2024年九年級初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第25講 輔助圓

2024年九年級初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答第二十五講輔助圓

在處理平面幾何中的許多問題時，常需要借助于圓的性質(zhì)，問題才得以解決.

而我們需要的圓并不存在(有時題設(shè)中沒有涉及圓；有時雖然題設(shè)涉及圓，但是此圓并

不是我們需要用的圓)，這就需要我們利用已知條件，借助圖形把需要的實際存在的圓找出

來，添補輔助圓的常見方法有：

I.利用圓的定義添補箱助圓；

2.作三角形的外接圓：

3.運用四點共圓的判定方法：

(1)若一個四邊形的一組對角互補，則它的四個頂點共圓.

(2)同底同側(cè)張等角的三角形，各頂點共圓.

⑶若四邊形ABCD的對角線相交于P,且PA-PC=PB-PD,則它的四個頂點共圓.

(4)若四邊形ABCD的一組對邊AB、DC的延長線相交于P,且PA-PB=PC?PD,則它

的四個頂點共圓.

【例題求解】

【例1】如圖，直線AB和AC與。O分別相切于B、C,P為圓上一點，P至ijAB、AC的距

離分別為4cm、6cm,那么P到BC的距離為.

思路點撥連DP,EF,尋找PD、PE、PF之間的美系，證明而發(fā)現(xiàn)p、D、

B、F與P、E、C、F分別共圓，突破角是解題的關(guān)鍵.

注：圓具有豐富的性質(zhì)：

(1)圓的對稱性；

(2)等圓或同圓中不同名稱量的轉(zhuǎn)化；

(3)與圓相關(guān)的角：

(4)圓中比例線段.

適當(dāng)發(fā)現(xiàn)并添出輔助圓，就為圓的豐富性質(zhì)的運用創(chuàng)造了條件，由于圖形的復(fù)雜性，

有時在圖中并不需畫出圓，可謂“圖中無圓，心中有圓”.

【例2】如圖，若PA=PB,ZAPB=2ZACB,AC與PB交于點P,且PB=4,PD=3,則

AD-DC等于()

A.6B.7C.12D.16

思路點撥作出以P點為圓心、PA長為半徑的圓，為相交弦定理的應(yīng)用創(chuàng)設(shè)了條件.

B

注：到一?個定點等距離的幾個點在同一個圓上，這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法.

【例3】如圖，在△ABC中，AB=AC,任意延長CA到P,再延長AB至IJQ,使AP=BQ,

求證：Z\ABC的外心。與A,P,Q四點共圓.

思路點撥先作出aABC的外心0,連PO、OQ,將問題轉(zhuǎn)化為證明角相等.

【例4】如圖，P是。0外一點，PA切。0于A,PBC是。0的割線，AD_LPO于D.求

...PBPC

證：——=——.

PDCD

思路點撥因所證比例線段不是對應(yīng)邊，故不能通過判定4PBD與4PCD相似證

明.PA2=PD?P0=PB?PC,B、C、0、D共圓，這樣連OB,就得多對?相似三角形，以此

達到證明的目的.

注：四點共圓既是一類問題，又是平面幾何中一個重要的證明方法，它和證明三角形全等和

相似三角形有著同等重要的地位，這是因為，某四點共圓，不但與這四點相聯(lián)系的條件集中

或轉(zhuǎn)移，而且可直接運.用圓的性質(zhì)為解題服務(wù).

【例5】如圖，在AABC中，高BE、CF相交于H,且/BHC=135°,G為AABC內(nèi)的一

點，且GB=GC,ZBGC=3ZA,連結(jié)HG,求證：HG平分/BHF.

思路點撥經(jīng)計算可得NA=45°,AABE,ABFH皆為等腰直角三角形，只需證NGHB=

ZGHF=22.5°.

由/BGC=3NA=I35°=ZGHC,得B、G、H、C四點共圓，運用圓中角轉(zhuǎn)化靈活的特點

證明.，

H

BC

注：許多直線形問題借助輔助圓，常能降低問題的難度，使問題獲得簡解、巧解或新解.

學(xué)力訓(xùn)練

1.如圖，正方形ABCD的中心為O,面積為1989cm2,P為正方形內(nèi)一點，且NOPB=45°,

PA：PB=5：14,則PB的長為.

2.如圖，在4ABC中，AB=AC=2,BC邊上有100個不同的點Pi、P?,…Pioo，記

叫=APj2+BP,"PjC（i=l,2,100）,則町+〃?2+---+/W|oo=.

3.設(shè)aABC三邊上的高分別為AD、BE、CF,且其垂心H不與任一頂點重合，則由點A、

B、C、D、E、F、H中某四點可以確定的圓共有（）

1平I項，

4.如圖，已知OA=OB=OC,且NAOB二ZNBOC,則/ACB是NBAC^qJ（）

A.L倍B.是攵倍C.2kD.-

2k

5.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB=998,CD=IOO1,AD=I999,點P在線段

AD±,滿足條件的NBPO90。的點P的個數(shù)為（）

A.0B.IC.21D.不小于3的整數(shù)

（第5題）

（第4&）（第6V）

6.如圖，AD、BE是銳角三角形的兩條高，SAABC=18,S&DEC=2,則COSC等于（）

123

A.3B.-C.-D.-

334

7.如圖；已知H是AABC三條高的交點，連結(jié)DF,DE,EF,求證：H是4DEF的內(nèi)心.

8.如圖，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分線，且TDJ_AB,TE1AC.

求證：（1）/AHD=NAHE；（2）—=—

BDCE

參考答會

@MM■

【例融求解】

例1276連DF.P￡hPC,EF?/DPF+N8=NFPE+/C=180?，得NDPF=/FPE,又NPDF-/P8F=NPCE=

ZEFP,：.ADPFsdFPE,得P尸■PD?PE.

例2選B

例3如圖，連結(jié)OA,OC,OP.OQ,在△OCP與△OAQ中，OC=OA,由巳知,CA=AB,AP-BQ.

ACP-AQ,又。是△ABC的外心..??NOCP-NOAC,

???等展三角形的外心必在攻角的平分線上，???NQAC-/OAQ?從而/OCP=NQAQ,得

△OCPA^QAQ.于是NCPO-NAQO故O,A.P,Q四點共圓.

例47PA^PD*PO=PB?PC,???B,C?O,D四點共圓，

???△PCMAPOB，得奇一照=淡①

又"86"血猾黑一黑②由①、②得器=奇.

例5V/A-180?一NBHC-135?，ZBGC-3ZA?135\ZABH=45*

B,G,C.H四點共國，得NBCG-NGHB=出〈型=22.5、

又NBHF-45?.得故HG平分/BHF.

4

［學(xué)力Ml練】

1.42連結(jié)OA?OB.A,8.O,P四點共BB，得/APBuNAO8=90?2.400

3.D.顯見分別應(yīng)有下列四點共BI：AFHE?BFHD,CDHE,AFDC,BFEC.CDFA

4.65.C將向M轉(zhuǎn)化為直撥AB與以CD為直徑的位置關(guān)系6.B

7.分別由BDHF、CDHE四點共圓，想/FBHn/FDH-/FCH=NFDH.DH為NFDE平分疑

8.(1)D,E.H在以AT為直徑的圓上.得NAHD-NATD.NAHE=/ATE,又/ATDu/ATE,故NAHD=/AHE,

(2)R，AAH8與R，4TDB有公共角/B,得△AHBsATDB,；.|gN得，同理，△AHCsATEC.得累■梨.由于

TD-TE,所以.黑=黑.

DU

9?連結(jié)BD.CE,由BC=CD=DE,/BCD=/CDE=180?_2a,/CBD=NCDB=/DCE=/DEC=a,得△BC*Z^CDE.

?*?N"E』（】80?一2a）-L180?-3a.而NBAEN3a,；?A.B.C.E共圓.同理可證A、B、D、￡共圜.故A.B.C.D.E

共留

10?連結(jié)OA,則OA_LPA.AM-MB.ABJ_OP..'OM?MP=AM1.又MC?MD=MA?MB=AW....MD?MC?

MO?MP?.?.點O、D、P、C四點共圜,又OC?OD,:.ZCPO~ZDPO.

1L過。點作°E_LAB于E,則PE=---B.由切割線定理得iPS'-PA?PB,連05.02,設(shè)0尸交57于。，則0「_1_$丁.

由相似形可ifiPS?.PD?PO.又P,-PA?PB,而/CDO-NCEO=90\.*.C、E、O、D四點在以O(shè)C為直徑的圓

上,/.PC?PE=PD?PO,即PA?PB-PC*PE=必用BPC,化簡得盍=1?(含+&.

第二十六講開放性問題評說

一個數(shù)學(xué)問題的構(gòu)成含有四個要素：題目的條件、解題的依據(jù)、解題的方法、題目的結(jié)

論，如果題目所含的四個要素是解題者已經(jīng)知道，或者結(jié)論雖未指明，但它是完全確定的，

這樣的問題就是封閉性的數(shù)學(xué)問題.

開放性問題是相對于封閉性問題而言，從所呈現(xiàn)問題的方式看，有下列幾種基本形式：

1.條件開放題

稱條件不充分或沒有確定已知條件的開放性問題為條件開放題，解題時需執(zhí)果尋因，根

據(jù)結(jié)論和已有的已知條件，尋找使得結(jié)論成立的其他條件.

2.結(jié)論開放題

稱結(jié)論不確定或沒有確定結(jié)論的開放性問題為結(jié)論開放題，解題時需由因?qū)Ч梢阎?/p>

條件導(dǎo)出相應(yīng)結(jié)論.

3.判斷性開放題

稱判定幾何圖形的形狀大小、圖形的位置關(guān)系、方程(組)的解的情況或判定具有某種性

質(zhì)的數(shù)學(xué)對象是否存在的開放題問題稱為判斷性開放題，解題的基本思路是：由已知條件及

知識作出判斷，然后加以證明.

【例題求解】

［例I］如圖，。。與G)Oi外切于點T,PT為其內(nèi)公切線，AB為其外公切線，且A、B

為切點，AB與PT相交于點P,根據(jù)圖中所給出的已知條件及線段，請寫出一個正確結(jié)論,

并加以證明.

思路點撥為了能寫出更多的正確結(jié)論，我們可以從以下幾分角度作探索，線段關(guān)系，角的

關(guān)系、三角形的關(guān)系及由此推出的相應(yīng)結(jié)論.

注：明確要求將數(shù)學(xué)開放性題作為中考試題，還是近一二年的事情.開放性問題沒有明確的

目標(biāo)和解題方向，留有極大的探索空間.

解開放性問題，不具有定向的解題思路，解題時總要有合情合理、實事求是的分析，要把

歸納與演繹協(xié)調(diào)配合起來，把直覺發(fā)現(xiàn)與邏輯推理相互結(jié)合起來，把一般能力和數(shù)學(xué)能力

同時發(fā)揮出來.杭州市對本例評分標(biāo)準(zhǔn)是以正確結(jié)論的容易程度為標(biāo)準(zhǔn)靈活打分，分值直接

反映考生的能力及創(chuàng)新性.

【例2】如圖，四邊形ABCD是。0的內(nèi)接四邊形，A是品)的中點，過A點的切線與CB

的延長線交于點E.

(1)求證：AB-DA=CO-BE；

(2)若點E在CB延長線上運動，點A在0D上運動，使切線EA變?yōu)楦罹€EFA,其他

條件不變，問具備什么條件使原結(jié)論成立？(要求畫出示意圖，注明條件，不要求證明)

思路點撥時于(2),能畫出圖形盡可能畫出圖形，要使結(jié)論AB?DA=CD?BE成立，即要

證△ABEs^CDA,已有條件NABE=NCDA,還需增加等角條件，這可由多種途徑得到.

注：許多開放性問題解題思路也是開放的(多角度、多維度思考)，探索的條件或結(jié)論并不惟

一.故解開放性問題，應(yīng)盡可能深入探究，發(fā)散思維，提高思維的品質(zhì)，切忌入寶山而空返.

【例3】(1)如圖1,若。Oi與。Ch外切于A,BC是。與。Ch外公切線，B、C為切點，

求證：AB1AC.

(2)如圖2,若。Ch與。Ch外離，BC是。01與。Ch的外公切線，B、C為切點，連心線

01。2分別交。。1、于M、N,BM、CN的延長線交于P,則BP與CP是否垂直?證明

你的結(jié)論.

(3)如圖3,若。與。相交，BC是。Ch與。Ch的公切線，B、C為切點，連心線

01。2分別交。0|、002于M、N,Q是線段MN上一點，連結(jié)BQ、CQ,則BQ與CQ是

否垂直?證明你的結(jié)論.

思路點撥本例是在基本條件不變的情況下，通過運動改變兩圓的位置而設(shè)計的，在運動變

化中，結(jié)論可能改變或不變，關(guān)鍵是把(1)的證法類比運用到(2)、(3)問題中.

注：開放性問題還有以下呈現(xiàn)方式：

(1)先提出特殊情況進行研究，再要求歸納猜測和確定一般結(jié)論；

(2)先對某一給定條件和結(jié)論的問題進行研究，再探討改變條件時其結(jié)論應(yīng)發(fā)生的變化，

或改變結(jié)論時其條件相應(yīng)發(fā)生的變化.

【例4】已知直線)，=履-4(%>0)與x軸、y軸分別交于A、C兩點，開口向上的拋物線

y=+//X+C過A、C兩點，且與x軸交于另一點B.

(1)如果A、B兩點到原點0的距離AO、B0滿足AO=3BO,點B到直線AC的距離

等于竽，求這條直線和拋物線的解析式；

(2)是否存在這樣的拋物線，使得tan/ACB=2,月4ABC外接圓截得)，軸所得的弦長等

于5?若存在，求出這樣的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由.

思路點撥(1)通過“點B到直線AC的距離等于分”，利用等積變換求出A、B兩點的距

離；(2)先假設(shè)存在這樣的拋物線，再由條件推理計算求得，最后加以驗證即可.

注：解存在性開放問題的基本方法是假設(shè)求解法，即假設(shè)存在一演繹推理一得出結(jié)論(合理

或矛盾）.

【例5］如圖，這些等腰三角形與正三角形的形狀有差異，我們把它與正三角形的接近程

度稱為“正度”.在研究“正度”時，應(yīng)保證相似三角形的“正度”相等.

設(shè)等腰二角形的底和援分別為〃、b,底角和頂角分別為“、/?.要求“正度”的值是

非負(fù)數(shù).

同學(xué)甲認(rèn)為：可用式子心-4來表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近

正三角形；

同學(xué)乙認(rèn)為：可用式子,-刈來表示“正度”，h-刈的值越小，表示等腰三角形越接

近正三角形.

探究：（1）他們的方案哪個較為合理，為什么？

（2）對你認(rèn)為不夠合理的方案，請加以改進（給出式子即可）；

（3）請再給出一種衡量“正度”的表達式.

思路點撥通過閱讀，正確理解“正度”這個新概念，同時也要抓住“在研究‘正度'時，

應(yīng)保證相似三角形的‘正度'相等”這句話的實質(zhì)，可先采取舉實例加深對“正度”的理解?,

再判斷方案的合理性并改進方法.

注：（1）解結(jié)論開放題往往要充分利用條件進行大膽而合理的猜想，通過觀察、比較、聯(lián)想、

猜測、推理和截判斷等探索活動，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論.

（2）閱讀是學(xué)習(xí)的重要途徑，在這種閱讀型研究性問題中，涌現(xiàn)了許多介紹新的知識

和新的研究方法的問題，能極大地開闊我們的視野.

（3）研究性學(xué)習(xí)是課程改革的一個亮點，研究性學(xué)習(xí)是美國芝加哥大學(xué)教授施瓦布在

《作為探究的科學(xué)教學(xué)》的演講時提出的.他主張引導(dǎo)學(xué)生直接用科學(xué)研究的方式進行教學(xué),

即設(shè)定情境、提出問題、分析問題、設(shè)計實驗、驗證假設(shè)、分析結(jié)果、得出結(jié)論.研究性問

題是近年中考中出現(xiàn)的一種新題型，它要求我們適應(yīng)新情況，通過實踐，增強探究和仇新意

識，學(xué)習(xí)科學(xué)研究方法.

學(xué)力訓(xùn)練

1.如圖，/是四邊形ABCD的對稱軸，如果AD〃BC,有下列結(jié)論：

①AB〃CD,②AB=BC；③AB_LBC；?AO=OC.

其中正確的是.

(把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上)

2.如圖，是一個邊長為。的小正方形與兩個長、寬分別為。、〃的小矩形ABCD,則整個

圖形可表達出一些有關(guān)多項式分解因式的等式，請你寫巴其中任意三個等式：①_________；

②:③.

3.有一個二次函數(shù)的圖象，三位學(xué)生分別說出了它的一些特點：

甲：對稱軸是直線％=4；

乙：與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)都是整數(shù)；

丙：與)，軸交點的縱坐標(biāo)也是整數(shù)，且以這三個交點為頂點的三角形面積為3.

請你寫出滿足上述全部恃點的一個二次函數(shù)解析式；.

4.如圖，已知AB為。O的直徑，直線/與。O相切于點D,ACJ■/于C,AC交。O于點

E,DF_LAB于F.

(I)圖中哪條線段與BF相等?試證明你的結(jié)論；

⑵若AE=3,CD=2,求。0的直徑.

5.在一個服裝廠里有大量形狀為等腰直角三角形的邊角布料(如圖).現(xiàn)找出其中的一種，

測得NC=90°,AC=BC=4,今要從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的玩具，使

扇形的邊緣半徑恰好都在AABC的邊上，且扇形的弧與AABC的其他邊相切，請設(shè)計出所

有可能符合題意的方案示意圖，并求出扇形的半徑(只要求畫出圖形，并直接寫出扇形半徑).

6.如圖，拋物線產(chǎn)?？+次;+c與x軸交于點A(X],0),B(X2,0)(xi<O<x2),與y軸交于點

C(0,-2),若0B=40A,且以AB為直徑的圓過C點.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若點D在此拋物線上，且AD〃CB.

①求D點的坐標(biāo)；

②在x軸下方的拋物線上，是否存在點P使得AAPD的面積與四邊形ACBD的面積相

等?若存在，求出點P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

7.給定四個命題；①sinl5°與sin750的平方和為1；②函數(shù)y=/8m6的最小值為-10；

③ad-L=《一『；④目0=，則x=］0"，其中錯誤的命題的個數(shù)是

V5-x75^7

8.①在實數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程ad+/+c=0的根為x=一'土一4，，“；②在^ABC

2a

中，若AC2+BC2>AB2,則aABC是銳角三角形；③在AABC和△ABICI中，a、b、c分

別為AARC的二邊.〃［、〃］、q分別為△AR1C的二邊，若〃>〃「h>bt,,則八

ABC的面積大S于△ABCi的面枳Si.以上三個命題中，真命題的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

9.已知：AB是。O的直徑，AP、AQ是。0的兩條弦，如圖I,經(jīng)過B做。O的切線/,

分別交直線AP、AQ于點M、N.可以得出結(jié)論AP?AM=AQ-AN成立.

(1)若將直線/向上平行移動，使直線/與。O相交，如圖2所示，其他條件不變，上述

結(jié)論是否成立?若成立，寫出證明，若不成立，說明理由；

(2)若將直線/繼續(xù)向上平行移動，使直線/與。0相離，其他條件不變，請在圖3上畫

出符合條件的圖形，上述結(jié)論成立嗎?若成立，寫出證明；若不成立，說明理由.

10.如圖，已知圓心A(0,3),A與入?軸相切，0B的圓心在x軸的正半軸上，且。B與。

A外切于點P,兩圓的公切線MP交)，軸于點M,交x軸于點N.

(1)若sin/OAB=3,求直線MP的解析式及經(jīng)過M、N、B三點的拋物線的解析式；

5

(2)若A的位置大小不變，(DB的圓心在*軸的正半軸上移動，并使(DB與(DA始終外切，過

M作。B的切線MC,切點為C在此變化過程中探究：

①四邊形OMCB是什么四邊形，對你的結(jié)論加以證明；

②經(jīng)過M、N、B點的拋物線內(nèi)是否存在以BN為腰的等腰三角形?若存在，表示出來；若

不存在，說明理由.(山西省中考題)

(第11題)

11.有一張矩形紙片ABCD,E、F、分別是BC、AD上的點(但不與頂點重合)，若EF將矩

形ABCD分成面積相等的兩部分，設(shè)AB=a,AD=b,BE=x.

⑴求證：AF=EC；

(2)用剪刀將該紙片沿直線EF剪開后，再將梯形紙片ABEF沿AB對稱翻折，平移拼接

在梯形ECDF的下方，使一底邊重合，一腰落在DC的延長線上，拼接后，下方梯形記作

EE'B'C.

①當(dāng)為何值時，直線EE經(jīng)過原矩形的一個頂點？

②在直線E，E經(jīng)過原矩形的一個頂點的情形下，連結(jié)BE,直線BE與EF是否平行?你若

認(rèn)為平行，請給予證明；你若認(rèn)為不平行，試探究當(dāng)。與。有何種數(shù)量關(guān)系時，它們就垂直?

12.⑴證明：若x取任意整數(shù)時，二次函數(shù)wM+法+c總?cè)≌麛?shù)值，那么，2a、G-b.

c都是整數(shù).

(2)寫出上述命題的逆命題，且證明你的結(jié)論.

13.已知四邊形ABCD的面積為32,AB.CD.AC的長都是整數(shù)，且它們的和為16.

(1)這樣的四邊形有幾個？

⑵求這樣的四邊形邊長的平方和的最小值.

參考簽豪

國開放性問?評說

【例0求解】

例】現(xiàn)按寫出的結(jié)論的摩易程度,飴出的評分標(biāo)準(zhǔn)如下，

⑴寫出以下結(jié)論，并給予證明的給6分?①PA=PT：②/PAT-NPTA,③ZOAP=ZOTP=90*.

《2》寫出以下結(jié)論并給予證期的給8分1①PA=PB-PTi0NAT8=60,③/AOT+NAPT-180,④OA//O,B.

(3)寫出以下結(jié)論.井玲予證明的給10分,△OATsaPTB.

(4)寫出以下結(jié)論.并妗予證明的給12分，PA?PB-OT?。1r

例2(1)由△ABEsaCDA得,焦?翳.即AB?DA-CD?BE.

(2)只要/BAE=/ACD,即只需尬=6(或,或AF〃BD.或/BCF-/ACD,或/BAF=/ABD等)即可.

例3⑴連QB?OC/ABC+/ACB=+(/BOO+NCQtQ)=+x1蝦?90?,即A8_LAC

(2)BP與CP是垂直的,仿(D的證法證明,

(3)BP與CP是不垂直的,連aB.QC.CN.BM./CNM+NBMN-go'NBQa+NCQaANBMN+NCNM-

90?，故/BQC-180?一《NBQO|+/Cg)V9(r.

例4(l)A(y,0).C(0,-4)設(shè)A(q.O)?8(4?0).《為>0>不>?力=一3所,設(shè)點8到直線AC的

蹌離為A,則AC=ZrJ+16,SAyAB?OC:.ZrJ+16?學(xué)?5-

QX4,解彳54?3???.*=右,可得直線、效物線的解析式分別為k親r-4.L^y-*|L皆節(jié)j)

(2)假設(shè)存在這樣的地物畿.其解析式為,-0>+“-4,并設(shè)4八8。的外按圜01)心為6.違AG.0G.作GE_LJT軸于E?

GF_Ly軸于F,則C(O,-4>.D(O,1).

CF=DF-,GE=tanNAGE=震=tan/ACS-2,19AE-2GE-3.Z.AB=2AE=6?

OA?OB=OC?OD.即一工1q=■4,J.a==1,又AB=6,

???(4-H2)'=(HI+M2)’—4口工2?6'+16=36?解得6-±275.

故存在這樣的拋物線,其解析式為y-r?±2S■工-4.，

倒§(1)同學(xué)乙的方案較為合理.因為IQ-即的值越小.a與夕越接近60??因而該等及三角形越接近于正三角形?且能保證相

似三角形的??正度”相等.同學(xué)甲的方案不合理,不能保證相似三角形的??正度”相等.如：邊長為4,4.2和邊長為8.8.4

的兩個等腰三角形相似.但|2-4|-2W|4-8|=<h

(2)對同學(xué)甲的方案可改為用小泮、久洛等“為正數(shù)》來表示“正度，

⑶還可用la-60'l、!尸60?|、|。十聲720’1、"(<?—60?〉,-2《所60?尸］等來表示“正度”.

【學(xué)力訓(xùn)練】

1.①②④

2.a:+2a6=a(a+2A)；a(a-6)+aZ>=a<?+26),a(.a-^2b)—a(a+b)—ab等

2,

3.1y—?|*工+3.或1y=一4工―專*-3或y=yx~yx+l或>=—y-x+-y-x-1

4.(DFB=CE,i￡明略；(2)00的克徑為55.可以設(shè)計如下四種方案，

n=272=42rd*■>472—4

6.⑴尸右，一六一2:⑵①D點坐標(biāo)為(5.3)：②存在符合要求的P點的坐標(biāo),此時P點坐標(biāo)為(二^空二

—6—76—16—?、

歧（-5—,R---）

7.28.A

.ABAM

9.（1）連結(jié)BP.在平移中A8_LMN，NA8'8二/AEDN90°,又NB'AETNBAD=90°3.AAMB'CO^ABP.??麗=可

即AP?AM=AB?AB'.同理，人Q?AN=A8-A3'.故AP?AM=AQ*AN成立M2）（I）的結(jié)論仍成立.證明略.

10.⑴M（0?-2）.由△NPB</>Z\AOB,得器=^,.，.BN=3F=3oN-OB-BN="|..,.Nq.0）由此得MP的解析

式為y=WH一2.拋物線的解析式為+?工一2]

(2)①四邊形OMCB是矩形.工在OA不動,③B運動變化過程中,恒有/BAO-/MAP,OA=AP.^AOB-/APM

=90?，二△AOB4AAPA1.O8=PM.A3=AM,PB=OM.而PB-BC,.?.OM=BC.

由切線長定理知MC=MP.：.MC=OB..?.四邊形MO8C是平行四邊形，又NMOB=90'八四邊形MOBC為矩形.

②存在.由上證明知如△MON9/?，△8PN?BN=MN.因此在過M,N.8三點的擻物線內(nèi)有以8N為腰的等熙三

角形MNB存在.由衲物線的對稱性知，在附物線上必有一點”與M關(guān)于其對稱軸對稱.:這樣得到滿

足條件的三角形有兩個tZXMNB和△MNB.

11.(1)由+AF)?a=/(5--AE)?a.得AF-6—x又

EC-6-x:.AF-EC

⑵①如圖1,當(dāng)直線EF他過晚矩形的U點D時：&=奈如圖2?當(dāng)直

線EfE經(jīng)過原矩形的頂點小時*'6=y,

②如圖】?當(dāng)直線HE經(jīng)過原范形1?點時,B『〃EF,如圖2,當(dāng)克線

￡TE經(jīng)過原矩形的校點A時，且當(dāng)堂一考時，8F與七下垂直.

12.(1)若工取整數(shù)值時，二次函?。靠?cè)≌麛?shù)值，則當(dāng)工=0時.

為整數(shù)，故c為整數(shù)值；當(dāng)工?一1時，1y-1=a—b+c為整數(shù)，于是a-6=y-i-v為整數(shù)?當(dāng)X——2時=4a

-26+f為整數(shù).于是2a~y.J-2y-i+”為整數(shù),于是2a.a-b,c都是整數(shù).

(2)所求逆命題為：若2a,a-6.c梆是整數(shù),那么工取任意整數(shù)時，二次函數(shù)y=a/+b_r+c總?cè)≌麛?shù)值,這是一個臭命題.

證明如下：若c.a-6,2a都是整數(shù)，由y-a/+必+<=3(工+1)一(a-6U+c,當(dāng)工收整數(shù)時，](工+1>是偶數(shù).故十

工(工+1)必是整數(shù)?由2a是整數(shù)得2a?1)是整數(shù).又由ai.二是整數(shù)得一(“-6)工+，是整數(shù)，因此，當(dāng)r取

任意筐效時，二次由數(shù)>-=3'+S+c總?cè)≌麛?shù)值.

13.(1)如圖,記AB=Q,CD=b,AC=/，并設(shè)AABC的邊AB上的高為明，△人DC的邊DC上的高為儲.則

+Swu~|■⑴a+A,6)&?(a+6).僅當(dāng)M=A；=/時等號成立,即在四邊形ABC。中,當(dāng)AC_LA8.ACJ_CD時等號

成立?由已知得64</(a+b)?又。+6=16-八得64^Z(16-/)=64-(/-8)*<64于是/-8,a+6=8,且這時AC±AB.

,Ia,tss

ACJ_CD因此這樣的四邊形有如下4個sa=1.6?7,/"8ia?2.6"6U8ia=3,6=5./=8ia=6=4J=8.

(2)又ABj.8-8-0,則B^=8l+al,AZ>I-8t4-(8-a)?故這樣的四邊形的邊長的平方和為I2Q?+2(8-a?+128

?4Q-4/+192?當(dāng)a~g4時，平方和最小，且為192.

第二十七講動態(tài)幾何問題透視

春去秋來，花開花落：物轉(zhuǎn)星移，世間萬物每時每刻都處于運動變化、相互聯(lián)系、相互

轉(zhuǎn)化中，事物的本質(zhì)特征只有在運動中方能凸現(xiàn)出來.

動態(tài)幾何問題，是指以幾何知識和圖形為背景，滲入運動變化觀點的一類問題，常見的

形式是：點在線段或弧線上運動、圖形的翻折、平移、旋轉(zhuǎn)等，解這類問題的基本策略是：

1.動中覓靜

這里的“靜”就是問題中的不變量、不變關(guān)系，動中覓靜就是在運動變化中探索問題中

的不變性.

2.動靜互化

“靜”只是“動”的瞬間，是運動的一種特殊形式，動靜互化就是抓住“靜”的瞬間，

使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊問題，從而找到“動”與“靜”的關(guān)系.

3.以動制動

以動制動就是建立圖形中兩個變量的函數(shù)關(guān)系，通過研究運動函數(shù)，用聯(lián)系發(fā)展的觀

點來研究變動元素的關(guān)系.

注：幾何動態(tài)既是一類問題，也是一種觀點與思維方法，運用幾何動態(tài)的觀點，可以把表面

看來不同的定理統(tǒng)一起來，可以找到探求幾何中的最值、定值等問題的方法；更一般情況是，

對于一個數(shù)學(xué)問題，努力去發(fā)掘更多結(jié)論，不同解法，通過弱化或強化條件來探討結(jié)論的狀

況等，這就是常說的“動態(tài)思維”.

【例題求解】

【例1】如圖，把直角三角形ABC的斜邊AB放在定直線上，按順時針方向在/上轉(zhuǎn)動兩

次，使它轉(zhuǎn)到A〃B"C"的位置，設(shè)BC=1,AC=V3,則頂點A運動到點A”的位置時，點A

經(jīng)過的路線與直線/所圍成的面積是.

思路點撥解題的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)動的圖形準(zhǔn)確分割.RtAABC的兩次轉(zhuǎn)動，頂點A所經(jīng)過

的路線是兩段圓弧，其中圓心角分別為120°和90°,半徑分別為2和百，但該路線與直

線/所圍成的面積不只是兩個扇形面積之和.

【例2】如圖，在。O中，P是直徑AB上一動點，在AB同側(cè)作AA，_LAB,BB，_LAB,且

AAr=AP,連結(jié)當(dāng)點P從點A移到點BH、J,的中點的位置（）

A.在平2AB的某直線上移動B.在垂直AB的某直線上移動

C.在AmB上移動D.保持固定不移動

思路點撥畫圖、操作、實驗，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

Bf

A

AP0

【例3】如圖，菱形OABC的長為4厘米，ZAOC=60°,動點P從0出發(fā)，以每秒1座

米的速度沿。-A-B路線運動，點P出發(fā)2秒后，動點Q從0出發(fā)，在0A上以每秒1

厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O-A-B路線運動，過P、Q兩點分另！作對

角線AC的平行線.設(shè)P點運動的時間為x秒，這兩條平行線在菱形上截出的圖形(圖中的

陰影部分)的周長為y厘米，請你回答下列問題：

(1)當(dāng)x=3時，y的值是多少？

(2)就下列各種情形：

①丫W(wǎng)2：②2<tW4：③44rW6：④6WT求y與》■之間的函數(shù)關(guān)系式.

(3)在給出的直角坐標(biāo)系中，用圖象表示(2)中的各種情形下)，與x的關(guān)系.

思路點撥本例是一個動態(tài)幾何問題，又是一個“分段函數(shù)”問題，需運用動態(tài)的觀點，將

各段分別討論、畫圖、計算.

注：動與靜是對立的，又是統(tǒng)：一的，無論圖形運動變化的哪一類問題，都真實地反映了現(xiàn)

實世界中數(shù)與形的變與不變兩個方面，從辯證的角度去觀察、探索、研究此類問題，是一種

重要的解題策略.

建立運動函數(shù)關(guān)系就更一般地、整體-地把握了問題，許多相關(guān)問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值

或自變量的值.

【例4】如圖，正方形ABCD中，有一直徑為BC的半圓，BC=2cm,現(xiàn)有兩點E、F,分

別從點B、點A同時出發(fā)，點E沿線段BA以1m/秒的速度向點A運動，點F沿折線A

—D-C以2cm/秒的速度向點C運動，設(shè)點E離開點B的時間為2(秒).

(1)當(dāng)/為何值時，線段EF與BC平行？

⑵設(shè)1</<2,當(dāng)/為何值時，EF與半圓相切？

(3)當(dāng)1WY2時，設(shè)EF與AC相交于點P,問點E、F運動時，點P的位置是否發(fā)生變

化?若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，請給予證明，并求AP：PC的值.

思路點撥動中取靜，根據(jù)題意畫出不同位置的圖形，然后分別求解，這是解本例的基本策

略，對于(1)、(2),運用相關(guān)幾何性質(zhì)建立關(guān)于，的方程；對于(3),點P的位置是否發(fā)生變

B

化’只需看真是否為一定值?

注：動態(tài)幾何問題常通過觀察、比較、分析、歸納等方法尋求圖形中某些結(jié)論不變或變化規(guī)

律，而把特定的運動狀態(tài)，通過代數(shù)化來定量刻畫描述也是解這類問題的重:要思想.

【例5】OOi與。02相交于A、B兩點；如圖(1),連結(jié)02Ch并延長交。Oi于P點，連結(jié)

PA、PB并分別延長交(DO?于C、D兩點，連結(jié)CCh并延長交。于E點.已知。Ch的半

徑為R，設(shè)NCAD二a.

(1)求：CD的長(用含R、a的式子表示)；

(2)試判斷CD與POi的位置關(guān)系，并說明理由；

(3)設(shè)點F為。Oi上(002外)的動點，連結(jié)PA、PU并分別延長交OO?于C\DS請你

探究NCAD，是否等于a?CD，與P'Oi的位置關(guān)系如何?并說明理由.

思路點撥對于(1)、(2),作出圓中常見輔助線；對于(3),P點雖為0。上的一個動點，但。

OH一些量(如半徑、0)都是定值或定弧，運用圓的性質(zhì)，把角與孤聯(lián)系起來.

學(xué)力訓(xùn)練

I.如圖，△ABC中，ZC=90°,AB=12cm,ZABC=60°,將AABC以點B為中心順時

針旋轉(zhuǎn)，使點C旋轉(zhuǎn)到AB延長線上的D處，則AC邊掃過的圖形的面積是cm(兀

=3.14159-,最后結(jié)果保留三個有效數(shù)字).

2.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,ZA=60°,AC=*cm,將AABC繞點B旋轉(zhuǎn)至

△ABC'的位置，且使A、B、C三點在同一條直線上，則點A經(jīng)過的最短路線的長度是—cm.

(第2題)

(第1題

3.一塊等邊三角形的木板，邊長為1,現(xiàn)將木板沿水平線翻滾，那么B點從開始至結(jié)束走

過的路徑長度為()

A.——B.—C.4D.2+—

232

4.把AABC沿AB邊平移到八ABC的位置，它們的重疊部分的面積是八ABC的面積的一

半，若AB=五，則此三角形移動的距離人八是()

A.4i-\B,等C.1D.-

2

5.如圖，正三角形ABC的邊長為66厘米，。。的半徑為r厘米，當(dāng)圓心0從點A出發(fā),

沿著線路AB-BC-CA運動，回到點A時，。。隨著點O的運動而移動.

(1)若r=VJ厘米，求。0首次與BC邊相切時A0的長；

(2)在0移動過程中，從切點的個數(shù)來考慮，相切有幾種不同的情況?寫出不同的情況下，

r的取值范圍及相應(yīng)的切點個數(shù)；

(3)設(shè)O在整個移動過程中，在△ABC內(nèi)部，。0未經(jīng)過的部分的面積為S,在5>0時，

求關(guān)于r的函數(shù)解析式，并寫出自變量r的取值范圍.

6.已知：如圖，。。韻直徑為10,弦AC=8,點B在圜周上運動(與A、C兩點不重合)，

連結(jié)BC、BA,過點C作CD_LAB于D.設(shè)CB的長為x,CD的長為)，.

(1)求)，關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)以BC為直徑的圓與AC相切時，求y的值；

(2)在點B運動的過程中，以CD為直徑的圓與。O有幾種位置關(guān)系，并求出不同位置時y

的取值范圍；

(3)在點B運動的過程中，如果過B作BE_LAC于E,那么以BE為直徑的圓與0O能內(nèi)

切嗎?若不能，說明理由；若能，求出BE的長.

7.如圖，已知A為/POQ的邊0Q上一點，以A為頂點的NMAN的兩邊分別交射線OP

于M、N兩點，且NMAN=NPOQ=a(。為銳角).當(dāng)NMAN以點A為旋轉(zhuǎn)中心，AM邊從

與A0重合的位置開始，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)(NMAN保持不變)時，M、N兩點在射線0P上

同時以不同的速度向右平移移動.設(shè)OM=.x,ON=(y>x20),△AOM的面積為S,若cosa、

OA是方程2z2-5z+2=0的兩個根.

(1)當(dāng)NMAN旋轉(zhuǎn)30°i即NOAM=30°)時，求點N移動的距離：

(2)求證：AN2=ON?MN；

(3)求)，與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量工的取值范圍；

(4)試寫出S隨x變化的函數(shù)關(guān)系式，并確定S的取值范圍.

8.已知：如圖，梯形ABCD中，AD/7BC,AD=CD=3cm,ZC=60°,BD±CD.

(1)求BC、AD的長度；

(2)若點P從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度運動，點Q從點C開始沿CD

邊向點D以1cm/s的速度運動，當(dāng)P、Q分別從B、C同時出發(fā)時，寫出五邊形ABPQD

的面積S與運動時間/之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變段/的取值范圍(不包含點P在B、C

兩點的情況)；

(3)在⑵的前提下，是否存在某一時刻/,使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為

1：5?若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由.

9.己知：如圖①，E、F、G、H按照AE=CG,BF=DH,BF=nAE(n是正整數(shù))的關(guān)系，分

別在兩鄰邊長a、的矩形ABCD各邊上運動.

設(shè)AE=x,四邊形EFGH的面積為S.

(1)當(dāng)n=l、2時，如圖②、③，觀察運動情況，寫出四邊形EFGH各頂點運動到何位置,

使？

(2)當(dāng)n=3時，如圖④，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式(寫出自變晟x的取值范圍)，探索S

隨x增大而變化的規(guī)律：清想四邊形EFGH各頂點運動到何位置，使S=；S矩形八8°；

(3)當(dāng)n=k*21)時，彌所得到的規(guī)律和猜想是否成立?請說明理由.

10.如圖1,在直角坐標(biāo)系中，點E從O點出發(fā)，以.1個單位/秒的速度沿X軸正方向運動，

點F從O點出發(fā)，以2個單位/秒的速度沿y軸正方向運動，B(4,2),以BE為直徑作。

Oi.

(1)若點E、F同時出發(fā)，設(shè)線段EF與線段OB交于點G,試判斷點G與。Ch的位置關(guān)

系，并證明你的結(jié)論；

(2)在(1)的條件下，連結(jié)FB,幾秒時FB與。Ch相切？

(3)如圖2,若E點提前2秒出發(fā)，點F再出發(fā)，當(dāng)點F出發(fā)后，E點在A點左側(cè)時，

設(shè)BA_Lx軸于A點，連結(jié)AF交。Oi于點P,試問PA-FA的值是否會發(fā)生變化?若不變，

請說明理由，并求其值；若變化，請求其值的變化范圍.

圖圖2

參考答余

?動志幾何何愿透視

【例題求解】

8i25.73

例?誦"下

例2選D

例3(I)當(dāng)工-3時.,=3X3-ln8,

(2)①當(dāng)?工42時.尸30P.即y=3x.②當(dāng)2&I&4時r=3OP-0Q=3r-(上-2)-21+2,③當(dāng)4(時，

y-2(OA+AP)-OQ4-PB=2x-(j-2)+(8-x)=10i④當(dāng)6《彳〈8時.從。。2口工-2)—4]=2『-12?y=3(48

-AQ)-PB=-3[4-(2x-12)]-(8-x)=-5z+40i(3)略.

例4(1>設(shè)E、F出發(fā)后運動了/秒時.EF〃8C.如圖(a>.財8E=，,CF=4-2r,由。-4-2?.得，即當(dāng)，■。秒時，

4