2024年人教版七年級數(shù)學下冊專題111 期中期末專項復習之相交線與平行線十八大（解析版）

專題11.1相交線與平行線十八大必考點

【人教版】

旦無力

【考點?同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的判斷】.....................................................1

【考點2三線八角中的截線問題】................................................................3

【考點3根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進行證明】.....................................................5

【考點4直線旋轉(zhuǎn)中的平行線的判定】..........................................................11

【考點5與垂線有關(guān)的角度計算或證明】........................................................14

【考點6利用平行線的判定與性質(zhì)計算角度】....................................................18

【考點7平行線的性質(zhì)在生活中的應用】........................................................23

【考點8利用平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】.........................................29

【考點9平行線的運用（單一輔助線）】........................................................35

【考點10平行線的運用（多條輔助線）】........................................................42

【考點II平行線在折疊問題的運用】............................................................51

【考點12平行線在三角尺中的運用】............................................................54

【考點13平行線中的規(guī)律問題】.................................................................59

【考點14平行線中的轉(zhuǎn)角問題】.................................................................67

【題型15生活中的平移現(xiàn)象】...................................................................74

【題型16圖形的平移】.........................................................................76

【題型17利用平移的性質(zhì)求解】.................................................................78

【題型18利用平移解決實際問題】...............................................................80

畢一更三

【考點1同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的判斷】

【例1】（2022?河南新鄉(xiāng)七年級期末）如圖所示，下列說法不正確的是（）

A.團1和團2是同旁內(nèi)角B.（31和（23是對頂角

C.明和團4是同位角D.團1和酎是內(nèi)錯角

【答案】A

【分析】根據(jù)對頂角、鄰補角、同位角、內(nèi)錯角定義判斷即可.

【詳解】A.01和（32是鄰補角，故此選項錯誤：

B.01和133是對頂角，此選項正確:

C.03和04是同位角，此選項正確；

D.配和團4是內(nèi)錯角，此選項正確;

故選A.

【點睛】此題考查對頂角，鄰補角，同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角，解題關(guān)鍵在于掌握各性

質(zhì)定義.

【變式1-1］（2022?青海?中考真題）數(shù)學課上老師用雙手形象的表示了“三線八角〃圖形，如

圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）.從左至右依次表示（）

A.同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯角

B.同位角、內(nèi)錯角、對頂角

C.對頂角、同位角、同旁內(nèi)角

D.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

【答案】D

【分析】兩條線。、〃被第三條直線c，所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方，把這種

位置關(guān)系的角稱為同位角；兩個角分別在截線的異側(cè)，且夾在兩條被截線之間，具有這樣位

置關(guān)系的一對角互為內(nèi)錯角；兩個角都在截線的同一側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位

置關(guān)系的一對角互為同旁內(nèi)角.據(jù)此作答即可.

【詳解】解：根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念，可知

第一個圖是同位角，第二個圖是內(nèi)錯角，第三個圖是同旁內(nèi)角.

故選：D.

【點睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，解題的關(guān)鍵是掌握同位角、內(nèi)錯角、同旁

內(nèi)角，并能區(qū)別它們.

【變式1-2］（2022?河北保定?七年級期末）如圖所示，下列說法錯誤的是（）

A.配與團1是內(nèi)錯角

B.02與133是內(nèi)錯角

C.回A與mB是同旁內(nèi)角

D.OA與足同位知

【答案】B

【分析】根據(jù)同位角，同旁內(nèi)角，內(nèi)錯角的定義可以得到A、C、D是正確的，田2與03是鄰

補角，不是內(nèi)錯角.

【詳解】A、mC與皿是內(nèi)錯角，故本選項正確；

B、團2與團3是鄰補角，故本選項錯誤；

C、團A與配是同旁內(nèi)角，故本選項正確；

D、0A與明是同位角，故本選項正確.

故選B.

【點睛】本題主要考查了同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角的概念，比較簡單.

【變式1-3］（2022?河南?商水縣希望初級中學七年級期末）如圖所示，同位角有a對，內(nèi)錯

角有b對，同旁內(nèi)角有c對，貝ija+b—c的值是

【答案】6

【分析】根據(jù)同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角的定義分別得到a,b,c的值，即可求解.

【詳解】回同位角有：團8與國4,團5與團1,團7與團3,國6與團2,04與國9,團7與國9,共6對：

內(nèi)錯角有：團7與團1.團6與134.國5與團9,團2與團9,共4對,同旁內(nèi)角有：團7與（34.06與團1,

團1與團9,06與139共4對，

回a=6,b=4,c=4,

0a+b-c=6,

故答案是：6.

【點睛】本題主要考查同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角的定義，掌握它們的定義，是解題的關(guān)鍵.

【考點2三線八角中的截線問題】

【例2】（2022?四川省廣元市寶輪中學七年級期末）如圖，已知團1和團2是內(nèi)錯角，則下列

表述正確的是（）

D

B

故答案為：AB；AC；BD；同旁內(nèi)角；

【點睛】本題考查了同旁內(nèi)角的定義，熟悉掌握同旁內(nèi)用的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2022?全國?七年級）如圖所示，從標有數(shù)字的角中找出：

⑴直線C。和被直線AC所截構(gòu)成的內(nèi)錯角.

⑵直線CD和AC被直線A。所截構(gòu)成的同位角.

⑶直線AC和AB被直線BC所截構(gòu)成的同旁內(nèi)角.

【答案】⑴直線C。和被直線4C所截構(gòu)成的內(nèi)錯角是02和團5；（2）直線C7）和AC被直

線4。所載構(gòu)成的同位角是和137；（3）直線AC和4B被直線8C所截構(gòu)成的同旁內(nèi)角是羽

和134

【分析】根據(jù)兩條直線被第三條直線所截，所形成的角中，兩角在兩條直線的中間，第三條

直線的兩旁，可得內(nèi)錯角，兩角在兩直線的中間，第三條直線的同側(cè)，可得同旁內(nèi)角，兩角

在兩條直線的同側(cè)，第三條直線的同側(cè)，可得同位角.

【詳解】解：（1）直線CO和/W被直線AC所截構(gòu)成的內(nèi)錯角是團2和（35.

⑵直線C。和AC被直線入。所截構(gòu)成的同位角是?1和（37.

⑶直線AC和AB被直線8c所截構(gòu)成的同旁內(nèi)角是明和耿.

【點睛】此題主要考查了三線八角，關(guān)鍵是掌握同位角的邊構(gòu)成r形，內(nèi)錯角的邊構(gòu)成Z

形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成U形.

【考點3根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進行證明】

【例3】（2022?浙江臺州?七年級期末）如圖，已知：Z1=Z2,LA=^D.求證：

mII().

團/力=乙BED().

團=Z.D（已知），

配BED=（等量代換）.

0II（）.

0z/?=Z.C（）.

【答案】DE；AF；同位角相等，兩直線平行：兩直線平行，同位角相等；AB；CD；內(nèi)錯

角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等

【分析】先通過已知條件證明。臼IAF,再由兩直線平行同位角相等和等量代換證出4BICQ,

再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯用相等得出NB=4C.

【詳解】證明：團乙1二42（己知），

團。月IA產(chǎn)（同位角相等，兩直線平行）.

0Z?l=^BED（兩直線平行，同位角相等）.

團乙4=乙D（已知），

^LBED=乙D（等量代換）.

mABWCD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

=ZC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

故答案為：DE；AF：同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；A6：CQ；內(nèi)

錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和判定的應用，能靈活運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵.

【變式3-1］（2022?黑龍江?遜克縣教師進修學校七年級期末）如圖所示，ABWCD,直線Eb

分別交48,CD于點G,H,"N是皿）"G的平分線.

⑴如果GM是I28GE的平分線，（如圖①）試判斷并證明GM和HN的位置關(guān)系;

證明：西BIIC。,

闔BGE=（兩直線平行，同位角相等.）

團GW是團3G￡的平分線，

團==-/.BGE

-------------------------------2

團”N是團的平分線

0==-^DHG

-------------------------------2

配MGEFNHG（等量代換）

團GM和"N的位置關(guān)系是，（）.

⑵如果GM是BAG”的平分線，（如圖②）（1）中的結(jié)論還成立嗎？（不必證明）

⑶如果GM是勖GH的平分線，（如圖③）（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果不成立，GM與

又有怎樣的位置關(guān)系？請直接寫出你的猜想不必證明.

【答案】⑴團及HG；團BGM；團MGE；?DHN；⑦NHG；GM||，N；同位角相等，兩直線平行；

（2）成立

⑶不成立，GM0HM

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得MGE=（亞汨G,再利用角平分線的定義和等量代換可

得回MGE=（3M7G,再利用平行線的判定即可；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得財GH姬。，G,,再利用角平分線的定義和等量代換可得

WGM^NHG,再利用平行線的判定即可；

（3）設(shè)GM與HN交于點P,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得防G〃+IilQHG=180。，再利用角平分線

的定義和等最代換可得團MGM+團M7G=90。，然后利用三角形內(nèi)角和定理可求出團GPH=90唧

可解答.

（1）證明：財8IICD釀BGE=Q”G（兩直線平行，同位角相等.）12GM是團BGE的平分線，

^BGM=^MGE=^BGE^HN是團QHG的平分線豳。HN=ElN〃G=#lOHG2WG￡=mM/G

（等量代換）團GM和〃N的位置關(guān)系是GMIIHN（同位角相等，兩直線平行）.

（2）解：（1）中的結(jié)論還成立，理由如下：EL4BIICD,13GM是（MG，的平

分線，配L4GM=WGM=^GH,?HN是（3W7G的平分線，^GHN=^DHN=WHG,^HGM=^HG

（等量代換）EIGMHHN.

（3）（3）（1）中的結(jié)論不成立，GM^HN,理由：如圖：設(shè)GM與〃N交于點P,^ABICD,

^BGH+^DHG=180°,（3GM是回BGH的平分線，^BGM=WGM=^\BGH,（3/7N是（3O”G的平

分線，曲GHN=ZO，N=%O〃G,00HGA/+mHG=^BGH+^DHG=9Q°,00GPH=18O0-（0HG/W+

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⑦NHG）=90°mG/WHHN.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義等知識點，熟練掌握平行線

的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

【變式3-2]（2022?遼寧葫蘆島?七年級期末）如圖已知：AB\ICD,CD^EF,八￡平分OJMC,

AQ3CE,有以下結(jié)論：①A陰石尸；②2團1-m4=90。；③2R3-02=180°；@03+^4=135°,其中，

正確的結(jié)論有一.（填序號）

【答案】①②③④

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)逐一分析判斷即可.

【詳解】解：0A8IICD,CDWEF,

^AB\\EF,故①正確；

ME平分(3BAC,

□ABHCD,

團團4AC+02=180°,

0201+02=180°(1),

□AO3CE,

002+04=90°(2),

團(1)?(2)得，21al@1=90。，故②正確；

0ABHEF,

兆134403=180°,

(ME平分(28AC,

001+03=180°,

0201+203=360°(3),

0201+02=180°(1),

(3)-(1)得，2團3-團2=180°,故③正確；

團。力|陀產(chǎn),

00CEF+04=18OO,

003+[M￡：C+04=18Oo,

財

001+a4EC=9O\

團財EC=90°-01,

003+04-01=90°,

0201-04=90°,

回國1=45°申4,

003+^34=135°,故④正確.

綜上，正確的結(jié)論有：①②③④.

故答案為：①②③④.

【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練應用判定定理和性質(zhì)定理是解題的大鍵，平

行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角

相等.平行線的判定是由角的數(shù)最關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系.平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系

來尋找角的數(shù)量關(guān)系.應用平行線的判定和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆.

【變式3-3](2022?廣東?廣州市第四中學七年級期末)如圖1,在四邊形ABC。中，AD||BC,

⑴求證：(35=00；

(2)如圖2,點E在線段AZ)上，點G在線段AO的延長線上，連接8G,^AEB=2^G,求證:

BG是團￡8。的平分線；

⑶如圖3,在(2)的條件下.點E在線段AD的延長線上，貼DC的平分線。，交8G于點兒

若MBE=66。，求團8”。的度數(shù).

【答案】(1)證明見解析

⑵證明見解析

⑶57°

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到財+團8=180。，進而推出國C+團8=180。，即可證明A8IC。,

得到(M+團ZX180。，據(jù)此即可證明結(jié)論；

(2)先由平行線的性質(zhì)得至胞C8GWG,SAE8WC8E,進而推出13E8GWC8GWG,即可證

明8G是皿4。的平分線：

(3)設(shè)團GQH=團"QC=a,設(shè)團EBG=(3C8G=￡,根據(jù)平行線的性質(zhì)推出66°+2￡+2a=180°,則

a+/J=57°,過點“作“PIIAB交AG于P,得至附P”8+(MB”=180。，推出配)“P=團”。。=。，則

團?！≒+團8”￡>+a43E+(3G8E=18(r即?+0BHD+66°+//=18O°,國BHD=57。；

(1)

解：BADIIBC,

00A+0B=18O°,

0EL4=0C,

團團0+08=180°,

□ABIICD,

盟L4+回。=180°,

盟8=回。；

(2)

解：(UADHBC,

國3CBG=(3G,^AEI^CBE.

的AE5=212G,

00CBE=20G,

團團￡4G+團CBG=2回G,

00E?G=HCTG=0G,

0BG是0E8C的平分線；

(3)

解：團。”是團GOC的平分線，

甌GOH=(3”O(jiān)C,

設(shè)回GO”=回"OC=a,

^AD\\BC,

005CD=0GDC=2a,

設(shè)國EBG司CBG=0,

^AB\\CD,

0a4?C+0BCD=18O°,

mMBE+^EBC+^BCD=18Q°,

團660+2伊2a=180°,

0a+^=57°,

過點"作"PIIAB交4G于尸，

團團PHB+13A8H=180°,

0/WIICQ,

團CDIIHP,

^DHP=WDC=a,

^DHP+^BHD+^ABE+^GBE=180°

即a+0BHD+66o+^=18O°,

^BHD=57°i

圖3

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟知平行線的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵.

【考點4直線旋轉(zhuǎn)中的平行線的判定】

【例4】（2022?河南洛陽?七年級期末）如圖所示是蹺蹺板示意圖，橫板48繞中點O上下轉(zhuǎn)

動，立柱OC與地面垂直，當橫板4B的A端著地時，測得NO4c=28。，則在玩蹺蹺板時，

小明坐在A點處，他上下最大可以轉(zhuǎn)動的角度為（）

A.28°B.56°C.62°D.84°

【答案】B

【分析】此題可以構(gòu)造平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)進行分析計算.

【詳解】解：如圖所示,

過點。作DE0AC,

則有團1=4OAC=28°

而團2=團1,

所以，上下最大可以轉(zhuǎn)動的角度為團2=團1=56。.

故選：B.

【點睛】本題是一道生活問題，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于平行線的問題，解題關(guān)鍵是利用“兩直線平

行，同位角相等〃解答.

【變式4-1]（2022?山東臨沂?七年級期末）如圖將木條。，〃與。釘在一起，41=75。，要

使木條。與人平行，木條。順時針旋轉(zhuǎn)了35。，團2是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可.

【詳解】解：如圖,

根據(jù)題意得，01=75°,財08=35°,

團財0。=01-媯08=40°,

當團時,a\\b,

002=40°,

故選：C.

【點睛】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2]（2022?云南昆明?七年級期末）小明把一副三角板擺放在桌面上，如圖所示，

其中邊BC,。尸在同一條直線上，現(xiàn)將三角板。石尸繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，當成7第一次與

平行時，NC。尸的度數(shù)是（

A

A.15°B.30°C.45°D.75°

【答案】A

【分析】過點。作。M0A8,則由平行線的性質(zhì)得出明=團M。8=30。,

[aMDE=aE=45°,則可求出答案.

【詳解】解：過點。作則A座。M0ER

00B=[WDB=3O%團MD￡=（3E=45°,

團團8/）E=（3BOM+（aEOA/=30°+45°=75°,

團回CQF=900-mBDE=90°-75°=15°.

故答案為：15。.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解

決問題.

【變式4-3]（2022?湖南永州?七年級期末）如圖，直線1對2,現(xiàn)將一個含30。角的直角三角

板的銳角頂點B放在直線內(nèi)上，將三角板繞點3旋轉(zhuǎn)，使直角頂點C落在。與。之間的區(qū)域，

邊4c與直角人相交于點八，若/1=35。，則圖中的/2的值為（）

A.65°B.75°C.85°D.80°

【答案】A

【分析】過A作CEII。，得到CEMII/2,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出團3,進而求得團4,再根據(jù)平

行線的性質(zhì)可求出答案.

【詳解】解:過C作CE"/,

助1%，

0CEH//H/2，

003=01=35",

豳4=90°-團3=55°,

團團2=18O°-04-（M8C=18O0-55°?6O°=65°.

故選：A.

【點睛】題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運用平行線的性質(zhì)和判定定理進行推理是解

此題的關(guān)鍵.

【考點5與垂線有關(guān)的角度計算或證明】

【例5】（2022?湖南?測試?編輯教研五七年級期末）如圖,已知皿WC,02=133,FgAC于G,

你能說明BD與AC互相垂直嗎？

【答案】見解析

【分析】根據(jù)回1=?C，得EQII8C,所以回2=因O8C,再由盟=團3,得團。8C=回3,所以BDWFG,

即可得FG^AC.

【詳解】證明：001=0C,

團EDWI3C,

ia02=0DBC,

002=03,

[30/9/^0=03

團BDIIFG,

0FGa4C,

團Z2國AC

【點睛】本題綜合考查了平行線的性質(zhì)及判定，正確識別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯角、

同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)健，不能遇到相等或互補關(guān)系的角就誤認為具有平行關(guān)系，只有同

位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補，才能推出兩被截直線平行.

【變式5-1]（2022?安徽合肥?七年級期末）請補充完整下列推理過程及證明過程中的依據(jù).

如圖，已知DG〃B4EFIBC,zl=z2.試證明：AD1BC.

解：因為OG〃84（已知），

所以42=乙BAD（）.

因為=z2（已知），

所以（等量代換），

所以EF〃（）.

所以乙EPB=（兩直線平行，同位角相等）

因為EF1BC（已知），

所以NEFB=90°（）.

所以乙4。尸=90。（等量代換），

所以（垂直的定義）.

【答案】兩直線平行，內(nèi)錯角相等；N1=NB4。；AD；同位角相等，兩直線平行；乙ADB；

垂直的定義；AD1BC

【分析】根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理求解即可.

【詳解】解：因為。G〃8.4（已知），

所以乙2=48力。（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

因為乙1=42（已知），

所以41（等量代換），

所以“〃AD（同位角相等，兩直線平行），

所以乙￡尸8=乙408（兩直線平行，同位角相等）,

因為EF1BC（已知），

所以4EF8=90。（垂直的定義），

所以乙4。尸=90。（等量代換），

所以401BC（垂直的定義），

故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；N1=N84D；AD；同位角相等，兩直線平行；匕AD8；

垂直的定義；AD1BC.

【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2]（2022?江蘇鹽城?七年級期末）如圖，AB1AC,垂足為4,Z1=30°,乙B=60°.

（1）力。與8C平行嗎？為什么？

（2）根據(jù)題中的條件，能判斷與CC平行嗎？如果能，請說明理由：如果不能，添加一

個條件，使它們平行（不必說明理由）.

【答案】（1）平行，理由見解析；（2）不能，可添加ICDJL/1C.

【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理，即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)平行線的判定定理，即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）平行.理由如下：

EL481AC,

00BAC=9O°,

0Z.1=30°,

^BAD=Z.BAC+Z.1=120°.

0Z.5=60。，

團/B+4BAD=60°+120°=180°,

風40IIBC；

（2）不能判斷48與CD平行,添加CD_L4C即可判斷AB與CD平行.

AB1AC,

00BAC=9O%

OCO1AC,

□SACD=90°,

團48團CD.

【點睛】本題主要考查平行線的判定定理，掌握“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”，"內(nèi)錯用相

等，兩直線平行"，是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3]（2022?全國?七年級）已知：直線MN、PQ被48所截，且MA^PQ,點C是線

段A8上一定點，點。是射線AN上一動點，連接CD.

⑴在圖1中過點。作CE0CD,與射線BQ交于E點.

①依題意補全圖形；

②求證：^ADC+^8EC=90°：

（2）如圖2所示，點尸是射線BQ上一動點，連接。凡WCF=a,分別作團NOC與（3bQ的角

平分線交于點G,請用含有a的代數(shù)式來表示團。GF,并說明理由.

【答案】⑴見解析

（2）0DGF=18O0--?,理由見解析

2

【分析】（1）①根據(jù)要求作出圖形即可.②過點C作C7I3MM利用平行線的性質(zhì)和判定

以及垂線的性質(zhì)解決問題.

（2）0DGF=18O0-12?.利用（1）中基本結(jié)論可得0ADC+回〃*C=[2QCF=a,^GDN+^GFQ=WGF,

再利用角平分線的定義及鄰補角的性質(zhì)即可求解.

②證明：過點C作C7I3MM

因C匝CD,

00ECD=9O\

[3C7I3MN,MN^PQ,

團C713MM3PQ,

0[?L4DC=0DCr,05EC=0EC7，,

^DC+^BEC=^DCT+^ECT=^ECD=90°.

⑵

解：（3OGF=180°jz,理由如下：

如圖，

圖2

由（1）的結(jié)論可知：0ADC+0BFC=0DCF=a,^GDN+^GFQ=WGF,

團QG平分團NOC,G/7平分團CPQ,

團團GON=1（aCQN,^GFQ=^CF（）,

00DGF=19CDN短CFQ）=1（180°4MOC+180°-團8FC）g<36O0-0DCF）=180°-^a.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，鄰補角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學

會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題.

【考點6利用平行線的判定與性質(zhì)計算角度】

【例6】（2022?福建福州七年級期末）如圖，在中，點D,E分別在人8,人C上，點

F,G在BC上，EF與DG交于點O,zl+Z2=180°,=z3.

⑴判斷OE與3c的位置關(guān)系，并證明：

⑵若4AEO+乙EFC=118°,求乙1的度數(shù).

【答案】⑴證明見解析；

（2）62°

【分析】（1）由4l+N2=180。，Z2+ZD0F=180°,得到41=4DOE,則8。II￡7,???

=Z.EFC,由乙8=乙3,乙3=乙￡尸C,即可證明DEII8C：

（2）由（1）的結(jié)論得到乙3=4EFC,貝1吐4￡F=118°,再由同旁內(nèi)角的性質(zhì)得到44的度

數(shù)即可.

(1)

Vzl+Z2=180°,Z-2+Z-DOE=180°,

AZ1=Z.DOE,

???BD||EF,

???乙B=乙EFC,

vZ_B=43,

???z3=乙EFC,

???DE||BC.

(2)

由(1)知：z3=/-EFC

v/-AED+乙EFC=118°

???z3+Z.AED=LAEF=118°

由(1)知80IIEF,

且乙4?八乙A互為同旁內(nèi)角，

Z.AEF+Z.A=180°,

Z/4=180°-/.AEF=180°-118°=72°

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定式關(guān)鍵.

【變式6-1](2022?河南漂河?七年級期末)已知：如圖,團4=財?！?C=0E.

⑴若(3EOC=30C,求的度數(shù)；

⑵判斷8E與CO的位置關(guān)系，并證明你的猜想.

【答案】⑴45。

⑵8EIICD：證明見解析

【分析】(1)根據(jù)得到。臼IAC,從而得至岷石。C+0C=18O。，結(jié)合(3EOC=3(3C,

代入計算即可.

(2)根據(jù)團4=財。后，得到。EIIAC,從而得到回￡=團48工，結(jié)合回。=團￡,得到團48斤團C,得

至ljBEWCD.

(1)

豳A=(2AO￡,

HDEHAC,

00EDC+0C=18O°,

釀EQC=3(3C,

團甌=180°,

0EC=45°.

(2)

4￡與CO的位置關(guān)系是比：||CQ.理由如下：

0[?L4=0ADE,

^DEWAC,

變氏蜘8￡,

團團。=團石，

00A/?E=0C?

^BEWCD.

【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式6-2](2022廣東湛江?七年級期末)如圖所示，己知射線。例|04，乙C=乙OAB=110°,

E、尸在CB上，且滿足"08=〃。8,0E平分“0尸，根據(jù)上述條件，解答下列問題：

(1)證明：。。|力8：

(2)求乙E0B的度數(shù)；

⑶若平行移動力8,那么乙08C/0FC的值是否隨之變化？若不變，求出這個比值；若變化,

請說明理由.

【答案】⑴見解析

(2)乙E0B=35°

(3)不變，LOBC;乙OFC=1:2.

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得出ZC04再根據(jù)=180。,可得0CII4B；

(2)根據(jù)±F08=匕力。8,?！昶椒稚螩OF,BP=/-EOF+/-FOB=^COA,

即可得出答案；

(3)根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得出乙。8C=4804,2。*=Z-FOA,再根據(jù)=乙FOB+

^AOB=2/-AOB,即可得出答案.

(1)

^CBWOA,Z.C=^OAB=110°,

^Z-COA=180°-zC=180°-110°=70°,

^Z-COA+WAB=180°,

WC\\AB；

（2）

BZ.FOB=Z.AOB,

回。8平分乙AOr，

又OE平分乙COP,

0ZEOB=ZEOF+4FOB=-zCOA=-x70°=35°；

22

⑶

不變.

^CBWOA,

0ZOBC=ZBOA,ZOFC=乙FOA,

^OBC-.Z-OFC=Z.AOB-.^FOA,

X0Z.FOA=4FOB+4AOB=2zAOB,

團408C:4。FC=LAOB-.Z.FOA=^AOB\2Z.AOB=1:2.

【點睛】本題考查平行線、角平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟記各性質(zhì)并準確識圖理

清各角間的關(guān)系時解題關(guān)鍵.

【變式6-3］（2022?北京密云?七年級期末）己知：點。是冊08的OA邊上一點（點。不與

點。重合），點。是助08內(nèi)部一點，射線C。不與08相交.

⑴如圖1,財08=90。，0OCD=12O°,過點O作射線OE，使得OE//CD.（其中點石在MOB

內(nèi)部）.

①依據(jù)題意，補全圖1:

②直接寫出財O石的度數(shù).

（2）如圖2,點尸是射線。8上一點，且點尸不與點O重合，當/4。8=0（0。＜。＜180。）時，

過點尸作射線產(chǎn)〃，使得/7〃/CO（其中點〃在財08的外部），用含a的代數(shù)式表示因。CO

與(3BFH的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】⑴①見解析；②30。

(2)團。。。+團3"/=360。一%,證明見解析

【分析】(1)①根據(jù)題意補圖即可；

②根據(jù)平行線的性質(zhì)求出即可；

(2)過點。作OMQCZ)mF”，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出兩角的數(shù)量關(guān)系即可.

(1)

②(3CZWE,

mSOCD+XOE=180°,

幽00)=120°,

盟CO月=60°,

00408=90°,

幽3OE=90°-團COE=90°-60°=30°：

(2)

解：(3OCM3BFH=360°-a,

證明：過點。作。M3CD0F”，

配OCZ)+13COM=180°,13MO尸二團0切,

又團團8F”+f3OF7/=180°,

0180°-0OCQ+1800-?BFH=a,

^（）CD+^FH=360°-a.

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【考點7平行線的性質(zhì)在生活中的應用】

【例7】（2022?湖北武漢七年級期末）如圖線段AB和CD表示兩面鏡子，且直線AB團直線

CD,光線EF經(jīng)過鏡子AB反射到鏡子CD,最后反射到光線GH.光線反射時,01=02,133=04,

下列結(jié)論：①直線EF平行于直線GH；②由FGH的角平分線所在的直線垂直于直線AB；

③配FE的角平分線所在的直線垂直于國4的角平分線所在的直線；④當CD繞點G順時針旋

轉(zhuǎn)90時，直線EF與直線GH不一定平行，其中正確的是（）

A.①②③④B.①②③C.②③D.①③

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)定理逐個證明，看是否正確即可.

【詳解】①正確，根據(jù)AB//CD,可得22=Z3,再根據(jù)已知可得41=△2=△3=44,進

而證明NEFC=ZFGH,因此可得EF//GH；

②正確，根據(jù)的=團4,可得國FGH的角平分線所在的直線垂直于直線AB；

③正確，因為①證明了21=44,所以只要證明N1的角平分線垂直于的角平分線

即可；

④不正確，因為w2+/3=90°,所以zEFC+iFGH=180°,HPEF//GH.

故正確的有①②③，因比選B.

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和定理，這是基本知識點，必須熟練掌握.

【變式71】（2022?江蘇宿遷七年級期末）熨驗證明：平面鏡反射光線的規(guī)律是；射到平

面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖有兩塊互相垂直的平面鏡

MN.NP,一束光線射在其中一塊MN上，經(jīng)另外一塊NP反射，兩束光線會平行嗎？若不

平行，請說明理由，若平行，請給予證明

【答案】會，理由見解析

【分析】作BEJLN8,CFLNC,根據(jù)NB1NC可得H"2+乙3=41+，4=90。，再由平

行線的判定定理即可得出結(jié)論.

【詳解】解：AB//CD.

理由如下：作BE1NB,CrINC,如圖，

vzl=Z2,43=44,BE//NC,

z2=Z.NCB,

???z2+Z3=zl+Z4=90°,

???乙ABC+Z-BCD=180°,

AAB//CD.

【點睛】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，熟知入射痢等于反射角是解答此題的關(guān)鍵.

【變式7-2](2022?浙江杭州?七年級期末)(1)若組成Z1和N2的兩條邊互相平行，且乙1是

42的2倍小15。，求乙1的度數(shù).

(2)如圖，放置在水平操場上的籃球架的橫梁EF始終平吁于與上拉桿C尸形成的乙尸=

145。，主柱4。垂直于地面，通過調(diào)整CF和后拉桿BC的位置來調(diào)整籃筐的高度.當乙CDB=

25。時，點H,D,3在同一直線上，求乙H的度數(shù).

GH

【答案】(1)15。或115。；(2)120°

【分析】⑴根據(jù)團1,132的兩邊分別平行,所以皿，02相等或互補列出方程求解則得到

答案.

(2)過。點作。似石F,根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可求團尸川=35。，根據(jù)平角的定義可

求(MOB=30。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求(M8"=60。，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可

求團”.

【詳解】解：(1)①當回1=便2時，

001=202-15°,

001=201-15°,

解得回1=15°；

②當團1+團2=180°時，

001=202-15%

002+2[32-150-1800,

解得國2=65。，

001=180°-02=115°;

(2)過。點作O/0EF,

酬尸=145°,

團團"。/=35°,

團姐。慶1800-90°-35°-25°=30°,

豳4BH=90°-30°=60°.

0G月團48,

00H=18OO-6OO=12O0.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行線性質(zhì)定理：兩直線平行，同位角相等；兩直線平

行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

【變式7-3］（2022?湖南?師大附中梅溪湖中學七年級期末）梅溪湖公園某處湖道兩岸所在

直線（A80CD）如圖所示，在湖道兩岸安裝探照燈P和Q,若燈P射線自力逆時針旋轉(zhuǎn)至

PB便立即回轉(zhuǎn)，燈Q射線自。。逆時針旋轉(zhuǎn)至OC便立即回轉(zhuǎn)，每天晚間兩燈同時開啟不停

交叉照射巡視.設(shè)燈P轉(zhuǎn)動的速度是10度/秒，燈Q轉(zhuǎn)動的速度是4度/秒，湖面上點M是

音樂噴泉的中心.

（1）若把燈P自必轉(zhuǎn)至P8,或者燈Q自Q。轉(zhuǎn)至QC稱為照射一次，請求出P、Q兩燈照

射?次各需要的時間；

（2）12秒時，兩光束恰好在M點匯聚，求回PMQ：

（3）在兩燈同時開啟*的35秒內(nèi)，請問開啟多長時間后，兩燈的光束互相垂直？

（備用圖）

【答案】（1）P、Q兩燈照射一次各需要的時間分別為18杪、45杪；（2）^PMQ=108°；

（3）當開啟155或言s或言s后，兩燈的光束互相垂直.

【分析】（1）直接利用180除以兩燈的速度即可求得結(jié)果；

（2）過點M作FM〃人利用平行線的相關(guān)性質(zhì)求解即可；

（3）分三種情況：①當兩燈開啟時間小于18秒時，②當兩燈開啟時間大于18秒，小于

36秒時，PM返回時，第一次與。M相遇，③當兩燈開啟時間大于18秒，小于35秒時，PM

返回時，第二次與OM相遇，分別根據(jù)兩燈的光束互相垂直，利用平行線的相關(guān)性質(zhì)，找準

等量關(guān)系，列出方程求解即可.

【詳解】解：（1）團燈P轉(zhuǎn)動的速度是10度/秒，燈。轉(zhuǎn)動的速度是4度/秒，

團P燈照射一次需要的時間是:詈=18（秒）

Q燈照射一次需要的時間是：口=45（秒）；

（2）團轉(zhuǎn)動12秒時，兩光束恰好在M點匯聚，

（3N4PM=10°X12=120°,

△DQM=4°xl2=48°,

如下圖示，過點M作尸M/〃B,

貝IJ有FM/A48//C。

^Z.APM+Z.PMF=180°,乙FMQ=乙DQM=48°,

0ZPMF=180°-NAPM=180°-120°=60°,

團NPMQ=乙PMF+乙FMQ=60°+48°=108°；

（3）①當兩燈開啟時間小于18秒時，

如圖1所示，

圖1

過點M作FM〃/18,

貝I」有FM//48//CD

團Z71PM=103乙FMQ=乙DQM=43

0ZPMF=180°-Z,APM=180°-10t,

回兩燈的光束互相垂直，

團依題意可得：180°-10t+4t=90°

解之得：￡=15；

②當兩燈開啟時間大于18秒，小于35秒時，

PM返回時，第一次與DM相遇，則如圖2所示,

過點用作FM〃/W,

APB

圖2

則有FM〃/18〃CD

0ZPMF=乙BPM=lOt-180°,乙FMQ=4OQM=4t,

團兩燈的光束互相垂直，

回依題意可得：10t-180'+4t=90°

解之得：￡二手；

③當兩燈開啟時間大于18秒，小于35秒時，

PM返回時，第二次與DM相遇，則如圖3所示，

過點M作FM〃/

圖3

貝IJ有FM//48//CD

團，BPM=10t-180°,乙DQM=43

團乙PMF=180°-乙BPM=360°-10t,

乙FMQ=180°-乙DQM=1800-4t

但兩燈的光束互相垂直，

13依題意可得:3600-101+180°-4￡=90°

解之得：t=~

綜上所述，當開啟15s或苧s或1s后，兩燈的光束互相垂直.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系的運用，解決問題的關(guān)鍵是運用分

類思想進行求解，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【考點8利用平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】

【例8】（2022?河北唐山?七年級期末）己知三角形ABC,EFIIAC交直線A8于點E,。尸|伏8交

直線71C于點D.

圖1備用圖

⑴如圖1,若點尸在邊BC上,直接寫出484。與修尸0的數(shù)量關(guān)系；

⑵若點尸在邊BC的延長線上，（1）中的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，給子證明：若不成立,

又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請在備用圖中畫出圖形并說明理由.

【答案】⑴NB4C=ZEFD

（2）不成立，當點尸在邊8c的延長線上時，0BAC+0EFD=18O°,圖見解析，證明見解析

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到mB4c與（3E口）的數(shù)量關(guān)系；

（2）首先作出圖形，再結(jié)合平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

（1）

解：WAC^EFD,

證明：0FFIMC,

^BAC=^BEF,

^DF\\AB,

^EFD^BEF,

WAC^EFD；

（2）

如圖2,當點尸在邊的延長線上時，（1）中的數(shù)星關(guān)系不成立，

數(shù)量關(guān)系為0384C+0EFD=18O°,

E

A

I)

B

圖2L)

證明：^DFWAB,

00D=0fi4C.

團EF1||4C,

00Ero+0D=18O°,

00tfAC+@EFD=18O°.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩宜線平行，同位角相等以及兩

直線平行，同旁內(nèi)角互補等知識.

【變式8-1］（2022?湖北襄陽?七年級期末）如圖，已知L4MII8N,0是射線AM上一動點（不

與點人重合），BC,分別平分財與（3P8N,分別交射線AM于點C,D.

（1）若乙4=50°,求“8D的度數(shù);

⑵在點P的運動過程中，團8%與必BD4的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若變化，請說明理

由；若不變，請求出明以與鼬OA的數(shù)最關(guān)系；

⑶當點P運動到使（MCB=a4B。時，探究朋3c與團。BN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】（1）65。

⑵在點。的運動過程中，團8%與皿2A的數(shù)量關(guān)系不隨之發(fā)生變化，皿m4=2回3D4

⑶（M8C=用。BM證明見解析

【分析】（1）根據(jù)4MII3N,可得財+0A8N=18O。，從而得到蜘8N=130。，再由3C,BD

分別平分E/WP與團P8N,可得“BD=g（44BP+"8N）,即可求解；

（2）根據(jù)4MII8N,可得田4以=團。切7,國4。4=團。8M再由乙PBD=4DBN=乙乙PBN,可

2

得團P8N=2團8Q/L即可求解：

（3）根據(jù)4MIIBN,可得MC8=（3C?V,再由a4C8=0AB￡）,可得團CBN=0ABD,即可求解.

(1)

解:^AMWBN,

Eia4+0/WN=18O°,

乂財=50°,

00AB/V=13O",

團6C,6。分別平分團WP與團PAN,

^Z-CBP=\z.ABP,乙PBD=LDBN=:乙PBN,

田匕CBD=乙CBP+乙PBD=^(Z.ABP+乙PBN)=65°.

(2)

解：在點P的運動過程中，回8%與(3BD4的數(shù)量關(guān)系不隨之發(fā)牛.變化，^BPA=2^BD/\,理

由如下：

回力MII8N,

^BPA=BPBN,MOB=(3DBN,

又團ZPBD=Z-DBN=^PBN,

物P8N=2(38D4,

圖38以=2回8D4.

(3)

解：M8C=OOBN.理由如下：

團4MII8N,

0ELACB=0CB/V,

^CB=^ABD,

^CBN=^1ABD,

即助BC+⑦C3Q=(3QBN+團C8O,

團財BC=(ao〃N.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，有關(guān)角平分線的計算，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理

是解題的關(guān)鍵.

【變式8-2](2022?安徽合肥?七年級期末)已知：直線M8IIC0,經(jīng)過直線48上的定點P的

直線E尸交CD于點。，點M,N為直線CD上的兩點，且點M在點。右側(cè)，點N的左側(cè)時，連接

PM,PN,滿足乙MPN=4MNP.

E

⑴如圖1,若乙MPO=25。，/-MNP=50°,直接寫出NCOP的度數(shù)為：.

⑵如圖2,射線PQ為乙MPE的角平分線，用等式表示乙NPQ與4POM之間的數(shù)量關(guān)系，并證

明.

【答案】(1)125°

(2)/POM=24NPQ,見解析

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)以及題干中4MPN=/MNP即可推出iCOP的度數(shù).

(2)結(jié)合平行線性質(zhì)和題干條件進行推理即可找到乙NPQ與"OM的等量關(guān)系.

(1)

vABKD,

???乙COP=乙BPO,乙BPN=乙MNP=50°.

???Z.MPO=25°,乙MPN=乙MNP=50°,

(COP=Z.BPO=4MP0+乙MPN+乙BPN=25°+50°+50°=125°.

(2)

結(jié)論：乙POM=2乙NPQ.

理由：

vABKD,

乙EPB=乙POD,乙BPN=乙PNM.

又?.?射線PQ為，MPE的角平分線，

:.LEPQ=乙MPQ=\z.MPE.

???乙MPN=乙PNM=乙NPB,

:.乙MPN=乙NPB=*'MPN+乙NPB)

二乙NPQ=Z-MPQ-乙MPN=\LMPE-3乙MPB=^EPB=：iPOM.

即4PoM=2/NPQ.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識.解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的

性質(zhì)，屬于中考?？碱}型.

【變式8-3］（2022?湖北孝感?七年級期末）在三角形A8C中，點。在線段AC上，。臼|5。交

AB于點點尸在線段4B上（點尸不與點A,E,8重合），連接。尺過點。作尸G1FD交

射線CB于點G.

⑴如圖1,點廠在線段/拉上，

①用等式表示團四尸與13BG/的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②如圖，求證：/-ABC+LBFG-￡EDF=90°；

⑵當點〃在線段4E上時，依題意，在圖2中補全圖形，請直接用等式表示由￡Q尸與團BGQ

的數(shù)量關(guān)系，不需證明.

【答案】⑴①0EDF+［犯G尸=90。，理由見解析；②過程見解析

（2）國AG/'化￡。尸=90°或同3G廠+^EDF=90°

【分析】對于（1）①，過點廣作平行線，再根據(jù)平行線的性質(zhì)因EDF=（31和13BGFW2,

然后根據(jù)垂直可得結(jié)論；

對于②，根據(jù)平行線的性質(zhì)得0/18。=財"7和團EDF峭1,再根據(jù)垂直定義得團8FG+03=9O。,

整理可得結(jié)論；

對于（2）,分兩種情況討論，再結(jié)合（1）給出證明即可.

（1）

過點了作FH^BC交AC于點、H

?［3EDF+0Z?GF=9OO.

理由如下:

13ra3BC,ED^BC,

^ED^FH,

皿EDF=(31.

配IBG/M12,

甌￡。/,'+團4Gp=回1短2.

0FG3FD,

00DFG=9O°,口[1(31+02=90°,

^EDF^BGF=90°；

@0F