《直線與平面垂直和直線與平面所成的角》教學設計一

高中數(shù)學精選資源3/3《直線與平面垂直和直線與平面所成的角》教學設計一教學設計教學環(huán)節(jié)教學內容師生互動設計意圖復習引入問題：直線與平面平行的判定方法有幾種？教師出示問題，學生回答.生：可用定義判斷，也可依據判定定理判斷.復習舊知，為學習新知做好知識上的準備.探索新知一、直線與平面垂直的定義1.如果直線a與平面內的任意一條直線都垂直，那么稱直線a與平面垂直，記作.直線a叫作平面的垂線，平面叫作直線a的垂面，垂線和平面的交點稱為垂足.2.畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的邊垂直，如圖.例1證明:如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面.已知:(如圖).求證:.分析只要證明與平面內任意一條直線都垂直.證明設是內的任意一條直線.,則.二、直線與平面垂直的判定1.實驗:如圖,過的頂點翻折紙片,得到折痕,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上與桌面接觸）.（1）折痕與桌面垂直嗎?（2）如何翻折才能使折痕與桌面所在平面垂直?2.直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.用符號表示為（如圖）：若，,則.思考：能否將直線與平面垂直的判定定理中的“兩條相交直線”改為“一條直線或兩條平行直線”？三、直線與平面垂直的性質定理1.如圖,在長方體中,棱所在直線都垂直于平面,它們之間具有什么位置關系?2.已知直線和平面,如果,那么直線一定平行嗎?已知：.求證：.證明如圖,假設不平行于,設是經過點與直線平行的直線.直線與確定平面,設.因為,所以.又因為,所以,這樣在平面內,經過直線上同一點,就有兩條直線與垂直,顯然不可能.因此.3.直線與平面垂直的性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行.簡化為：線面垂直線線平行.4.（1）過一點有且只有一條直線與已知平面垂直，過一點有且只有一個平面與已知直線垂直.（2）從平面外一點引平面的垂線，這個點和垂足間的距離，叫作這個點到這個平面的距離.（3）一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫作這條直線和這個平面的距離.例2已知:.求證:直線上各點到平面的距離相等.證明過直線上任意兩點分別作平面的垂線,垂足分別為(如圖).因為,所以.設經過直線和的平面為,則與的交線為直線.因為.所以,從而四邊形是平行四邊形，所以.故直線上各點到平面的距離相等.四、直線與平面所成的角一條直線與一個平面相交,但不和這個平面垂直,這條直線叫作這個平面的斜線,斜線與平面的交點叫作斜足.斜線上一點與斜足間的線段叫作這個點到平面的斜線段.如圖,過平面外一點向平面引斜線和垂線,那么過斜足和垂足的直線就是斜線在平面內的射影,線段就是斜線段在平面內的射影.平面的一條斜線與它在這個平面內的射影所成的銳角，叫作這條直線與這個平面所成的角.如果一條直線垂直于平面,那么稱它們所成的角是直角;如果一條直線與平面平行或在平面內,那么稱它們所成的角是角.所以直線與平面所成的角的取值范圍是.例3如圖,已知分別是平面的垂線和斜線,分別是垂足和斜足,,求證:.分析因為平面,所以只要證明平面.證明.例4如圖,已知在平面內,.求證:點在平面內的射影在的平分線上.證明作,垂足分別為,連接,同理.在Rt和Rt中,,所以,從而.故點在平面內的射影在的平分線上.師：日常生活中我們對直線與平面垂直有很多感性認識，如旗桿與地面、橋柱與水面等，你能舉出更多的例子嗎？師：在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面的影子，它們的位置關系如何？生：旗桿與地面內任意一條經過它與地面交點的直線垂直.師：那么旗桿所在直線與平面內不經過它與地面交點的直線位置關系如何，依據是什么？生：垂直，依據是異面直線垂直的定義.師：你能嘗試給線面垂直下定義嗎？學生嘗試給出線面垂直的定義.師：能否將任意直線改為無數(shù)條直線？學生找一反例說明.教師出示例1，學生思考，嘗試回答，教師根據學生的回答進行板書.教師提問：例1利用定義證明了直線與平面垂直，使用不便，限制較多.除了定義之外，我們是否還有證明線面垂直的其他方法呢？請同學們想一想！師：下面請同學們準備一塊三角形的小紙片,我們一起來做一個實驗（投影實驗).學生動手實驗,然后回答問題.生:當且僅當折痕是邊上的高時,所在直線與桌面所在平面垂直.師:此時垂直于桌面上的一條直線還是兩條直線?生:垂直于桌面上的兩條直線,而且這兩條直線相交.師:怎么證明?生:折?,翻折之后垂直關系不變,即.……師：直線與平面垂直的判定定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想.教師給出線面垂直的符號表示和圖形表示，學生體會、識記.教師提出思考題供學生思考，幫助學生理解判定定理的核心詞——“兩條相交直線”，學生思考，舉反例.生:借助長方體模型發(fā)現(xiàn),所在直線都垂直于平面,它們之間相互平行.師:怎么證明呢？由于無法把兩條直線歸入到一個平面內,故無法應用平行直線的判定知識,也無法應用基本事實4,有這種情況下,我們采用“反證法”.教師邊分析邊板書.師:在的條件下,如果平面外的直線與直線垂直,你能得到什么結論?生:直線與平面平行.師:在的條件下,如果平面與平面平行,你能得到什么結論?生:直線與平面垂直.教師給出線面垂直的性質定理，學生識記.師：在同一平面內，過一點有幾條直線與已知直線垂直？生：有且只有一條.師：將這一結論推廣到空間，過點垂直于已知平面的直線有幾條？為什么？師：點到直線的距離與直線和平面的距離有何區(qū)別與聯(lián)系？教師出示例2，學生思考、回答.待學生思考、回答完后，教師進行板書.教師出示斜線、斜足和斜線段等概念，并讓學生在圖中指出上述三個元素.學生回答:斜線為,斜足為點,斜線段為線段.教師進一步給出射影和直線與平面所成的角的概念,讓學生接著在圖中找上述元素.學生回答:圖中射影為,所成的角為.教師提問:左圖中,與平面內經過點的直線所成的角中,哪個角最小?是嗎?你如何證明呢?學生嘗試回答并完成證明.教師出示例3,并提問:要證明,可以轉化為證明什么?生:可以轉化為證明平面.教師繼續(xù)追問:要證明平面需要怎么做?生:在平面中找到兩條相交直線都與垂直就可以了.學生根據上述思路寫出證明過程,全班講評.教師出示例4,并提問:審題,如何證明結論?生:作,垂足分別為,連接,.證明.教師請學生板演,并巡視課堂,發(fā)現(xiàn)、指出學生中存在的問題,對個別學生進行輔導.學生板演或者草稿紙上進行解答.教師對學生的答案進行點評,并提醒學生注意答題格式及規(guī)范性.完成例4后教師提問:你能設計一個四個面都是直角三角形的四面體嗎?試試看!多利用實際生活中的例子幫助學生理解線面垂直的定義，提升數(shù)學抽象核心素養(yǎng)并要注意“任意條”和“無數(shù)條”的區(qū)別，避免出錯.利用定義給出線面垂直的證法，體會其證明的方法，為引出線面垂直的判定定理做鋪墊.培養(yǎng)學生的幾何直觀能力和動手實踐能力，使他們在動手活動、直觀感知、操作確認的基礎上，理解線面垂直的判定定理，從本質上理解定理，發(fā)展數(shù)學抽象和邏輯推理核心素養(yǎng).通過對判定定理中條件的改變，明確定理中“兩條相交直線”的重要性.借助長方體模型來學習線面垂直的性質定理.復習反證法的證明步驟，體會其在解決幾何證明問題中的作用，提升邏輯推理核心素養(yǎng).學習兩個“距離”的相關知識，為后續(xù)距離的計算打好理論基礎.通過例2鞏固直線到平面距離的知識，提升直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng).本部分內容的學習采取教師給出概念，學生識記，并通過對應圖形找相應元素的方式進行理論與實操相結合，輔之以具體的圖形范例，能夠起到較好的記憶效果.本例題通過教師一系列的提問，從最終要求證的結果出發(fā)，一步一步倒推，尋找證明的條件，最后在已知條件中找到，向學生滲透分析法解決證明題的思路，之后再將這個分析過程反過來，從已知一步一步推導出最后的結果，又體現(xiàn)了綜合法的思想.這是一道典型的利用分析法分析證明思路，再用綜合法寫出具體證明過程的題目，值得學生仔細研究.本題綜合性較強，涉及的知識點較多，綜合應用了線垂直和全等三角形的知識，提升了學生的邏輯推理核心素養(yǎng).歸納總結1.直線與平面垂直的判定定理及性質定理.2.直線與平面所成的角定義與求解.學生歸納總結，教師補充完善.鞏固學習成果，使學生逐步養(yǎng)成愛總結、會總結的習慣和能力.布置作業(yè)1.教材第171頁練習第5題.2.教材第173頁練習第2題.學生獨立完成，教師批閱.強化知識，提升能力.板書設計第2課時直線與平面垂直和直線與平面所成的角1.直線與平面垂直的定義如果直線a與平面內的任意一條直線都垂直，那