論考試和操作考試兩個(gè)環(huán)節(jié)，每個(gè)環(huán)節(jié)各有2次考試機(jī)會(huì)，在理論考試環(huán)節(jié)，若第一次考試通過(guò)，則干脆進(jìn)入操作考試；若第一次未通過(guò)，則進(jìn)行第2次考試，第2次考試通過(guò)后進(jìn)入操作考試環(huán)節(jié)，第2次未通過(guò)則干脆被淘汰.在操作考試環(huán)節(jié)，若第1次考試通過(guò)，則干脆獲得證書(shū)；若第1次未通過(guò)，則進(jìn)行第2次考試，第2次考試通過(guò)后獲得證書(shū)，第2次未通過(guò)則被淘汰.若小明每次理論考試通過(guò)的概率為eq\f(3,4)，每次操作考試通過(guò)的概率為eq\f(2,3)，并且每次考試相互獨(dú)立，則小明本次電工考試中共參與3次考試的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(3,8)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)6.某次學(xué)問(wèn)競(jìng)賽的規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問(wèn)題中，選手若能連續(xù)正確回答出2個(gè)問(wèn)題，即停止答題，晉級(jí)下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率都是0.8，且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪的概率等于________.7.(2024年內(nèi)蒙古赤峰模擬)機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛的考核過(guò)程中，科目三又稱(chēng)道路平安駕駛考試，是機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛?cè)丝荚囍械缆否{駛技能和平安文明駕駛常識(shí)考試科目的簡(jiǎn)稱(chēng).假設(shè)某人每次通過(guò)科目三的概率均為eq\f(4,5)，且每次考試相互獨(dú)立，則至多考兩次就通過(guò)科目三的概率為_(kāi)_______.8.在一個(gè)口袋中裝有黑、白2個(gè)球(2個(gè)球除顏色外都相同)，從中隨機(jī)取1球，登記它的顏色，然后放回，再取1球，又登記它的顏色，寫(xiě)出這兩次取出白球數(shù)η的分布列為_(kāi)_______.9.已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)須要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且其次次檢測(cè)出的是正品的概率；(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品須要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所須要的檢測(cè)費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列.10.在一次籃球定點(diǎn)投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投3次，在A處每投進(jìn)一球得3分；在B處每投進(jìn)一球得2分.假如前兩次得分之和超過(guò)3分就停止投籃；否則投第三次.某同學(xué)在A處的投中率q1＝0.25，在B處的投中率為q2，該同學(xué)選擇先在A處投第一球，以后都在B處投，且每次投籃都互不影響，用X表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為：X02345P0.03p2p3p4p5(1)求q2的值；(2)求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)；(3)試比較該同學(xué)選擇上述方式投籃得分超過(guò)3分與選擇都在B處投籃得分超過(guò)3分的概率的大小.11.通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)100名性別不同的高校生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下2×2列聯(lián)表：分類(lèi)男女總計(jì)愛(ài)好40不愛(ài)好25總計(jì)45100(1)將題中的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整；(2)能否有99%的把握認(rèn)為愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)假如按性別進(jìn)行分層抽樣，從以上愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的高校生中抽取6人組建“運(yùn)動(dòng)達(dá)人社”，現(xiàn)從“運(yùn)動(dòng)達(dá)人社”中選派3人參與某項(xiàng)校際挑戰(zhàn)賽，記選出3人中的女高校生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).

第9講離散型隨機(jī)變量及其分布列1．A解析：P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝eq\f(1,23)＋eq\f(1,24)＝eq\f(3,16).故選A.2.eq\f(1,2)eq\f(3,4)解析：(1)由分布列的性質(zhì)得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤q2≤1，①,0≤1－q≤1，②,0≤\f(5,2)q－1≤1，③,q2＋1－q＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)q－1))＝1，④))由①②③，得eq\f(2,5)≤q≤eq\f(4,5).由④，得q2＋eq\f(3,2)q－1＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(q－\f(1,2)))(q＋2)＝0，解得q＝eq\f(1,2)或q＝－2(舍去)．故q＝eq\f(1,2).由分布列可知X的可能取值只有1,2,3，故P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝q2＋(1－q)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(3,4).3．A解析：第四局甲第三次獲勝，并且前三局甲獲勝兩次，∴所求的概率為p＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27).4．D解析：設(shè)取得2個(gè)球的編號(hào)之和為隨機(jī)變量X，則P(X＝15)＝eq\f(1,8)×eq\f(1,8)×2＝eq\f(1,32)，P(X＝16)＝eq\f(1,8)×eq\f(1,8)＝eq\f(1,64)，∴P(X≥15)＝P(X＝15)＋P(X＝16)＝eq\f(1,32)＋eq\f(1,64)＝eq\f(3,64).5．B解析：設(shè)小明本次電工考試中共參與3次考試為事務(wù)A，小明本次電工考試中第一次理論考試沒(méi)通過(guò)，其次次理論考試通過(guò)，第一次操作考試通過(guò)為事務(wù)B，小明本次電工考試中第一次理論考試通過(guò)，第一次操作考試沒(méi)有通過(guò)，其次次操作考試通過(guò)為事務(wù)C，則P(A)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)，而P(B)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,8)，P(C)＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×1＝eq\f(1,4)，∴P(A)＝eq\f(1,8)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,8).故選B.6．0.128解析：由題意知，該選手恰好回答4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪，必有其次個(gè)問(wèn)題答錯(cuò)，第三、四個(gè)問(wèn)題答對(duì)，第一個(gè)問(wèn)題可對(duì)可錯(cuò)，則1×0.2×0.8×0.8＝0.128.7.eq\f(24,25)解析：第一類(lèi)：考一次就通過(guò)的概率為eq\f(4,5)；其次類(lèi)：第一次未通過(guò)，其次次通過(guò)的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\f(4,5)＝eq\f(4,25).綜上，至多考兩次就通過(guò)科目三的概率為eq\f(4,5)＋eq\f(4,25)＝eq\f(24,25).8.η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)解析：η的全部可能值為0,1,2.P(η＝0)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1),C\o\al(1,2)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,4)，P(η＝1)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1)×2,C\o\al(1,2)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,2)，P(η＝2)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1),C\o\al(1,2)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,4).∴η的分布列為η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)9.解：(1)記“第一次檢測(cè)出的是次品且其次次檢測(cè)出的是正品”為事務(wù)A，P(A)＝eq\f(A\o\al(1,2)A\o\al(1,3),A\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).(2)X的可能取值為200,300,400.P(X＝200)＝eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝300)＝eq\f(A\o\al(3,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2),A\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－eq\f(1,10)－eq\f(3,10)＝eq\f(3,5).故X的分布列為X200300400Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(3,5)10.解：(1)設(shè)該同學(xué)在A處投中為事務(wù)A，在B處投中為事務(wù)B，則事務(wù)A，B相互獨(dú)立，且P(A)＝0.25，P(eq\x\to(A))＝0.75，P(B)＝q2，P(eq\x\to(B))＝1－q2，依據(jù)分布列知：X＝0時(shí)，P(eq\x\to(ABB))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(B))＝0.75×(1－q2)2＝0.03，∴1－q2＝0.2，q2＝0.8.(2)當(dāng)X＝2時(shí)，p2＝P(eq\x\to(A)Beq\x\to(B)＋eq\x\to(A)eq\x\to(B)B)＝P(eq\x\to(A)Beq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)B)＝P(eq\x\to(A))P(B)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(B)＝0.75·q2(1－q2)×2＝0.24.當(dāng)X＝3時(shí)，p3＝P(Aeq\x\to(B)eq\x\to(B))＝P(A)P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(B))＝0.25(1－q2)2＝0.01.當(dāng)X＝4時(shí)，p4＝P(eq\x\to(A)BB)＝P(eq\x\to(A))P(B)P(B)＝0.75qeq\o\al(2,2)＝0.48.當(dāng)X＝5時(shí)，p5＝P(Aeq\x\to(B)B＋AB)＝P(Aeq\x\to(B)B)＋P(AB)＝P(A)P(eq\x\to(B))P(B)＋P(A)P(B)＝0.25q2(1－q2)＋0.25q2＝0.24.∴隨機(jī)變量X的分布列為X02345P0.030.240.010.480.24∴隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望：E(X)＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.(3)該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過(guò)3分的概率為P(eq\x\to(B)BB＋Beq\x\to(B)B＋BB)＝P(eq\x\to(B)BB)＋P(Beq\x\to(B)B)＋P(BB)＝2(1－q2)qeq\o\al(2,2)＋qeq\o\al(2,2)＝0.896.該同學(xué)選擇(1)中方式投籃得分超過(guò)3分的概率為0.48＋0.24＝0.72，∴該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過(guò)3分的概率大．11．解：(1)題中的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充如下：分類(lèi)男女總計(jì)愛(ài)好402060不愛(ài)好152540總計(jì)5545100(2)K2＝eq\f(100×40×25－20×152,55×45×60×40)≈8.25>6.635，∴有99%的把握認(rèn)為是否愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)．(3)由題意，抽取6人中包括男生4名，女生2名，X