2024年上海高考數(shù)學復習全程規(guī)劃考點2不等式（7種題型11個易錯考點）含詳解

考點02不等式（7種題型11個易錯考點）

QB【課程安排細目表1

一、真題搶先刷，考向提前知

二、考點清單

三、題型方法

四、易錯分析

五、刷好題

六.刷壓軸

但一、真題搶先刷，考向提前知

一.選擇題（共4小題）

1.（2022?上海）若a>b>c>d,則下列不等式恒成立的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>bc

2.（2020?上海）下列不等式恒成立的是（

A.2abB.cr+b2^-2aCb.a+b^2^J|abID.a2+b2^-lab

3.（2022?上海）若實數(shù)〃、匕滿足〃>/〉>（）,下列不等式中恒成立.的是（）

A.a+Z?>2VabB.</+/?<2VabC.^-+2/?>2VabD.-|+2/;<2Vab

2

4.（2021?上海）已知兩兩不相等的xi,J”，x2,yi,X3,*，同時滿足①xaVya,X3〈y3：②xi+.vi=x2+y2=

心+W；③xiyi+x3y3=2x2”，以下明6個選項恒成立（）

A.2%2<X1+X3B.Zr2>Al+X3C.X2~<X1X3D.X22>AIX3

二.填空題（共5小題）

5.（2022?上海）不等式2二<（）的解集為.

X

6.（2021?上海）不等式空也VI的解集為_____________.

x-2

7.（2（）23?上海）已知正實數(shù)〃、〃滿足〃+4匕=1,則必的最大值為.

8.（2021?上海）已知函數(shù)f（x）=3X+—^—（?>0）的最小值為5,則。=.

3X+1

9.（2020?上海）不等式2>3的解集為.

x

三.解答題（共1小題）

10.（2022?上海）為有效塑造城市景觀、提升城市環(huán)境品質，上海市正在努力推進新一輪架空線入地工程的建設.如

圖是一處要架空線入地的矩形地塊ABCQ,AB=30m,AD=\5m.為保護。處的一棵古樹，有關部門劃定了以。

為圓心、D4為半徑的四分之一圓的地塊為歷史古跡封閉區(qū).若空線入線口為A3邊上的點七，出線口為C。邊上

的點凡施工要求E尸與封閉區(qū)邊界相切，E尸右側的四邊形地塊8。生將作為綠地保護生態(tài)區(qū).(計算長度精確

到0.1/??,計算面積精確到0.01/H2)

(1)若NAO￡=20°,求所的長;

(2)當入線口E在AB上的什么位置時，生態(tài)區(qū)的面積最大？最大面積是多少？

但二、考點清單

一、等式與不等式的性質

1.兩個實數(shù)比較大小的方法

a-b>0^=>a>b,

(1)作差法<a-b=0<=>a=b,

a—b<0<^>a<b.

p>l(a￡R,b>0)<=>a>b(a￡R,b>0),

(2)作商法<^=l<=>a=b(a,b/0)，

a

T<1(a￡R,b>0)<=>a<b(a￡R,b>0).

ko-

2.等式的性質

⑴對稱性：若a=b,則b=a

(2)傳遞性：若a=b,b=c,貝ija=c.

(3)可加性：若a=b,則a+c=b+c.

(4)可乘性：若a=b,則ac=bc；若a=b,c=d,則ac=bd.

3.不等式的性質

⑴對稱性：a>bob<a；

(2)傳遞性：a>b,b>c=a>c；

(3)可加性：a>b=a+c^b+c；a>b-c>d=a+cNb+d；

(4)可乘性：a>b,c>O=>ac>_bc；a>b,c<O=>ac<t)c；a>d->0,c>d>U=ac二bd；

(5)可乘方：G>b>O=a"N"m￡N,n^l)；

(6)可開方：a>b>O=>y[a>y[b(n^N,n^2).

二、均值不等式及其應用

1.均值不等式：y[ab^一弓一

⑴均值不等式成立的條件?：。20.b》0.

⑵等號成立的條件：當且僅當W2時取等號.

⑶其中審稱為正數(shù)。，b的算術平均數(shù)，咽稱為正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).

2.兩個重要的不等式

22

(l)a+b^2gb(afb￡R),當且僅當。=b時取等號.

(2)abW(歲)(。，b￡R),當且僅當。=b時取等號.

3.利用均值不等式求最值

已知x》0,y20,貝I」

⑴如果積xy是定值p,那么當且僅當x=y時,x+y有最小值是2g(簡記：積定和最小).

(2)如果和x+y是定值s,那么當且僅當無￡時，xy有最大值是為簡記：和定積最大).

三、從函數(shù)的觀點看一元二次方程和一元二次不等式

1.一元二次不等式

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式不等式叫作一元二次不等式.

2.三個“二次”間的關系

判別式4=匕2—4℃^>0A=0A<0

二次函數(shù)

義

y=ax2-i-bx+c

(a>0)的圖象u

一元二次方程

有兩相異實根X1，有兩相等實根X1=X2

ax2-Fbx+c=0沒有實數(shù)根

,b

X2(X1<X2)—2a

(a>0)的根

ax2+bx+c>0

{X[X>X2

R

或xU—C

(。>0)的解集

W+bx+cVO

{xIxiVxVx?}00

(。>0)的解集

3.(x-a\(x—b)>0或(x—a)(x—b)<0型不等式的解集

解集

不等式

a<bo=ba>b

(x—a)-(x—b)>0{x|x<a或x>b}{x|x<b或x>。}

(x—a)-(x—b)<0{xIa<x<b}0{x|b<x<。}

4.分式不等式與整式不等式

⑴招>0（<0）Qf（xH7（x）>0（<0）.

⑵招20（W0）Qf3&x）三0仁（0）目.0（外/。

函加方法

一.等式與不等式的性質（共2小題）

1.（2022?寶山區(qū)校級模擬）已知〃V〃，c2。，則下列不等式中恒成立的是（）

A.ac<bcB.C.a2+c<b2+cD.

2.（2022?楊浦區(qū)模擬）設xi,X2GR,則“XI+X2>6且加口>9”是“xi>3II4>3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

不等關系與不等式（共3小題）

3.（2023?黃浦區(qū)模擬）已知.隹R,下列不等式中正確的是（）

A.B.1>1

2X3，x2-x+lx2+x+l

C.D.

2lxIx2+lx2+lX2+2

4.（2（）23?金山區(qū)二模）若實數(shù)〃、力滿足。2>〃2>（）,則下列不等式中成立的是（）

A.a>hB.2a>2b

C.a>\b\D.log2a2>log2〃2

5.（2023?嘉定區(qū)模擬）不等式的解集為_____________.

x-l

三.基本不等式及其應用（共9小題）

6.（2023?寶山區(qū)二模）已知定義在R上的偶函數(shù)/（x）=\x-m+\-2,若正實數(shù)人〃滿足/Q）±f（2力）=加,

則工二的最小值為（）

ab

A.9B.9C.—D.8

55

7.（2023?黃浦區(qū)模擬）若關于x的不等式云+c20（b>l）的解集為R,則l+2b+4c的最小值為_______

b-l

8.（2（）23?奉賢區(qū)二模）己知兩個正數(shù)〃，人的幾何平均值為1,則a2+后的最小值為.

9.（2023?金山區(qū)二模）已知正實數(shù)公人滿足;吊=1，則2〃+人的最小值為.

10.（2023?嘉定區(qū)二模）已知函數(shù)定義域為（0,+~）,則該函數(shù)的最小值為

8x

II.（2023?崇明區(qū)二模）已知正實數(shù)如。滿足必=1,則。+4〃的最小值等于.

12.（2023?浦東新區(qū)模擬）對于正實數(shù)x,代數(shù)式x二一的最小值為_______.

x+1

13.（2023?楊浦區(qū)校級三模）若實數(shù)七y滿足町=1,則2/+）2的最小值為.

14.（2022?上海模擬）已知函數(shù)），=/（/）的定義域為值域為4.若DU4,則稱/（x）為“M型函數(shù)"；若AG。,

則稱/（x）為“N型函數(shù)”.

（1）設f（x）="-5X+8,。=口，4],試判斷/（%）是“M型函數(shù)”還是“N型函數(shù)”；

x

（2）設f（乂）=乂5，g（x）=^（2+工）+必2-x）,若g（x）既是“M型函數(shù)”又是“N型函數(shù)”，求實數(shù)小

b的值；

（3）設/（x）=?-2ax+bfD=[l,3],若/（x）為“N型函數(shù)"，求/（2）的取值范圍.

四.其他不等式的解法（共5小題）

15.（2022?浦東新區(qū)校級二模）下列各組不等式中，解集完全相同的是（）

2

A.屋〈一與『<盧6

x+1x+1

B.（X-2）尸1）vo與（4-2）（x+1）<0

C.（x[2）（I）>0與x+2>0

x-1

D.xT〉2x+l與尸3>2什1

x2-x+lx2-x+l

16.（2023?嘉定區(qū)二模）已知A二｛x—<0]?B={x|xel}，則AG8=

17.（2023?青浦區(qū)二模）已知函數(shù)y=a^+bx+c的圖像如圖所示，則不等式（ax+b）（bx+c）（cx+a）<0的解集

是

18.（2023?寶山區(qū)二模）己知函數(shù)f（x）」——t（“>0且〃K1）,若關于x的不等式/（/+瓜+c）>（）的解集

ax+l2

為（1,2）,其中〃W（-6,1）,則實數(shù)。的取值范圍是

則不等式f（x）卷>0的解集

19.（2022?長寧區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）滿足:

為______________

五.指、對數(shù)不等式的解法（共3小題）

20.（2023?楊浦區(qū)二模）由函數(shù)的觀點，不等式3、+/gxW3的解集是

21.（2022?閔行區(qū)二模）不等式2廠5<0的解集為.

22.（2022?寶山區(qū)一模）已知函數(shù)/（為）=--3-+a-

3x+1+b

（1）當。=8=1時，求滿足了（%）23"的x的取值范圍；

（2）若），=/（%）的定義域為R,又是奇函數(shù)，求y=/（x）的解析式，判斷其在R上的單調(diào)性并加以證明.

六.二次函數(shù)的性質與圖象(共3小題)

23.(2022?徐匯區(qū)校級模擬)函數(shù)/(/)=，-6|A1+8的單調(diào)減區(qū)間是.

24.(2022?寶山區(qū)校級二模)“跳臺滑雪”是冬奧會中的一個比賽項目，俗稱“勇敢者的游戲”，觀賞性和挑戰(zhàn)性極

22

強.如圖：一個運動員從起滑門點A出發(fā)，沿著助滑道曲線f(x)=-7b-x(-b<x40)滑到臺端點8起跳，

然后在空中沿拋物線g(x)-20ar-b(x>0)飛行一?段時間后在點C著陸，線段的長度稱作運動員的

飛行距離，計入最終成績.已知g(x)=陵-20ax-b在區(qū)間［0,30］上的最大值為-30,最小值為-70.

(1)求實數(shù)小人的值及助滑道曲線A3的長度.

(2)若運動員某次比賽中著陸點C與起滑門點A的高度差為120米，求他的飛行距離(精確到米).

A(起滑門)

25.(2022?青浦區(qū)二模)設函數(shù)/(x)=^+px+q(p,q5R),定義集合。={巾二(x))=x,xWR},集合后={巾

(/(x))=0,xGR).

(1?若p=q=0,寫出相應的集合。?和現(xiàn)

(2)若集合。={0},求出所有滿足條件的p,q；

(3)若集合6只含有一個元素，求證：p20,q20.

七.一元二次不等式及其應用（共1小題）

26.（2。23?金山區(qū)二模）若實數(shù)x滿足不等式f-3x+2<0,則x的取值范圍是

Q四、易錯分析

易錯點h忽視字母的取值范圍而致錯

1.（多選）對于任意實數(shù)。，b,c,d,下列四個命題中，其中真命題的是（）

A.若CWO,則4C>Z?C；B.若a>b,則4c

C.若則D.若a>b>0,c>d,則。c>Z?d.

易錯點2：多次運用不等式性質而致錯

2^已知一1<2。+〃<2,3<a-b<4,求的取值范圍.

易錯點3：忽視不等式中高次項的系數(shù)

3.若不等式〃。2+2〃認一4<2?+4工對任意x都成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）

A.（-2,2）B.（2,+8）C.（-2,21D.[-2,2]

易錯點4：應用基本不等式求最值時，忽略不等式成立的三個條件，

4.當xe（l,2）時，不等式產(chǎn)+"優(yōu)+4v（）恒成立，則機的取值范圍是（）

A.m<-5B.m<-4C.m<5D.m>5

5.已知遞增等差數(shù)列｛%｝中，4%=一2,則〃3的（）

A.最大值為-4B.最小值為4C.最小值為TD.最大值為4或T

易錯點5：忽視一元二次不等式中兩根大小而致錯

6.已知集合4=｛才/一（3〃-1）工+242-4<。｝，集合3=-4工+3<（）｝,命題p：xeA,

命題Q：XGR.若尸是Q的充分條件,求實數(shù)〃的取值范圍.

易錯點6：忽視分式不等式中的分母不能為零致錯

2

7.不等式/yWl的解集是.

易錯點7：忽視一元二次不等式中的二次項系數(shù)不能為零致錯

8.若不等式〃〉+2律成-4V2『+4x對任意工都成立，則實數(shù)/〃的取值范圍是（）

A.（-2,2）B.（2,4-oo）c.（-2,21D.[-2,2]

易錯點8:忽視口訣：大于取兩邊，小于取中間的使用條件致錯.

9.不等式。一2）（3—法）20的解集為（）

A.（1,+8）B.2

3（3"

C.{.很忘2或％22}.D.1-8,-

易錯點力一元二次不等式恒成立問題中忽視區(qū)間的開閉致錯

10.當時，關于x的不等式加十X一1<0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）

易錯點10:有關一元二次方程根的分布條件列不全致錯

11.若方程f+（〃，-2）x+5一機=0的兩根都大于2,則m的取值范圍是

易錯點11：解一元二次不等式時忽視兩根大小而致錯

12.解關于x的不等式ar2—（〃+l）x+1<05>0）.

Q五、刷好題

一.填空題（共9小題）

1.（2023?寶山區(qū)二模）不等式上V0的解集為____________.

x-1

2.（2022秋?閔行區(qū)期末）已知。是正實數(shù)，若/>〃，則。的取值范圍是.

3.（2022秋?徐匯區(qū)期末）不等式x+44]的解集為______________________.

X2+2X+2

4.（2022秋?長寧區(qū)校級期末）函數(shù)）=/二（a>0,aWl）的圖像恒過定點A,若點A的坐標滿足方程〃?1

=0（"[〃>（））,則工d的最小值.

mn

5.（2023春?奉賢區(qū)校級期中）不等式然-<1的解集為.

6.（2022秋?徐匯區(qū)期末）已知方程7+x-1=（）的兩個根為川、X2,則|川-刈=.

7.（2022秋?浦東新區(qū)期末）已知一元二次方程-3a=0（a>0）的兩個實根為xi、x2,則x\2x2+x22x\=.

a

8.（2023春?閔行區(qū)校級月考）已知實數(shù)。>0,b<0,則半b-a的取值范圍是

2g

9.（2023春?寶山區(qū)校級期中）函數(shù)），=:的最小值是_______________________

■京

二.解答題（共2小題）

10.（2023春?青浦區(qū)校級期中）如圖，某生態(tài)園將一三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園和植桃樹，已知角

4為120°,AB,AC的長度均大于200米，現(xiàn)在邊界AP,AQ處建圍墻，在PQ處圍竹籬笆.

（1）若圍墻人P,AQ總長度為200米，如何圍可使得三角形地塊APQ的面積最大？

（2）已知AP段圍墻高1米，AQ段圍墻高1.5米，造價均為每平方米100元.若圍圍墻用了2000（）元，問如何

圍可使竹籬笆用料最省？

II.（2022秋?長寧區(qū)校級期末）已知函數(shù)/（x）=-.r+2av+a2+l,t/GR

（1）函數(shù)在區(qū)間［-1,1］上為嚴格減函數(shù)，求〃的取值范圍;

（2）函數(shù)在區(qū)間［-1,I］上的最大值為3,求。的值.

Q八.刷壓軸

一、解答題

1.(2022?上海閔行?統(tǒng)考二模)某學校舉辦畢業(yè)聯(lián)歡晚會，舞臺上方設計了三處光源.如圖，./8C是邊長為6的等

邊三角形，邊BC的中點M處為固定光源，E、F分別為邊A8、AC上的移動光源，且ME始終垂直于M尸，三處

光源把舞臺照射出五彩繽紛的若干區(qū)域.

⑴當尸為邊AC的中點時，求線段石￡的長度;

(2)求AEFM的面積的最小值.

2.(2022?上海?統(tǒng)考模擬預測)設A是由2x〃(〃eN*)個實數(shù)組成的2行〃列的矩陣，滿足：每個數(shù)的絕對值不大

于1,且所有數(shù)的和為零.記S5)為所有這樣的矩陣構成的集合.記彳04)為A的第一行各數(shù)之和，4(A)為A的第

二行各數(shù)之和，q(㈤為A的第，列各數(shù)之和(W”).記封4)為卜(A)|、歸(閩、匕(闈、"(A)|、…、仁(閔中的

最小值.

-0.9、

(1)若矩陣人=求MA)；

10.2-0.3一1」

(2)對所有的矩陣Ae5(3),求k(A)的最大值;

(3)給定/cN"對所有的矩陣4eS⑵+1),求&(A)的最大值.

3.(2022?上海?統(tǒng)考模擬預測)已知函數(shù)/⑶，甲變化:/(x)-/(x-O；乙變化："*+，)-/(切，，>0.

(1)若1=1,/(A)=2\八刈經(jīng)甲變化得到g(x),求方程g(x)=2的解；

⑵若fix)=x2,八幻經(jīng)乙變化得到〃(x),求不等式h(x)<f(x)的解集；

⑶若〃幻在(3,。)上單調(diào)遞增，將/(x)先進行甲變化得到〃"),再將“(X)進行乙變化得到乙(%)：將/(刈先進行乙

變化得到v(x),再將歡乃進行甲變化得到期(x),若對任意￡>0,總存在%(幻=似X)成立,求證：到X)在R上單調(diào)

遞增.

4.(2022?上海?統(tǒng)考模擬預測)在橢圓廠:=■+/=1中，直線/:x=a上有兩點C、0(。點在第一象限)，左頂點為

a'

A，下頂點為從右焦點為E

⑴若西/B=g,求橢圓「的標準方程；

6

⑵若點C的縱坐標為2,點。的縱坐標為1,則BC與4。的交點是否在橢圓上？請說明理由；

⑶已知直線8c與橢圓「相交于點P,直線A。與橢圓「相交于點。若P與Q關于原點對稱，求的最小值.

考點02不等式（7種題型11個易錯考點）

【課程安排細目表】

二、真題搶先刷，考向提前知

二、考點清單

三、題型方法

四、易錯分析

五、刷好題

六.刷壓軸

但一、真題搶先刷，考向提前知

一.選擇題（共4小題）

1.（2022?上海）若a>b>c>d,則下列不等式恒成立的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>bc

【分析】根據(jù)已知條件，結合不等式的性質，以及特殊值法，即可求解.

【解答】解：對于A,令a=2,b=l,c=-I,d=-2,滿足力但a+"=/）+c,故4錯誤,

對于4,**a>b>c>d,即c>d,

由不等式的可加性可得，a+c>b+d,故B正確，

對于C,令a=2,b=1,c=-1,d=-2,滿足a>b>c>d,（Eac=bd,故C錯誤，

對于。，令a=2,b=1,c=-1,d=-2,滿足但adVbe,故。錯誤.

故選：B.

【點評】本題主要考查了不等式的性質，掌握特殊值法是解本題的關鍵，屬于基礎題.

2.（2020?上海）下列不等式恒成立的是（）

A./+必忘2"B.a*12+3b2^-labC.a+h^2^JIabID.a2+b2^-2ab

【分析】利用（a+b）2?。恒成立，可直接得到『+廬》?2曲成立，通過舉反例可排除ACO.

【解答】解：4.顯然當。<0,>>0時，不等式。2+啟W2岫不成立，故A錯誤；

B.（a+力）220,???。2+廿+2岫20,-2ab,故3正確；

C.顯然當。<0,/?<（）時，不等式Iab|不成立,故C錯誤；

D.顯然當〃>（）,匕>0時，不等式-2"不成立，故。錯誤.

故選：B.

【點評】本題考查了基本不等式的應用，考查了轉化思想，屬基礎題.

3.（2022?上海）若實數(shù)〃、匕滿足下列不等式中恒成立的是（）

A.；?+/?>2VabB.f/+/?<2VabC.^-+2/?>2VabD.且+2萬<2^^

22

【分析】利用已知條件以及基本不等式化簡即可判斷求解.

【解答】解：因為所以4+822/京，當且僅當時取等號,

又4b>0,所以故4正確，B錯誤,

■^■+2b>2,當且僅當包=2b，即〃=4。時取等號，故CO錯誤,

2

故選：A.

【點評】本題考查了基本不等式的應用，考查了學生的理解能力，屬于基礎題.

4.（2021?上海）已知兩兩不相等的川，）1X2,X3，”，同時滿足①XlVyi，X2<”，X3V”；②Xl+yi=X2+），2=

X3+”;@xiy1+X3y3=2x2y2?以下哪個選項恒成立（）

A.2XI<X]+X3B.2J2>X|+X3C.X22<X\X3D.X22>X\X3

=2,2—r)u2

xi=m-ax2m-bx3=in-ca+c一/b.

【分析】設,，?,根據(jù)題意，則有._，可得xi+x3-2.V2=2〃■(a+c),

yj=m+ay2=m+by3=m+cm'>b'

通過求解（2b）2-（a+c）2>0,可得X1+X3-2x2=2/?-（a+c）>0,可得人正確，8錯誤；利用作差法可得L

/_\2

-'=3-a-c）〃L,而上面已證｛2b-a-c）>0,因無法知道，〃的正負，可得該式子的正負無

法恒定，即無法判斷CD,即可得解.

【解答】解：設Xl+yi=X2+)2=X3+”=2〃7,

xj=m-aX2=m-bX3=m-c

y2^m+by3^m+c

'a#b卉c

根據(jù)題意，應該有4

a,b,c>0

且n?-a2+nr-c2=2(.nr-b2)>0,

2上2_,2

a+c-2ob

則有《

2\,2

m

則XI+JG?2攻=(m-a)+(m-c)-2(m?b)=2b-(a+c),

因為(2b)2-(a+c)2=2(A2+C2)-(a+c)2>0,

所以xi+x3?2x2=2b~(o+c)>0.

所以A項正確，4錯誤.

,(_)2

xixi-xr=(〃？-〃)(m-c)-(in-h)2=(2b-a-c)m+ac-/?2=(2b-a-c)m-aC'-,而上面已證

2

⑵?4?C)>0,

因為不知道加的正負，

所以該式子的正負無法恒定.

故選：A.

【點評】本題主要考查不等關系與不等式的應用，考查了方程思想和轉化思想，屬于中檔題.

二.填空題（共5小題）

5.（2022?上海）不等式2二工<0的解集為（0,1）.

x

【分析】把分式不等式轉化為二次不等式即可直接求解.

【解答】解：由題意得x（X-1）<0,

解得0Vx<1,

故不等式的解集（0，1）.

故答案為：（0,1）.

【點評】本題主要考查了分式不等式的求解，屬于基礎題.

6.（2021?上海）不等式空地-VI的解集為（?7,2）.

x-2

【分析】由已知進行轉化三<0,進行可求.

x-2

【解答]解:當”<]=紅包_]<（）=211<（）,

x-2x-2x-2

解得，-7<x<2.

故答案為：（?7,2）.

【點評】本題主要考查了分式不等式的求解，屬于基礎題.

7.（2023?上海）已知正實數(shù)〃、〃滿足“+4A=1,則必的最大值為

16

【分析】直接利用基本不等式求出結果.

【解答】解：正實數(shù)〃、人滿足〃+初=1,則岫=Lxa?4b《2X（三&產(chǎn)』，當且僅當b*時

4個4、2,1628

等號成立.

故答案為：士.

16

【點評】本題考查的知識要點：基本不等式，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于基礎題和易錯題.

8.（2021?上海）已知函數(shù)=3'+——（。>0）的最小值為5,則。=9.

3X+1

【分析】利用基本不等式求最值需要滿足“一正、二定、三相等”，該題只需將函數(shù)解析式變形成/（x）=311+

-1,然后利用基本不等式求解即可，注意等號成立的條件.

3X+1

【解答】解：f（x）=3'+」一=3a1+一--12/-1=5,

3X+13X+1

所以。=9,經(jīng)檢驗，3》=2時等號成立.

故答案為：9.

【點評】本題主要考查了基本不等式的應用，以及整體的思想，解題的關鍵是構造積為定值，屬于基礎題.

9.（2020?上海）不等式工>3的解集為（0,工）.

x3

【分析】將不等式化簡后轉化為一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集.

【解答】解：由工〉3得上絲〉0,

xx

貝IjX（1-3x）>0,即X（3x-1）<0,解得0<x<—,

3

所以不等式的解集是（0,1）,

故答案為：（0,!）.

O

【點評】本題考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及轉化思想，屬于基礎題.

三.解答題（共1小題）

1（）.（2022?上海）為有效塑造城市景觀、提升城市環(huán)境品質，上海市正在努力推進新一輪架空線入地工程的建設.如

圖是一處要架空線入地的矩形地塊43cAB=30m,AD=\5m.為保護。處的一棵占樹，有關部門劃定了以。

為限心、DA為半徑的四分之?圓的地塊為歷史古跡封閉區(qū).若空線入線口為A8邊上的點￡,HI線口為。。邊上

的點F，施工要求E尸與封閉區(qū)邊界相切，E尸右側的四邊形地塊BC尸E將作為綠地保護生態(tài)區(qū),（計算長度精確

到0.1m,計算面積精確到O.OEP）

（1?若N4DE=20°,求EF的長；

（2）當入線口E在A8上的什么位置時，生態(tài)區(qū)的面積最大？最大面積是多少？

【分析】（1）作。"_LER然后結合銳角三角函數(shù)定義表示出E扛

（2〕設結合銳角三角函數(shù)定義可表示AE,FH,然后表示出面積，結合同角基本關系進行化簡，再

由基木不等式可求.

【解答】解：（I）作。"_1_七/，垂足為從

則石尸=石〃+=15tan200+15tan500223.3m；

(2)設NAQE=0,則AE=15tan9,FH=15tan(90°-29),

S四邊形AOFE=2Si\ADE+S^DFH=2XAx15X15lan6+—X15X15tan(90°一28)，

22

C5X噱陪）=等Wane，）2駕1

—(3Otan0+15cot2e)=—

22

當且僅當3tan0=—1—,即tan9二巨時取等號，此時4E=l5lanO=5V3,最大面積為450-225y,

tan832

255/4〃廣.

H

AEB

【點評】本題主要考查了利用基本不等式在求解最值中的應用，解題的關鍵是由實際問題抽象出數(shù)學問題，屬于

中檔題.

但二、考點清單

一、等式與不等式的性質

1.兩個實數(shù)比較大小的方法

a-b>O<=>a>b,

⑴作差法<a-b=O^a=b.

a-b<O<^>a<b.

p>l(aWR,b>0)<=>a>b(a￡R,b>0),

(2)作商法<￡=l=a三bCo,bWO)，

a

g<l(Q￡R,b>0)<=>a<b(a￡R,b>0).

2.等式的性質

⑴對稱性：若。=4Mb=a.

(2)傳遞性：若a=b,b=c,貝ija=c.

(3)可加性：若a=b,則a+c=b+c.

⑷可乘性：若a=b,則ac=bc；若a=b,c=d,則ac=bd.

3.不等式的性質

稱性：a>b^b<a；

(2)傳遞性：o>b,b>c=>a>c；

(3)可加性：o>b<=>a+c>_b-^cxa>b-c>d=a+c入b+d：

(4)可乘性：a>bfc>Q=>ac>_bc^a>b,c<O=>ac<bc；a>b>0,c>d>O=>ac>_bdx

(5)可乘方：a>b>O=^an>bn(n^N,n^l)；

(6)可開方：a>b>O=?Va>Vb(nEN.〃22).

二、均值不等式及其應用

1.均值不等式：曬W皇

⑴均值不等式成立的條件：。20,beo.

⑵等號成立的條件：當且僅當歸之時取等號.

⑶其中號稱為正數(shù)。，b的算術平均數(shù)，咽稱為正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).

2.兩個重要的不等式

(l)a2+b2>2ab(a,b@R),當且僅當Q=b時取等號.

(2)abW(V)(a,b￡R),當且僅當。=b時取等號.

3.利用均值不等式求最值

已知x?0,y20,則

⑴如果積xy是定值p,那么當且僅當x=y時,x+y有最小值是2g(簡記：積定和最小).

s2

(2)如果和x+y是定值s,那么當且僅當正匕時，xy有最大值是7筒記：和定積最大).

三、從函數(shù)的觀點看一元二次方程和一元二次不等式

1.一元二次不等式

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式不等式叫作一元二次不等式.

2.三個“二次”間的關系

判別式4=〃-4acA>0A=0A<0

二次函數(shù)

IL義

y=ax2+bx+c

(a>0)的圖象

一元二次方程

有兩相異實根Xl?有兩相等實根XT=X2

2沒有實數(shù)根

ax4-bx+c=0b

X2(X1〈X2)-

-2a

(。>0)的根

2

ax+bx+c>0{x[x>X2

R

或xVxi}

(。>0)的解集

ax2+bx+c<0

{xIxiVxVx?}00

(。>0)的解集

3.(x-a\(x—b)>0或(x—a)(x—b)<0型不等式的解集

不等式解集

a<bo=ba>b

(x—a)-(x—b)>0{x|x<a&戈x>b}(xlxWa}(x|x<b3戈

(x—o)-(x—b)<0{x|a<x<b}0{x|b<x<。}

4.分式不等式與整式不等式

⑴前劑<0）.

（2）爆20（W0）of（幻Q（X）N0（W0）且Q（K）W。

融方法

一.等式與不等式的性質（共2小題）

1.（2022?寶山區(qū)校級模擬）已知4Vb,。20,則下列不等式中恒成立的是（）

A.ac<hcB.a2c^b2cC.a2+c<b2+cD.adWbc1

【分析】利用不等式的性質和特殊值法，判斷A、4、C、。即可.

【解答】解:對于A：?:aVb,c20,這姐則選項A不正確；

對于B和C：當a=-1,時，即?》?，

2

:序c和a2+c>b2+c成立，則選項B、C不正確；

對于。：Vc>0?.*.c2^0,則選項。正確；

故選：。.

【點評】本題考查的知識要點：不等式的性質，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題.

2.（2022?楊浦區(qū)模擬）設.CWR,則“巾+式2>6且加X2>9”是“川>3且也>3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】根據(jù)已知條件，結合特殊值法，以及不等式的性質，即可求解.

【解答】解：令Xl=l,X2=9,滿足Xl+X2>6且X1X2>9,但X1V3,故充分性不成立，

當Xl>3且X2>3時，根據(jù)不等式的性質可得，Xl+X2>6jlxi.￥2>9,故必要性成'、￡,

故“Xl+r>6且XU2>9”是“箱>3且X2>3”的必要不充分條件.

故選：B.

【點評】本題主要考查不等式的性質，以及特殊值法，屬于基礎題.

二.不等關系與不等式（共3小題）

3.（2023?黃浦區(qū)模擬）已知在R,下列不等式中正確的是（）

AA.—1\1Bn.---1--->、---1---

23'x--x+lx、x+l

【分析】舉反例可排除4、8、C,再利用不等式的性質可證明。正確即可.

【解答】解：取x=0可得二一=1=」一,故A錯誤；

2X3X

取x=0可得——=1=—一，故B錯誤；

x'-x+lX+x+l

取X=1可得_^=_1=二_,故C錯誤；

21x12x2+1

選項。，???/+2>/+i>（）,故。正確.

x'+lx'+2

故選：D.

【點評】本題考查不等式比較大小，舉反例是解決問題的關鍵，屬基礎題.

4.（2023?金山區(qū)二模）若實數(shù)。、〃滿足戶>0,則下列不等式中成立的是（）

A.a>bB.2a>2h

C.a>|/?|D.Iog2a2>log2/?2

【分析】舉反例可判斷ABC錯誤，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷。正確.

【解答】解：對于八，取a=-2,b=1,滿足〃2>戶>（）,但是不成立，故人錯誤：

對于從取。=-2,b=\,滿足戶>0,但是2a=1<212,即2，>2%不成立，故8錯誤；

4

對于C,取。=-2,b=l,滿足/>戶>0,但是〃>|加不成立，故c錯誤；

22

對于。，Va>b>0f且y=logu在（0,+°°）上單調(diào)遞增，

?Tog2a2>log2b1故。正確?

故逃：D.